重難點(diǎn)7導(dǎo)數(shù)與雙變量不等式的證明

2024XINSIWEISHUXUEJINGPINCHAOSHI高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)新思維數(shù)學(xué)XINSIWEI2024XINSIWEISHUXUEJINGPINCHAOSHI高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)新思維數(shù)學(xué)XINSIWEI重難點(diǎn)7導(dǎo)數(shù)與雙變量不等式的證明重難點(diǎn)7導(dǎo)數(shù)與雙變量不等式的證明統(tǒng)計(jì)近幾年高考試題，明確命題規(guī)律多角度切入，多方向解析，總結(jié)解題思維策略以高考真題為載體，科學(xué)備考不走彎路針對(duì)高考中的高頻難點(diǎn)，精心設(shè)計(jì)，助你沖擊數(shù)學(xué)巔峰重難點(diǎn)7導(dǎo)數(shù)與雙變量不等式的證明1．（2022·全國(guó)甲卷（理）·21）已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，則．2．（2021·全國(guó)新高考Ⅰ·21）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.3．（2022·浙江·22）設(shè)函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)已知，曲線上不同的三點(diǎn)處的切線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)．證明：（?。┤簦瑒t；（ⅱ）若，則．（注：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）4.（2022·天津·20）已知，函數(shù)(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)若和有公共點(diǎn)，（i）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；（ii）求證：．5.（2022·北京·20）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(3)證明：對(duì)任意的，有．雙變量問(wèn)題的關(guān)鍵是能進(jìn)行函數(shù)的轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙變量的不等式轉(zhuǎn)化為含單變量的不等式，進(jìn)而巧構(gòu)函數(shù)，再借助于導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值，最終回歸雙變量的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙變量不等式，即可證得結(jié)果。處理導(dǎo)數(shù)雙變量問(wèn)題，要仔細(xì)分析兩個(gè)變量之間的關(guān)系，在利用單調(diào)性證明不等式的過(guò)程中注意將變量統(tǒng)一到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，防止忽略變量的范圍而失分。例1．（2021·全國(guó)新高考Ⅰ·21）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.【答案】（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見(jiàn)解析.切入點(diǎn)1切入點(diǎn)1（2）由將變量分離可得，，則，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及可設(shè)，又可得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可證得不等式；又，，故要證，只需要證明，令，再利用導(dǎo)數(shù)證明不等式。解法1等價(jià)轉(zhuǎn)化【詳解】(1)的定義域?yàn)椋夥?等價(jià)轉(zhuǎn)化由得，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，．故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，（2）變形為，所以．令．則上式變?yōu)?，于是命題轉(zhuǎn)換為證明：．令，則有，不妨設(shè)．由（1）知，先證．要證：．令，則，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即．再證．因?yàn)?，所以需證．令，所以，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．所以．故，即．綜合可知．切入點(diǎn)2設(shè)，同上面的分析，對(duì)于只需要證明切入點(diǎn)2不妨設(shè)，則，要證，只需證，兩邊取對(duì)數(shù)得，又因?yàn)榈?，，則等價(jià)于，再構(gòu)造函數(shù)可證得不等式成立.解法2比值代換由得，即．解法2比值代換由，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，得．由（1）不妨設(shè)，則，從而，得，①令，則，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，，從而，所以，由（1）得即．①以下證明．不妨設(shè)，則，由得，，要證，只需證，兩邊取對(duì)數(shù)得，即，即證．記，則.記，則，所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．由得，所以，即．切入點(diǎn)3設(shè)，同上面的分析，對(duì)于只需要證明，只需要證明，即證，又，可得，故不等式化為，即，構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而可證得不等式。切入點(diǎn)3解法3構(gòu)造函數(shù)由已知得，令，解法3構(gòu)造函數(shù)不妨設(shè)，所以．由（Ⅰ）知，，只需證．證明同證法2．再證明．令．令，則．所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以，即又因?yàn)?，所以，即．因?yàn)椋?，即．綜上，有結(jié)論得證．方法一：等價(jià)轉(zhuǎn)化是處理導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的常見(jiàn)方法，其中利用的對(duì)稱(chēng)差函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)的思想，這些都是導(dǎo)數(shù)問(wèn)題必備的知識(shí)和技能，也是最基本的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的處理策略；方法二：比值代換是一種將雙變量問(wèn)題化為單變量問(wèn)題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可；方法三：構(gòu)造函數(shù)之后想辦法出現(xiàn)關(guān)于的式子，這是本方法證明不等式的關(guān)鍵思想所在.