1.2 集合間的基本關(guān)系（七大題型）（解析版）

1．2集合間的基本關(guān)系【題型歸納目錄】題型一：寫出給定集合的子集、真子集以及個數(shù)問題題型二：韋恩圖及其應(yīng)用題型三：由集合間的關(guān)系求參數(shù)的范圍題型四：集合間的基本關(guān)系題型五：判斷兩集合是否相等題型六：根據(jù)兩集合相等求參數(shù)題型七：空集的性質(zhì)【知識點梳理】知識點一．集合與集合的關(guān)系（1）一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A為B的子集．記作：讀作：A包含于B（或B包含A）．圖示：（2）如果兩個集合所含的元素完全相同（），那么我們稱這兩個集合相等．記作：A讀作：A等于B．圖示：知識點詮釋：（1）“是的子集”的含義是：的任何一個元素都是的元素，即由任意的，能推出．（2）當不是的子集時，我們記作“（或）”，讀作：“不包含于”（或“不包含”）．知識點二．真子集若集合，存在元素，則稱集合A是集合B的真子集．記作：A?B（或BA）讀作：A真包含于B（或B真包含A）知識點三．空集不含有任何元素的集合稱為空集，記作：．規(guī)定：空集是任何集合的子集．結(jié)論：（1）（類比）（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．（3）若則（類比，則）（4）一般地，一個集合元素若為n個，則其子集數(shù)為2n個，其真子集數(shù)為2n-1個，特別地，空集的子集個數(shù)為1，真子集個數(shù)為0．【典型例題】題型一：寫出給定集合的子集、真子集以及個數(shù)問題例1．（2023·全國·高一課堂例題）集合的所有子集的元素的和等于．【答案】672【解析】集合的子集有以下情形；空集；含有元素1的子集有個；含有元素2的子集有個；含有元素3的子集有個；含有元素4的子集有個；含有元素5的子集有個；含有元素6的子集有個，所有子集的元素的和為．故答案為：672.例2．（2023·四川綿陽·高一四川省綿陽江油中學(xué)?？茧A段練習(xí)）滿足的集合的個數(shù)為．【答案】8【解析】∵∴集合中至少有2個元素，最多有5個元素.當集合中有2個元素時，集合可為：;當集合中有3個元素時，集合可為：,,;當集合中有4個元素時，集合可為：,,;當集合中有5個元素時，集合可為：;故答案為：8.例3．（2023·全國·高一假期作業(yè)）集合，則集合的子集的個數(shù)為.【答案】4【解析】由方程，解得或，即集合，所以集合的子集為，共有4個子集.故答案為：4.變式1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知集合，，則滿足條件的集合的個數(shù)為個.【答案】31【解析】集合，，由得,所以是的真子集故有，故答案為：31變式2．（2023·全國·高一課堂例題）已知集合，則集合A的所有非空子集的元素之和為．【答案】36【解析】集合A的非空子集分別是：，，，，，，．故所求和為為．故答案為：36.變式3．（2023·海南儋州·高一?？计谥校懗黾系乃凶蛹退恼孀蛹?【解析】集合的所有子集為；集合的所有真子集為.變式4．（2023·高一單元測試）已知集合，且；(1)求實數(shù)；(2)寫出的所有真子集.【解析】（1）因為，所以或，當，即時，不滿足集合元素的互異性；當時，解得（不滿足集合元素互異性舍去）或，所以當時，，綜上實數(shù).（2）由（1）得，所以的所有真子集為，，.變式5．（2023·高一課時練習(xí)）寫出下列集合的所有子集：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）由題得所有子集有..（2）由題得所有子集有（3）由題得所有子集有【方法技巧與總結(jié)】（分類討論是寫出所有子集的方法）1、分類討論是寫出所有子集的有效方法，一般按集合中元素個數(shù)的多少來劃分，遵循由少到多的原則，做到不重不漏．2、若集合A中有n個元素，則集合A有個子集，有個真子集，有個非空子集，有個非空真子集，該結(jié)論可在選擇題或填空題中直接使用．題型二：韋恩圖及其應(yīng)用例4．（2023·遼寧大連·高一階段練習(xí)）已知全集，則正確表示集合和關(guān)系的韋恩（）圖是（填序號）.【答案】②【解析】．由N＝{x|x2+x＝0}，得N＝{﹣1，0}．∵M＝{﹣1，0，1}，∴N?M，故答案為②．例5．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知集合U=R，則正確表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}關(guān)系的文氏圖是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】N={x|x2-x=0}={0，1}，M={-1，0，1}，所以N?M，所以選B.故選：B例6．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知集合，集合與的關(guān)系如圖所示，則集合可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由圖可得，由選項即可判斷.