2024年新高考數(shù)學一輪復習題型歸納與達標檢測第27講解三角形應用舉例（達標檢測）

第27講解三角形應用舉例（達標檢測）[A組]—應知應會1．（2020春?鎮(zhèn)江期末）如圖，在高速公路建設中，要確定隧道的長度，工程人員測得隧道兩端的，兩點到點的距離分別為，，且，則隧道長度為A． B． C． D．【分析】利用余弦定理，不難求出的長，即隧道的長．【解答】解：在中，由已知得，，且，故，故．故選：．2．（2020?邯鄲二模）如圖，在中，．是邊上的高，若，則的面積為A．4 B．6 C．8 D．12【分析】直接利用三角形的面積公式以及余弦定理，勾股定理化簡求解即可．【解答】解：．故選：．3．（2020春?梅州期末）如圖，要測量底部不能到達的某鐵塔的高度，在塔的同一側選擇、兩觀測點，且在、兩點測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為、．在水平面上測得，、兩地相距，則鐵塔的高度是A． B． C． D．【分析】設出，則，均可用表達，進而在中，由余弦定理和，的值列方程求得，即的長．【解答】解：設，則，，在中，由余弦定理知，求得米，故鐵塔的高度為600米．故選：．4．（2020春?河南期末）在中，，是的平分線，交于，，，則A．2 B． C． D．【分析】先由二倍角公式求得，進而由平方關系得到，再在中，運用正弦定理即可求得的值．【解答】解：是的平分線，，，由題意知，為銳角，，，在中，由正弦定理可得，，．故選：．5．（2020?長春二模）在中，，，，則邊上的高為A． B．2 C． D．【分析】先利用平方關系求得，再由及正弦定理可求得，最后由等面積法求得邊長的高．【解答】解：，，，由正弦定理有，，即，解得，，即，，即邊上的高為．故選：．6．（2020?長春四模）如圖，為測量某公園內(nèi)湖岸邊，兩處的距離，一無人機在空中點處測得，的俯角分別為，，此時無人機的高度為，則的距離為A． B． C． D．【分析】利用正弦定理求出，再結合選項化簡即可得出答案．【解答】解：如圖所示，由題意作，可得，，，則，，在中，，在中，，，由正弦定理，解得；又，又，且、，所以，所以．故選：．7．（2020?湖北模擬）平面四邊形為凸四邊形，且，，，，則的取值范圍為A． B． C． D．【分析】做出圖形，可知，當時，最??；延長與，相交于，此時最大（但取不到）；利用解三角形的知識求解即可．【解答】解：做出圖形：如圖所示，點在邊上移動，當時，最小為；將與延長后交于點，易知，．在中，，，，故，．，．．．在中，由余弦定理得，即，解得（舍，所以，故．故的取值范圍是．故選：．8．（2020?湖北模擬）平面四邊形中，，，，，，則四邊形的面積為A． B． C． D．【分析】由已知利用余弦定理可得：，，可求，在中，由余弦定理可得，解得的值，根據(jù)三角形的面積公式可求四邊形的面積的值．【解答】解：如圖，，，，，，在中，由余弦定理，可得：，整理解得：，可得：，可得：，由于在中，由余弦定理，可得：，可得：，解得：，或舍去，則四邊形的面積．故選：．9．（多選）（2020?煙臺模擬）在中，在線段上，且，，若，，則A． B．的面積為8 C．的周長為 D．為鈍角三角形【分析】由已知結合余弦定理余弦定理，同角平方關系及三角形的面積公式分別判斷各選項即可．【解答】解：由可得，故錯誤；設，，在中由余弦定理可得，，整理可得，，解可得，，即，，所以，故正確；由余弦定理可知，，即，解可得，，故周長，故正確；由余弦定理可得，，故為鈍角，正確，故選：．10．（多選）（2020春?福州期中）如圖，設的內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，若、、成等比數(shù)列，、、成等差數(shù)列，是外一點，，，下列說法中，正確的是A． B．是等邊三角形 C．