2023年廣東省深圳市福田區(qū)中考二模 數(shù)學(xué) 試卷（學(xué)生版+解析版）

2023年廣東省深圳市福田區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷

一、選擇題

1.如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)的相反數(shù)是（）

力JIIIIII?

-3-2-10123

A-3B.--C.2D.3

3

2.如圖，是由相同大小的五個(gè)小正方體組成的立體模型，它的俯視圖是（

3.位于深圳市光明中心區(qū)科學(xué)公園的深圳科技館占地面積為660000?，66000用科學(xué)記數(shù)法可以表示成

A.66XIO3B.6.6,IO4C.6.6XIO3D.0.66XIO5

X-1>1

4.不等式組〈解集是（）

-Ix<2

A.x>()B.x>2C.X≥-lD.x≤-l

5.下列計(jì)算正確的是（)

2β1241236

A.a?a=?B./÷π=aC.(-2β)=-8tzD.Cl+。—Cl

6.觀察下列尺規(guī)作圖痕跡，其中所作線段AD為JLBC的角平分線的是（)

7.為響應(yīng)“雙減”政策,進(jìn)一步落實(shí)“立德樹(shù)人、五育并舉”的思想主張，深圳某學(xué)校積極推進(jìn)學(xué)生綜合

素質(zhì)評(píng)價(jià)改革，小芳在本學(xué)期德、智、體、美、勞的評(píng)價(jià)得分如圖所示，其各項(xiàng)的得分分別為9,8,10,

8,7,則該同學(xué)這五項(xiàng)評(píng)價(jià)得分的眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)分別為（）

智

5、

/3、、、、

德二之：/、'、體

A.8,8,8B.7,8,7.8C.8,8,8.7D.8,8,8.4

8.小明用地理中所學(xué)的等高線的知識(shí)在某地進(jìn)行野外考察，他根據(jù)當(dāng)?shù)氐匦萎?huà)出了“等高線示意圖”，如

圖所示（注：若某地在等高線上，則其海拔就是其所在等高線的數(shù)值；若不在等高線上，則其海拔在相鄰兩

條等高線的數(shù)值范圍內(nèi)），若點(diǎn)A,B,C三點(diǎn)均在相應(yīng)的等高線上，且三點(diǎn)在同一直線上，則——的值為

9.我國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中有這樣一題，原文是：今有共買物，人出七，盈二；人出六，不足

三.問(wèn)人數(shù)、物價(jià)各幾何？意思是：今有人合伙購(gòu)物，每人出七錢，會(huì)多二錢；每人出六錢，又差三錢，問(wèn)

人數(shù)、貨物總價(jià)各多少？設(shè)人數(shù)為X人，貨物總價(jià)為），錢，可列方程組為（）

y=lx-2y=7冗+27x=y-2Jx=y-2

y=6x+3y=6x-3y=6x-3γ=6x+3

10.如圖，在RLA5。中，ZC=90,點(diǎn)。在斜邊AB上，以8。為直徑的，。經(jīng)過(guò)邊AC上的點(diǎn)E連

接班，且BE平分NABC,若｛。的半徑為3,4）=2,則線段BC的長(zhǎng)為（）

40249

A.——B.8C.D.

3T5

二、填空題

11.因式分解：ai-a=.

12.一個(gè)不透明的袋中裝有2個(gè)紅球和4個(gè)黃球，這些球除顏色外完全相同.從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸

到黃球的概率是

13.某城市幾條道路的位置關(guān)系如圖所示，道路ABCD,道路C。與。尸的夾角NCZ)/=54°.城市規(guī)

劃部門(mén)想新修一條道路BE，要求BE=EF，則/3的度數(shù)為

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將菱形ABC。向右平移一定距離后，頂點(diǎn)C,0恰好均落在反比例函數(shù)

y=-(k≠Q(mào),x>0)的圖象上，其中點(diǎn)A(-6,6),B(-3,2),且A?！╔軸，則Z=

X

15.如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為8,對(duì)角線AC、BO相交于點(diǎn)。，點(diǎn)M,N分別在邊3C、CDk,且

ZMON=QOo,連接MN交OC于P,若BM=2,則OP?OC=.

三、解答題

16.計(jì)算：—士-√12-(-2023)°+6tan30°.

I2

17.先化簡(jiǎn)，再求值：一÷W--其中q=3.

