新教材人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊正弦定理和余弦定理常見題型 同步講義

8、正弦定理和余弦定理5種常見題型

【考點(diǎn)分析】

考點(diǎn)一：三角形中常用知識

①任意三角形的內(nèi)角和為180。；三條邊滿足：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.

②大邊對大角，小邊對小角，A>3oa>∕?OSinA>sinB,所以在AABC中

A>B是SinA>sinB的充要條件

③在銳角A4BC中，一定有SinA>cosB,sinB>cosC,sinC>cosA,即一個(gè)角的正弦值

一定大于另一個(gè)角的余弦值，從而可以得到銳角MBC中，一定有

SinA+sin3+sinC>cosA+cosB+cosC

考點(diǎn)二：正弦定理

在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即，一=_吼=-^=2R.

sinAsinBsinC

考點(diǎn)三：由正弦定理推出的幾個(gè)結(jié)論

①a:b:C=SinA:SinB:sinC.

②a=2∕?SinA,8=2RsinB,C=2/?sinB

③由等比性質(zhì)和圓的性質(zhì)可知，焉=磊=;i?=sinA二寰Sin*2凡其中,R為'Be

外接圓的半徑.

φA<B<≠?7<?<=?inA<sinB.

考點(diǎn)四：由三角形性質(zhì)和誘導(dǎo)公式導(dǎo)出的幾個(gè)結(jié)論

A+B+Cπ

①A+6+C=乃,

21

所以Sin(A+B)=sin(萬一C)=SinC,同理sin(8+C)=sinA,sin(A+C)=sinB,

CoS(A+8)=CoS(Zr-C)=-COSC,同理CoS(B+C)=-COSA,cos(λ+C)=-cosB,

tan(A+β)=tan(^?-C)=-tanC,同理1211(8+(7)=-12114,tan(Λ+C)=-tanB,

,同理Sin(WA+C)B

sin=COS-

2

考點(diǎn)五：三角形面積公式

SZiARC=IHι(∕z表示邊。上的高)；S0BC=]4bsinC=/。CSinA=呼CSin&

iccihc

由正弦定理可得SMBC=上MC=上?！ㄉ?絲

mc222RAR

11,

SAABC=IαZ?SinC=萬2RSinA?2RsinBSinC=2R-SinASinBsinC

海倫公式：SAABC-JP(P-NP-TP-C),其中p=g(α+8+C)

三角形面積和內(nèi)切圓半徑的關(guān)系：s?ABC=J(α+A+c)?r(其中廠為三角形內(nèi)切圓的半徑)

【題型目錄】

題型一：正弦定理運(yùn)用

題型二：余弦定理運(yùn)用

題型三：三角形面積公式運(yùn)用

題型四：正弦定理解答題

題型五：余弦定理解答題

【典型例題】

題型一：正弦定理運(yùn)用

【例1】在ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若SinA=；,〃=2&，b=3,,則

sinB=().

A.IB.顯C.受D.這

3423

【答案】B

【分析】由正弦定理直接求解即可.

【詳解】解：因?yàn)镾inA=”=2&，6=3,

31

由正弦定理‘?=一=得TnB一加inA一、五.

SmASlnBsιntf-—-

【例2】在AABC中，已知."+"二。=4,則其外接圓的直徑為______.

sinA+smB-smC

【答案】4

【分析】設(shè)，ASC外接圓半徑為R,利用正弦定理即可求解.

【詳解】設(shè),45C外接圓半徑為R,

b

由正弦定理可得:2R,

sinAsinBsinC

a+b-c_a+b-c

=2R=4

所以SinA+sin8—sinC+_b____c_

2R2R~2R

所以JUSC外接圓直徑為4,

【例3】在ΔABC中，角A,B,C所對的邊分別為。，b,c.若Q=J7,b=2,A=60o,

則SinB=

【答案】甲

【解析】由正弦定理可得，一=〃一,即,=二一,所以SinB=叵

SinASinB√3sinB7

^2-

【例4】在.ΛBC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若NA：/B：ZC=I:2：3,

則a：b：c=()

A.1：2：3B,3：2：1C.2：√3：1D.1：2

【答案】D

【分析】根據(jù)題意利用正弦定理進(jìn)行邊化角，結(jié)合三角形的內(nèi)角和為兀運(yùn)算求解.