【對(duì)點(diǎn)練1】（2024·海南?？凇そy(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若的最小值為1，求；(2)設(shè)為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.【答案】(1)0(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性即可求解最值，（2）構(gòu)造函數(shù)，利用極值點(diǎn)偏移即可求證，進(jìn)而結(jié)合不等式的關(guān)系即可求證.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)增.又，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以.（2）由，得，即即.由（1）知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，不妨設(shè).令，則.當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，即，又，所以.因?yàn)?，?dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以，因?yàn)椋裕?題后反思1.導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題．注意分類(lèi)討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理．2.利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題時(shí)，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題，解題過(guò)程中要注意分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.3.證明不等式，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問(wèn)題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效.例2（2022·全國(guó)甲卷（理）·21）已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，則．切入點(diǎn)1（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性及最值，即可得解；（2）結(jié)合（1）的過(guò)程，不妨設(shè)，要證,即證因?yàn)?即證又因?yàn)?故只需，構(gòu)造函數(shù)可證得結(jié)論切入點(diǎn)1【詳解】（1）[方法一]：常規(guī)求導(dǎo)的定義域?yàn)?，則令,得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增，若,則,即所以的取值范圍為解法解法1構(gòu)造函數(shù)（2）由題知,一個(gè)零點(diǎn)小于1,一個(gè)零點(diǎn)大于1，不妨設(shè)要證,即證因?yàn)?即證又因?yàn)?故只需證即證即證下面證明時(shí)，設(shè)，則設(shè)所以,而所以,所以所以在單調(diào)遞增即,所以令所以在單調(diào)遞減即,所以；綜上,,所以.切入點(diǎn)2（2）由題意得：，又可得兩邊取對(duì)數(shù)得：，即，等價(jià)于又，不妨設(shè)，則只需證切入點(diǎn)2進(jìn)而可證得結(jié)論解法2換元轉(zhuǎn)化由題意得：，令，則，解法2換元轉(zhuǎn)化所以在上單調(diào)遞增，故只有1個(gè)解又因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，故兩邊取對(duì)數(shù)得：，即又因?yàn)?，故，即下證因?yàn)椴环猎O(shè)，則只需證構(gòu)造，則故在上單調(diào)遞減故，即得證【對(duì)點(diǎn)練】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的極值；(2)若，求函數(shù)的最小值；(3)若有兩個(gè)零點(diǎn)，，證明：.【答案】(1)極大值為，無(wú)極小值(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求導(dǎo)后解不等式、即可求得極值.（2）運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，進(jìn)而可求得其最小值.（3）由已知可得，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)其單調(diào)性可得，構(gòu)造函數(shù)并研究其單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)并研究其單調(diào)性，當(dāng)時(shí)，依次結(jié)合函數(shù)、的單調(diào)性即可證得結(jié)果.【詳解】（1）由題意知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，極大值為，無(wú)極小值.（2）由題意知函數(shù)的定義域?yàn)?，則，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以.（3）不妨設(shè)，則由（2）知，.設(shè)，由，得，即，因?yàn)楹瘮?shù)在R上單調(diào)遞增，所以成立.構(gòu)造函數(shù)，則，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，構(gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，所以，又在上單調(diào)遞減，所以，即.題后反思極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的方法指導(dǎo)：(1)(對(duì)稱(chēng)化構(gòu)造法)構(gòu)造輔助函數(shù)：對(duì)結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)；對(duì)結(jié)論型，構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)研究的單調(diào)性獲得不等式．(2)(比值代換法)通過(guò)代數(shù)變形將所證的雙變量不等式通過(guò)代換化為單變量的函數(shù)不等式，利用函數(shù)單調(diào)性證明．【對(duì)點(diǎn)練2】已知函數(shù)f(x)=lnxQUOTEa(x-1)x+1(1)若函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為單調(diào)增函數(shù),求a的取值范圍;(2)設(shè)m,n>0,且m≠n,求證:QUOTEm-nlnm-lnn<QUOTEm+n2(1)解:f′(x)=QUOTE1xQUOTEa(x+1)-a(x-1)(x+1)2=QUOTE(x+1)2-2axx(x因?yàn)閒(x)在(0,+∞)上為單調(diào)增函數(shù),所以f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立.