α~+4α+4CT—44+2

18.“讀書(shū)讓生活更加多彩，閱讀讓城市更有溫度”.近年來(lái)，作為深圳中心城區(qū)和“首善之區(qū)”的福田

各學(xué)校積極打造“閱讀永恒、書(shū)香滿溢”的愛(ài)閱之校.為了解今年福田區(qū)15000名初三學(xué)生的每天平均課

外閱讀時(shí)間，從中隨機(jī)抽取若干名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表，請(qǐng)根

據(jù)圖表中所給的信息，解答下列問(wèn)題：

組別時(shí)間（小時(shí)）頻數(shù)（人數(shù)）頻率

A0≤rV0.5400.1

B0.5≤r<la0.3

Cl≤r<1.5140b

D1.5≤r<2800.2

E2≤r<2,5200.05

（1）表中的α=,b=；

（2）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；

（3）結(jié)合調(diào)查信息，請(qǐng)你估計(jì)今年該區(qū)初三學(xué)生中，每天課外閱讀小于1小時(shí)的學(xué)生約有多少人？

19.為迎接“五一”國(guó)際勞動(dòng)節(jié)，某市政府準(zhǔn)備購(gòu)買紫花風(fēng)和洋紅風(fēng)兩種觀花樹(shù)苗，用來(lái)美化某大道沿路兩

側(cè)景觀，在購(gòu)買時(shí)發(fā)現(xiàn)，紫花風(fēng)樹(shù)苗的單價(jià)比洋紅風(fēng)樹(shù)苗的單價(jià)高了50%,用1800元購(gòu)買紫花風(fēng)樹(shù)苗的棵

數(shù)比用1800元購(gòu)買洋紅風(fēng)樹(shù)苗的棵數(shù)少10棵.

（1）問(wèn)紫花風(fēng)、洋紅風(fēng)兩種樹(shù)苗的單價(jià)各是多少元？

（2）現(xiàn)需要購(gòu)買紫花風(fēng)、洋紅風(fēng)兩種樹(shù)苗共120棵，且購(gòu)買的總費(fèi)用不超過(guò)8700元，求至少需要購(gòu)買多

少棵洋紅風(fēng)樹(shù)苗？

20.如圖，已知拋物線y=a（x-爐+h與X軸交于點(diǎn)A（-2,0）和點(diǎn)8,與y軸交于點(diǎn)C（0,4）.

（1）求該拋物線表達(dá)式；

（2）點(diǎn)E是線段BC中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)與拋物線交于點(diǎn)。，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

21.【綜合與實(shí)踐】我國(guó)海域的島嶼資源相當(dāng)豐富，總面積達(dá)72800多平方公里，有人居住的島嶼達(dá)45（）

個(gè).位于北部灣的某小島，外形酷似橄欖球，如圖1所示.

如圖2所示，現(xiàn)把海岸線近似看作直線小島面對(duì)海岸線一側(cè)的外緣近似看作AB，經(jīng)測(cè)量，AB的長(zhǎng)可

近似為250%海里，它所對(duì)的圓心角（NAoB）的大小可近似為90。.（注：AS在，"上的正投影為圖中線段

Co,點(diǎn)。在〃?上的正投影落在線段C。上.）

（1）求AB的半徑r；

（2）因該島四面環(huán)海，淡水資源缺乏，為解決島上居民飲用淡水難的問(wèn)題，擬在海岸線上，建造一個(gè)淡

水補(bǔ)給站，向島上居民輸送淡水.為節(jié)約運(yùn)輸成本，要求補(bǔ)給站到小島外緣AB的距離最近（即要求補(bǔ)給站

與AB上的任意一點(diǎn)，兩點(diǎn)之間的距離取得最小值）；請(qǐng)你依據(jù)所學(xué)幾何知識(shí)，在圖2中畫(huà)出補(bǔ)給站位置及

最短運(yùn)輸路線（保留畫(huà)圖痕跡，并做必要標(biāo)記與注明；不限于尺規(guī)作圖，不要求證明）.

（3）如圖3,若測(cè)得AC長(zhǎng)為600海里，Bo長(zhǎng)為500海里，試求出（2）中的最小距離.