【詳解】YNA:NB：ZC=I:2：3,且ZA+NB+NC=π,

NA=J,NB=NC=貝IJSinzA:sinNB:SinNC=L且:1=1:道:2，

63222

故a:6:C=SinZA:sinZ.B:sinZC=1:>/3:2.

[例5]ΔA3C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知bsi∏A+acosB=(),則

B=.

34

【答案】B=-

4

∩h

【解析】由正弦定理可得^—=——=2R,可得a=2Rsi∏A"=2Rsin8,所以

sinAsinB

2Hsin8sinA+2RsinAcosB=O,即sin3sin4+sinAcos3=0,因SinAW0,所以

3刀■

SinB+cosB=0,所以tanB=-I,EB∈(θ,?),所以3=]-

【例6】ΔABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為。、b、c.已知sin3+sinA(sinC-COSC)

=O,a=2,c=y/2,則C=

TC4TCTC

A.—B.—C.—D.—

12643

【答案】B

【解析】由SinB=Sin(A+C),可得Sin(A+C)+SinA(SinC-CoSe)=0,所以

SinACoSC+cosASinC+sinASinC-SinACOSC=O，即∞sAsinC+sinAsinC-O,

3ττ

因SinCW0，所以SinA+cosA=O,所以tanA=—1,因A∈(θ,τr),所以4=彳，由正

2√2

az>_________1Ijr

弦:定理何省——=^—.,i-M?Asi∏C=-.∏ΛJ.C=-

sinAsinC—26

2

【例7】在A4BC中，ZABC=90°,AB=4,BC=3,點(diǎn)。在線段AC上,若NBOC=45°,

則BD-,cosZABD=.

..-125/217

【r答AA案rf】-?,，一

510

ABBD

【解析】如圖，在A45D中，由正弦定理有:

SinAADBsinZBAC

AS=4,ZADB=-,

4

AC=YAB°+BC°=5，SinNBAC=空=3,COSNBAC=坐=3，所以BO=?^^

AC5AC55

cosNABD=CoS(NBDC-ZBAC)=cos—cosABAC+sin—sinNBAC=

4410

【例8】在Z?ΛBC中，角A,B,C的對邊分別為。，b,J若ZVLBC為銳角三角形，且

滿足sinB(l+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,則下列等式成立的是

A.a-2bB.b-2a

C.A=23D.3=2A

【答案】A

【解析】由題意知sin(A+C)+2sinBcosC=2sinAcosC+∞sAsinC,

所以2sinBcosC=sinAeoSC=>2sinB-smA=>2h=a,

45

【例9】AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為α,b,c,若CoSA=—，cosC=—,a=l,

513

貝IJb=.

【答案】—

13

45312

【解析】因?yàn)镃oSA=CoSC=二，且A,C為三角形的內(nèi)角，所以SinA=?,SinC='，

513513

sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=-,又因?yàn)?/p>

65

ab-QSinB21

-----=-----,所以b=---------二一.

sinAsinBsinA13

【例10】在銳角三角形ABC中，若SinA=2sin3sinC,則tanAtanBtanC的最小值

是.

【答案】8.

【解析】sinA=sin(B+C)=2sinSsinC=>tanB÷tanC=2tanBtanC,又

tanB+tanC

tanA=-----------------,因此

tanBtanC-l

tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC=tanA+2tanBtanC≥2y∣2tanAtanBtanCntanAtanBtanC>8,

即最小值為8.

【題型專練】

1.設(shè)AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為α",C.若α=6,sinB=LC=生，則。=

26-----

【答案】b=l

.?1

【解析】由sin5=!,C=J,可得3=工，所以A==.由正弦定理可得一=——，

2663SinAsinB

√3Z?

