人教版八年級數(shù)學(xué)下冊尖子生培優(yōu)必刷題 專題17.4勾股定理與網(wǎng)格問題專項提升訓(xùn)練（重難點培優(yōu)30題）（原卷版+解析）

專題17.4勾股定理與網(wǎng)格問題專項提升訓(xùn)練（重難點培優(yōu)30題）班級：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項：本試卷試題解答30道，共分成三個層組：基礎(chǔ)過關(guān)題（第1-10題）、能力提升題（第11-20題）、培優(yōu)壓軸題（第21-30題），每個題組各10題，可以靈活選用．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、單選題1．(2023春·四川成都·八年級?？计谥校┤鐖D，每個小正方形的邊長為1，若A、B、C是小正方形的頂點，則∠ABC度數(shù)為（

）A．60° B．45° C．30° D．20°2．(2023春·山西運城·八年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC的頂點A，B，C在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點上，則BC邊長的高為（

）A．152 B．855 C．43．(2023春·陜西西安·八年級西安市第二十六中學(xué)階段練習(xí)）如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，A、B、C均在正方形格點上，則C點到AB的距離為（

）A．31010 B．2105 C．4．(2023春·福建莆田·八年級統(tǒng)考期中）如圖，邊長為1的正方形網(wǎng)格圖中，點A，B都在格點上，若AC=4133，則BCA．2133 B．13 C．2135．(2023·八年級單元測試）如圖，在由單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標有AB、CD、EF、GH四條線段，其中能構(gòu)成一個直角三角形三邊的線段是（）A．AB、CD、EF B．AB、CD、GH C．AB、EF、GH D．CD、EF、GH6．(2023秋·海南省直轄縣級單位·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，則下列關(guān)系正確的是（

）A．a(chǎn)<b<c B．c<a<b C．c<b<a D．b<a<c7．(2023春·江蘇南京·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖．每個小正方形的邊長為1，格點線段ED與CG交于點A，F(xiàn)H與DG交于點B，連接AB．有下列結(jié)論①CG⊥ED；②△ABD?△HBD；③∠CGH=30°；④AC=2.5；⑤∠EAB=∠EFB；⑥△ABD的面積為0.75．其中正確的結(jié)論有（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個8．(2023春·安徽·八年級?？计谥校┤鐖D，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，以A為圓心，AB為半徑畫弧，交最上方的網(wǎng)格線于點D，則CD的長為（

）A．3?1 B．3?5 C．5 9．(2023·全國·八年級專題練習(xí)）在正方形網(wǎng)格中，∠AOB的位置如圖所示，到∠AOB兩邊距離相等的格點應(yīng)是（）A．點M B．點N C．點P D．點Q10．(2023春·遼寧遼陽·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形網(wǎng)格中，每一小格的邊長為1．網(wǎng)格內(nèi)有△PAB，則∠PAB+∠PBA的度數(shù)是（

）A．30° B．45° C．50° D．60°二、填空題11．(2023春·江蘇揚州·八年級?？计谥校┤鐖D，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，點A、B、C是小正方形的頂點，則∠ABC的度數(shù)為________°．12．(2023春·江蘇蘇州·八年級?？计谥校┤鐖D，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，△ABC各頂點均在網(wǎng)格的格點上，CD⊥AB于點D，則CD的長為_____．13．(2023春·四川成都·八年級成都外國語學(xué)校?？计谥校┤鐖D，數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為1，點B，C，D是4×4的正方形網(wǎng)格上的格點，以點A為圓心，AD長為半徑畫圓交數(shù)軸于P，Q兩點，則P點所表示的數(shù)為___________．（可以用含根號的式子表示）14．(2023春·湖北荊州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在5×5的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1個單位長度，點O，A，B，C在網(wǎng)格的交點（格點）上，點C0,3，在第三象限內(nèi)的格點上找一點D，使△ABD與△ABC全等，則點D15．(2023春·福建寧德·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在8×8的方格紙中小正方形的邊長為1，△ABC的三個頂點都在小正方形的格點上，下列結(jié)論正確的有_____（填寫序號）．①△ABC的形狀是直角三角形；②△ABC的周長是35③點B到AC邊的距離是2；④若點D在格點上（不與A重合），且滿足S△BCD=S16．