題型五數(shù)列講義高考數(shù)學高頻題型專項講解

題型五數(shù)列——高考數(shù)學高頻題型專項講解一、思路分析數(shù)列的概念和遞推公式是高考的熱點，主要考查已知遞推關系求通項公式、由與的關系求通項公式、利用數(shù)列的性質(zhì)求最值等，主要以填空題、解答題的形式呈現(xiàn)，難度中等.等差數(shù)列是高考的重點考查知識，主要考查等差數(shù)列的基本運算和性質(zhì)，等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式等，尤其要注意以數(shù)學文化為背景的數(shù)列題，題型既有選擇題、填空題，也有解答題，要善于運用函數(shù)與方程思想和整體帶入思想解決有關等差數(shù)列問題，同時要注意探索創(chuàng)新和生活實踐情境載體下的試題訓練.等比數(shù)列是高考的考查熱點，主要考查等比數(shù)列的基本運算和性質(zhì)，等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式，尤其要注意證明題或以數(shù)學文化為背景的數(shù)列題，考查題型既有選擇題、填空題，也有解答題，難度中等，要會運用函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想和分類討論思想解題，也要注意探索創(chuàng)新和生活實踐情境載體下的試題訓練.數(shù)列求和及數(shù)列綜合應用是高考的熱點題型，其中等差、等比數(shù)列的通項與求和，數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合，以數(shù)學文化為背景的數(shù)列題是高考命題的熱點，多以解答題的形式呈現(xiàn)，難度中等，要注重常規(guī)考法，也要注重數(shù)列與其他知識的綜合創(chuàng)新，同時也要注重對結(jié)構不良類試題的訓練.二、考綱要求1.數(shù)列的概念和遞推公式（1）了解數(shù)列的概念及表示方法，理解數(shù)列的通項公式的意義.

（2）理解數(shù)列的遞推公式，能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項.

（3）理解與的關系.

2.等差數(shù)列（1）理解等差數(shù)列的概念和通項公式的意義.

（2）掌握等差數(shù)列的前n項和公式，理解等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關系.

（3）了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關系.

3.等比數(shù)列（1）理解等比數(shù)列的概念和通項公式的意義

（2）掌握等比數(shù)列的前n項和公式，理解等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關系.

（3）了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系.

4.數(shù)列求和及數(shù)列綜合應用（1）掌握幾種常用的數(shù)列求和方法.（2）掌握數(shù)列的綜合應用.

三、方法技巧1.由前幾項歸納數(shù)列通項公式的常用方法及具體策略：

（1）常用方法：觀察（觀察規(guī)律）、比較（比較已知數(shù)列）、歸納、轉(zhuǎn)化（轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列）、聯(lián)想（聯(lián)想常見的數(shù)列）等方法.

（2）具體策略：①分式中分子、分母的特征；

②相鄰項的變化特征；

③各項的符號特征和絕對值特征；

④對于分式還可以考慮對分子、分母各個擊破，或?qū)ふ曳肿印⒎帜钢g的關系；

⑤對于符號交替出現(xiàn)的情況，可用或，處理.

2.等差數(shù)列前n項和的最值求解得常用方法（1）通項公式法：其基本思想是通過通項公式求出符號變化的項，從而求得和的最值；（2）前n項和法：其基本思想是利用前n項和公式的二次函數(shù)特性，借助拋物線的圖象求最值.3.利用等差數(shù)列前n項和解決實際問題的步驟：（1）判斷問題中涉及的數(shù)列是否為等差數(shù)列；

（2）若是等差數(shù)列，找出首項、公差、項數(shù)；

（3）確認問題是求還是；

（4）選擇恰當?shù)墓接嬎悴⑥D(zhuǎn)化為實際問題的解.4.解決等差數(shù)列前n項和的基本運算題的思路方法及注意事項：（1）注意公式與的選擇使用；

（2）等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量，，，，，已知其中三個就能求另外兩個，注意方程思想的應用；