22.【材料閱讀】在等腰三角形中，我們把底邊與腰長(zhǎng)的比叫做頂角的張率（SCOP）.如圖1,在VXYZ中,

Xy=XZ，頂角X的張率記作Sc。PNX=底邊+腰=——.容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的張率也是

Xy

相互唯一確定的，所以，類比三角函數(shù)，我們可按上述方式定義Na(O°<Nα<180°)的張率，例如，

Scop60°=?,SCOP90。=血,請(qǐng)根據(jù)材料，完成以下問(wèn)題:

如圖2,尸是線段AB上的一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,8重合)，點(diǎn)C,。分別是線段ΛP,BP的中點(diǎn)，以AC，

CD,DB為邊分別在AB的同側(cè)作等邊三角形A4CE,CD/，/XDBG,連接PE和PG.

(1)【理解應(yīng)用】①若等邊三角形&CE,CDF,4DBG的邊長(zhǎng)分別為。，b,c,則α,b,

三者之間的關(guān)系為

②SCOP/EPG=

(2)【猜想證明】如圖3,連接EE,FG,猜想SCoPNEFG的值是多少，并說(shuō)明理由;

(3)【拓展延伸】如圖4,連接￡F，EG,若AB=I2,EF=2√7.則AEPG的周長(zhǎng)是多少？此時(shí)

"的長(zhǎng)為多少？(可直接寫(xiě)出上述兩個(gè)結(jié)果)

2023年廣東省深圳市福田區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷

一、選擇題

L如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)的相反數(shù)是（)

4Ill

J----------1-------------1_>

-3-2-10123

b?4C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)圖示,數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是-3,據(jù)此求出它的相反數(shù)即可.

【詳解】根據(jù)圖示,數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是-3,

所以數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)的相反數(shù)是：-（-3）=3.

故選：D

【點(diǎn)睛】此題主要考查了數(shù)軸特征和應(yīng)用，以及相反數(shù)的含義以及求法，解答此題的關(guān)鍵是要明確：相反

數(shù)是成對(duì)出現(xiàn)的，不能單獨(dú)存在；求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)的方法就是在這個(gè)數(shù)的前邊添加負(fù)號(hào).

2.如圖，是由相同大小的五個(gè)小正方體組成的立體模型，它的俯視圖是（）

【答案】D

【解析】

【分析】找到從上面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)該表現(xiàn)在俯視圖中.

【詳解】這個(gè)幾何體的俯視圖為：

故答案為：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖的知識(shí)，俯視圖是從物體的上方向下看到的視圖，正確理解三視圖相關(guān)概念是

解題關(guān)鍵.

3.位于深圳市光明中心區(qū)科學(xué)公園的深圳科技館占地面積為66000m2,66000用科學(xué)記數(shù)法可以表示成

()

A.66×IO3B.6.6,IO4C.6.6×103D.0.66×lO5

【答案】B

【解析】

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為αχ10"的形式，其中IsaI<10,〃為整數(shù).確定〃的值時(shí)，要看把原數(shù)

變成。時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，〃的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.

【詳解】解：將66000用科學(xué)記數(shù)法表示為6.6'104，

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為“X10"的形式，其中l(wèi)≤∣α∣<10,n

為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定。的值以及〃的值.

%—1>1

4.不等式組《CC解集是()

-Ix<2

A.χ>0B.χ>2C.x≥-lD.x≤-l

【答案】B

【解析】

【分析】先分別求出各不等式的解集，進(jìn)而得出不等式組的解集.

除一AKD

【詳解】解：C，

-2x≤2②

解不等式①得：x>2,

解不等式②得：x>-l,

.,?原不等式組的解集為：x>2,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次不等式組，熟練掌握解一元一次不等式組的步驟是解題的關(guān)鍵.

5.下列計(jì)算正確的是()

A.cr?cιb=O12B.as÷a4-a^C-(-2α~)'=-8α'D.ai+a4-a1

【答案】C

【解析】

【分析】利用合并同類項(xiàng)的法則，同底數(shù)基的乘法的法則，同底數(shù)塞的除法的法則，積的乘方的法則對(duì)各項(xiàng)

進(jìn)行運(yùn)算即可.

【詳解】解：A、a2-a6^a^故A不符合題意;

B、aii÷a4=a4,故B不符合題意；

C、（-2a2）3=Sa6,故C符合題意;

D、/與/不屬于同類項(xiàng)，不能合并，故D不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查同底數(shù)塞的除法，合并同類項(xiàng)，積的乘方，同底數(shù)罪的乘法，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的

運(yùn)算法則的掌握.

