市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)（第3版）回歸分析預(yù)測(cè)方法

回歸分析起源于生物學(xué)的研究。英國(guó)的著名生物學(xué)家達(dá)爾文在19世紀(jì)末，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)非常有趣的現(xiàn)象，父親身材高大的，其子也比較高大，父親矮小的，其子也比較矮小。即父親的身高與兒子的身高之間有密切的關(guān)系。在大量的研究資料中，又發(fā)現(xiàn)身高有一種向平均身高回歸的傾向，這種身高傾向平均數(shù)的現(xiàn)象稱為回歸（Regression）。經(jīng)濟(jì)學(xué)家經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，生物界的這種現(xiàn)象，在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中也存在這種現(xiàn)象，例如，證券市場(chǎng)的任何一支股票，無(wú)論是牛市或熊市股票的價(jià)格都向著平均價(jià)格回歸。也正因?yàn)槿绱?，回歸分析在許多領(lǐng)域中都得到了廣泛的應(yīng)用，并且取得了很好的效果。回歸分析預(yù)測(cè)方法

回歸分析預(yù)測(cè)法是在分析因變量與自變量之間的相互關(guān)系，建立變量間的數(shù)量關(guān)系近似表達(dá)的函數(shù)方程，并進(jìn)行參數(shù)估計(jì)和顯著性檢驗(yàn)以后，應(yīng)用回歸方程式預(yù)測(cè)因變量變化的方法?；貧w分析預(yù)測(cè)法是市場(chǎng)預(yù)測(cè)的基本方法，目前，這種方法發(fā)展的很成熟了，回歸預(yù)測(cè)方法種類(lèi)繁多，按回歸方程的變量分，有一元、多元回歸方程；按回歸性質(zhì)分有線性、非線性回歸等。本章專(zhuān)門(mén)討論一元和二元線性回歸問(wèn)題。

◆回歸分析預(yù)測(cè)法的步驟1、確定預(yù)測(cè)目標(biāo)和影響因素

市場(chǎng)預(yù)測(cè)的目標(biāo)是因變量，研究者可根據(jù)預(yù)測(cè)的目的來(lái)確定。例如，以未來(lái)5年小家電需求為目的的市場(chǎng)預(yù)測(cè)，它的因變量就是未來(lái)5年小家電的需求量。

第一節(jié)回歸分析預(yù)測(cè)法概述2、進(jìn)行相關(guān)性分析對(duì)變量之間的相關(guān)關(guān)系進(jìn)行分析。這一過(guò)程主要包括兩個(gè)方面：①確定變量之間關(guān)系，即確定變量之間是否存在不具有數(shù)值對(duì)應(yīng)關(guān)系的確定依存關(guān)系。換句話說(shuō)，當(dāng)自變量的確定值為x，與其對(duì)應(yīng)值為y。這是回歸分析法預(yù)測(cè)的前提。②確定變量之間的相關(guān)密切程度，這是相關(guān)分析的主要目的和主要內(nèi)容。3、建立回歸預(yù)測(cè)模型

就是依據(jù)變量之間的相關(guān)關(guān)系，用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)表達(dá)式表示出來(lái)。4、回歸方程模型檢驗(yàn)

建立回歸方程的目的是預(yù)測(cè)，但方程用于預(yù)測(cè)之前需要檢驗(yàn)回歸方程的擬合程度和回歸參數(shù)的顯著性，只有通過(guò)了有關(guān)的檢驗(yàn)后，回歸方程才可用于預(yù)測(cè)，常用的檢驗(yàn)方法有相關(guān)系數(shù)r檢驗(yàn)、F檢驗(yàn)、t檢驗(yàn)等。5、預(yù)測(cè)

