天津市南開區(qū)2023屆高三一模數學含解析

2022—2023學年度高三年級第二學期質量監(jiān)測(一)

數學試卷

一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1,已知全集U=R,集合A={1,2,3,4.5},5={X∣X<-∕X>2},則AC("B)=()

A.{1,2}B.{3,4,5}C.{2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}

【答案】A

【解析】

【分析】根據集合的補集和交集運算方法即可計算.

【詳解】條B={x∣TWx≤2},A={1,2,3,4,5},

.?.An(?B)={1,2}.

故選：A

2.設α∈R,則"。(。-3)>0"是“4>3''的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據二次不等式解法解出α(α-3)>0,再根據充分條件和必要條件的概念即可判斷.

【詳解】α(α-3)>O=α<O或a>3,

則”(α-3)>0；>3,α>3=α(α-3)>0,

所以“α(α-3)>0”是“α>3”的必要不充分條件.

故選：B.

【解析】

【分析】根據函數的奇偶性，結合函數值，以及函數的變化趨向，即可判斷選項.

【詳解】函數的定義域為R,滿足/(τ)=(-2x+sinx)"T=-f[x),

所以函數是奇函數，故排除B,

設g(x)=2x—sinx,(x>0),

g'(x)=2-cosx>0,所以g(x)在(0,+力)上單調遞增，g(x)>g(0)=0,

2TM>0，所以當χ>0時，y=(2x-Sinx)-2刊>0，故排除D；

2YX

當x→+8時，^→-=--→0,故排除A

22

故選：C

4.某高中隨機選取100名學生一次數學統(tǒng)測測試成績，分為6組：

[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),L85,90),L90,95],繪制了頻率分布直方圖如圖所示，則成績在區(qū)間

【答案】D

【解析】

【分析】運用所有頻率之和為1求得。的值，再運用頻率分布直方圖中頻數計算可得結果.

【詳解】；(0?05+0.06+a+0.03+0.01+0.01)×5=l,

a=0.04)

Λl00X(0.06+0.04+0.03)×5=65(名)，

故選：D.

5.已知直線y=代-1與圓V+(y-i)2=i6相交于AB兩點，則AB的長度可能為()

A.6B.7C.12D.14

【答案】B

【解析】

【分析】由直線過定點可知圓心到直線的最大距離，從而可判定相交弦的最小長度，而最大長度為直徑,

可得結果.

【詳解】由條件可知：直線丁="一1過定點圓心為(0,1),半徑r=4,

如下圖所示，則圓心到該直線的最大距離dmax=1-(-1)=2,而當該直線過圓心時，圓心到該直線的距

離最小為0：

由弦長公式可得：IA即=2√U一/式46同

故選：B

【點睛】本題考察直線與圓相交弦的取值范圍，屬于中檔題.關鍵在于找出圓心到過定點直線的距離范

圍，以及弦長公式要熟記.

6.已知e"=lg2,0=Ig(In2),C=Ing,則α,仇C的大小關系是()

A.c<h<aB.b<a<c

C.a<c<bD.h<c<a

【答案】C

【解析】

［分析］先求出α=?n(Ig2),再根據對數函數的單調性結合中間量分別比較c和Ac的大小即可.

【詳解】由e"=lg2,得α=ln(lg2),

因為ig2<igji6=;,

所以In(Ig2)<lng,即α<c,

因為J=ln?/e<ln2<1,所以一l<c=l∏L=-］n2<-L,

222

則Ig(In2)>lg；>lg2=一；,

乙√1V乙

所以Ig(In2)>ln^,即A>c,

所以α<cv∕>.