即方=T,所以匕=1

T2

2.在銳角AABC中，a,b,C分別是角A,B,C的對邊，R是△ABC的外接圓半徑，且

b+acosC+ccosA=2Λ∕2∕?>則3=()

πC兀「兀C2兀

A.-B.-C.-D.—

6433

【答案】B

【分析】利用正弦定理進(jìn)行化簡，結(jié)合兩角和差的正弦公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.

ah

【詳解】由正弦定理得-=2R

sinAsinBsinC9

則a=2RsinA,b=27?sinB,c=27?sinC,

由b+tzcosC+ccosA=2?∕2R，

得2RsinB+2RsinAcosC+2RsinCcosA=2丘R，

即sinB+sinAcosC÷sinCcosA=V∑

則sinB+sin(A+C)=JΣ,

即sinB+sin(萬一B)=Sin3+sinB=2sinB=-Jl,

則SinB=冬又在銳角MBC中

則吒,

3.在A43C,內(nèi)角A氏C所對的邊長分別為c.若αsin5cosC+csin3cosA='z?,

2

且1〉人，則N3=

π2"5兀

A.BC.—D.

~6?I3~6

【答案】A

【解析】由題意知SinASinBSinC+sinCsinBCOSA=—sin8，即

sinAsinC+sinCcosA=—

2

11jr

所以Sin(A+C)=—，所以sin6=-,因。＞匕，所以8=—

226

4.設(shè)AABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為〃力,c,若hcosC+ccosB=αsinA,則△ABC的形狀

為

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不確定

【答案】B

【解析】由題意知sinBcosC+sinCcosB=SinASinA,即sin(5+C)=sinAsinA

71

所以SinA=L所以A=一

2

5.ΔABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,。所對的邊分別為mb,c,QSinASin8+Zwos?A

=y∣2a,則2=

a

A.2√3B.2√2C.√3D.√2

【答案】D

【解析】由題意知sinAsinAsinB+sinBcos2A=y∣2sinA，即

sinβ(sin2A+cos2A)=V∑sinA

所以sin3=J5sinA，所以〃=J2夕，所以一二J5

a

6.ΔA8C的內(nèi)角A,8,C的對邊分別為。，b,c,若2Z?COSB=αcosC+CCOSA,則8=

TT

【答案】一

3

【解析】由題意知2sinBcos3=sinAcosC+sinCcosA,即

2sinBcosB=sin(A+C)=sinB

11

所以COS6=—,所以3=—

J23

7.ΔABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知C=60,b=娓,c=3,則A

【答案】4=75°

3=R5

h

【解析】由正弦定理可得，即百一sin8，所以SinB=注，所以B=45°,

sinCsinB—2

2

因A+3+C=",所以A=75。

8.在AABC中，角48,。所對的邊分別為。*,以若a=6,b=2,sinB+cosB=0,

則角A的大小為.

,幾

【答案】A=—

6

【解析】因?yàn)閟in3+cosB=J∑sin[5+?)=JΣ,B∈(θ,π),所以B+?=],所以

42

412

又因?yàn)樯蟗1

,所以sinAy∣2,所以SinA=-，因?yàn)棣?lt;6,所以A=一

sinAsinB26

^2^

題型二:余弦定理運(yùn)用

2

【例1】在AABC中，cosC=-,AC=4BC=3,則tanB=()

3f

A.√5B.2√5C.4√5D.8√5

【答案】C

(分析】設(shè)AB-c,BC-a,CA-b

2

c23=a2+b2-2αZ?CoSC=9+16-2x3χ4χ-=9.'.c=3

3

cosB=?"=??B

sjntanB=4逐

2ac9

【例2】在八48。中，COSg=@,

則AB=

25

A.40B.而D.2√5

【答案】A

C

【解析】I?1^COSC=2COS2--1=2×

2

所以A4=BC2+AC2-IBC-ACcosC=l+25-2×l×5×l-∣j=32,則AB=4√2,

2

【例3】ZkABC的內(nèi)角A、8、C的對邊分別為〃、b、c.已知α=J5^,c=2,CoSA=—，

3

則b=

A.?f2B.6C.2D.3

【答案】D

A22-Z72人2+4-52

【解析】CoSA=+c=所以勸2—3=8"即m2—助―3=0

Ibc2x2Xb3

故b=3或一/舍去).