由圖可知：，，由選項可知：，故選：D.變式6．（2023·高一課時練習(xí)）已知集合U、S、T、F的關(guān)系如圖所示，則下列關(guān)系正確的是()①S∈U；②F?T；③S?T；④S?F；⑤S∈F；⑥F?U.A．①③ B．②③C．③④ D．③⑥【答案】D【解析】觀察Venn圖中集合U，S，T，F(xiàn)的關(guān)系，①S∈U，故錯誤；②F?T，故錯誤，③S?T，故正確；④S?F；故錯誤，⑤S∈F；故錯誤，⑥F?U故正確故選D．【方法技巧與總結(jié)】Venn是集合的又一種表示方法，使用方便，表達直觀，可迅速幫助我們分析問題、解決問題，但它不能作為嚴密的數(shù)學(xué)工具使用．題型三：由集合間的關(guān)系求參數(shù)的范圍例7．（2023·山西運城·高二?？茧A段練習(xí)）若集合，且，則實數(shù)a取值的集合為【答案】【解析】由，所以集合可以是，當時，則，解得；當時，可得；當時，可得；所以取值的集合為.故答案為：.例8．（2023·高一單元測試）已知，，且，則a的取值范圍為．【答案】【解析】由題意，集合，當時，即，解得，此時滿足，當時，要使得，則或，當時，可得，即，此時，滿足；當時，可得，即，此時，不滿足，綜上可知，實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.例9．（2023·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測）已知集合，若，則實數(shù)a的取值組成的集合是．【答案】【解析】集合，，當，即時，顯然滿足條件；當時，即，則，因為，所以或，即或，解得或，綜上，實數(shù)a的取值組成的集合是．故答案為：．變式7．（2023·高一課時練習(xí)）已知集合，，若,求實數(shù)m的取值范圍．【解析】解得，故.的取值范圍是．變式8．（2023·高一課時練習(xí)）設(shè)集合，，已知，求實數(shù)的取值范圍．【解析】當時，，即時，符合題意；當時，由，借助數(shù)軸表示如圖所示．則，解得.綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是或.變式9．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知集合.(1)若，求實數(shù)的取值范圍；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）①當時，即，解得，此時滿足；②當時，要使得，則滿足，解得，綜上可得，實數(shù)的取值范圍是.（2）由題意，要使得，則滿足，此時不等式組無解，所以實數(shù)不存在，即不存在實數(shù)使得.變式10．（2023·湖南懷化·高一校聯(lián)考期末）已知集合，.若，求實數(shù)的取值范圍.【解析】由，則.，為方程的解集.①若，則，或或，當時有兩個相等實根，即不合題意，同理，當時，符合題意；②若則，即，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為或【方法技巧與總結(jié)】（根據(jù)集合之間關(guān)系，求參數(shù)的值或范圍）1、求解此類問題通常是借助于數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法，將各個集合在數(shù)軸上表示出來，以形定數(shù)，同時還要注意驗證端點值，做到準確無誤，一般含“=”用實心點表示，不含“=”用空心點表示．2、涉及“A?B”或“A?B，且B≠?”的問題，一定要分A=?和A≠?兩種情況進行討論，其中A=?的情況容易被忽略，應(yīng)引起足夠的重視．題型四：集合間的基本關(guān)系例10．（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中校考開學(xué)考試）給出下列關(guān)系：①；②；③；④.其中正確的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】顯然，，①③正確；，②正確；在中，當時，，即有，因此，④正確，所以正確命題的個數(shù)是4.故選：D例11．（多選題）（2023·重慶·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）下列關(guān)系式正確的有（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】選項A：由集合相等易知，故A正確；選項B：，故B不正確；選項C：，故正確；選項D：空集是任何集合的子集，則，故D正確；故選：ACD.例12．（多選題）（2023·湖北咸寧·高一校考階段練習(xí)）已知，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】因為，，由于,所以,,由于所以為偶數(shù)，因此，故，所以B,D正確，AC錯誤.故選：BD變式11．（2023·高一課時練習(xí)）已知集合和集合，則兩個集合間的關(guān)系是（