(2023秋·福建廈門·八年級廈門外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在小正方形邊長為1的方格中，以線段AB、BC、CD為邊的三角形的面積為_____．17．(2023秋·重慶武隆·八年級?？计谥校┤鐖D，每個小正方形的邊長為1，在△ABC中，點D為AB的中點，則線段CD的長為________18．(2023春·八年級課時練習(xí)）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C，D都在格點上，則∠DAB+∠CAB的度數(shù)是______度．19．(2023春·江蘇常州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，正方形網(wǎng)格中每一個小正方形的邊長為1，小正方形的頂點為格點，點A，B，C為格點，點D為AC與網(wǎng)格線的交點，則∠ADB?∠ABD=__________．20．(2023春·浙江舟山·八年級統(tǒng)考期末）在邊長為1的網(wǎng)格圖形中，以頂點都是格點的正方形ABCD的邊為斜邊，向外作四個全等的直角三角形，使四個直角頂點E，F(xiàn)，G，H都是格點，且四邊形EFGH為正方形，在圖1所示的格點圖形中，正方形ABCD的邊長為26，此時正方形EFGH的面積為52．寫出正方形EFGH的面積的所有可能值是__________（不包括52）．三、解答題21．(2023春·吉林長春·八年級期末）問題背景：在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為5、10、13，求這個三角形的面積．佳佳同學(xué)在解答這道題時，先建立一個正方形網(wǎng)格(每個小正方形的邊長為1)，再在網(wǎng)格中畫出格點△ABC．(即△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處)．如圖①所示，這樣不需求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計算出它的面積．(1)請你將△ABC的面積直接填寫在橫線上___________；(2)在圖②中畫△DEF，使DE、EF、DF三邊的長分別為2、22、10(3)這個三角形的形狀是____________．22．(2023秋·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第四十七中學(xué)?？计谥校﹫D1、圖2分別是10×6的網(wǎng)格，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，各個小正方形的頂點叫做格點，A、B兩點在格點上，請在下面的網(wǎng)格中按要求分別畫圖，使得每個圖形的頂點均在格點上．(1)在圖1中畫一個△ABC，使△ABC為鈍角等腰三角形，且△ABC的面積為10；(2)在圖2中畫一個平行四邊形ABEF，使其周長為10+2(3)在圖2中連接BF，并直接寫出BF的長，BF=_________．23．(2023春·福建漳州·八年級漳州三中?？茧A段練習(xí)）作圖．網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都是1，(1)在圖1網(wǎng)格中作一個直角三角形，使它的三邊長都是整數(shù)；(2)在圖2網(wǎng)格中作一個直角三角形，使它的三邊長都是無理數(shù)；(3)在圖3網(wǎng)格中作一個鈍角三角形，使它的面積等于6．24．(2023春·江西吉安·八年級統(tǒng)考期中）圖1、圖2是兩張形狀大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個小正方形的邊長均為1，線段AB的端點均在小正方形的頂點上，請僅用無刻度的直尺在網(wǎng)格內(nèi)完成下列作圖：(1)如圖1，請以線段AB為斜邊作等腰直角△ABC；(2)如圖2，請以線段AB為底邊作等腰△ABD，且使得腰長為有理數(shù)；25．(2023春·浙江寧波·八年級校聯(lián)考期中）在如圖所示的6×6的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1個單位．(1)請你在圖1中畫一個以格點為頂點，面積為6個平方單位的等腰三角形；(2)請你在圖2中畫一個以格點為頂點，一條直角邊邊長為10的直角三角形；(3)請你在圖3中畫出△ABC的邊BC上的高AD，∠ACB的角平分線CE．26．(2023春·山西運城·八年級統(tǒng)考期中）綜合與實踐【背景介紹】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力．如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個全等的直角三角形拼成，用它可以證明勾股定理，思路是大正方形的面積有兩種求法，一種是等于c2，另一種是等于四個直角三角形與一個小正方形的面積之和，即12ab×4+b?a2【方法運用】千百年來，人們對勾股定理的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者．向常春在2010年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法：把兩個全等的直角三角形△ABC和△DEA如圖2放置，其三邊長分別為a，b，c，∠BAC=∠DEA=90°，顯然BC⊥AD．(1)請用a，b，c分別表示出四邊形ABDC，梯形AEDC，△EBD的面積，再探究這三個圖形面積之間的關(guān)系，證明勾股定理a2(2)【方法遷移】請利用“雙求法”解決下面的問題：如圖3，小正方形邊長為1，連接小正方形的三個頂點，可得△ABC，則AB邊上的高為______．