一是點(diǎn)預(yù)測(cè)，二是區(qū)間預(yù)測(cè)。點(diǎn)預(yù)測(cè)：就是所求的預(yù)測(cè)值為一個(gè)數(shù)值。區(qū)間預(yù)測(cè)：所求的預(yù)測(cè)值有一個(gè)數(shù)值范圍。通常要用正態(tài)分布的原理估計(jì)其標(biāo)準(zhǔn)誤差，求得預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間[?0-δ，?0+δ]。第二節(jié)一元線性回歸預(yù)測(cè)方法一、一元線性回歸模型

我們知道經(jīng)濟(jì)變量之間通常存在著各種各樣的相互關(guān)系。例如，收入和消費(fèi)；價(jià)格與需求量之間，都有一定的關(guān)系。就收入與消費(fèi)的關(guān)系而言，一般來(lái)說(shuō)，收入高，消費(fèi)支出就高；就價(jià)格與需求而言，價(jià)格越高，需求量就越少。年份人均收入（元）x人均消費(fèi)（元）y年份人均收入（元）

x人均消費(fèi)(元）

y1980198119821983480510545590420450490530198419851986640780760580620680

從表中可知，x和y呈現(xiàn)線性規(guī)律，設(shè)回歸線性方程為：?i=a+bx(1)由（1）可得到x和y之間的定量關(guān)系表示為：(2)

下面是1980年以來(lái)人平均收入和人平均消費(fèi)支出的七組數(shù)據(jù)，見(jiàn)表回歸直線

回歸直線的散點(diǎn)圖其中：(2)中：a和b—回歸系數(shù)；a—截距;b—斜率。二、回歸參數(shù)估計(jì)由一組觀察值畫(huà)出散點(diǎn)圖，如圖所示，這樣的直線可畫(huà)出很多條，而回歸直線只有一條，因?yàn)橹挥谢貧w直線最接近實(shí)際觀察值。要擬合一條最理想的回歸直線，就要確定a和b。確定a和b的方法有多種，其中應(yīng)用最多的是最小二乘法。t（3）（4）（5）（6）（7）

設(shè)任意一個(gè)回歸值?i實(shí)際觀察yi

之間存在的誤差為ei

，令則有:最小二乘法（8）

a和b求出之后，在理論上來(lái)說(shuō)線性回歸模型就應(yīng)確定了，但在實(shí)際應(yīng)用中，并非如此。由于在實(shí)踐中,經(jīng)常是資料不全，由（8）確定的a和b就會(huì)有所不同。因此，為了避免這種情況出現(xiàn)的過(guò)大誤差，在允許誤差的情況下，即由,求得的a,b稱為最小二乘法.

三、回歸方程的顯著性檢驗(yàn)由（6）、（7）解得a,b分別為：必須在a和b求出之后，進(jìn)行可靠性檢驗(yàn)。其方法如下：顯著性檢驗(yàn)①回歸方程F顯著性檢驗(yàn)；②相關(guān)系數(shù)r顯著性檢驗(yàn)。F檢驗(yàn)檢驗(yàn)方程中：y=a+bx中的a,b是否能夠描述收集到的數(shù)據(jù)反映的規(guī)律，

將通過(guò)上式計(jì)算F的值，與F分布表查到的Fc臨界值比較，從而判斷回歸方程是否具有顯著性。①當(dāng)F>Fc(α,m,n-m-1)，則回歸方程與實(shí)際直線方程擬和的程度好，x和y之間的變化是符合回歸模型；②當(dāng)F≤FC（α，m,n-m-1）時(shí)，則回歸模型與實(shí)際直線

方程擬和程度不好，x和y之間的變化不符合實(shí)際直線的變化，預(yù)測(cè)模型無(wú)效。相關(guān)系數(shù)顯著性檢驗(yàn)檢驗(yàn)相關(guān)系數(shù)r，反映自變量x與因變量y之間的線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱程度。其計(jì)算方法為：（1）（2）判斷r顯著性①按（1）或（2）求出r②選擇α③從相關(guān)系數(shù)臨界表中查出rc