故選：C.

zr22

7.已知拋物線V=i6x上一點Am,“)到準線的距離為5,尸是雙曲線、-會=1的左焦點，尸是雙曲

線右支上的一動點，則IPFl+1PAl的最小值為()

【詳解】將〃X)的圖象向右平移?個單位長度后得到g(x)=COS[⑺-等+(J的圖象

16X2-24Λ+9,Λ≤1,

9.已知函數/(x)=<1,、則下列結論:

-/(%-l),x>l,

①/(")=9~,“wN*

②Vx∈(O,+Oo),/(尤)<L恒成立

③關于X的方程/(X)=加∈R)有三個不同的實根，則∣<m<l

④關于X的方程/(%)=9l^n(n∈N,)的所有根之和為1+；

其中正確結論有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【解析】

【分析】根據已知遞推可判定①正確；根據函數的變換規(guī)律，只需證明0<龍≤1時，/(x)<g恒成立,

作差構造函數，求導結合g(；)=0,可判定②錯誤；作出函數的圖形，結合圖象，可判定③正確；結合每

個區(qū)間的對稱軸，利用等差數列的求和公式，可判定④錯誤.

【詳解】由題意知，=《/[〃—(〃—1)]=9~,所以①正確；

又由上式知，要使得?xw(0,+8)J(X)<：恒成立，

只需滿足0<x≤l時，AX)<，恒成立，即16χ2-24x+9<',

XX

即16X3-24X2+9x—1<O恒成立,

令g(x)=16X3-24X2+9x-l,x∈(0,l],則g'(x)=48x2-48%+9,

13

令g'(x)=O,解得X=I或無=a，

當XW(O,；)時，g'(x)>0,g(x)單調遞增；

13

當xe(1/時，g'(x)<O,g(x)單調遞減；

當Xe(I,+oo)時，g'(x)>O,g(x)單調遞增，

1fO=0/?v?

當X=W時，函數g(x)取得極大值，極大值g1%r'?tz)L`所以②不正確；

4

作出函數/(x)的圖象，如圖所示，

由圖象可知，要使得方程/(x)=m(m∈R)有三個不同的實根，

則滿足/(2)<m<"l),即』<〃2<1,所以③正確；

由/(x)=Jf(XT)知，函數/(x)在(〃，〃+1)上的函數圖象可以由(〃一1，〃)上的圖象向右平移一個單

位長度，再將所有點的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍得到，

9

33

因為y=16Y-24x+9的對稱軸為x=“故/(x)=9°的兩根之和為萬，

同理可得：/(x)=9∣的兩個之和為］+2,?,/(x)=9""的兩個之和為耳+2(〃一1),

3333

故所有根之和為萬+(]+2)++[-+2(n-l)]=n2+-n,所以④不正確.

故選：B.

二、填空題：本大題共6個小題，每小題5分，共30分.請將答案填在題中橫線上.

2+4i

10.i是虛數單位，復數

3-P

【答案】l+i##i+l

【解析】

【分析】根據虛數的性質，先計算i3=j2.i=—i，然后代入原式，利用復數的四則運算法則計算求解.

【答案】也

2

【解析】

【分析】底面正方形的對角線即球的直徑，利用直三棱柱的性質及勾股定理可以求得gG的面積，從

而求體積.

【詳解】如圖所示，由題意知，球心在底面BCG4的中心。上，故BG為截面圓的直徑，

則g=2,BC=母,

取的中點連接AM,A0,CQ,

易知：底面BCC4中?！啊?B"。M=LBA=也，AM1BlCt,

22

則QW，面ABlG，即，AMO為直角三角形，由勾股定理可得：AM=y∣AO2-OM2=—,故

2

SARC=-×B.C.×AM=?

所以V=Sλ,?β叱?c?×BBI.=?-

故答案為：也

2

14.假設某市場供應的燈泡中，甲廠產品占60%,乙廠產品占40%,甲廠產品的合格率為90%,乙廠

產品的合格率為80%,在該市場中購買甲廠的兩個燈泡，則恰有一個是合格品的概率為；若

在該市場中隨機購買一個燈泡，則這個燈泡是合格品的概率為.

943

【答案】□.0.18##—□.0.86##—

5050

【解析】

【分析】根據全概率公式和條件概率公式計算即可.

【詳解】在該市場中購買甲廠的兩個燈泡，

恰有一個是合格品的概率為C；X0.9×().1=().18,

若在該市場中隨機購買一個燈泡，則這個燈泡是合格品的概率為0.6χ0.9+0.4χ0.8=0.86.

故答案為：0.18；0.86.