即x2+(22a)x+1≥0在(0,+∞)上恒成立,由x∈(0,+∞)時(shí),x2+(22a)x+1≥0,得2a2≤x+QUOTE1x,由于x+QUOTE1x在(0,+∞)上的最小值為2,故2a2≤2,解得a≤2,所以a的取值范圍是(∞,2].(2)證明:由于交換m,n不影響不等式的結(jié)構(gòu),故可以設(shè)m>n.原不等式等價(jià)于QUOTEmn-1lnmn<QUOTEmn+12,即lnQUOTEmn>QUOTE2(mn-1)mn+1,即lnQUOTEmnQUOTE2(mn-1)mn+1>0.根據(jù)(1),函數(shù)h(x)=lnxQUOTE2(x-1)x+1在(0,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),又QUOTEmn>1,所以h(QUOTEmn)>h(1)=0,所以lnQUOTEmnQUOTE2(mn-1)mn+1>0成立,所以QUOTEm-nlnm-lnn<QUOTEm+n2.例3．（2022·北京·20）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(3)證明：對(duì)任意的，有．切入點(diǎn)（1）先求出切點(diǎn)坐標(biāo)，在由導(dǎo)數(shù)求得切線斜率，即得切線方程；切入點(diǎn)（2）在求一次導(dǎo)數(shù)無(wú)法判斷的情況下，構(gòu)造新的函數(shù)，再求一次導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題即得解；（3）令，，即證，由第二問(wèn)結(jié)論可知在[0,+∞）上單調(diào)遞增，即得證.【詳解】（1）解：因?yàn)椋?，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，又，∴切線斜率∴切線方程為：（2）解：因?yàn)椋?/p>

所以，令，則，∴在上單調(diào)遞增，∴∴在上恒成立，∴在上單調(diào)遞增.（3）解：原不等式等價(jià)于，令，，即證，∵，，由（2）知在上單調(diào)遞增，∴，∴∴在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，∴，所以命題得證.根據(jù)雙變量不等式的特點(diǎn)，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，也是此類(lèi)問(wèn)題常用的轉(zhuǎn)化策略?！緦?duì)點(diǎn)練1】（2013上·湖北襄陽(yáng)·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)f(x)=x－ax+(a－1)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，設(shè)，（?。┣笞Cg（x）為單調(diào)遞增函數(shù)；（ⅱ）求證對(duì)任意x，x，xx，有.【答案】(1)當(dāng)a=2時(shí)，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；當(dāng)1＜a＜2時(shí)，f（x）在（a1，1）單調(diào)遞減，在（0，a1），（1，+∞）單調(diào)遞增；當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）在（1，a1）單調(diào)遞減，在（0，1），（a1，+∞）單調(diào)遞增.(2)見(jiàn)解析.【詳解】試題分析：（1）先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的兩個(gè)潛在極值點(diǎn)與，由于，可以確定也在函數(shù)的定義域中，然后對(duì)與的大小關(guān)系分三種情況進(jìn)行討論，并求出相應(yīng)條件下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）（ⅰ）求出的導(dǎo)數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)或法說(shuō)明在上恒成立，從而證明函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)；（ⅱ）利用（?。┲械慕Y(jié)論是單調(diào)遞增函數(shù)，并假設(shè)，由經(jīng)過(guò)變形得到.試題解析：(1)的定義域?yàn)椋?分（i）若即,則故在單調(diào)增加．3分(ii)若,而,故,則當(dāng)時(shí)，;當(dāng)及時(shí)，故在單調(diào)減少，在單調(diào)增加．5分(iii)若,即,同理可得在單調(diào)減少，在單調(diào)增加.6分(2)（?。﹦t7分由于1<a<5,故，即g(x)在(0,+∞)單調(diào)增加，8分（ⅱ）有（ⅰ）知當(dāng)時(shí)有，即，故，當(dāng)時(shí)，有10分考點(diǎn)：分類(lèi)討論、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)【對(duì)點(diǎn)練2】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)在處取得極值，不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)當(dāng)時(shí)，證明不等式．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）結(jié)合函數(shù)定義域，分，兩種情況分析和的解即可得答案；（2）問(wèn)題等價(jià)于恒成立，求出函數(shù)的最小值可得答案；（3）即證明，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可證明結(jié)論.【詳解】（1）由題，，．當(dāng)時(shí)，，從而，函數(shù)在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，若，則，從而，若，則，從而，則函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（2）根據(jù)（1）函數(shù)的極值點(diǎn)是，若，則，，即，，即，令，則，注意到.得是函數(shù)在內(nèi)的唯一極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，故，故；（3）由即，構(gòu)造函數(shù)，則，又令在上單調(diào)遞增.注意到時(shí)，，時(shí)，在遞增，，，.一、多選題1．（2024上·山東淄博·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)與函數(shù)有相同的極小值B．若方程有唯一實(shí)根，則a的取值范圍為C．若方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，則D．