若、、、四點共圓，則 D．四邊形面積無最大值【分析】對于，因為、、成等差數(shù)列，所以，，故正確；對于，因為、、成等比數(shù)列，利用及余弦定理計算可知，進而可知，故正確；對于，若、、、四點共圓，則，根據(jù)余弦定理可得，代入計算可得，故正確；對于，等邊中，設，，在中，由余弦定理可得：，利用四邊形面積表達式得到最值，故錯誤．【解答】解：對于，因為、、成等差數(shù)列，所以，則．解得，故正確；對于，因為、、成等比數(shù)列，則，由余弦定理可得，帶入得，即，所以，故正確；對于，若、、、四點共圓，則，故，根據(jù)余弦定理可得，代入計算可得，解得，故正確；對于，等邊中，設，，在中，由余弦定理可得：，由于，，代入上式可得：，所以，所以四邊形面積的最大值為，故錯誤．故選：．11．（2020春?宜賓期末）一漁船在處望見正北方向有一燈塔，在北偏東方向的處有一小島，漁船向正東方向行駛2海里后到達處，這時燈塔和小島分別在北偏西和北偏東的方向，則燈塔和小島之間的距離為海里．【分析】根據(jù)條件求出題中所涉及到的角，再根據(jù)正弦定理分別求出，，即可得出結論．【解答】解：由題意畫出圖形，如圖所示；在中，，，所以；在中，，，所以，由正弦定理得，所以；在中，，，，所以，所以，即、兩島之間的距離是海里．故答案為：．12．（2020春?紹興期末）在中，，，，則，．【分析】由已知利用正弦定理即可解得的值，根據(jù)余弦定理可得，解得的值，由正弦定理可得的值，進而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關系式可求的值．【解答】解：在中，，，，由正弦定理，可得，在中，由余弦定理，可得，整理可得：，解得，負值舍去，由正弦定理，可得，．故答案為：，．13．（2020?廈門模擬）一次臺球技術表演節(jié)目中，在臺球桌上，畫出如圖正方形，在點，處各放一個目標球，表演者先將母球放在點處，通過擊打母球，使其依次撞擊點，處的目標球，最后停在點處，若，，，，則該正方形的邊長為．【分析】連接、，利用余弦定理求出，由正弦定理求出，從而求出，再求和邊長的值．【解答】解：連接、，如圖所示，中，由余弦定理得，，解得；由正弦定理得，，解得，所以，所以，中，由余弦定理得，，解得，所以該正方形的邊長為．故答案為：．14．（2020?寧波模擬）在中，，以為邊在平面內(nèi)向外作正方形，使，在的兩側．（1）當時，；（2）的最大值為．【分析】（1）當時，由正弦定理可得的正弦值為1，可得，可得為等腰直角三角形，在中由余弦定理可得的值；（2）設，在中，由余弦定理可得的表達式，在中，設，由余弦定理可得的表達式，在中，由正弦定理可得，進而可得，進而可得當時最大，求出最大值．【解答】解：（1）當時，在中，根據(jù)正弦定理可得，所以，則，所以，，由余弦定理得，則；（2）在中，設，由余弦定理，在中，設，，，所以，所以，在中，由正弦定理可得，所以，所以，所以當，即時最大為8，即，所以的最大值為，故答案分別為：，15．（2020春?石家莊期末）已知是底部不可到達的建筑物，是建筑物的最高點，為測量建筑物的高度，先把高度為1.5米的測角儀放置在位置，測得的仰角為，再把測角儀放置在位置，測得的仰角為，已知米，，，在同一水平線上，求建筑物的高度．【分析】利用正弦定理求得，再求出，即可求得的值．【解答】解：中，由正弦定理得，（米；在中，；；所以，即建筑物的高度為米．故答案為：．16．（2020春?湖北期末）中，、、分別是角、、的對邊，已知，，是邊的中點且．（1）求的值；（2）求的面積．【分析】（1）由正弦定理求出，再利用三角恒等變換求出的值；（2）由（1）知，求出，利用求出的值，再求的面積．【解答】解：（1）中，，，所以，即，解得；由，得；所以；；（2）由（1）知，所以，所以；又，所以，即，解得，所以舍去）；所以，所以的面積為．17．