(3)如圖4，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AB=4，AC=5，BC=6，設(shè)BD=x，求x的值．27．(2023春·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）作圖：(1)如圖1，△ABC在邊長為1的正方形網(wǎng)格中：①畫出△ABC關(guān)于直線l軸對稱的△DEF（其中D、E、F分別是A、B、C的對應(yīng)點）；②直接寫出△ABC中AB邊上的高=___________．(2)如圖2，在四邊形ABCD內(nèi)找一點P，使得點P到AB、BC的距離相等，并且點P到點A、D的距離也相等．（用直尺與圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．28．(2023春·江蘇無錫·八年級無錫市天一實驗學(xué)校?？计谥校┰凇鰽BC中，AB、BC、AC三邊的長分別為5，10，13，求這個三角形的面積．小明同學(xué)在解答這道題時，先畫一個正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點△ABC（即△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處），如圖1所示．這樣不需求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計算出它的面積．(1)△ABC的面積為______．(2)若△DEF的三邊DE、EF、DF長分別為8，13，17，請在圖2的正方形網(wǎng)格中畫出相應(yīng)的△DEF，并求出△DEF的面積為______．(3)在△ABC中，AB=10，AC=3、BC=1，以AB為邊向△ABC外作△ABD（D與C在AB異側(cè)），使△ABD為等腰直角三角形，則線段CD29．(2023春·北京昌平·八年級統(tǒng)考期中）數(shù)學(xué)王老師組織了“探究2”的活動，下面是同學(xué)們的探究過程：(1)2到底有多大？下面是小明探究2的近似值的過程，請補充完整：我們知道面積是2的正方形邊長是2，且2>1.4設(shè)2由面積公式，可得x2+因為x的值很小，所以x2更小，略去x解得x≈______（保留到0.001），即2≈(2)怎樣畫出2？下面是小亮探索畫2的過程，請補充完整：現(xiàn)在有2個邊長為1的正方形，如圖（1），請把它們分割后拼成一個新的正方形．要求：畫出分割線并在正方形網(wǎng)格中畫出拼接成的新正方形．小亮的做法是：設(shè)新正方形的邊長為xx>0，割補前后圖形的面積相等，則x2=2請參考小亮的做法，現(xiàn)有5個邊長為1的正方形，如圖（3），請把它們分割后拼成一個邊長為5的新的正方形，在圖（4）中畫出即可．30．(2023春·陜西西安·八年級統(tǒng)考期中）(1)問題背景：在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為5、10、13，求此三角形的面積小輝同學(xué)在解答這道題時，先建立一個正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點△ABC（即△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處），如圖①所示．這樣不需求△ABC的高而借用網(wǎng)格就能計算出它的面積請你將△ABC的面積直接填寫在橫線上______．(2)思維拓展：我們把上述求△ABC面積的方法叫做方格構(gòu)圖法．如果△ABC三邊的長分別為5a、8a、17a(3)探索創(chuàng)新：若△ABC三邊的長分別為m2+16n2，9m2+4n2，2專題17.4勾股定理與網(wǎng)格問題專項提升訓(xùn)練（重難點培優(yōu)30題）班級：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項：本試卷試題解答30道，共分成三個層組：基礎(chǔ)過關(guān)題（第1-10題）、能力提升題（第11-20題）、培優(yōu)壓軸題（第21-30題），每個題組各10題，可以靈活選用．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、單選題1．(2023春·四川成都·八年級?？计谥校┤鐖D，每個小正方形的邊長為1，若A、B、C是小正方形的頂點，則∠ABC度數(shù)為（

）A．60° B．45° C．30° D．20°【答案】B【分析】在格點三角形中，根據(jù)勾股定理即可得到AB，BC，AC的長度，繼而可得出∠ABC的度數(shù)．【詳解】解：根據(jù)勾股定理可得：AC=BC=22+∵(5)∴△ABC是等腰直角三角形．∴∠ABC=45°．故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，判斷△ABC是等腰直角三角形是解決本題的關(guān)鍵，注意在格點三角形中利用勾股定理．2．(2023春·山西運城·八年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC的頂點A，B，C在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點上，則BC邊長的高為（

）A．152 B．855 C．4【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理解答即可．【詳解】解：∵S∵BC=2∴BC邊長的高=2×4故選：C．【點睛】此題考查勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a23．(2023春·陜西西安·八年級西安市第二十六中學(xué)階段練習(xí)）如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，A、B、C均在正方形格點上，則C點到AB的距離為（