【例4】在/BC中，a,h,C分別是角AB,C的對邊，c2+ab=a2+b2,則角C的正弦

值為()

A.立B.立C.?D.1

222

【答案】A

【分析】直接利用余弦定理計(jì)算得到cosC=g,再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系得到答案.

【詳解】c2+ab=a1+b^>cosC=—―=-Ξ^-=L,

Ifab2ab2

Ce(0,π),sin2C=√l-cos2C=^.

【例5】已知ABC的三邊之比為3:5:7,則最大角為()

2πC3兀-5πC7π

A.—B.—C.—D.—

34612

【答案】A

【分析】不妨設(shè)α<6<c,由條件結(jié)合余弦定理可求,‘ABC的最大角.

【詳解】不妨設(shè),ABC的三邊滿足α<b<c,因?yàn)锳BC的三邊之比為3:5:7,故可設(shè)α=3x,

則由中最大邊所對的角最大，可得的最大內(nèi)角為由余弦

A=5x,c=lx,JIBCAABCNC,

定理可得COSC==9W±25犬二49x,=」,又NC∈(O㈤所以NC=§,故最大

2ab2×3x×5x23

角為與，

【例6】在ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為“泊,C.已知

(3?-c)(?2÷c2-a2^=2abccQsC,貝IJtanA=()

A.√2B.2√2C.√3D.2√3

【答案】B

【分析】先利用余弦定理，然后利用正弦定理化簡即可.

【詳解】，因?yàn)镃OSA="十C一",得從+C2-∕=2"COS4

2hc

乂因?yàn)?3b—C乂。2+c2-a2)=2abccosC

得(3b-c)2bccosA=2昉CCoSC

整理得(3b-C)cosA=acosC

由正弦定理可得3sin6cOSA-SinCCoSA=SinAcosC

得3sinBcQSA=sinCcosA+sinΛcosC

得3sinBcosA=Sin(A+C)=Sin8,因?yàn)镾inBWO

所以cosA=-

3

所以tanA=啊A=J-C°s"=2√∑

cosAcosA

【例7】黃金三角形有兩種，一種是頂角為36。的等腰三角形，另一種是頂角為108。的等腰

三角形.其中頂角為36。的等腰三角形的底與腰之比為更二?,這種黃金三角形被認(rèn)為是最

2

美的三角形.根據(jù)這些信息，則cos36。=()

Ay∣5-1r?/?+?p3+小小3-yf5

4488

【答案】B

【分析】由已知條件，根據(jù)余弦定理求解即可.

【詳解】在4/WC中，NA=36。，AB=AC,—=.

AB2

設(shè)AB=2x,BC=(6-I)X,

2222

則W(2X)+(2X)-[(√5-1)X]4√÷4√-(6-2√5)x_^+i

cos?o——^一

2?2x?2xSx24

【例8】設(shè)AAbC的內(nèi)角A,5,C所對邊的長分別為。Ac.若b+c=24,則

3sinA=5sinB,則角C=.

【答案】4

【分析】由3sinA=5sin5,可得3。=5),因Z?+C=〃，設(shè)〃=3,則。=5,c=7,結(jié)

22

??^.τffl-CT+?-C曰C25÷9-491切4sC2π

合余弦ΛL理：cosC=----------------，可得COSC=-------二—1，解侍：C=--

2ab2×5×323

【例9】在銳角_ABC中，角A,B,C所對應(yīng)的邊分別為。，b,c,若/=∕√+3c,

則ZB=；若SinA=2sinBsinC,則tanAtanBtan。的最小值.

π1

【答案】；##18

66

【分析】利用余弦定理可求B=J,利用三角變換公式結(jié)合基本不等式可求最小值.