）A． B．C． D．，互不包含【答案】D【解析】因為集合為函數(shù)中的取值集合，為數(shù)集，而為曲線上的點的集合，為點集，因此，與互不包含．故選：D變式12．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知集合，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，則，所以，，，即ABD正確；而，故C錯誤.故選：C.變式13．（2023·四川攀枝花·高一攀枝花市第三高級中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知集合，，，則A，B，C之間的關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意知，，，由此可知集合表示被3除余1的數(shù)再除以6的數(shù)的集合，集合C表示被6除余1的數(shù)再除以6的數(shù)的集合，故，故選：A變式14．（2023·高一課時練習(xí)）集合，集合，則下列說法正確的是（

）A．B．C．D．集合間沒有包含關(guān)系【答案】D【解析】由集合表示函數(shù)圖象上所有的點的集合，又由結(jié)合表示軸上方所有點的集合，因為，但，所以集合與之間沒有包含關(guān)系.故選：D.變式15．（多選題）（2023·高一單元測試）集合，，則下列關(guān)系錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】因為，表示整數(shù)，表示奇數(shù)，故，故選項A、B、D錯誤，選項C正確，故選：ABD.變式16．（多選題）（2023·安徽馬鞍山·高一安徽省馬鞍山市第二十二中學(xué)?？计谥校┮阎希瑒t以下關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】因為，所以，，故A正確；，故B錯誤；，故C錯誤，D正確.故選：AD.【方法技巧與總結(jié)】判斷兩個集合間的關(guān)系的關(guān)鍵在于：弄清兩個集合的元素的構(gòu)成，也就是弄清楚集合是由哪些元素組成的．這就需要把較為抽象的集合具體化（如用列舉法來表示集合）、形象化（用Venn圖，或數(shù)形集合表示）．題型五：判斷兩集合是否相等例13．（多選題）（2023·福建泉州·高一?？茧A段練習(xí)）下列各組中表示相同集合的是（

）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】對于A，集合M，P含有的元素相同，只是順序不同，由于集合的元素具有無序性，因此它們是相同集合，A是；對于B，因為，則，因此集合M，P都表示所有偶數(shù)組成的集合，B是；對于C，，即，C是；對于D，因為集合M的元素是實數(shù)，集合P中元素是有序?qū)崝?shù)對，因此集合M，P是不同集合，D不是.故選：ABC例14．（多選題）（2023·江西宜春·高一?？茧A段練習(xí)）下列各組集合不表示同一集合的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】對于A，集合都是單元素集，而元素與不同，A不是；對于B，集合的元素為有序?qū)崝?shù)對，而集合的元素為實數(shù)，B不是；對于C，集合都含有兩個元素4，5，只是排列順序不同，而集合的元素具有無序性，C是；對于D，集合有兩個元素1，2，而集合只有一個元素，D不是.故選：ABD例15．（多選題）（2023·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期中）方程組的解集以下表示正確的為（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】解方程組得，所以此方程組的解集的表示正確的是A，B.故選：AB.變式17．（多選題）（2023·遼寧營口·高一?？茧A段練習(xí)）下列選項中的兩個集合相等的有（