）A．31010 B．2105 C．【答案】D【分析】連接AC、BC，利用割補法求出S△ABC=4，根據(jù)勾股定理求出AB=10，設(shè)C點到AB的距離為h，根據(jù)S【詳解】解：如圖，連接AC、BC，S△ABCAB=3設(shè)C點到AB的距離為h，∵S△ABC∴?=8故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．也考查了三角形的面積和二次根式的運算．4．(2023春·福建莆田·八年級統(tǒng)考期中）如圖，邊長為1的正方形網(wǎng)格圖中，點A，B都在格點上，若AC=4133，則BCA．2133 B．13 C．213【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理求得AB的長度，然后根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵AB=4∴BC=AB?AC=213故選：A．【點睛】本題考查了勾股定理，二次根式的減法，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．5．(2023·八年級單元測試）如圖，在由單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標有AB、CD、EF、GH四條線段，其中能構(gòu)成一個直角三角形三邊的線段是（）A．AB、CD、EF B．AB、CD、GH C．AB、EF、GH D．CD、EF、GH【答案】A【分析】設(shè)出正方形的邊長，利用勾股定理，解出AB、CD、EF、GH各自的長度，再由勾股定理的逆定理分別驗算，看哪三條邊能夠成直角三角形．【詳解】解：設(shè)小正方形的邊長為1，則AB2=32+4因為CD所以能構(gòu)成一個直角三角形三邊的線段是AB、CD、EF．故選：A．【點睛】本題主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵．6．(2023秋·海南省直轄縣級單位·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，則下列關(guān)系正確的是（

）A．a(chǎn)<b<c B．c<a<b C．c<b<a D．b<a<c【答案】D【分析】利用勾股定理求解出每條邊的長度比較即可．【詳解】解：設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長為1，利用勾股定理得：a=3∴b<a<c，故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理求邊長．7．(2023春·江蘇南京·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖．每個小正方形的邊長為1，格點線段ED與CG交于點A，F(xiàn)H與DG交于點B，連接AB．有下列結(jié)論①CG⊥ED；②△ABD?△HBD；③∠CGH=30°；④AC=2.5；⑤∠EAB=∠EFB；⑥△ABD的面積為0.75．其中正確的結(jié)論有（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【答案】B【分析】先證明△EFD?△GMC，再逐個選項推理即可．【詳解】如圖，由圖可得，EF=GM=4，CM=DF=3∴△EFD?△GMCSAS，∴∠DEF=∠CGM∵∠CGE+∠CGM=90°，∴∠CGE+∠DEF=90°，∴∠EAG=90°，∴CG⊥ED，故①正確；∵S△EGD=∴DF=AG=3∴DF=AG=CH=3∴Rt△AGD?∴∠ADG=∠HDG，AD=DH=1∴△ABD?△HBDSAS∵Rt△CGM中，∴CG≠2CM，∴∠CGH≠30°，故③錯誤；∵CG=5，AG=3，∴AC=CG?AG=2，故④錯誤；連接BE，∵△ABD?△HBD∴AB=BF，∵AD=DH=1，ED=CG=5∴AE=EF=4，∵BE=BE，∴△ABE?△FBE∴∠EAB=∠EFB，故⑤正確；∵矩形DFGH，∴S△DBH∵△ABD?△HBDSAS∴S△DBH∴△ABD的面積為0.75，故⑥正確；綜上所述，正確的有①②⑤⑥；故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，掌握這些性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．8．(2023春·安徽·八年級?？计谥校┤鐖D，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，以A為圓心，AB為半徑畫弧，交最上方的網(wǎng)格線于點D，則CD的長為（

）A．3?1 B．3?5 C．5 【答案】B【分析】如圖，連接AD，利用勾股定理求得DE即可求解．【詳解】解：如圖，連接AD，則AD=AB=3，∵∠E=90°，AE=2，∴在Rt△AEDDE=A∴CD=EC?DE=3?5故選：B．【點睛】本題考查勾股定理，求出DE的長是解答的關(guān)鍵．9．(2023·全國·八年級專題練習(xí)）在正方形網(wǎng)格中，∠AOB的位置如圖所示，到∠AOB兩邊距離相等的格點應(yīng)是（）A．點M B．點N C．點P D．點Q【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理與網(wǎng)格得出AO=BO=MB=AM=10，證明△AMO≌△BMO【詳解】解：如圖，連接AM,BM,OM，根據(jù)網(wǎng)格得出AO=BO=MB=AM=10在△AMO與△BMO中AM=BM∴△AMO≌△BMOSSS，∴∠MOA=∠MOB，∴△AOM≌△BOM即OM平分∠AOB∴到∠AOB兩邊距離相等的格點應(yīng)是點M，故選A【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，網(wǎng)格與勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，證明OM平分∠AOB是解題的關(guān)鍵．10．(2023春·遼寧遼陽·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形網(wǎng)格中，每一小格的邊長為1．網(wǎng)格內(nèi)有△PAB，則∠PAB+∠PBA的度數(shù)是（