6

【詳解】因?yàn)?+=+y∕3ac,故cosB=Q+°——=,

2ac2

而3為三角形內(nèi)角，故8=3

0

若SinA=2sin8sinC,則sin(B+C)=2sinBsinC,

故sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,

因?yàn)锽,C為銳角三角形內(nèi)角，故CoSBCOSeW0,

所以tan3+tanC=2tanBtanC,

而tanAtanBtanC=-tan(B÷C)tanBtanC

2

?2(tanBtanC)=2rangtanC_i+?ψ2?

tanBtanC-I?tanBtanC-I)

因?yàn)?,C為銳角三角形內(nèi)角，ta∏β>0,tanC>0

故2tan8tanC=tanβ+tanC>2JtanBtanC,

故tanBtanC≥l,當(dāng)且僅當(dāng)tanB=tanC=1時(shí)等號成立，

而此時(shí),,AB。為等腰直角三角形，與題設(shè)矛盾，故tanBtanC>l,

由基本不等式可得tanBtanC-I+-------!---------≥2,當(dāng)且僅當(dāng)UuiβtanC=2等號成立，

tanBtanC-I

故tanAtanBtanC的最小值為8,

【題型專練】

1.在ABe中，角4、8、C所對的邊分別為a、b、c,若a=l,b=6,c=幣,則8=.

【答案】95TT##150。

O

【分析】利用余弦定理運(yùn)算求解.

【詳解】??.gsB=f"+網(wǎng)Y⑺=_昱，且Be(Ol),

2ac2×1×√32

??.3="

6

2.在.ABCΦ,角A,B,C的對邊分別是C,sinC+cosC=l-sin^.若a?+b2=4(α+b)-8,

則邊C的值為.

【答案】√7+lftttl+√7

cCI

【分析】利用二倍角公式化簡已知等式得到SinI?-cos?∣?=g,平方后可求得SinC,結(jié)合C的

范圍可得COSC；將已知等式整理為(α-2)2+(6-2)2=0,由此可得。力，代入余弦定理中即

可求得結(jié)果.

rrrrr

【詳解】由SinC+cosC=I-Sin-得：2sin-cos—+l-2sin2-=1-sin-,

22222

.C2

.,.2osm-cosC----2sm—。+si.n—c=0n,

2222

C∈(0,π),.,.y,.?.si∏y>0,.,.2cosy-2si∏y+1=0,

CQ1(CC?CC1

即Sincos—=1,.?.sincos—=l-2sin-cos—=1-sinC=",

222{22)224

._3,.CC?Cr兀兀](π)

.?.sinC=-,乂Sln——cos—>0,..y∈—,!∣1∣JC∈—,π,

4222142y∕?2J

:.cosC=-√l-sin2C=--?，

2222

山/+∕=4(α+b)-8得：β-467÷4+?-4∕7+4=(β-2)+(?-2)=0,

必一2=0乙,

,?，解得：a=2,b=2,

[?-2=n0

由余弦定理得：C2=β2+?2-2α?cosC=8-8×--=8+2√7=(√7+1)",

\7

/.c=√7+1.

3.在ZVRC中，B=四,BC邊上的高等于JBCJBCOSA=()

43

(A)亞(B)巫(C)一巫(D)一通

10101010

【答案】C

【解析】設(shè)BC邊上的高為A。，則3C=3AT>,所以AC="B*775E7=J5AD，

AB二垃AD.由余弦定理，知

6+4。2—叱

24)2+5AD2-MD?√10

COSA=故選C.

2ABAC2×√2AO×√5AT>?

4.在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為α,6,c.若a=不,b=2,A=60o,則SinB=

【答案】叵,3

7

【解析】由正弦定理得;=當(dāng)4,所以SinB=gχsin工=畫，

bSinB√737

由余弦定理得/-2bccosA,;.7=4+c'-2c,;.C=3（負(fù)值舍去）.

5.在一ABC中，已知5=120°,AC≈√19.AB=2,則BC=（）

A.1B.√2C.√5D.3

【答案】D

［分析】設(shè)AB-c,AC-b,BC-a,

結(jié)合余弦定理：/=〃+c?-2ΩCCOS8可得：19=α2+4-2×Λ×COS120>

即：a2+2iz-15=0>解得：a=3（α=-5舍去），

故5C=3.

