2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納與達(dá)標(biāo)檢測(cè)第36講數(shù)列求和（講）

第36講數(shù)列求和（講）思維導(dǎo)圖知識(shí)梳理1．公式法(1)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1d,2).推導(dǎo)方法：倒序相加法．(2)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)，q≠1.))推導(dǎo)方法：乘公比，錯(cuò)位相減法．(3)一些常見(jiàn)的數(shù)列的前n項(xiàng)和：①1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)；②2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；③1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.2．幾種數(shù)列求和的常用方法(1)分組轉(zhuǎn)化求和法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減．(2)裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得前n項(xiàng)和．(3)錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法求解．(4)倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列{an}與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法求解．[常用結(jié)論]常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧①eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1).②eq\f(1,nn＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2))).③eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).④eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n).⑤eq\f(1,nn＋1n＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,nn＋1)－\f(1,n＋1n＋2))).題型歸納題型1分組轉(zhuǎn)化求和【例11】（2020春?昆明期末）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【分析】本題第（1）題先設(shè)等差數(shù)列的公差為，然后根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比中項(xiàng)的性質(zhì)列出關(guān)于公差的一元二次方程，解出的值，則可計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式；第（2）題先根據(jù)第（1）題的結(jié)果計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后運(yùn)用分組求和法計(jì)算出前項(xiàng)和．【解答】解：（1）由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，，，成等比數(shù)列，，即，整理，得，解得（舍去），或，，．（2）由（1）知，設(shè)，故．【跟蹤訓(xùn)練11】（2020春?保定期末）已知數(shù)列、滿足：，為等比數(shù)列，且，，．（1）試判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，并說(shuō)明理由；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【分析】（1）由已知數(shù)列遞推式求出，結(jié)合數(shù)列為等比數(shù)列，求得首項(xiàng)與公比，得到，進(jìn)一步求出，驗(yàn)證即可得到數(shù)列不是等差數(shù)列；（2）由（1）中的等比數(shù)列列出的表達(dá)式，然后累加得數(shù)列的通項(xiàng)，再由數(shù)列的分組求和及等差數(shù)列與等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解．【解答】解：（1）數(shù)列不是等差數(shù)列．理由如下：由，且，，，得，又?jǐn)?shù)列為等比數(shù)列，數(shù)列的首項(xiàng)為4，公比為2．，得，顯然．故數(shù)列不是等差數(shù)列；（2）結(jié)合（1）知，等比數(shù)列的首項(xiàng)為4，公比為2．故，．，，，，．令，，．得，，，累加得．．又滿足上式，．．【跟蹤訓(xùn)練12】（2020春?永州期末）已知等差數(shù)列，等比數(shù)列滿足：，．（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【分析】（1）利用已知條件求出等差數(shù)列的公差為，求出通項(xiàng)公式．求出等比數(shù)列的公比為，然后求解通項(xiàng)公式．（2）寫出，利用分組求和求解即可．【解答】解：（1）由，，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，所以，設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題，所以．所以；（2），所以的前項(xiàng)和為．【名師指導(dǎo)】1．分組轉(zhuǎn)化求和數(shù)列求和應(yīng)從通項(xiàng)入手，若無(wú)通項(xiàng)，則先求通項(xiàng)，然后通過(guò)對(duì)通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求前n項(xiàng)和的數(shù)列求和．2．分組轉(zhuǎn)化法求和的常見(jiàn)類型題型2裂項(xiàng)相消法求和【例21】（2020春?黔南州期末）已知等差數(shù)列滿足，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【分析】（1）直接利用已知條件求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）利用（1）的結(jié)論，進(jìn)一步利用裂項(xiàng)相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用求出數(shù)列的和．【解答】解：（1）設(shè)首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，滿足，．所以，解得，所以．（2）由（1）得，所以．【跟蹤訓(xùn)練21】（2020?安寧區(qū)校級(jí)模擬）已知是一個(gè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)于函數(shù)，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的值為A． B． C． D．【分析】利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和，求出，化簡(jiǎn)數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用裂項(xiàng)消項(xiàng)法求解數(shù)列的和即可．【解答】解：是一個(gè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和，可得，解得，所以函數(shù)，數(shù)列即，，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為，則．故選：．【跟蹤訓(xùn)練22】（2020春?成都期末）數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則A．1 B． C． D．【分析】利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，通過(guò)裂項(xiàng)相消法求解數(shù)列的和即可．【解答】解：數(shù)列的前項(xiàng)和為，，所以：．故選：．【名師指導(dǎo)】1.基本步驟2.裂項(xiàng)原則一般是前邊裂幾項(xiàng)，后邊就裂幾項(xiàng)，直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止.3.消項(xiàng)規(guī)律消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng).題型3錯(cuò)位相減法求和【例31】（2020春?柳林縣期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【分析】（1）根據(jù)數(shù)列遞推公式，即可求出通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法即可求出前項(xiàng)和．【解答】解：（1）由，得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，也成立，所以，（2）由（1）知，故．所以．，①，②由①②，得，所以．【跟蹤訓(xùn)練31】（2020春?黃岡期末）已知數(shù)列滿足，，已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．（Ⅰ）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【分析】（Ⅰ）直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)論，進(jìn)一步利用乘公比錯(cuò)位相減法的應(yīng)用求出數(shù)列的和．【解答】解：（Ⅰ）數(shù)列滿足，，所以（常數(shù)），當(dāng)時(shí)，解得，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．所以．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足①當(dāng)時(shí)，解得．當(dāng)時(shí)，②①②得，整理得（常數(shù)），所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．所以；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以③，④，③④得：，整理得．【跟蹤訓(xùn)練32】（2020春?成都期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，；各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由已知列關(guān)于首項(xiàng)與公差的方程組，求得首項(xiàng)與公差，則等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求．設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知列首項(xiàng)與公比的方程組，求得首項(xiàng)與公比，則等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求；（2）把數(shù)列和的通項(xiàng)公式代入數(shù)列，再由錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由，，得，解得．；設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，，得，解得．；（2）．令的前項(xiàng)和為，則，兩式作差可