11（6L2+√3

=-l×l×----+1=-------.

I2J2

故答案為：1；ι1JL

2

三、解答題：（本大題共5個小題，共75分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

16.在ABC中，角AB,C所對的邊分別為α,4c,且4。=辰2=11,COSC=|.

（1）求SinA的值；

（2）求。的值；

（3）求COS（A—2C）的直

【答案】（1）亞

5

（2）5

⑶

25

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理邊化角及同角三角函數平方關系即可；

（2）由余弦定理即可解得；

（3）由條件及（1）根據余弦的差角及二倍角公式即可.

【小問1詳解】

34

由于COSC=—,0<C<π,則sinC.

因為4。=JUc,由正弦定理知4sinA=J5sinC，

則sinA=-^-si∏C---

45

【小問2詳解】

因為4a=&c，力=11，

2IIGi1621a

222a12β11

由余弦定理，得「a+b-c÷l-y^y3,

2ab22a2a5

即。2+6?！?5=0,解得。=5（負值舍去）.

【小問3詳解】

由（2）知所以0<A<二.

2

由(1)得cosA=Jl-sin?A=~~~

247

sin2C=2sinCcosC=—,cos2C=2cos~9C-1=-----

2525

所以CoS(A-2C)=cosAcos2C+sinAsin2C

√5242√5

____X____—_____

525^25

17.如圖，四棱錐P-ABCD中，平面B45，平面

ABCD,AB//CD,AB±AD,AB=3,AD=AP=CD=2,ZPAB=60,M是CO中點，N是PB

上一點.

(1)當PN=LPB時,

3

(i)證明：MN//平面PAD；

(ii)求直線PM與平面PA。所成角的正弦值；

4PN

(2)平面PAO與平面AMN夾角的余弦值為二，求一的值.

5PB

【答案】(1)(i)證明見解析；(ii)也

4

(2)28+24倔

一487

【解析】

【分析】(l)(i)以A為坐標原點，AB為X軸，A。為N軸，過點A作面ABC。的垂線為Z軸，建立

空間直角坐標系，求平面24。的法向量加和直線MN的方向向量，證得MN_L〃z，即可證明MN//平

面PAD；(ii)求直線PM的方向向量，由線面角的向量公式代入即可得出答案.

(2)設PN=rPB=(2f,0,一?),fe[0,l],求平面%。與平面AMN的法向量，由二面角的向量公式

PN

可求出/,即可求出一的值.

PB

【小問?詳解】

取玉=同-1),則〃=(逐(t—1),1—f,2r+l)是平面AMN的一個法向量，

/?|^-?|∣3-3∕+2∕+l∣4

則cos(m,n)=1?-f4=—/∣——=-,

'/MW2依-1)?+(IT)?+(2/+Ip5

解得”28+24屈或=28-24倔(舍去)

487487

所以PN28+24洞

PB-487

22

18.已知片，工是橢圓。：=+與=1僅＞?！?)的兩個焦點，過月(1,0)的直線/交C于P,Q兩點，當/

Q-b"

3

垂直于X軸時，且△「片鳥的面積是∣??

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)設橢圓。的左頂點為A,當/不與X軸重合時，直線AP交直線加:x=2a于點M,若直線加上存

在另一點N,使用M?6N=O,求證：AQ,N三點共線.

22

【答案】(1)工+匕=1

43

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)根據已知條件及橢圓的定義求得。、6的值即可.

(2)設直線尸。方程，聯立其與橢圓方程可得y+%,Xy2,聯立直線AP的方程與直線機方程可得點

M坐標，求出F2M的斜率，得到直線用N的斜率，求出直線F^N的方程，得到點N坐標，再證明心。=(w

即可.

【小問1詳解】

依題意知，c=l,所以4="+1.

3I33

因為耳耳的面積是5,即/x2x∣P6∣=/,解得IPgI=萬，

所以附I=J(Ij+4=(

從而2a=∣尸周+1尸閭=4,解得α=2,

22

所以從=3,橢圓的標準方程為土+二=1.

43

【小問2詳解】

由(1)知，A(-2,0).