）A．30° B．45° C．50° D．60°【答案】B【分析】延長PC到點C，使得PC=AP，連接BC，根據(jù)勾股定理的逆定理可得△PCB為等腰直角三角形，即可求解．【詳解】解：延長AP到點C，使得PC=AP，連接BC，如下圖：由勾股定理得：PC=AP=12+22∴PC=BC，BP∴△PCB為等腰直角三角形，∴∠CPB=∠CBP=45°，∴∠PAB＋故選：B．【點睛】此題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用相關(guān)性質(zhì)，構(gòu)造出等腰直角三角形，正確進行求解．二、填空題11．(2023春·江蘇揚州·八年級?？计谥校┤鐖D，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，點A、B、C是小正方形的頂點，則∠ABC的度數(shù)為________°．【答案】45【分析】連接AC根據(jù)勾股定理求出AC，BC，AB，根據(jù)勾股定理逆定理得到∠ACB=90°，即可得到答案．【詳解】解：連接AC，由題意可得，BC=5，AC=5，∴AC2+B∴∠ACB=90°，∴∠ABC=90°故答案為45．【點睛】本題考查勾股定理與勾股定理逆定理及等腰三角形性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，解題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理求出AC，BC，AB，得到∠ACB=90°．12．(2023春·江蘇蘇州·八年級?？计谥校┤鐖D，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，△ABC各頂點均在網(wǎng)格的格點上，CD⊥AB于點D，則CD的長為_____．【答案】2【分析】由勾股定理可求AC,BC,AB的長，由勾股定理的逆定理可證∠ACB=90°，由面積法可求解．【詳解】解：由題意可得：AC=12+22∵AC∴AC∴∠ACB=90°，∵S△ABC∴5×2∴CD=2，故答案為：2．【點睛】本題考查了勾股定理及勾股定理逆定理，三角形的面積公式，證明∠ACB=90°是解題的關(guān)鍵．13．(2023春·四川成都·八年級成都外國語學(xué)校?？计谥校┤鐖D，數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為1，點B，C，D是4×4的正方形網(wǎng)格上的格點，以點A為圓心，AD長為半徑畫圓交數(shù)軸于P，Q兩點，則P點所表示的數(shù)為___________．（可以用含根號的式子表示）【答案】10【分析】先根據(jù)勾股定理求出AD的長，即為AP的長，再根據(jù)兩點間的距離公式便可求出OP的長，則可得出答案．【詳解】解：由勾股定理可得，AD=1則AP=AD=10∵點A表示的數(shù)是1，∴OP=10∴P點所表示的數(shù)為10+1故答案為：10+1【點睛】本題考查的是勾股定理及兩點間的距離公式，掌握兩點間的距離公式為：兩點間的距離＝較大的數(shù)?較小的數(shù)，是解題的關(guān)鍵．14．(2023春·湖北荊州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在5×5的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1個單位長度，點O，A，B，C在網(wǎng)格的交點（格點）上，點C0,3，在第三象限內(nèi)的格點上找一點D，使△ABD與△ABC全等，則點D【答案】?1,?1【分析】根據(jù)網(wǎng)格及勾股定理確定點D的位置，然后讀出點的坐標即可．【詳解】解：如圖所示，AD=BC=22+12=5∴△ABD≌△ABC，故點D?1,?1故答案為：?1,?1．【點睛】題目主要考查坐標與圖形，全等三角形的判定，勾股定理解三角形等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵．15．(2023春·福建寧德·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在8×8的方格紙中小正方形的邊長為1，△ABC的三個頂點都在小正方形的格點上，下列結(jié)論正確的有_____（填寫序號）．①△ABC的形狀是直角三角形；②△ABC的周長是35③點B到AC邊的距離是2；④若點D在格點上（不與A重合），且滿足S△BCD=S【答案】①②③【分析】根據(jù)勾股定理求出AC、BC、AB的長，即可判斷②，再根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷①，根據(jù)三角形面積公式即可判斷③和④．【詳解】由勾股定理得：AB=22+12=5，AC=32+42∴AB∴△ABC的形狀是直角三角形，且∠ABC=90°，故結(jié)論①正確；△ABC的周長是5+5+2設(shè)點B到AC邊的距離是h，由三角形面積公式得：12AC·?