6.己知銳角AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為α,"c,23cos2A+cos2A=0,α=7,

c=6,則力=

A.10B.9C.8D.5

【答案】D

【分析】由題意得23cos2A+2cos2A—1=0,即25cos2A—1=0,因A4BC為銳角三角

1b2+c2-a21A2+36-49

形，所以CoSA==,結(jié)合余弦定理：cosA=,可得A=）十一」

52bc52×6×b

13

即：5〃一12人一45=（），解得：b=5（6=一（舍去）

7.設(shè)AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為α,上c,且α=2,cosC=--,3sinA=2sinB,

4

貝!∣c=.

【答案】4

【分析】由3sinA=2sinB，可得3。=2），所以人=3,結(jié)合余弦定理：cosC=幺三~—

2ab

14+9-C2

可得一L="十"，解得：c=4

42×2×3

題型三：三角形面積公式運(yùn)用

【例1】記ABC的內(nèi)角A,8,C的對邊分別為α力,c,面積為6，8=60。，/+C2=3QC,

貝IJb=.

【答案】2√2

【分析】由題意，SABC=MSinB=4C=G

所以QC=4,+C2=12,

所以=。2+c?-2αccosB=12-2χ4χg=8,解得b=2j∑（負(fù)值舍去）.

JTTT

【例2】AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，h,。，已知b=2,B=-,C=

64

則AABC的面積為

A.2+2√3B.√3+lC.2√3-2D.√3-l

【答案】B

【詳解】試題分析：根據(jù)正弦定理，士=」~,解得c=<=—T,并且

心爵曲,?爛712

血二I=這土史所以Sd=L加血<=J5-1

1242

TT

【例3】ABC的內(nèi)角4,5,。的對邊分別為。,4。.若5=6,〃=2。,6=§,貝LABC的面

積為.

【答案】6√3

【分析】由余弦定理得）2=/+,2一2αccosB,所以（2C）2+C2-2X2CXCX[=62,

2

即∕=12,解得c=2JJ,c=—2（舍去），所以α=2c=4??Q,

=LaCSinB='χ40x2Gx^?=e?/?.

222

【例4】已知：ABC的角A,B,C的對邊分別為“，b,c,且q：b：c=2:3:4,則ΛBC的

面積為（）

?等B.叵b2c

12?

【答案】B

【分析】利用余弦定理求出COSC,根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出SinC,最后根據(jù)面積

公式計(jì)算可得.

【詳解】解：因?yàn)楱?b:e=因?yàn)?,令a=2k,b=3k,c=4k（?>0）,

4?2+9?2-16?2_1

由余弦定理可得cosC=

2ab2x2x3&2-^-4

2

所以SinC=Jl-COS°C=2^5,所以SΛAIIC=~×absinC=-×-bX=.

4MC223412

【例5］已知△ABC9AB=AC=4,BC=2,點(diǎn)。為AB延長線上一點(diǎn)，BD=I,連結(jié)CD,則4BDC

的面積是,cosZBDC=.

【答案】姮①

24

【解析】取8C中點(diǎn)E,由題意：AELBC,

BE?1

△ABE中，COSZABC=——=一，ΛcosZDBC=一一,sinZDBC=

AB44

???SΛBCD=∣×BD×BC×sinNDBC=半.

,/ZABC=2NBDC，/.cosZABC=cos2NBDC=2cos2ZBDC-I=L

4

解得COSN5。C=?或COSNBDC=-巫(舍去).

44

綜上可得，a8CO面積為巫，COSNBDC=叵.

24

[例6】?A5C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為α,b,c,若?Λ8C的面積為一+“一C-

4

則C=

兀兀兀兀

A.—B.-C.-D.一

2346

【答案】C

[2>22

【解析】由題可知SMBC=^a加inC==+：—C,所以M+〃一,2=2。加E(3，

由余弦定理/+〃一￠2=24反OSC，得SinC=CoSC，因?yàn)镃∈(0,τr),所以C=：.