當(dāng)時(shí)，若，則成立【答案】ACD【分析】對(duì)于A，根據(jù)題目直接對(duì)兩個(gè)函數(shù)求導(dǎo)判斷極值即可；對(duì)于B，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和最值判斷函數(shù)變化趨勢(shì)，進(jìn)而求出參數(shù)范圍；對(duì)于C，利用對(duì)數(shù)均值不等式直接判斷即可；對(duì)于D，利用同構(gòu)方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可.【詳解】對(duì)于A，定義域，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，定義域，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，故A正確；對(duì)于B，若方程有唯一實(shí)根，由于當(dāng)時(shí)，，且，結(jié)合已求的單調(diào)性和最值可知，或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)不同的實(shí)根，假設(shè)，則，則，即，兩式相減得，即，由對(duì)數(shù)均值不等式，則，即得證，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，若，則，即，顯然，則，則成立，故D正確.故選：ACD下面補(bǔ)證C選項(xiàng)對(duì)數(shù)均值不等式：要證，即證，設(shè)，即證，即證，令，，則在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，得證.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解2．（2024·海南?？凇そy(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，則（

）A．B．函數(shù)有最大值C．若，則D．若，且，則【答案】ACD【分析】根據(jù)的解析式直接求解可對(duì)A判斷；利用導(dǎo)數(shù)求最值方法可對(duì)B判斷；結(jié)合給出的已知條件并利用A、B中的結(jié)論可對(duì)C、D判斷求解.【詳解】對(duì)A，由題意知，所以，故A正確；對(duì)B，由題意知的定義域?yàn)?，，?dāng)，，當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取到極小值也是最小值，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，可得，由A知，所以，由B知恒成立，所以，故C正確；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，得，又因?yàn)椋?，由B知在上單調(diào)遞增，所以，又由A知，所以，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：靈活運(yùn)用已知條件，，并結(jié)合的對(duì)稱(chēng)性和單調(diào)性進(jìn)行求解.二、解答題3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，求證：．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后分類(lèi)討論的取值情況，從而可求解.（2）結(jié)合（1）中結(jié)論可知，從而求出，，然后設(shè)并構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求解，然后再構(gòu)造函數(shù)證明，從而求解.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，無(wú)增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，減區(qū)間為．（2）因?yàn)槭呛膬蓚€(gè)零點(diǎn)，由（1）知，因?yàn)?，設(shè)，則，當(dāng)，，當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，．又因?yàn)?，且，所以，．首先證明：．由題意，得，設(shè)，則兩式相除，得．要證，只要證，即證．只要證，即證．設(shè)，．因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增．所以，即證得①．其次證明：．設(shè)，．因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減．所以，即．所以②．由①②可證得．【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題．（4）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題．4．（2023上·云南昆明·高三昆明一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)，為函數(shù)（）的兩個(gè)零點(diǎn)．(1)若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出定義域，求導(dǎo)，得到的單調(diào)性和極值情況，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，得到，求出，結(jié)合題目條件，得到當(dāng)時(shí)，，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理得到在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，同理得到在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，從而求出答案；（2）設(shè)，由可得，令，故，，推出要證，即證，構(gòu)造，，求導(dǎo)，對(duì)分子再構(gòu)造函數(shù)，證明出，在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，故，即，證明出結(jié)論.【詳解】（1）的定義域?yàn)镽，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在內(nèi)單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故要使有兩個(gè)零點(diǎn)，則需，故，由題目條件，可得，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，又，故在?nèi)存在唯一零點(diǎn)，又，故在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，則在R上存在兩個(gè)零點(diǎn)，故滿足題意的實(shí)數(shù)的取值范圍為；（2）證明：由（1）可設(shè)，由可得，令，則，所以，故，所以，要證，即證，即證，因?yàn)?，即證，即，令，，，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在內(nèi)單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，所以，令得，故，在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，故，即，，，則，證畢．