數(shù)列求通項(xiàng)公式說課

一類數(shù)列通項(xiàng)公式的求法教案教學(xué)目的(1)使學(xué)生掌握由遞推關(guān)系式表示的數(shù)列通項(xiàng)公式的求法；(2)通過探求由遞推關(guān)系式表示的數(shù)列通項(xiàng)公式的過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、提出問題和解決問題的能力．教學(xué)過程一、引入新課師：通過前幾節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們看到表示數(shù)列的方法是多種多樣的．例如，用通項(xiàng)公式an=f(n)表示；用數(shù)列的前n項(xiàng)之和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系式表示；用初始項(xiàng)和遞推關(guān)系式表示．今天，我們來(lái)研究用初始項(xiàng)和遞推關(guān)系式表示的數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法．先看一個(gè)簡(jiǎn)單的例子．[例1]已知某數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，且an=2an-1＋1(n≥2)，求此數(shù)列的通項(xiàng)公式．題中an=2an-1＋1(n≥2)不是此數(shù)列的通項(xiàng)公式，它僅揭示了數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系，我們稱它為數(shù)列項(xiàng)的遞推關(guān)系式．我們已經(jīng)學(xué)過兩種重要數(shù)列：等差數(shù)列和等比數(shù)列．它們的通項(xiàng)公式以及有關(guān)性質(zhì)是我們所熟悉的．因此，我們可否設(shè)法通過變形轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，而使問題得到解決呢？(學(xué)生相互討論，教師巡視，啟發(fā)學(xué)生．當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解法后，請(qǐng)一學(xué)生回答．)生：在遞推公式兩邊同時(shí)加上1，得an＋1=2an-1＋2=2(an-1＋1)，即這說明數(shù)列{an＋1}是一個(gè)以a1＋1=2為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列．于是，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，得an＋1=2·2n-1=2n．∴an＝2n－1．師：回顧一下這個(gè)例題的解題過程：(1)該數(shù)列的通項(xiàng)公式是通過變形將其化為等比數(shù)列后求得的；(2)調(diào)整遞推關(guān)系，引入一個(gè)新的輔助數(shù)列{an＋1}．而這個(gè)輔助數(shù)列是我們所熟悉的等比數(shù)列．[引導(dǎo)學(xué)生自己歸納出解法特點(diǎn)，養(yǎng)成學(xué)生解題后思考的良好習(xí)慣．]師：如果我們將例1中遞推關(guān)系的系數(shù)稍加變化，你們能求出它的通項(xiàng)公式嗎？有的同時(shí)加上30；也有的同時(shí)加上50，……學(xué)生的親自實(shí)踐均未成功．在大部分學(xué)生試驗(yàn)都失敗的情況下教師加以啟發(fā)．)師：你們?cè)谶f推關(guān)系兩邊同時(shí)加上－75再試一試．(指定一位學(xué)生板演，此時(shí)學(xué)生感到意外的是不理解為什么要在兩邊加－75．)生：老師，為什么加上－75呢？如果遞推關(guān)系中的系數(shù)再變化，又該加什么呢？師：此題怎么想到了要加上－75呢？如果遞推關(guān)系式中的系數(shù)再變化又該怎么解？這就需要我們來(lái)尋求解這類問題的一般規(guī)律．上面問題的一般形式可以用例3來(lái)描述．[例3]已知數(shù)列{an}的項(xiàng)滿足其中c≠1．證明這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是師：由例1、例2的啟發(fā)，在遞推關(guān)系式兩邊加上一個(gè)適當(dāng)?shù)某?shù)y，使得數(shù)列{an＋y}構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，然后通過等比數(shù)列{an＋y}的通項(xiàng)公式來(lái)求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．問題的關(guān)鍵是怎樣確定常數(shù)y．下面我們用待定系數(shù)法來(lái)求出y的值．設(shè)在遞推關(guān)系式an+1＝can＋d①的兩邊同時(shí)加上常數(shù)y，使得an+1＋y＝c(an＋y)，②這時(shí)數(shù)列{an＋y}便是一個(gè)以a1＋y為首項(xiàng)，c為公比的等比數(shù)列．思考：當(dāng)c=1或d=0時(shí)，如何寫出它們的通項(xiàng)公式．(學(xué)生回答：略)師：前面我們掌握了以遞推關(guān)系式“an=can-1＋d”表示的數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，下面幾個(gè)不是這類題型的題目，你們能否將它們轉(zhuǎn)化為“an=can-1＋d”型后再求出它們的通項(xiàng)公式？二、課堂練習(xí)[解：由遞推關(guān)系式的特點(diǎn)，可用倒數(shù)代換：令bn=log2an，則上式轉(zhuǎn)化為“an+1=can＋d”型．]從而故三、小結(jié)通過這節(jié)課，我們看到由遞推關(guān)系式給出的數(shù)列通項(xiàng)公式的求法大致有兩種：(1)對(duì)于“an+1=can＋d”型．我們總可以通過等比數(shù)列{an＋y}來(lái)求出它的通項(xiàng)公式，其中(2)有些題可利用代換將其化為“an+1=can＋d”的形式來(lái)解決．四、布置作業(yè)1．已知數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=5，且an+1=3an－2an-1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．2．已知數(shù)列{an}滿足a1=a2=1，且an+1=an＋an-1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．3．設(shè)數(shù)列{an}的a1、a2為已知，且an+1=pan＋qan-1(p、q為常數(shù))，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．自我評(píng)述(1)遞推數(shù)列在現(xiàn)行中學(xué)教材中，所占篇幅極小(只通過三個(gè)習(xí)題反映這一內(nèi)容)．但其重要性卻不容忽視．首先它是給出數(shù)列的一種重要方法；其次，遞推數(shù)列的題目綜合了函數(shù)、恒等變形、方程、不等式、極限等中學(xué)數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)知識(shí)，涉及到數(shù)學(xué)中的換元法，待定系數(shù)法，數(shù)學(xué)歸納法等重要方法，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和推理論證等能力具有重要意義、此外，許多與自然數(shù)有關(guān)的題目常常可歸納為求某數(shù)列的通項(xiàng)公式的問題，而要求得該數(shù)列的通項(xiàng)公式往往又是很困難的，這時(shí)若能根據(jù)題設(shè)構(gòu)造出遞推關(guān)系，先把這個(gè)數(shù)列確定下來(lái)，然后再求出該遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可使問題得到解決．(2)教材上的題：已知數(shù)列{an}的項(xiàng)滿足其中c≠1．證明這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是這是以證明題的形式出現(xiàn)的，處理這類題目，不能僅僅滿足于證出結(jié)果．特別是某些在數(shù)學(xué)思想方法上有代表性的題目，要挖掘解題的思考過程以及規(guī)律被揭示的過程．(3)上好一節(jié)課，我們追求的是總體最佳效果．本節(jié)課安排了三個(gè)例題、三個(gè)課堂練習(xí)題以及三個(gè)課外作業(yè)題．一節(jié)課的素材雖然準(zhǔn)備得很充分，但若搭配布局