）.A．B．C．D．【答案】AC【解析】對于A：集合表示偶數(shù)集，集合也表示偶數(shù)集，所以，故A正確；對于B：，，所以，故B錯誤；對于C：，又，所以，即，所以，故C正確；對于D：集合為數(shù)集，集合為點集，所以，故D錯誤；故選：AC變式18．（多選題）（2023·甘肅金昌·高一永昌縣第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列各組中M，P表示不同集合的是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】BD【解析】對于A，由集合的無序性可知，對于B，與表示不同的點，故，對于C，，，故，對于D，集合M是二次函數(shù)的所有y因變量組成的集合，而集合P是二次函數(shù)圖象上所有點組成的集合，故.故選：BD題型六：根據(jù)兩集合相等求參數(shù)例16．（2023·福建泉州·高一?？茧A段練習(xí)）已知集合，集合，若，則.【答案】或【解析】由集合知，是方程的兩根，則，由，或解得或，則或.故答案為：或.例17．（2023·全國·高一課堂例題）設(shè)a，，若集合，則．【答案】0【解析】由易知，，由兩個集合相等定義可知若，得，經(jīng)驗證，符合題意；若，由于，則方程組無解，綜上可知，，，所以．故答案為：0.例18．（2023·云南普洱·高一?？茧A段練習(xí)）已知集合，．若，則值為．【答案】5【解析】依題意，，所以1和2為方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系得，解得，所以.故答案為：5變式19．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）（1）集合與相等集合．（填“是”或“不是”）（2）若集合，集合且，則，．【答案】是1【解析】（1）因為，所以或．又，所以．（2）由題意知，，故，∴，則，此時，由于，∴.變式20．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知集合，且下列三個關(guān)系：有且只有一個正確，則.【答案】521【解析】根據(jù)題意可知，①若正確，則，不合題意；②若正確，則，不合題意；③若正確，則，符合題意，所以.故答案為：變式21．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)，，，若，則．【答案】0或【解析】當時，，滿足，則；當時，，滿足，則；故答案為：0或題型七：空集的性質(zhì)例19．（多選題）（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）下列關(guān)系中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】對A：因為空集是任何非空集合的真子集，所以，故選項A正確；對B：因為空集沒有任何元素，所以錯誤，故選項B錯誤；對C：由子集的定義可得，故選項C正確；對D：因為不一定等于，所以錯誤，故選項D錯誤.故選：AC.例20．（多選題）（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列關(guān)系中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】選項A：空集中沒有元素，故A錯誤；選項B：中只有一個元素，故B正確；選項C，D：空集是任意集合的子集，故C，D正確故選：BCD例21．（多選題）（2023·湖北恩施·高一?？茧A段練習(xí)）給出下列關(guān)系，其中正確的選項是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】選項A中，顯然不是集合的元素，故A錯誤不是集合的元素，是的元素，是任何集合的子集∴選項，，都正確．故選：變式22．（2023·上海浦東新·高一上海市進才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）關(guān)于的不等式組的解集為，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【解析】由題意得：，所以．故答案為：.變式23．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）在下面的寫法中：①；②；③；④；⑤，錯誤的寫法的序號是．【答案】②③⑤【解析】①，空集是任何非空集合的真子集，①正確.②，集合與集合間是包含關(guān)系，不是“屬于”，元素與集合之間是屬于關(guān)系，②錯誤.③，空集沒有任何元素，③錯誤.④，根據(jù)集合元素的無序性可知④正確.⑤，集合與集合間是包含關(guān)系，不是“屬于”，元素與集合之間是屬于關(guān)系，⑤錯誤.故答案為：②③⑤變式24．（2023·高一課時練習(xí)）集合?和{0}的關(guān)系表示正確的有．(把正確的序號都填上)①{0}＝?；②{0}∈?；③{0}??；④?是{0}的真子集．【答案】④【解析】?沒有任何元素，而{0}中有一個元素，顯然?≠{0}，故①不對；又?是任何非空集合的真子集，故有?{0}，所以②③不對，④正確．故答案為：④變式25．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若是的真子集，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】若是的真子集，則不是空集，即有實數(shù)解，故，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為:變式26．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知集合M＝{x|2m＜x＜m＋1}，且M＝?，則實數(shù)m的取值范圍是.【答案】m≥1【解析】∵M＝?，∴2m≥m＋1，∴m≥1.故答案為m≥1【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·高一課時練習(xí)）設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．AC． D．A＝B【答案】D【解析】因為集合B中的元素，所以或，所以，因此A＝B.故選：D.2．（2023·高一單元測試）設(shè)集合，，滿足，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意如圖：有，所以.故選：A3．（2023·云南保山·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）滿足的集合的個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，滿足題意的集合有：，，，，，，，，共個.故選：B.4．（2023·江蘇南京·高一?？茧A段練習(xí)）已知，，若集合，則的值為（