【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)處理零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，由于涉及多類(lèi)問(wèn)題特征（包括單調(diào)性，特殊位置的函數(shù)值符號(hào)，隱零點(diǎn)的探索、參數(shù)的分類(lèi)討論等），需要學(xué)生對(duì)多種基本方法，基本思想，基本既能進(jìn)行整合，注意思路是通過(guò)極值的正負(fù)和函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的走勢(shì)，從而判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，較為復(fù)雜和綜合的函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，分類(lèi)討論是必不可少的步驟，在哪種情況下進(jìn)行分類(lèi)討論，分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，及分類(lèi)是否全面，都是需要思考的地方5．（2023上·河南·高三南陽(yáng)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若有唯一極值，求的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，若，，求證：.【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分析極值點(diǎn)情況即可得解.（2）由（1）的信息可設(shè)，再構(gòu)造函數(shù)，探討函數(shù)的單調(diào)性推理即得.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，當(dāng)時(shí)，若，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)，不符合題意；若，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，不符合題意；若，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，2是函數(shù)的極大值點(diǎn)，且是唯一極值點(diǎn)，所以的取值范圍是.（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由，，不妨令，要證，只證，即證，就證，令，求導(dǎo)得，于是函數(shù)在上單調(diào)遞減，，而，則，即，又，因此，顯然，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則有，所以.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及函數(shù)的雙零點(diǎn)問(wèn)題，不管待證的是兩個(gè)變量的不等式，還是導(dǎo)函數(shù)的值的不等式，都是把雙變量的等式或不等式轉(zhuǎn)化為一元變量問(wèn)題求解，途徑都是構(gòu)造一元函數(shù).6．（2018全國(guó)高考=1\*ROMANI卷）已知函數(shù)f（x）x+alnx．（1）求f（x）在（1，f（1））處的切線方程（用含a的式子表示）（2）討論f（x）的單調(diào)性；（3）若f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，證明：．【答案】（1）y＝（﹣2+a）x+2﹣a．（2）見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析【解析】（1）求出切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求出切線斜率，即可得到切線方程；（2）求出導(dǎo)函數(shù)，對(duì)g（x）＝﹣x2+ax﹣1，進(jìn)行分類(lèi)討論即可得到原函數(shù)單調(diào)性；（3）結(jié)合（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)為證明1，根據(jù)韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化為考慮h（x）＝2lnx﹣x的單調(diào)性比較大小即可得證.【詳解】（1）∵f（x）x+alnx（x＞0）∴f′（x）（x＞0）∴當(dāng)x＝1時(shí)，f（1）＝0，f′（1）＝﹣2+a，設(shè)切線方程為y＝（﹣2+a）x+b，代入（1，0），得b＝2﹣a，∴f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y＝（﹣2+a）x+2﹣a．（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x），設(shè)g（x）＝﹣x2+ax﹣1，注意到g（0）＝﹣1，①當(dāng)a≤0時(shí)，g（x）＜0恒成立，即f′（x）＜0恒成立，此時(shí)函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；②當(dāng)a＞0時(shí)，判別式△＝a2﹣4，（i）當(dāng)0＜a≤2時(shí)，△≤0，即g（x）≤0，即f′（x）≤0恒成立，此時(shí)函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；（ii）當(dāng)a＞2時(shí)，令f′（x）＞0，得：x；令f′（x）＜0，得：0＜x或x；∴當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）在區(qū)間（，）單調(diào)遞增，在（0，），（，+∞）單調(diào)遞減；綜上所述，綜上當(dāng)a≤2時(shí)，f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，當(dāng)a＞2時(shí)，在（0，），（，+∞）上是減函數(shù)，在區(qū)間（，）上是增函數(shù)．（3）由（2）知a＞2，0＜x1＜1＜x2，x1x2＝1，則f（x1）﹣f（x2）x1+alnx1﹣[x2+alnx2]＝（x2﹣x1）（1）+a（lnx1﹣lnx2）＝2（x2﹣x1）+a（lnx1﹣lnx2），則2，則問(wèn)題轉(zhuǎn)為證明1即可，即證明lnx1﹣lnx2＞x1﹣x2，則lnx1﹣lnx1，即lnx1+lnx1＞x1，即證2lnx1＞x1在（0，1）上恒成立，設(shè)h（x）＝2lnx﹣x，（0＜x＜1），其中h（1）＝0，求導(dǎo)得h′（x）10，則h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，∴h（x）＞h（1），即2lnx﹣x0，故2lnx＞x，則a﹣2成立．7．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、，證明.