6.觀察下列尺規(guī)作圖痕跡，其中所作線段A。為JBC的角平分線的是（）

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)基本作圖的方法對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，由作圖痕跡可知，A。為/C4B的平分線，故A選項(xiàng)符合題意；

對(duì)于B選項(xiàng)，由作圖痕跡可知，AD為G45C中BC邊上的高線，故B選項(xiàng)不符合題意；

對(duì)于C選項(xiàng)，由作圖痕跡可知，A。為一ABC的中線，故C選項(xiàng)不符合題意；

對(duì)于D選項(xiàng)，由作圖痕跡可知，AD為ABC中BC邊上的高線，故D選項(xiàng)不符合題意.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查作圖一基本作圖：作三角形的角平分線、中線和高，熟練掌握基本作圖的方法是解答本題

的關(guān)鍵.

7.為響應(yīng)“雙減”政策，進(jìn)一步落實(shí)“立德樹(shù)人、五育并舉”的思想主張，深圳某學(xué)校積極推進(jìn)學(xué)生綜合

素質(zhì)評(píng)價(jià)改革，小芳在本學(xué)期德、智、體、美、勞的評(píng)價(jià)得分如圖所示，其各項(xiàng)的得分分別為9,8,10,

8,7,則該同學(xué)這五項(xiàng)評(píng)價(jià)得分的眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)分別為（）

A.8,8,8B.7,8,7.8C.8,8,8.7D.8,8,8.4

【答案】D

【解析】

【分析】利用眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)的定義即可得.

【詳解】解：該同學(xué)這五項(xiàng)評(píng)價(jià)得分從小到大排列分別為7,8,8,9,10,

則其中位數(shù)為8,

因?yàn)槌霈F(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是8,

所以眾數(shù)為8,

平均數(shù)為7+8+―+1。=8.4，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)，熟記定義是解題關(guān)鍵.

8.小明用地理中所學(xué)的等高線的知識(shí)在某地進(jìn)行野外考察，他根據(jù)當(dāng)?shù)氐匦萎?huà)出了“等高線示意圖”，如

圖所示（注：若某地在等高線上，則其海拔就是其所在等高線的數(shù)值；若不在等高線上，則其海拔在相鄰兩

AQ

條等高線的數(shù)值范圍內(nèi)），若點(diǎn)A,B,C三點(diǎn)均在相應(yīng)的等高線上，且三點(diǎn)在同一直線上，則的值為

AC

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，計(jì)算即可.

【詳解】：點(diǎn)A,B,C三點(diǎn)均在相應(yīng)等高線上，且三點(diǎn)在同一直線上,

.AB_200_2

,,AC-3θδ^3

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，根據(jù)定理列出比例式是解題的關(guān)鍵.

9.我國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中有這樣一題，原文是：今有共買物，人出七，盈二；人出六，不足

三.問(wèn)人數(shù)、物價(jià)各幾何？意思是：今有人合伙購(gòu)物，每人出七錢，會(huì)多二錢；每人出六錢，又差三錢，問(wèn)

人數(shù)、貨物總價(jià)各多少？設(shè)人數(shù)為X人，貨物總價(jià)為），錢，可列方程組為（）

y=7x-2y=lx+2Ix=y-2rIx=y-2

y=6x+3[y=6x-3[y=6x-3y=6x+3

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)“今有人合伙購(gòu)物，每人出七錢，會(huì)多二錢；每人出六錢，又差三錢”，即可得出關(guān)于*,y

的二元一次方程組，此題得解.

【詳解】今有人合伙購(gòu)物，每人出七錢，會(huì)多二錢，

.?.y=7x-2

每人出六錢，又差三錢,

.?.y=6Λ+3.

y=7x-2

根據(jù)題意可列方程組《

y=6x+3

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組以及數(shù)學(xué)常識(shí)，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方

程組是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，在RdABC中，ZC=90,點(diǎn)。在斜邊AB上，以Bo為直徑的，。經(jīng)過(guò)邊AC上的點(diǎn)E,連

接8E,且BE平分NABC,若（。的半徑為3,49=2,則線段BC的長(zhǎng)為（）

40249

A.——B.8C.—D.

355

【答案】C

【解析】

【分析】連接。E,由角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)的推出NQEB=NeBE,得到因

此Z?AOEABC,得到A。：AB=OE:BC代入有關(guān)數(shù)據(jù)，即可求出BC的長(zhǎng).

【詳解】解：如圖，連接。石，

BE平分/ABC,

.?.ZABE=ZCBE,

OE=OB,

:.NOEB=ZABE,

..ZOEB=ZCBE,

:.OE//BC,

:.AOEABC>

AO：AB-OE：BC>

Q的半徑為3,AD=2,

?AO=AD+8=2+3=5,AB=AD+30=2+6=8,

.'.5：8=3：BC,

24

.?.BC=-.

