數(shù)學(xué)人教A版必修2課時作業(yè)4-2-1直線與圓的位置關(guān)系

課時作業(yè)27直線與圓的位置關(guān)系——基礎(chǔ)鞏固類——1．直線4x－3y－2＝0與圓x2＋y2－2x＋4y－11＝0的位置關(guān)系是(D)A．相離 B．相切C．相交過圓心 D．相交不過圓心解析：圓心(1，－2)到直線4x－3y－2＝0的距離d＝eq\f(|4×1－3×－2－2|,\r(42＋－32))＝eq\f(8,5)，圓的半徑r＝4.所以d<r.又圓心(1，－2)不在直線4x－3y－2＝0上，故選D.2．若圓x2＋y2＝1與直線y＝kx＋2沒有公共點，則實數(shù)k的取值范圍為(A)A．(－eq\r(3)，eq\r(3)) B．(－3,3)C．(－eq\r(2)，eq\r(2)) D．(－2,2)解析：由圓與直線沒有公共點，可知圓心到直線的距離大于半徑長，即eq\f(2,\r(k2＋1))>1，解得－eq\r(3)<k<eq\r(3)，即k∈(－eq\r(3)，eq\r(3))．3．已知圓x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直線x＋y＋2＝0所得弦的長度為4，則實數(shù)a的值為(B)A．－2 B．－4C．－6 D．－8解析：由圓的方程x2＋y2＋2x－2y＋a＝0可得，圓心為(－1,1)，半徑r＝eq\r(2－a).圓心到直線x＋y＋2＝0的距離為d＝eq\f(|－1＋1＋2|,\r(2))＝eq\r(2).由r2＝d2＋(eq\f(4,2))2得2－a＝2＋4，所以a＝－4.4．若圓C的半徑長為1，圓心在第一象限，且與直線4x－3y＝0和x軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(A)A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝1解析：由題意可設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，b)，且a>0，b>0.因為圓的半徑長為1及圓與x軸相切，所以b＝1，又圓與直線4x－3y＝0相切，則有eq\f(|4a－3×1|,\r(42＋－32))＝1，解得a＝2或a＝－eq\f(1,2)(舍去)．故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－1)2＝1.5．由直線y＝x＋1上的一點向圓C：x2－6x＋y2＋8＝0引切線，則切線長的最小值為(C)A．1 B．2eq\r(2)C.eq\r(7) D．3解析：方法1：切線長的最小值在直線y＝x＋1上的點與圓心距離最小時取得，圓心(3,0)到直線的距離為d＝eq\f(|3－0＋1|,\r(2))＝2eq\r(2)，圓的半徑長為r＝1，故切線長的最小值為eq\r(d2－r2)＝eq\r(8－1)＝eq\r(7).方法2：易知P(m，m＋1)在直線y＝x＋1上，由切線長公式得|PC|＝eq\r(m2－6m＋m＋12＋8)＝eq\r(2m－12＋7)，由m∈R可得|PC|min＝eq\r(7).6．圓C：(x＋1)2＋(y－2)2＝8到直線l：x＋y＋1＝0的距離為eq\r(2)的點的個數(shù)是(C)A．1B．2C．3D．4解析：圓的半徑為2eq\r(2)，圓心C(－1,2)到直線l的距離為d＝eq\f(|－1＋2＋1|,\r(2))＝eq\r(2)，如圖所示，圓上有3個點到直線l的距離等于eq\r(2).7．直線x－2y＋5＝0與圓x2＋y2＝8相交于A、B兩點，則|AB|＝2eq\r(3).解析：圓心到直線的距離為d＝eq\f(5,\r(5))＝eq\r(5)，所以|AB|＝2eq\r(8－5)＝2eq\r(3).8．已知直線x－y＋a＝0與圓心為C的圓x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于點A，B兩點，且AC⊥BC，則實數(shù)a的值為0或6.解析：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝9，圓心C(－1，2)，半徑r＝3.∵AC⊥BC，∴圓心C到直線AB的距離d＝eq\f(\r(2),2)×3＝eq\f(3\r(2),2)，即d＝eq\f(|－1－2＋a|,\r(2))＝eq\f(|a－3|,\r(2))＝eq\f(3\r(2),2)，即|a－3|＝3，解得a＝0或a＝6.9．已知圓C的圓心與點(－2,1)關(guān)于直線y＝x＋1對稱，直線3x＋4y－11＝0與圓C相交于A，B兩點，且|AB|＝6，則圓C的方程為x2＋(y＋1)2＝18.解析：設(shè)點(－2,1)關(guān)于直線y＝x＋1的對稱點C的坐標(biāo)為(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y＋1,2)＝\f(x－2,2)＋1，,\f(y－1,x＋2)＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－1，))即圓心C(0，－1)．