【答案】(1)單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可求得函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（2）設(shè)，由（1）可得，先證，即證，構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，可證得成立；其次證明出，令，則，將所證不等式變形為即證，令，，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可證得，綜合可得結(jié)論.【詳解】（1）解：因?yàn)榈亩x域?yàn)?，則，令，解得，令，解得，所以的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.（2）證明：不妨設(shè)，由（1）知：必有.要證，即證，即證，又，即證.令，其中，則，令，則在時(shí)恒成立，所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以；接下來(lái)證明，令，則，又，即，所以，要證，即證，有，不等式兩邊取對(duì)數(shù)，即證，即證，即證，令，，則，令，其中，則，所以，在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，可得函數(shù)單調(diào)遞增，可得，即，所以，綜上，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明極值點(diǎn)偏移的相關(guān)問(wèn)題，一般有以下幾種方法：（1）證明（或）：①首先構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，確定函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性；②確定兩個(gè)零點(diǎn)，且，由函數(shù)值與的大小關(guān)系，得與零進(jìn)行大小比較；③再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性得到與的大小，從而證明相應(yīng)問(wèn)題；（2）證明（或）（、都為正數(shù)）：①首先構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，確定函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性；②確定兩個(gè)零點(diǎn)，且，由函數(shù)值與的大小關(guān)系，得與零進(jìn)行大小比較；③再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性得到與的大小，從而證明相應(yīng)問(wèn)題；（3）應(yīng)用對(duì)數(shù)平均不等式證明極值點(diǎn)偏移：①由題中等式中產(chǎn)生對(duì)數(shù)；②將所得含對(duì)數(shù)的等式進(jìn)行變形得到；③利用對(duì)數(shù)平均不等式來(lái)證明相應(yīng)的問(wèn)題.8．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性：(2)若是方程的兩不等實(shí)根，求證：；【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)和分類(lèi)討論，即可得出函數(shù)的單調(diào)性；（2）由可得，是方程的兩不等實(shí)根，從而可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為是方程的兩不等實(shí)根，即可得到和的范圍，原不等式等價(jià)于，即極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，根據(jù)對(duì)稱(chēng)化構(gòu)造（解法1）或?qū)?shù)均值不等式（解法2）等方法即可證出．【詳解】（1）由題意得，函數(shù)的定義域?yàn)?由得：，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由得，由得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）因?yàn)槭欠匠痰膬刹坏葘?shí)根，，即是方程的兩不等實(shí)根，令，則，即是方程的兩不等實(shí)根.令，則，所以在上遞增，在上遞減，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，且.所以0，即0.令，要證，只需證，解法1（對(duì)稱(chēng)化構(gòu)造）：令，則，令，則，所以在上遞增，，所以h，所以，所以，所以，即，所以.解法2（對(duì)數(shù)均值不等式）：先證，令，只需證，只需證，令，所以在上單調(diào)遞減，所以.因?yàn)?，所以，所以，即，所?【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)解題關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化，將問(wèn)題變成熟悉的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，從而根據(jù)對(duì)稱(chēng)化構(gòu)造及對(duì)數(shù)均值不等式等方法證出．9．（2024·云南昭通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)區(qū)間；(2)已知在上單調(diào)遞增，且，求證：.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）函數(shù)求導(dǎo)后，對(duì)參數(shù)分類(lèi)討論，考查導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可；（2）根據(jù)題意得，所證不等式可以轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判斷單調(diào)性，繼而可以證明.【詳解】（1）的定義域?yàn)?.①當(dāng)時(shí)，由得，單調(diào)遞增，由得，單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，由得，或，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；④當(dāng)時(shí)，由得，或，由得，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.（2）由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，即：.，又且在上單調(diào)遞增，和均不成立.故不妨設(shè)，因此要證，即證，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以即證.又，故只需證，即證.設(shè)，.，故.因此在上單調(diào)遞增，所以.故，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明（或）：①首先構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，確定函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性；②確定兩個(gè)零點(diǎn)，且，由函數(shù)值與的大小關(guān)系，得與零進(jìn)行大小比較；③再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性得到與的大小，從而證明相應(yīng)問(wèn)題；10．