5

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線定義，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握相似三角形的

判定和性質(zhì).

二、填空題

11.因式分解：a3-a=.

【答案】a（67-1）（。+1）

【解析】

【分析】先提取公因式“，再對(duì)余下的多項(xiàng)式利用平方差公式繼續(xù)分解.

【詳解】解：ai-a

=?(?2-1)

=a(α+1)(α-l)

故答案為：a(α-l)Ca+]).

【點(diǎn)睛】本題考查了提公因式法和公式法，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵.

12.一個(gè)不透明的袋中裝有2個(gè)紅球和4個(gè)黃球，這些球除顏色外完全相同.從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸

到黃球的概率是.

【答案】I2

【解析】

【分析】先求出袋子中總的球數(shù)，再用黃球的個(gè)數(shù)除以總的球數(shù)即可.

【詳解】解：?.?一個(gè)不透明的袋中裝有2個(gè)紅球和4個(gè)黃球共有6個(gè)小球，黃球有4個(gè)，

，從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸到黃球的概率是：P=4T2.

63

」.2

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】此題考查了概率公式，如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)

m種結(jié)果，那么事件A的概率P(A)=—.

n

13.某城市幾條道路的位置關(guān)系如圖所示，道路A6CD,道路CD與。尸的夾角NeD/=54°.城市規(guī)

劃部門(mén)想新修一條道路8/，要求BE=EF，則NB的度數(shù)為.

【答案】27°##27度

【解析】

【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)，由ABCD得到/AE/=/CQb=54°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出

ZF，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)計(jì)算/3的度數(shù).

【詳解】解：ABCD,

：.NAEF=NCDF=54。,

BE=EF,

..ZB=ZF,

?∕AEF=NB+NF，

.?.ZB=-/AEF=i×54°=27°.

22

故答案為：27。.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，熟記等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將菱形ABC。向右平移一定距離后，頂點(diǎn)C,。恰好均落在反比例函數(shù)

y=-(A≠(),x>0)的圖象上，其中點(diǎn)A(-6,6),8(-3,2),且A￡>〃X軸，則Z=.

【解析】

【分析】根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)先求出菱形的邊長(zhǎng)，再求出點(diǎn)C和。的坐標(biāo)，根據(jù)平移方法可得C和。C的坐

標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)圖象特點(diǎn)列方程求解即可.

【詳解】解：；四邊形43CD為菱形，A(-6,6),β(-3,2),

/.Aδ=3C=CD=ZM=5,

ΛP(-l,6),C(2,2),

設(shè)菱形向右平移〃個(gè)單位，得到。'(—l+α,6),C'(2+α,2),

???向右平移使頂點(diǎn)C,。兩點(diǎn)都落在反比例函數(shù)y=K(Z≠O,x>0)的圖象上，

X

.?6(-l+tz)=2(2+a),

.".a=—,

2

：.k=9,

故答案為：9.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，菱形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形變化-平移，待定系

數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)橫縱坐標(biāo)之積等于我.

15.如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為8,對(duì)角線AC、3。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)M,N分別在邊3C、CD±,且

NMON=90°,連接MN交。。于P,若3M=2,則OPoC=.

【答案】20

【解析】

【分析】過(guò)點(diǎn)。作OE_LBC于點(diǎn)E，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得OB=OC=OD，ZBOC=ZCOD=90°,

ZOBC=ZOCB=ZOCD=45°,再根據(jù)同角的余角相等可得NBOM=NCON,以此即可通過(guò)AS4證

明.QBM絲OCN,得至IlBM=CN=2,OM=ON,進(jìn)而得到NQWP=/OCM=45°,易證明

OMOP

二OMPSJoCM,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得——=——，即OP?OC=QM2,由等腰直角三角形的

OCOM

性質(zhì)可得OE=BE=4,則ME=2,最后根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作OE_LBC于點(diǎn)E,

四邊形ABC。為邊長(zhǎng)為8的正方形，

.?.OB=OC=OD,BC=8,BDA.AC,

：.NBOC=NCOD=90o,ZOBC=ZOCB=ZOCD=45°,

NBOC=NBOM+NCoM=90。，

又?/MON=NCOM+NCON=90°,

:./BOM=/CON,

在.03M和OCN中,

NBoM=NCoN

<OB=OC,

ZOBM=NoCN

二_0創(chuàng)/絲_OCN(ASA),

:.BM=CN=2,OM=ON,

ZXMON為等腰直角三角形，

.?.AOMN=ZONM=45°,

.?.NoMP=ZOCM=45°,

?；/POM=NMOC,

;._0MPSqCM,

?_O_M___O__P

"OC~OM,

:.OP?0C=OM2,

ZBoC=9()。，OB=OC,OEVBC,

：.OE=BE=-BC=A,

2

：.ME=BE-BM=2,

在RtAOME中，OM2^OE2+ME2，

：.OM2=42+22=20,

.?.OP?OC=20.