又圓心C到直線3x＋4y－11＝0的距離為eq\f(|3×0＋4×－1－11|,\r(32＋42))＝3，從而圓的半徑長為eq\r(\f(6,2)2＋32)＝3eq\r(2).故圓C的方程為x2＋(y＋1)2＝18.10．實數(shù)a(a>0)取什么值時，直線x＋y－2a＋1＝0與圓(x－a)2＋(y＋1)2＝a(1)相離；(2)相切；(3)相交．解：圓(x－a)2＋(y＋1)2＝a的圓心為(a，－1)，半徑為eq\r(a)，則圓心(a，－1)到直線x＋y－2a＋1＝0的距離為d＝eq\f(|a－1－2a＋1|,\r(2))＝eq\f(a,\r(2))，(1)當(dāng)eq\f(a,\r(2))>eq\r(a)，即a>2時，直線和圓相離；(2)當(dāng)eq\f(a,\r(2))＝eq\r(a)，即a＝2時，直線和圓相切；(3)當(dāng)eq\f(a,\r(2))<eq\r(a)，即0<a<2時，直線和圓相交．11．(1)圓C與直線2x＋y－5＝0切于點(2,1)，且與直線2x＋y＋15＝0也相切，求圓C的方程；(2)已知圓C和y軸相切，圓心C在直線x－3y＝0上，且被直線y＝x截得的弦長為2eq\r(7)，求圓C的方程．解：(1)設(shè)圓C的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.∵兩切線2x＋y－5＝0與2x＋y＋15＝0平行，∴2r＝eq\f(|15－－5|,\r(22＋12))＝4eq\r(5)，∴r＝2eq\r(5)，∴eq\f(|2a＋b＋15|,\r(22＋1))＝r＝2eq\r(5)，即|2a＋b＋15|＝10，eq\f(|2a＋b－5|,\r(22＋1))＝r＝2eq\r(5)，即|2a＋b－5|＝10，又∵過圓心和切點的直線與過切點的切線垂直，∴eq\f(b－1,a－2)＝eq\f(1,2)，③由①②③解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－1.))∴所求圓C的方程為(x＋2)2＋(y＋1)2＝20.(2)設(shè)圓心坐標(biāo)為(3m，m∵圓C和y軸相切，得圓的半徑為3|m|，∴圓心到直線y＝x的距離為eq\f(|2m|,\r(2))＝eq\r(2)|m|.由半徑、弦心距、半弦長的關(guān)系得9m2＝7＋2m2，∴m＝±1，∴所求圓C的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.——能力提升類——12．在平面直角坐標(biāo)系中，A，B分別是x軸和y軸上的動點，若以AB為直徑的圓C與直線2x＋y－4＝0相切，則圓C面積的最小值為(A)A.eq\f(4,5)π B.eq\f(3,4)πC．(6－2eq\r(5))π D.eq\f(5,4)π解析：由題意可知以線段AB為直徑的圓C過原點O，要使圓C的面積最小，只需圓C的半徑或直徑最小．又圓C與直線2x＋y－4＝0相切，所以由平面幾何知識，知圓的直徑的最小值為點O到直線2x＋y－4＝0的距離，此時2r＝eq\f(4,\r(5))＝eq\f(4\r(5),5)，r＝eq\f(2\r(5),5).故圓C的面積的最小值為S＝πr2＝eq\f(4,5)π.13．若圓(x－3)2＋(y＋5)2＝r2有且只有兩個點到直線4x－3y＝2的距離等于1，則半徑r的范圍是(A)A．(4,6) B．(4,6]C．[4,6) D．[4,6]解析：由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得圓心坐標(biāo)為(3，－5)，則圓心到直線4x－3y＝2的距離為eq\f(|4×3－3×－5－2|,\r(32＋42))＝eq\f(25,5)＝5，若圓上有且只有兩個點到直線的距離等于1，則需滿足|5－r|<1，解得4<r<6，故選A.14．已知直線l：y＝x＋b，曲線C：y＝eq\r(1－x2)，它們有兩個公共點，則b的取值范圍是[1，eq\r(2))．解析：方程y＝x＋b表示斜率為1的平行直線系；方程y＝eq\r(1－x2)表示單位圓位于x軸及其上方的半圓，如圖所示．當(dāng)l通過A(－1,0)，B(0,1)時，l與C有兩交點，此時b＝1，記為l1；當(dāng)l與半圓相切時，此時b＝eq\r(2)，切線記為l2；當(dāng)l夾在l1與l2之間時，l和C有兩個不同的公共點．因此1≤b<eq\r(2).15．已知曲線C：x2＋y2－4ax＋2ay－20＋20a(1)證明不論a取何實數(shù)，曲線C必過定點；(2)當(dāng)a≠2時，證明曲線C是一個圓，且圓心在一條直線上；(3)若曲線C與x軸相切，求a的值．解：(1)證明：曲線C的方程可變形為(x2＋y2－20)＋(－4x＋2y＋20)a＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－20＝0，,－4x＋2y＋20＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－2.))點(4，－2)滿足C的方程，故曲線C過定點(4，－2)．(2)證明：配方得(x－2a)2＋(y