=∴h=AB?BCAC∵S∴D點到BC的距離等于A點到BC的距離，如圖所示，D點可以是直線m、n上的任意一點，又∵點D在格點上（不與A重合），∴這樣的D點有3+4=7個不同的位置，故結(jié)論④錯誤．故答案為：①②③．【點睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面積的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．16．(2023秋·福建廈門·八年級廈門外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在小正方形邊長為1的方格中，以線段AB、BC、CD為邊的三角形的面積為_____．【答案】10【分析】結(jié)合圖形根據(jù)勾股定理求得線段AB、BC、CD的長度，從而得出BC2+DC2＝AB2，推出以線段AB、BC、CD為邊的三角形是以線段AB為斜邊的直角三角形，進而根據(jù)直角三角形的面積公式求解即可．【詳解】解：在Rt△ABD中，AB=AD同理，BC=12+22=5∵（5）2+（22）2＝（13）2，即BC2+DC2＝AB2，∴以線段AB、BC、CD為邊的三角形是以線段AB為斜邊的直角三角形，∴該直角三角形的面積為：12BC×DC=12故答案為：10．【點睛】本題考查三角形的面積，解題的關(guān)鍵是由三角形三邊滿足BC17．(2023秋·重慶武隆·八年級?？计谥校┤鐖D，每個小正方形的邊長為1，在△ABC中，點D為AB的中點，則線段CD的長為________【答案】262##【分析】根據(jù)勾股定理列式求出AB、BC、AC，再利用勾股定理逆定理判斷出△ABC是直角三角形，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答即可．【詳解】解：根據(jù)勾股定理，AB=1BC=2AC=3∵AC∴△ABC是直角三角形，∵點D為AB的中點，∴CD=1故答案為：262【點睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，勾股定理，勾股定理逆定理的應(yīng)用，判斷出△ABC是直角三角形是解題的關(guān)鍵．18．(2023春·八年級課時練習(xí)）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C，D都在格點上，則∠DAB+∠CAB的度數(shù)是______度．【答案】45【分析】作C點關(guān)于AB的對稱點E，連接DE，由對稱性知ΔABC≌ΔABE，得到∠CAB＝∠BAE，再結(jié)合網(wǎng)格利用勾股定理得出AD，DE，【詳解】解：作C點關(guān)于AB的對稱點E，連接AE，DE，如圖所示：由對稱性知ΔABC≌Δ∴∠CAB＝∠BAE，在正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，在RtΔADG中，AG=3,DG=2，由勾股定理得：AD=在RtΔDEF中，DF=3,EF=2，由勾股定理得：ED=∴AD=DE，在RtΔABE中，AB=5,BE=1，由勾股定理得：AE=∴AD∴△AED是等腰直角三角形，∴∠DAE＝45°＝∠DAB＋∠BAE＝∠DAB＋∠CAB，故答案為：45．【點睛】本題考查網(wǎng)格中運用勾股定理、勾股逆定理及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理得出AD，DE，AE的長解答．19．(2023春·江蘇常州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，正方形網(wǎng)格中每一個小正方形的邊長為1，小正方形的頂點為格點，點A，B，C為格點，點D為AC與網(wǎng)格線的交點，則∠ADB?∠ABD=__________．【答案】45°##45度【分析】連接AE，BE，設(shè)AE與BD交于點F，根據(jù)勾股定理的逆定理先證明ΔABE是等腰直角三角形，從而可得∠BAE=45°，再根據(jù)題意可得∠AFD=∠ADF【詳解】解：如圖：連接AE，BE，設(shè)AE與BD交于點F，由題意得：ABAEEB∴AE=EB，BE∴Δ∴∠BAE=45°，∵BD//EC，∴∠ADB=∠ACE，∠AFD=∠AEC，∵AE=AC，∴∠AEC=∠ACE，∴∠AFD=∠ADF，∵∠AFD是ΔABF∴∠AFD?∠ABD=∠BAE=45°，∴∠ADB?∠ABD=45°，故答案為：45°．【點睛】本題考查了勾股定理、平行線的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線．20．(2023春·浙江舟山·八年級統(tǒng)考期末）在邊長為1的網(wǎng)格圖形中，以頂點都是格點的正方形ABCD的邊為斜邊，向外作四個全等的直角三角形，使四個直角頂點E，F(xiàn)，G，H都是格點，且四邊形EFGH為正方形，在圖1所示的格點圖形中，正方形ABCD的邊長為26，此時正方形EFGH的面積為52．寫出正方形EFGH的面積的所有可能值是__________（不包括52）．【答案】36或50【分析】設(shè)圖中四個全等的直角三角形的直角邊的長分別為a，b，正方形EFGH的面積＝FE2＝（a+b）2，只要能把長為a和b的線段在網(wǎng)格中畫出，并且線段的端點都在格點上即可，線段的端點在格點上時，還有兩種可能，畫出圖形即可．【詳解】解：設(shè)圖中四個全等的直角三角形的直角邊的長分別為a，b，則在Rt△AED中，不妨使ED＝b，AE＝a，AE2+ED2＝AD2＝（26）2＝26，∴a2+b2＝26，∵FE＝FA+AE＝a+b，∴正方形EFGH的面積＝FE2＝（a+b）2，∴只要能把長為a和b的線段在網(wǎng)格中畫出，并且線段的端點都在格點上即可，∴線段的端點在格點上時，還有兩種可能，①a＝5，b＝1時，如圖2，此時正方形E'F'G'H'的面積為36，②當a＝22，b＝32時，如圖3，