故答案為：20.

【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、相似三角

形的判定與性質(zhì)，正確尋找出全等三角形和相似三角形是解題關(guān)鍵.

三、解答題

16.計(jì)算：f-?l-√12-(-2023)°+6tan300.

【答案】3

【解析】

【分析】首先計(jì)算零指數(shù)幕、負(fù)整數(shù)指數(shù)累、開(kāi)平方和特殊角的三角函數(shù)值，然后計(jì)算乘法，最后從左向右

依次計(jì)算，求出算式的值即可.

【詳解】解：-√12-(-2023)°+6tan30°

=4-2√3-l+6×-

3

=4-20-1+20

=3.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，

要從高級(jí)到低級(jí)，即先算乘方、開(kāi)方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的，同級(jí)運(yùn)算要按

照從左到右的順序進(jìn)行.

17.先化簡(jiǎn)，再求值：丁+一——2_,其中α=3.

α~+4α+4a—4。+2

【解析】

【分析】先計(jì)算分式的除法，再算減法，然后把“的值代入化簡(jiǎn)后的式子進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

4。cr一2。2

【詳解】-9---------；----

α+4α+4<2-4α+2

4αα(α-2)2

(α+2)-(α+2)(α—2)α+2

4α(?+2)(?-2)2

(α+2)~α(α—2)α+2

42

a+2a+2

_4-2

a+2

2

α+2'

22

當(dāng)α=3時(shí)，原式=上==—.

3+25

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握因式分解是解題的關(guān)鍵.

18.“讀書(shū)讓生活更加多彩，閱讀讓城市更有溫度”.近年來(lái)，作為深圳中心城區(qū)和“首善之區(qū)”的福田

各學(xué)校積極打造“閱讀永恒、書(shū)香滿溢”的愛(ài)閱之校.為了解今年福田區(qū)15000名初三學(xué)生的每天平均課

外閱讀時(shí)間，從中隨機(jī)抽取若干名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表，請(qǐng)根

據(jù)圖表中所給的信息，解答下列問(wèn)題:

組別時(shí)間(小時(shí))頻數(shù)(人數(shù))頻率

A0≤r<0.5400.1

B0.5≤r<la().3

Cl≤r<1.5140h

D1.5≤f<2800.2

E2≤r<2.5200.05

(I)表中的α=___,b=；

(2)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；

(3)結(jié)合調(diào)查信息，請(qǐng)你估計(jì)今年該區(qū)初三學(xué)生中，每天課外閱讀小于1小時(shí)的學(xué)生約有多少人？

【答案】(1)120；0.35

(2)見(jiàn)解析(3)6000

【解析】

【分析】(1)先求得抽取的學(xué)生數(shù)，再根據(jù)頻率計(jì)算頻數(shù)，根據(jù)頻數(shù)計(jì)算頻率；

(2)根據(jù)每周課余閱讀時(shí)間不足0.5小時(shí)的學(xué)生的頻率，估計(jì)該校2000名學(xué)生中，每周課余閱讀時(shí)間不

足().5小時(shí)的學(xué)生數(shù)即可：

(3)每天課外閱讀小于1小時(shí)的學(xué)生人數(shù)的頻率為0.1+0.3=0.4,然后直接乘總?cè)藬?shù)即可.

【小問(wèn)1詳解】

40

a——×0.3—120(人)，

0.1

匕=1-0.1-0.3-0.2-0.05=0.35,

故答案為：120；0.35.

【小問(wèn)2詳解】

補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如下圖：

【小問(wèn)3詳解】

15000x(0.1+0.3)=6000(人),

答：估計(jì)今年該區(qū)初三學(xué)生中，每天課外閱讀小于1小時(shí)的學(xué)生約有6000人.

【點(diǎn)睛】此題考查統(tǒng)計(jì)圖，解題關(guān)鍵是計(jì)算出對(duì)應(yīng)閱讀時(shí)間的頻率與頻數(shù)即可.