（2020春?蘇州期末）在①，②，③這三個條件中選擇符合題意的一個條件，補充在下面的問題中，并求解．在中，角，，的對邊分別為，，，已知，，滿足____．（1）請寫出你的選擇，并求出角的值；（2）在（1）的結論下，已知點在線段上，且，求長．【分析】（1）依次代入條件①②③，可得①②不成立，故只能選③；（2）由（1）結論再結合余弦定理可得，進而得到，結合兩角和差公式得到，利用正弦定理得到．【解答】解：（1）若選條件①，則有，不合題意；若選條件②，由余弦定理可得，整理得，又因為此時，不符合題意；若選條件③，由余弦定理可得，即，所以，則，因為，所以；故（1）答案選：③；（2）由（1）的，因為，則，，在中，因為，則．18．（2020?泉州一模）在平面四邊形中，．（1）若，求；（2）若，求．【分析】（1）解直角三角形求得，，由題意可得為邊長為2的等邊三角形，在中，運用余弦定理計算可得所求值；（2）設，則，，則，在直角三角形中．求得，在中，運用正弦定理，結合二倍角公式，計算可得所求值．【解答】解：（1）如右圖，，，可得，在直角三角形中，，，可得為邊長為2的等邊三角形，在中，，可得；（2）如右圖，設，則，，則，在直角三角形中，，在中，由正弦定理可得，即，化簡可得，即．19．（2019秋?濟寧期末）如圖，某市三地，，有直道互通．現(xiàn)甲交警沿路線、乙交警沿路線同時從地出發(fā)，勻速前往地進行巡邏，并在地會合后再去執(zhí)行其他任務．已知，，，甲的巡邏速度為，乙的巡邏速度為．（Ⅰ）求乙到達地這一時刻的甲、乙兩交警之間的距離；（Ⅱ）已知交警的對講機的有效通話距離不大于，從乙到達地這一時刻算起，求經(jīng)過多長時間，甲、乙方可通過對講機取得聯(lián)系．【分析】由題意設當乙到達地時甲處在點，利用余弦定理求得的值即可；設乙到達地后，經(jīng)過小時，甲、乙兩交警之間的距離為，根據(jù)題意求出的解析式，利用求得的取值范圍，從而求得結果．【解答】解：由，，，知，．設當乙到達地時，甲處在點，則；所以在中，由余弦定理得：，解得；即此時甲、乙兩交警之間的距離為．設乙到達地后，經(jīng)過小時，甲、乙兩交警之間的距離為，在，乙從地到達地，用時小時，甲從處到達地，用時小時，所以當乙從地到達地，此時，甲從處行進到點處，且，所以當；令，即，；解得或（舍去）；又當時，甲、乙兩交警間的距離為，因為甲、乙間的距離不大于時方可通過對講機取得聯(lián)系；所以從乙到達地這一時刻算起，經(jīng)過小時，甲、乙可通過對講機取得聯(lián)系．[B組]—強基必備1．（2019?西湖區(qū)校級模擬）設銳角的三個內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，，則周長的取值范圍為A． B． C．， D．，【分析】由銳角三角形求得，由正弦定理可得，求出，關于的函數(shù)，運用余弦函數(shù)的大小，可得所求范圍．【解答】解：銳角可得，即，，而，可得，由正弦定理可得，可得，，則，由，可得，即有時，可得，時，可得，則的范圍是，．故選：．2．（多選）（2020春?宿遷期末）已知中，，，，在上，為的角平分線，為中點下列結論正確的是A． B．的面積為 C． D．在的外接圓上，則的最大值為【分析】利用余弦定理計算，利用余弦定理計算，根據(jù)面積公式計算三角形的面積，利用正弦定理計算，設，用表示出，，得出關于的三角函數(shù)，從而得到的最大值．【解答】解：在三角形中，由余弦定理，，故，故錯誤；在中，由余弦定理得：，，故正確；由余弦定理可知：，，平分，，，在三角形中，由正弦定理可得：，故，故正確；，，，，，為的外接圓的直徑，故的外接圓的半徑為1，顯然當取得最大值時，在優(yōu)弧上．故，設，則，，，，，，其中，，當時，取得最大值，故正確．故選：．3．（2020春?溫江區(qū)期末