此時正方形E'F'G'H'的面積為50，故答案為：36或50．【點睛】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計、全等三角形的判定、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是清楚只要能把長為a和b的線段在網(wǎng)格中畫出，并且線段的端點都在格點上．三、解答題21．(2023春·吉林長春·八年級期末）問題背景：在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為5、10、13，求這個三角形的面積．佳佳同學(xué)在解答這道題時，先建立一個正方形網(wǎng)格(每個小正方形的邊長為1)，再在網(wǎng)格中畫出格點△ABC．(即△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處)．如圖①所示，這樣不需求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計算出它的面積．(1)請你將△ABC的面積直接填寫在橫線上___________；(2)在圖②中畫△DEF，使DE、EF、DF三邊的長分別為2、22、10(3)這個三角形的形狀是____________．【答案】(1)7(2)畫圖見解析(3)直角三角形【分析】（1）用一個長方形的面積分別減去三個三角形的面積可求出△ABC的面積；（2）利用勾股定理和網(wǎng)格特點分別畫出△DFE；（3）根據(jù)勾股定理的逆定理證明此三角形為直角三角形．【詳解】（1）解：△ABC的面積=3×3?1故答案為：72（2）如圖，△DEF即為所求作的三角形；（3）△DEF為直角三角形．理由：∵DE=2，EF=22，∴DE∴△DEF為直角三角形，故答案為：直角三角形．【點睛】本題考考查了勾股定理及勾股定理的逆定理的應(yīng)用，網(wǎng)格三角形面積的計算，畫網(wǎng)格三角形，熟練的利用勾股定理畫網(wǎng)格三角形是解本題的關(guān)鍵．22．(2023秋·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第四十七中學(xué)?？计谥校﹫D1、圖2分別是10×6的網(wǎng)格，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，各個小正方形的頂點叫做格點，A、B兩點在格點上，請在下面的網(wǎng)格中按要求分別畫圖，使得每個圖形的頂點均在格點上．(1)在圖1中畫一個△ABC，使△ABC為鈍角等腰三角形，且△ABC的面積為10；(2)在圖2中畫一個平行四邊形ABEF，使其周長為10+2(3)在圖2中連接BF，并直接寫出BF的長，BF=_________．【答案】(1)見詳解(2)見詳解(3)3【分析】（1）先根據(jù)面積，求出AB邊上的高，再畫出符合要求的圖形即可；（2）平行四邊形ABEF的周長為10+213，AB=5即可求出BE=13，依據(jù)勾股定理構(gòu)造斜邊為（3）依據(jù)勾股定理求解即可【詳解】（1）解：∵△ABC為鈍角等腰三角形，且△ABC的面積為10，AB=5∴AB邊上的高=2如圖所示（答案不唯一）BC=故△ABC為鈍角等腰三角形符合題意．（2）解：∵平行四邊形ABEF的周長為10+213，∴BE=AF=利用勾股定理構(gòu)造圖如下：如圖所示，BE=2故四邊形ABEF是平行四邊形，其周長為10+213（3）解：如下圖：如圖BF=3【點睛】此題主要考查了等腰直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理及作圖，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵．23．(2023春·福建漳州·八年級漳州三中?？茧A段練習(xí)）作圖．網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都是1，(1)在圖1網(wǎng)格中作一個直角三角形，使它的三邊長都是整數(shù)；(2)在圖2網(wǎng)格中作一個直角三角形，使它的三邊長都是無理數(shù)；(3)在圖3網(wǎng)格中作一個鈍角三角形，使它的面積等于6．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)題意作出相應(yīng)三角形即可；（2）根據(jù)題意作出相應(yīng)三角形即可；（3）根據(jù)題意作出相應(yīng)三角形即可．【詳解】（1）解：如圖所示，AB=4，BC=3，∴△ABC即為所求；（2）如圖所示：DE=32+32∵DE∴△DEF為直角三角形，符合題意；（3）如圖所示，NO=3且NO邊上的高為4，∴△MNO的面積為：12∴△MNO即為所求．【點睛】題目主要考查勾股定理與網(wǎng)格問題，理解題意，根據(jù)勾股定理作出相應(yīng)三角形是解題關(guān)鍵．24．(2023春·江西吉安·八年級統(tǒng)考期中）圖1、圖2是兩張形狀大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個小正方形的邊長均為1，線段AB的端點均在小正方形的頂點上，請僅用無刻度的直尺在網(wǎng)格內(nèi)完成下列作圖：(1)如圖1，請以線段AB為斜邊作等腰直角△ABC；(2)如圖2，請以線段AB為底邊作等腰△ABD，且使得腰長為有理數(shù)；【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）如圖所示，取格點C，利用勾股定理和勾股定理的逆定理證明△ABC是等腰直角三角形即可；（2）如圖證明CF是線段AB的垂直平分線，從而推出AD=BD，在利用勾股定理求出AD=BD=5【詳解】（1）解：如圖所示，△ABC即為所求；∵AC=BC=1∴AC∴△ABC是等腰直角三角形；（2）解：如圖所示，△ABD即為所求；由（1）得AC=BC，∵F是AB的中點，∴CF是線段AB的垂直平分線，∴AD=BD，設(shè)AD=BD=x，則DE=AE?AD=4?x，在Rt△BDE中，B∴22解得x=5∴AD=BD=5∴△ABD即為所求．