19.為迎接“五一”國(guó)際勞動(dòng)節(jié)，某市政府準(zhǔn)備購(gòu)買紫花風(fēng)和洋紅風(fēng)兩種觀花樹(shù)苗，用來(lái)美化某大道沿路兩

側(cè)景觀，在購(gòu)買時(shí)發(fā)現(xiàn)，紫花風(fēng)樹(shù)苗的單價(jià)比洋紅風(fēng)樹(shù)苗的單價(jià)高了5（）%,用1800元購(gòu)買紫花風(fēng)樹(shù)苗的棵

數(shù)比用1800元購(gòu)買洋紅風(fēng)樹(shù)苗的棵數(shù)少10棵.

（1）問(wèn)紫花風(fēng)、洋紅風(fēng)兩種樹(shù)苗的單價(jià)各是多少元？

（2）現(xiàn)需要購(gòu)買紫花風(fēng)、洋紅風(fēng)兩種樹(shù)苗共120棵，且購(gòu)買的總費(fèi)用不超過(guò)8700元，求至少需要購(gòu)買多

少棵洋紅風(fēng)樹(shù)苗？

【答案】（1）紫花風(fēng)樹(shù)苗的單價(jià)是90元，洋紅風(fēng)樹(shù)苗的單價(jià)是60元

（2）至少需要購(gòu)買70棵洋紅風(fēng)樹(shù)苗

【解析】

【分析】（1）設(shè)洋紅風(fēng)樹(shù)苗單價(jià)是X元，則紫花風(fēng)樹(shù)苗的單價(jià)是（1+50%）X元，由題意：用1800元購(gòu)買

紫花風(fēng)樹(shù)苗的棵數(shù)比用18（X）元購(gòu)買洋紅風(fēng)樹(shù)苗的棵數(shù)少10棵.列出分式方程，解方程即可；

（2）設(shè)需要購(gòu)買加棵洋紅風(fēng)樹(shù)苗，則購(gòu)買（120-〃?）棵紫花風(fēng)樹(shù)苗，由題意：購(gòu)買的總費(fèi)用不超過(guò)8700元，

列出一元一次不等式，解不等式即可.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)洋紅風(fēng)樹(shù)苗的單價(jià)是X元，則紫花風(fēng)樹(shù)苗的單價(jià)是（1+50%）X元，

18001800，八

由題意得：丁一許碩=10'

解得：%=60,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=60是原方程的解，且符合題意,

.?.(l+50%)x=l?5x=1.5×60=90,

答：紫花風(fēng)樹(shù)苗的單價(jià)是90元，洋紅風(fēng)樹(shù)苗的單價(jià)是60元；

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)需要購(gòu)買加棵洋紅風(fēng)樹(shù)苗，則購(gòu)買(120-〃?)棵紫花風(fēng)樹(shù)苗，

由題意得：60∕π+90(120-m)≤8700,

解得：/W≥70,

答：至少需要購(gòu)買70棵洋紅風(fēng)樹(shù)苗.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分

式方程和一元一次不等式.

20.如圖，已知拋物線y=a(x—lp+h與X軸交于點(diǎn)A(-2,0)和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C(0,4).

(2)點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)與拋物線交于點(diǎn)。，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

1,

【答案】(1)y—~~χ+χ+4

2

【解析】

【分析】(1)把A,C坐標(biāo)分別代入解析式，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；

(2)令y=0,解方程求出B的坐標(biāo)，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線AE的

解析式，再聯(lián)立直線AE和拋物線解析式，解方程組求出點(diǎn)。的坐標(biāo)即可.

【小問(wèn)1詳解】

解：拋物線丁=4。-1)2+力與尢軸交于點(diǎn)4(-2,0),與V軸交于點(diǎn)C(0,4),

α(-2-l)^+A=0

a(0-l)2+A=4，

解得《

.??該拋物線的表達(dá)式為y=-?(?-l)2+∣=-^√+%+4;

【小問(wèn)2詳解】

1，

解：令y=0,則一一%2+Λ+4=0,

2

解得玉=-2,X2=4,

8(4,0),

E是8C的中點(diǎn)，

.?.E(2,2),

設(shè)直線AE的解析式為y=mx+n,

-2m+n=0

則〈CC，

2m+n=2

1

m=-

解得J2,

n=1

直線AE的解析式為γ=→+l,

1,

y=-x+1

聯(lián)立方程組《-2

1，

y=——X+x+4λ

2

%=3

X=-2

解得V5或4

y=-y=0

.2

【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與X軸的交點(diǎn)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，直線和拋物線的交點(diǎn)等知識(shí)，關(guān)鍵是求出拋物線

解析式.