）A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】B【解析】根據(jù)集合相等的條件及分式有意義可知，則，代入集合得，則，得因此故選：5．（2023·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期中）若集合的所有子集個數(shù)是，則的取值是（

）A． B． C． D．或【答案】D【解析】因為集合的所有子集個數(shù)是，則集合有且只有一個元素，①當時，即當時，則，合乎題意；②當時，即當時，則關(guān)于的方程只有一個實數(shù)解，則，解得.綜上所述，或.故選：D.6．（2023·高一課時練習(xí)）下列集合中表示同一集合的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】對于A，表示不同的點，故A不正確；對于B，集合與集合相同，故B正確；對于C，為點的集合，為數(shù)的集合，兩者不相同，故C不正確；對于D，為點的集合，為數(shù)的集合，兩者不相同，故D不正確.故選：B.7．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一統(tǒng)考期中）非空集合P滿足下列兩個條件：（1），（2）若元素，則，則集合P個數(shù)是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】由題得,若元素，則,可以推導(dǎo)出集合中1,5要同時存在,2,4要同時存在,3可存在于中也可以不存在,故可以考慮集合等價于由元素,,組成的集合，又,故本題相當于求集合的非空真子集個數(shù).即個.故選：C8．（2023·寧夏石嘴山·高一石嘴山市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合，對它的非空子集，可將中的每一個元素都乘以再求和（如，可求得和為：），則對的所有非空子集執(zhí)行上述求和操作，則這些和的總和是（

）A．18 B．16 C．-18 D．-16【答案】D【解析】由已知，因為，那么每個元素在集合的所有非空子集分別出現(xiàn)個，則對于的所有非空子集執(zhí)行乘以再求和的操作，則這些數(shù)的總和為：.故選：D.二、多選題9．（2023·高一課時練習(xí)）已知集合，若，則實數(shù)m的取值可以是（）A．0 B．2C．1 D．3【答案】AB【解析】由，，得或．所以實數(shù)m的取值可以是0，2，.故選：AB10．（2023·高一單元測試）若集合，則能使成立的a的值可能為（

）A．2 B．4 C．7 D．9【答案】ABC【解析】當，即時，；當，即時，，要使，須有，解得，即，綜上可知，，結(jié)合選項可知a的值可取2，4，7，故選：ABC11．（2023·福建泉州·高一校考階段練習(xí)）以下四個選項表述正確的有（

）A． B．?C． D．【答案】BC【解析】對選項A，由不是的元素，故A錯誤；對選項B，由規(guī)定：空集是任何集合的子集，則且存在，故?，B正確；對選項C，由子集概念，中的任意一個元素都是的元素，則，C正確；對選項D，由不是的元素，D錯誤.故選：BC.12．（2023·全國·高一課堂例題）當兩個集合中有一個集合為另一集合的子集時稱這兩個集合之間構(gòu)成“全食”，當兩個集合有公共元素，但互不為對方子集時稱這兩集合之間構(gòu)成“偏食”．對于集合，，若A與B構(gòu)成“全食”或構(gòu)成“偏食”，則a的取值可以是（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】ABD【解析】當時，，此時滿足，兩個集合之間構(gòu)成“全食”，符合條件．當時，，，當時，，滿足，構(gòu)成“全食”，此時；當時，，構(gòu)成“偏食”，此時．綜上所述，a的取值集合為．故選：ABD.三、填空題13．（2023·高一課時練習(xí)）下面六個關(guān)系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正確的是．【答案】①③⑤【解析】空集是任何集合的子集，故①正確；由元素與集合的關(guān)系可知，，故②錯誤，⑤正確；由集合與集合的關(guān)系可知，，故③正確，④⑥錯誤；故答案為：①③⑤14．（2023·上海黃浦·高一上海市光明中學(xué)校考期中）設(shè)集合，只有一個子集，則滿足要求的實數(shù)．【答案】0【解析】集合，只有一個子集，則，，所以方程無解，即．故答案為：0．15．（2023·河南鄭州