【點睛】本題主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，線段垂直平分線的性質(zhì)與判定等，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．25．(2023春·浙江寧波·八年級校聯(lián)考期中）在如圖所示的6×6的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1個單位．(1)請你在圖1中畫一個以格點為頂點，面積為6個平方單位的等腰三角形；(2)請你在圖2中畫一個以格點為頂點，一條直角邊邊長為10的直角三角形；(3)請你在圖3中畫出△ABC的邊BC上的高AD，∠ACB的角平分線CE．【答案】(1)圖形見解析；(2)圖形見解析；(3)圖形見解析．【分析】（1）利用數(shù)形結(jié)合的思想，根據(jù)三角形面積確定底為4，高為3，再利用垂直平分線的性質(zhì)，即可作出等腰三角形；（2）利用數(shù)形結(jié)合的思想，根據(jù)勾股定理構(gòu)造直角邊邊長為10的直角三角形即可；（3）根據(jù)三角形的高和角平分線的定義，畫出圖形即可．【詳解】（1）解：如圖，△ABC即為所求作；（2）解：如圖，△ABC即為所求作；（3）解：線段AD、CE，即為所求作．【點睛】本題考查了作圖—設(shè)計作圖，等腰三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，三角形的高以及角平分線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．26．(2023春·山西運城·八年級統(tǒng)考期中）綜合與實踐【背景介紹】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力．如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個全等的直角三角形拼成，用它可以證明勾股定理，思路是大正方形的面積有兩種求法，一種是等于c2，另一種是等于四個直角三角形與一個小正方形的面積之和，即12ab×4+b?a2【方法運用】千百年來，人們對勾股定理的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者．向常春在2010年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法：把兩個全等的直角三角形△ABC和△DEA如圖2放置，其三邊長分別為a，b，c，∠BAC=∠DEA=90°，顯然BC⊥AD．(1)請用a，b，c分別表示出四邊形ABDC，梯形AEDC，△EBD的面積，再探究這三個圖形面積之間的關(guān)系，證明勾股定理a2(2)【方法遷移】請利用“雙求法”解決下面的問題：如圖3，小正方形邊長為1，連接小正方形的三個頂點，可得△ABC，則AB邊上的高為______．(3)如圖4，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AB=4，AC=5，BC=6，設(shè)BD=x，求x的值．【答案】(1)見解析(2)6(3)x=【分析】（1）表示出三個圖形的面積進行加減計算可證a2（2）計算出△ABC的面積，再根據(jù)三角形的面積公式即可求得AB邊上的高；（3）運用勾股定理在Rt△ABD和Rt△ADC中求出AD【詳解】（1）證明：∵S四邊形ABCD=12S∴1∴1∴a（2）S△ABCAB=2∵S∵?=即AB邊上的高是6（3）解：在Rt△ABDA∵BD+CD=BC=6，∴CD=BC?BD=6?x在Rt△ACDA∴16?x∴x=【點睛】此題主要考查了梯形，證明勾股定理，勾股定理的應(yīng)用，證明勾股定理常用的方法是利用面積證明，是解本題的關(guān)鍵．構(gòu)造出直角三角形DEF是解本題的難點．27．(2023春·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期中）作圖：(1)如圖1，△ABC在邊長為1的正方形網(wǎng)格中：①畫出△ABC關(guān)于直線l軸對稱的△DEF（其中D、E、F分別是A、B、C的對應(yīng)點）；②直接寫出△ABC中AB邊上的高=___________．(2)如圖2，在四邊形ABCD內(nèi)找一點P，使得點P到AB、BC的距離相等，并且點P到點A、D的距離也相等．（用直尺與圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．【答案】(1)①見解析，②19(2)見解析【分析】（1）①分別作出點A，B，C關(guān)于直線l的對稱點D、E、F，再順次連接D、E、F即可；②求得△ABC的面積，勾股定理求得AB的長，即可求解；（2）作∠ABC的角平分線，作線段AD的垂直平分線，交點即為點P．【詳解】（1）解：①如圖△DEF即為所求的三角形；②S△ABC由勾股定理可得：AB=3△ABC中AB邊上的高=2故答案為：19（2）作∠ABC的角平分線和線段AD的垂直平分線，其交點即為所求的點P，如下圖：【點睛】此題主要作圖?軸對稱變換，關(guān)鍵是正確確定組成圖形的關(guān)鍵點的對稱點位置及軸對稱變換的性質(zhì)，割補法求三角形的面積，勾股定理，也考查了角平分線與中垂線的尺規(guī)作圖與性質(zhì)．28．(2023春·江蘇無錫·八年級無錫市天一實驗學(xué)校?？计谥校┰凇鰽BC中，AB、BC、AC三邊的長分別為5，10，13，