21.【綜合與實(shí)踐】我國(guó)海域的島嶼資源相當(dāng)豐富，總面積達(dá)72800多平方公里，有人居住的島嶼達(dá)450

個(gè).位于北部灣的某小島，外形酷似橄欖球，如圖1所示.

如圖2所示，現(xiàn)把海岸線近似看作直線"?，小島面對(duì)海岸線一側(cè)的外緣近似看作AB，經(jīng)測(cè)量，AB的長(zhǎng)可

近似為250萬(wàn)海里，它所對(duì)的圓心角（NAoB）的大小可近似為90°?（注：AB在機(jī)上的正投影為圖中線段

CO,點(diǎn)。在，"上的正投影落在線段CZ）上.）

（1）求A,B半徑，:

（2）因該島四面環(huán)海，淡水資源缺乏，為解決島上居民飲用淡水難的問(wèn)題，擬在海岸線上，建造一個(gè)淡

水補(bǔ)給站，向島上居民輸送淡水.為節(jié)約運(yùn)輸成本，要求補(bǔ)給站到小島外緣AB的距離最近（即要求補(bǔ)給站

與AB上的任意一點(diǎn)，兩點(diǎn)之間的距離取得最小值）；請(qǐng)你依據(jù)所學(xué)幾何知識(shí)，在圖2中畫(huà)出補(bǔ)給站位置及

最短運(yùn)輸路線（保留畫(huà)圖痕跡，并做必要標(biāo)記與注明；不限于尺規(guī)作圖，不要求證明）.

（3）如圖3,若測(cè)得AC長(zhǎng)為600海里，BD長(zhǎng)為500海里，試求出（2）中的最小距離.

【答案】（1）500海里

（2）見(jiàn)解析（3）400海里

【解析】

【分析】（1）根據(jù)弧長(zhǎng)公式代入計(jì)算即可；

（2）先找出圓心。，作OEL機(jī)于點(diǎn)E,交圓弧AB于點(diǎn)尸，則圖中點(diǎn)E即為所建補(bǔ)給站，線段E戶表示

最短運(yùn)輸路線；

（3）作AT_LQE于點(diǎn)T，作OE于點(diǎn)U,證明ATg.。UB（AAS）,得AT=OU,OT=BU,

設(shè)線段OT長(zhǎng)為X海里，則線段AT=（IOO+x）海里，利用勾股定理列方程進(jìn)而解決問(wèn)題.

【小問(wèn)I詳解】

圓弧AB的長(zhǎng)為250π海里，它所對(duì)的圓心角為90°,圓的半徑為「，

C2U5CQπ=9-0-。-仃

180o

.?.r=500海里;

【小問(wèn)2詳解】

如圖所示，圖中點(diǎn)E表示所建補(bǔ)給站;

簡(jiǎn)要作法：先找出圓心O,作OELm于點(diǎn)E,交圓弧AB于點(diǎn)F，則圖中點(diǎn)E即為所建補(bǔ)給站，線段

表示最短運(yùn)輸路線;

【小問(wèn)3詳解】

如圖，作AT,OE于點(diǎn)T,作BULOE于點(diǎn)U,

QNAQB=90°，

.?.ZOAT+ZAOT=NBoU+ZAOT=90°,

NoAT=NBOU,

XOA=OB,

ATO^OUB(AAS),

：.AT=OU,OT=BU,

AC=ET=600海里，BD=UE=500海里,

.?.UT=100海里，

設(shè)線段OT長(zhǎng)為X海里，則線段AT=(IoO+x)海里,

則f+(ioo+χ)2=50()2,

解得X=300，或X=-400(舍去),

.?.OT=300海里,

..OE=OT+AC900(海里)，

.?.EE=QE-r=9(X)-5(X)=4(X)(海里)，

(2)中的最小距離為400海里.

【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，主要考查了弧長(zhǎng)公式，全等三角形的判定與性質(zhì)，點(diǎn)與直線的距離，勾股定理

等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

22.【材料閱讀】在等腰三角形中，我們把底邊與腰長(zhǎng)的比叫做頂角的張率(Scop).如圖1,在VXiZ中，

YZ

Xy=XZ,頂角X的張率