依題意，設直線/方程為X=沖+1,P(xl,X),Q(Λ2,%)，

由’3Λ2+4)'2-12消去X得(3"+4)_/+6沖-9=0,

ill??—I6?/?篦—______?—?,9?,—______

則M十%一勺2，X%~??

3m+4z13m^+4Zl

直線AP的斜率％M=-?,直線AP的方程：＞=-J(X+2),

xl+2x1+2

(6、

而直線機：x=4,所以M4,旦τ.

I玉+2)

6-

直線F,M的斜率_%1+2_2J1,

MM=TT=/

而6M?EN=O,即KMJ?KN,

.X+2

所以直線8N的斜率々居N=-U一?

2y∣

因此直線五2N的方程：y=-缶2(χ-i),則點N∣4,—墨

3xl+6

所以直線AN的斜率心2乂%+2.

KAN

4-(-2)4y

又直線AQ的斜率G=音

%+2]_%+世+3_(/〃2+4).%+3/〃()'|+%)+9

則怎。-L=

4yl)my2+34y,4,y1(mj2+3)

-9(7√+4)-6m?3m

而(nr+4?y+3m(y+y)+9=++9=0,即&°

12l22>ιri1+43m2+4

所以A,。,N三點共線.

19.已知等差數列｛4｝的首項為1,前〃項和為S,,,單調遞增的等比數列｛〃,｝的首項為2,且滿足

b2+S2=7也+53=14.

(1)求｛4｝和也｝的通項公式；

(2)證明：3S,,=allSn+,-(an-1)S,,(n∈N*)；

〃TS1

⑶記也｝的前〃項和為證明：Zj-L<￡〃(〃+1)(〃+2).

z=ι?3

【答案】(1)an=n,bll=T

(2)證明見解析(3)證明見解析

【解析】

【分析】(1)根據條件，列出關于4,d的方程組，即可求解；

(2)根據數列的前〃項和S“與4的關系，集合等差數列的通項公式，即可證明;

(3)首先化簡并放縮不等式，4L<i(i+l)=g[i(i+l)(i+2)-(i—l)i(i+l)],再利用裂項相消求和,

?3u

即可證明.

【小問1詳解】

由題意，設等差數列｛%｝的公差為d，等比數列出｝的公比為夕(q≠l),

因為4+S?=7也+53=14,

2q+d+2=7,2q+d=5,

所以，即12

所以[2∕+3d+3=14,[2√+3t∕=ll.

解得q仁=(1,舍去)，或q="2,

所以=∏,bn=T.

【小問2詳解】

由(1)知S,=J——L,

n2

所以a“S"+「(an-T)S“=an(Sll+a,,+l)-?-l)ξ,

s+aa

=nnn+l=S"+"(〃+1)=3S..

【小問3詳解】

由(1)知騫=2?(l-2)=2"+|—9

所以獨="上空L空心3<班+])

,,+,

bi22''

=l[i?(∕+l)(∕?+2)-(Z-l)Z(∕+l)]

所以L<1[l?(l+l)(l+2)-(l-l)i(l+l)]+:[2?(2+l)(2+2)-(27)?2?(2+l)]

/=1Di33

+?+1)]

?Ts1

即Σ^V^L<￡〃(〃+1)(〃+2)

)=1bj3

20.已知函數/(x)=爐—2(α+l)x+24lnx(a∈R),

(1)當。=2時，求曲線y=∕(x)在點(1,/(1))處切線方程;

(2)若函數/(x)有極大值，試確定。的取值范圍；

?31121

(3)若存在%使得/(Xo)+(l∏Λo-2α)≤-x^-—6Z+2jx0+-47+g成立，求。的值.

045

【答案】(I)y+5=0

(2)(0,1)(l,+∞)

(3)a=-

5

【解析】

【分析】(1)利用導數的幾何意義，求曲線的切線方程;

(2)首先求函數的導數，/(x)=2(工一旭心),再討論α,判斷函數的單調性，討論函數的極值;

X

(3)不等式轉化為(∕-⑵叫-2α)2≤g,利用兩點間的距離的幾何意義，轉化為點到直線的距

離,求”的值