【例7】△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

加inC+CSinJB=4"sinBsinC,b2+c2-a2=Sy則△ABC的面積為.

【答案】巫.

3

［分析］因?yàn)閆?sinC+csinB=4osinBsinC,

結(jié)合正弦定理可得SinBsinC+SinCsiaB=4sinAsinBsinC?

可得sinΛ=］,因?yàn)椤?+/一42=8，

2

結(jié)合余弦定理儲=序+H一勖CCQSA,可得2∕?CCOSA=8，

所以A為銳角，且COSA=走，從而求得歷=如叵，

23

所以ΔABC的面積為S=L匕csinΛ=!?更??!?=2^,故答案是友.

223233

TT

【例8】在一ΛfiC中，內(nèi)角4,B,C所對的邊分別為4,6,c.點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，AD=I,B=-,

且ASC的面積為也，則C=()

2

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】利用余弦定理得到片+4°2_2a=4,再由三角形面積公式得到幽=2,由此可解得

c=l.

【詳解】因?yàn)锽=J,由余弦定理得C?+⑶2-2CXgCOSZ=1,g∣Ja2+4c2-2ac=4,

3[2)23

乂SΛASC=LaeSinB=ac=，得QC=2，

LΛΛD^242

所以標(biāo)+4C2-2αc=4=2αc>即4c?-44c+α2=0，

故(2c-α)2=0,則α=2c,

所以2C2=2,故C=L

【題型專練】_

1.在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為α,"c,已知△鉆C的面積為3JE"—c=2,

CoSA=-L,則α的值為.

4

【答案】√34

【分析】詳解：由CoSA=-；，可得SinA=JI—cos?A=巫,因=1~csinA,

?22

所以J^CX巫=3岳，所以bc=12,由余弦定理可得

22

.b2+c2-a1{b-cY+2bc-aλ4+24-/?，解得a=V34

cosA=---------------=----------------------=---------------

2bc2bc244

2.鈍角三角形ABC的面積是$A6=l,BC=J5,則AC=

A.5B.√5C.2D.1

【答案】B

【分析】因SM8c=gacsinS=g,所以gχlχJ∑χsinB=g,所以SinB=巫，所以

3τt

?一，

44

當(dāng)8=工時(shí)，COSB=Q^c二左=上2二?t=Y2,解得h=l,此時(shí)A=工，不合題意；

42ac2×1×√222

j≡L=毀5=一日‘解得什5此時(shí)AC=技

3.在AABC中，a,h,C分別為內(nèi)角A,B,C所對的邊長，若/=

(α-?)2+6,則AABC的面積是

9√3C3√3

A.3B.C.----D.3√3

F2

【答案】C

【分析】由余弦定理可得cosC=di=(IY*力-c-c~—6+一c~1

2ab2ab2ab2

解得=6

△6χ旦邁

因SC

SMi2222

C_R同α+2-+c

4.在MBC中,ZA=6()°,b=l,λj)

QMBC_YJ'sinA+2sinβ+sinC

r26√3r8√3

V-Z?-----------D.2√3

'浮33

【答案】A

^-c—?/?.,.c=4

SΔABCfCSinA

4

利用余弦定理得到:cr=b2+c2-2?ccosA=l+16-4=13.?.α=>A3

b

正弦定理：—

sinAsinBsinC

a+2h+c_a_√132√39

故SinA+2SinjB+sinCsinAy∣33

T

5.在AABC中，若SABC=(s2+c2-42),則A=()

A.90oB.60°C.45oD.30o

【答案】C

【分析】利用面積公式及余弦定理變形計(jì)算即可.

222

【詳解】SABC^^(b+c-a)=hcsinA

222

Λ≈.b+c-a..

得CoSA=----------------=sinA,

Ibc

即tanA=l,又A?0,180°),

.?.4=45°

6.已知_ABC中，設(shè)角A、B、C所對的邊分別為。、b、c,