當(dāng)r?rc,時(shí)，x和y高度相關(guān)P238回歸方程的精度分析（12）（13）（一）有關(guān)概念：1、點(diǎn)估計(jì)

在一元線性回歸模型中，是指對(duì)于自變量x的一個(gè)給定值x0，?=a+bx,就可以得到一個(gè)?0，稱為點(diǎn)估計(jì)。

2、區(qū)間估計(jì)

回歸模型通過(guò)檢驗(yàn)合格之后，則該模型可用來(lái)預(yù)測(cè)了，但通常指出預(yù)測(cè)區(qū)間，這個(gè)區(qū)間又稱為置信區(qū)間。

對(duì)于觀察數(shù)據(jù)量n≤30的小樣本而言，因變量y的估計(jì)值?0的置信區(qū)間為：[?0-δ，?0+δ]四、預(yù)測(cè)區(qū)間估計(jì)（18）（19）應(yīng)用1年份1988198919901991199219931994結(jié)婚人數(shù)X（百對(duì)）47404355667270銷(xiāo)售額y(百萬(wàn)元)40353744555856

某地區(qū)1988~1994年結(jié)婚人數(shù)與某家電產(chǎn)品銷(xiāo)售額如表8-2所示，假定1995年該地區(qū)的結(jié)婚人數(shù)將達(dá)74百對(duì)，試預(yù)測(cè)同時(shí)期年該家電產(chǎn)品的銷(xiāo)售額。

表8-2實(shí)際問(wèn)題應(yīng)用1解：1、畫(huà)散點(diǎn)圖。如圖8-3

由圖可知：結(jié)婚人數(shù)與家電產(chǎn)品的銷(xiāo)售量呈線性關(guān)系，故可用一元線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。并將有關(guān)計(jì)算a,b的數(shù)據(jù)填入表中2、確定一元回歸預(yù)測(cè)模型參數(shù)a,b。其中：結(jié)婚人數(shù)圖8-3家電產(chǎn)品的銷(xiāo)售量年份結(jié)婚人數(shù)xi（百對(duì)）銷(xiāo)售額Yi（百萬(wàn)元）x2iy2ixiyi19884740220916001880198940351600122514001990433718491369159119915544302519362420199266554356302536301993725851843364417619947056490031363920n=7∑=393∑=325∑=23123∑=15655∑=19017調(diào)查資料數(shù)據(jù)和回歸計(jì)算數(shù)據(jù)表由表中的數(shù)據(jù)計(jì)算a,b則所求的一元線性回歸預(yù)測(cè)方程為：

?=a+bx=5.44+0.73xb=0.73的經(jīng)濟(jì)含義是該地區(qū)結(jié)婚人數(shù)每增加1百對(duì)，該家電銷(xiāo)售額將0.73百萬(wàn)元。3、模型檢驗(yàn)(1)方差分析

∴S回=S2XY/Sxx=770.572/1058.86=560.77,m=1S余=Syy-S2XY/Sxx=565.71-770.572’1058.86=4.94n-m-1=7-1-1=5,S總=Syy=565.71,n-m-1=7-1=6,(2)F檢驗(yàn)當(dāng)α=0.05,Fc(α,m,n-m-1)=Fc(0.05,1,5)=6.61∵F=567.58＞Fc=6.61∴回歸模型具有顯著性水平,即x和y高度相關(guān),模型有效.