（2024上·天津?qū)幒印じ呷y(tǒng)考期末）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求導(dǎo)，然后求出，，根據(jù)點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程；（2）求導(dǎo)，然后分和討論求的單調(diào)區(qū)間；（3）根據(jù)極值點(diǎn)為導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，令，利用韋達(dá)定理將用表示，代入，構(gòu)造函數(shù)求其最值即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，得，則，，所以切線方程為，即；（2），當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，得，單調(diào)遞增，令，得，單調(diào)遞減，綜合得：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為；（3），則，因?yàn)槭呛瘮?shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，即是方程的兩不等正根，所以，得，令，則，得，則，所以，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，即.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對(duì)于雙變量問(wèn)題，我們需要通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為單變量問(wèn)題，本題就是利用韋達(dá)定理，令達(dá)到消元的目的，常用的換元有等.11．（2024·福建廈門(mén)·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)證明：．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，得到且，是的兩個(gè)不同根，列不等式組求參數(shù)范圍；（2）設(shè)，應(yīng)用分析法將問(wèn)題化為證，令，則證，再由對(duì)應(yīng)單調(diào)性即可證結(jié)論.【詳解】（1）由題設(shè)且，若，則在上恒成立，即遞增，不可能有兩個(gè)極值點(diǎn)，不符；故，又有兩個(gè)極值點(diǎn)，則，是的兩個(gè)不同正根，所以，可得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）由（1）且，，不妨設(shè)，則，要證，需證，即，只需證，即，令，則證，由（1），時(shí)，即，所以在上遞增，又，故，即，綜上，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)，設(shè)，應(yīng)用分析法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證為關(guān)鍵.12．（2024·廣東廣州·華南師大附中?？家荒＃┮阎瘮?shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求在曲線上的點(diǎn)處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：．【答案】(1)；(2)詳見(jiàn)解析；(3)詳見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出；（2）求出導(dǎo)函數(shù)，在定義域內(nèi)分類(lèi)討論解含參不等式即可求出；（3）由題意得，，，而，只需證明，即證：，即證：對(duì)任意的恒成立即可．【詳解】（1）由題可知，當(dāng)時(shí)，，，，切點(diǎn)為，切線的斜率為，切線方程為：，即；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，．當(dāng)時(shí)，．則在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，．則，．令，則，或．，則，綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（3）有兩個(gè)極值，，，是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，則，，，．要證：．即證：．不妨設(shè)，即證：．即證：對(duì)任意的恒成立．令，．則．從而在上單調(diào)遞減，故．所以．【點(diǎn)睛】本題考查了切線方程問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類(lèi)討論思想，訓(xùn)練了構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的成立，屬難題.13．（2024上·廣東·高三廣東華僑中學(xué)校聯(lián)考期末）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，證明：.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）先求得，然后對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論，從而求得的單調(diào)區(qū)間.（2）由（1）求得，然后將要證明的不等式轉(zhuǎn)化為，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的知識(shí)證得結(jié)論成立.【詳解】（1）的定義域是，，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)，即時(shí)，令解得，若，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，若，則在區(qū)間上，單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.綜上所述，時(shí)，增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，增區(qū)間，減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，增區(qū)間，減區(qū)間.（2）若恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，由（1）可知，增區(qū)間，減區(qū)間；所以是極大值點(diǎn)，是極小值點(diǎn)，所以且，則，要證明，即證明，即證明，即證明，由于，所以即證明，即證明，由于，所以，所以成立，所以不等式成立.【點(diǎn)睛】求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：（1）確定的定義域；（2）計(jì)算導(dǎo)數(shù)；（3）求出的根；（4