（3）數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換的作用，而和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知量和未知量是常用方法，同時注意靈活應用等差數(shù)列的性質(zhì)以簡化計算過程.5.應用等比數(shù)列通項公式解實際應用問題的步驟（1）構建等比數(shù)列模型；

（2）明確，q，n，等基本量；

（3）利用求解；

（4）還原為實際問題.6.判定數(shù)列是等比數(shù)列的常用方法：（1）定義法：驗證（q為常數(shù)且不為0）是否成立，但應注意必須從第二項（即）起所有項都滿足此等式；

（2）等比中項法：驗證（，且）是否成立；

（3）通項公式法：驗證是否成立，但應注意隱含條件是，.7.解決等比數(shù)列前n項和的實際應用問題的基本步驟（1）將已知條件翻譯成數(shù)學語言，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題；

（2）構建等比數(shù)列模型；

（3）利用等比數(shù)列的前n項和公式求解等比數(shù)列問題；

（4）將所求結(jié)果還原到實際問題中.8.等比數(shù)列基本運算中的常用技巧：

（1）（對稱設元）一般地，若連續(xù)奇數(shù)個項成等比數(shù)列，則可設該數(shù)列為；若連續(xù)偶數(shù)個項成等比數(shù)列，則可設該數(shù)列為（注意：此時公比，并不適合所有情況）.這樣既可減少未知量的個數(shù)，也使得解方程較為方便.

（2）求解等比數(shù)列基本量時注意運用整體思想、設而不求等，同時還要注意合理運用.9.用錯位相減法解決數(shù)列求和問題的步驟：

（1）判斷結(jié)構：若數(shù)列是由等差數(shù)列與等比數(shù)列（公比q）的對應項之積構成的，則可用此法求和；

（2）乘公比：設的前n項和為，然后兩邊同乘以q；（3）錯位相減：乘以公比q后，向后錯開一位，使含有的項對應，然后兩邊同時作差；

（4）求和：將作差后的結(jié)果求和，從而表示出.10.利用裂項相消法求和的基本步驟

（1）裂項：觀察數(shù)列的通項，將通項拆成兩項之差的形式；

（2）累加：將數(shù)列裂項后的各項相加

（3）消項：將中間可以消去的項相互抵消，將剩余的有限項相加，得到數(shù)列的前n項和.

11.解決數(shù)列與不等式綜合問題的一般步驟

（1）由已知條件和數(shù)列性質(zhì)求基本量，確定數(shù)列的特性（等差或等比數(shù)列）；

（2）求出或的通項公式；

（3）分析，涉及的函數(shù)或不等式，利用相關函數(shù)或不等式性質(zhì)解決題目中的問題；

（4）得出結(jié)果，敘述完整；

（5）回顧反思，查驗“n”的取值是否符合要求，運算過程是否有不當之處.

12.數(shù)列與不等式的綜合問題的解題策略

（1）判斷數(shù)列問題中的一些不等關系，可以利用數(shù)列的單調(diào)性或者是借助數(shù)列對應的函數(shù)的單調(diào)性求解.

（2）對于與數(shù)列有關的不等式的證明問題，則要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等，有時需構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，最值來證明.

13.數(shù)列與函數(shù)的綜合問題的解題策略

（1）已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象等進行研究.

（2）已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，一般要充分利用數(shù)列的有關公式對式子化簡變形.

（3）解題時要注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，靈活運用函數(shù)的思想方法求解.

14.數(shù)列在實際應用中的常見模型

（1）等差模型：如果增加（或減少）的量是一個固定的數(shù)，則該模型是等差模型，這個固定的數(shù)就是公差.

（2）等比模型：如果后一個量與前一個量的比是一個固定的非零常數(shù)，則該模型是等比模型，這個固定的數(shù)就是公比.

（3）遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項之間的關系不固定，隨項的變化而變化，則應考慮考查的是第n項與第項（或者相鄰三項等）之間的遞推關系還是前n項和與前項和之間的遞推