(3)相關(guān)系數(shù)r顯著性檢驗(yàn)4、預(yù)測(cè)模型點(diǎn)估計(jì)及置信區(qū)間

1995年的結(jié)婚人數(shù)x0=74(百對(duì))時(shí),在同期內(nèi)相應(yīng)的家電產(chǎn)品銷(xiāo)售額為:?=5.44+0.73×74=59.46(百萬(wàn)元)5、計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤差當(dāng)置信度為95.4%時(shí),預(yù)測(cè)值y0的置信區(qū)間為:[?0-2Sy,?0+2Sy]=[59.48-2×0.994,59.46+2×0.994]=[57.47,61.45]第三節(jié)多元線性回歸預(yù)測(cè)分析法

在進(jìn)行市場(chǎng)預(yù)測(cè)時(shí)，常常會(huì)遇到變量并非是兩者之間的關(guān)系，而是幾個(gè)因素共同發(fā)生的作用，用一元線性回歸分析法就不能進(jìn)行預(yù)測(cè)了，這時(shí)要用多元線性回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)。一、多元線性回歸預(yù)測(cè)法的概念影響因變量的因素有兩個(gè)或兩個(gè)以上，且自變量與因變量的分布呈線性趨勢(shì)的回歸，用這種回歸分析進(jìn)行預(yù)測(cè)的方法稱為多元線性回歸預(yù)測(cè)。二、多元線性回歸預(yù)測(cè)法一般形式：?i=a+b1x1+b2x2+……+bmxm其中：x1，x2，……，xn為自變量，

a,b1,b2,……,bn為回歸方程的參數(shù)

存在兩個(gè)自變量條件下的多元線性回歸方程稱為二元線性回歸方程，它是多元回歸方程的特例。1、建立線性回歸方程

多元回歸方程（以二元為例）線性回歸預(yù)測(cè)法的步驟如下：

?i=a+b1x1+b2x2+……+bmxm（1）

將相關(guān)數(shù)據(jù)代入上式方程組，得到參數(shù)a,b1,b2,則多元回歸方程為：?i=a+b1x1+b2x2

（2）2、檢驗(yàn)(1)利用復(fù)相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)回歸方程整體顯著性。當(dāng)給定一個(gè)α，并根據(jù)自由度=n-m-1,就可查出rc判斷了。（2）t檢驗(yàn)檢驗(yàn)每一個(gè)自變量與因變量在指定的顯著水平上是否存在線性相關(guān)關(guān)系。例題（略）。

以上學(xué)到得的都是線性的，但在實(shí)際應(yīng)用中，碰到的問(wèn)題經(jīng)常是非線性的，有些可將其線性化，有如下形式：

1、三角函數(shù)y=a+sint(1)

令x=sint，則（1）可變?yōu)椋簓=a+x(2)

即（1）可轉(zhuǎn)化為線性方程。

2、指數(shù)函數(shù)

（3）（4）

第四節(jié)回歸分析中的非線性問(wèn)題3、冪函數(shù)4、雙曲函數(shù)5、對(duì)數(shù)函數(shù)實(shí)際問(wèn)題應(yīng)用2

某店在1984~1993年的商品流通費(fèi)用率和商品零售額的具體情況見(jiàn)表8-7，若1995年商品銷(xiāo)售額36.33萬(wàn)元，請(qǐng)預(yù)測(cè)1995年的商品流通費(fèi)用率。年份1984198519861987198819901991199219931994∑Yi(%)7.06.25.85.35.04.64.54.44.24.051.0Xi(萬(wàn)元)10.211.713.015.016.519.022.025.028.532解題步驟：（1）散點(diǎn)圖（2）確定預(yù)測(cè)模型（3）確定參數(shù)a,b，

可得預(yù)測(cè)模型:?=2.5611+42.8726/x相關(guān)系數(shù)r檢驗(yàn)（5）進(jìn)行預(yù)測(cè)

當(dāng)x=36.33時(shí)，?1995=2.5611+42.8726/x=3.74%則預(yù)測(cè)模型為：?=2.2256+7.621x'=2.2256+7.621/x(2)對(duì)回歸預(yù)測(cè)模型的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)則即商品流通費(fèi)用率y與銷(xiāo)售額倒數(shù)變量x‘之間存在正線性關(guān)系。（3）計(jì)算x′的控制范圍由公式：∴x'm=min{0.0153786,0.082876}=0.0153786x'