必做03-二項式定理及其應用(原卷版)

理科必做題專題3二項式定理及其應用【三年高考】1.【2016年高考四川理數(shù)改編】設i為虛數(shù)單位，那么的展開式中含x4的項為．2．【2016年高考北京理數(shù)】在QUOTE的展開式中，的系數(shù)為__________________.〔用數(shù)字作答〕3.【2016高考新課標1卷】的展開式中,x3的系數(shù)是.〔用數(shù)字填寫答案〕4.【2016高考天津理數(shù)】的展開式中x2的系數(shù)為__________.(用數(shù)字作答)5.【2016高考山東理數(shù)】假設〔ax2+〕5的展開式中x5的系數(shù)是—80，那么實數(shù)a=_______.6．【2015高考湖南，理6】的展開式中含的項的系數(shù)為30，那么____________.7.【2015高考新課標1，理10】的展開式中，的系數(shù)為_________.8.【2015高考湖北，理3】的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，那么奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為______________.9.【2015高考新課標2，理15】的展開式中x的奇數(shù)次冪項的系數(shù)之和為32，那么__________．10.【2015高考上海，理11】在的展開式中，項的系數(shù)為〔結(jié)果用數(shù)值表示〕．11.【2014高考湖北卷理第2題】假設二項式的展開式中的系數(shù)是84，那么實數(shù)_______.14.【2014山東高考理第14題】假設的展開式中項的系數(shù)為20，那么的最小值.13.【2014全國1高考理第13題】的展開式中的系數(shù)為________.〔用數(shù)字填寫答案〕14.【2014高考安徽卷理第13題】設是大于1的自然數(shù)，的展開式為.假設點的位置如下圖，那么.【2017年高考命題預測】縱觀近幾年各地高考，我們可以發(fā)現(xiàn)對二項式定理的考查,重點是二項式定理的通項公式、二項式系數(shù)及項的系數(shù)；以考查根本概念、根底知識為主，如系數(shù)和、求某項的系數(shù)、求常數(shù)項、求有理項、求所含參數(shù)的值或范圍等；難度不大，屬于中檔題和容易題，題型為選擇題或填空題．二項式定理是高考數(shù)學相對獨立的內(nèi)容，二項式定理的知識在高考中經(jīng)常以客觀題的形式出現(xiàn)，多為課本例題、習題遷移的改編題，難度不大，個別題有一定的難度,重點考查運用二項式定理去解決問題的能力和邏輯劃分，化歸轉(zhuǎn)化等思想方法.為此，只要我們把握住二項式定理及其系數(shù)性質(zhì)，會把實際問題化歸為數(shù)學模型問題或方程問題去解決，就可順利獲解.預測2017年高考仍可能以二項式的通項,二項式系數(shù)，展開式系數(shù)為主，可單獨考查本節(jié)知識，也可出現(xiàn)與其他章節(jié)知識結(jié)合的小綜合.如可能與定積分結(jié)合出題，試題難度中等．復習建議:⑴運用二項式定理一定要牢記通項，注意與雖然相同，但具體到它們展開式的某一項時是不相同的，我們一定要注意順序問題.另外二項展開式的二項式系數(shù)與該項的(字母)系數(shù)是兩個不同的概念，前者只指，而后者是字母外的局部.⑵對于二項式系數(shù)問題，應注意以下幾點：①求二項式所有項的系數(shù)和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母變量的值為1；②關(guān)于組合恒等式的證明，常采用“構(gòu)造法”——構(gòu)造函數(shù)或構(gòu)造同一問題的兩種算法；③證明不等式時，應注意運用放縮法.⑶求二項展開式中指定的項，通常是先根據(jù)條件求，再求，有時還需先求，再求，才能求出.⑷有些三項展開式問題可以變形為二項式問題加以解決；有時也可以通過組合解決，但要注意分類清楚，不重不漏.⑸對于二項式系數(shù)問題，首先要熟記二項式系數(shù)的性質(zhì)，其次要掌握賦值法，賦值法是解決二項式系數(shù)問題的一個重要手段.⑹近似計算要首先觀察精確度，然后選取展開式中假設干項.⑺用二項式定理證明整除問題，一般將被除式變?yōu)橛嘘P(guān)除式的二項式的形式再展開，常采用“配湊法”“消去法”配合整除的有關(guān)知識來解決.【2017年高考考點定位】本節(jié)內(nèi)容高考的重點就是利用二項式定理的通項公式、二項式系數(shù)及項的系數(shù)；以考查根本概念、根底知識為主，如系數(shù)和、求某項的系數(shù)、求常數(shù)項、求有理項、求所含參數(shù)的值或范圍等，題型既有選擇題也有填空題，難度中等偏下，而小題目綜合化是這局部內(nèi)容的考查一種趨勢.【考點】二項式定理【備考知識梳理】1.二項式定理，這個公式所表示的定理叫做二項式定理，右邊的多項式叫做的二項展開式，其中的系數(shù)()叫做二項式系數(shù)．式中的叫做二項展開式的通項，用表示，即展開式的第項；.2．二項展開式形式上的特點：(1)項數(shù)為.(2)各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)，即與的指數(shù)的和為.(3)字母按降冪排列，從第一項開始，次數(shù)由逐項減1直到零；字母按升冪排列，從第一項起，次數(shù)由零逐項增1直到.(4)二項式的系數(shù)從，，一直到，.3.二項式系數(shù)的性質(zhì)：(1)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即，，，.(2)增減性與最大值：二項式系數(shù)，當時，二項式系數(shù)是遞增的；由對稱性知：當時，二項式系數(shù)是遞減的．當是偶數(shù)時，中間的一項取得最大值．當是奇數(shù)時，中間兩項和相等，且同時取得最大值．(3)各二項式系數(shù)的和：的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于，即，二項展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即，4.注意:〔1〕．分清是第項，而不是第項.(2)．在通項公式中，含有、、、、、這六個參數(shù)，只有、、、是獨立的，在未知、的情況下，用通項公式解題，一般都需要首先將通式轉(zhuǎn)化為方程〔組〕求出、,然后代入通項公式求解.(3)．求二項展開式中的一些特殊項，如系數(shù)最大項，常數(shù)項等，通常都是先利用通項公式由題意列方程，求出，再求所需的某項；有時那么需先求,計算時要注意和的取值范圍以及它們之間的大小關(guān)系.(4)在中，就是該項的二項式系數(shù)，它與，的值無關(guān)；而項的系數(shù)是指化簡后字母外的數(shù)．5．二項式的應用:〔1〕求某些多項式系數(shù)的和；〔2〕證明一些簡單的組合恒等式；〔3〕證明整除性,①求數(shù)的末位；②數(shù)的整除性及求系數(shù)；③簡單多項式的整除問題；〔4〕近似計算.當充分小時，我們常用以下公式估計近似值：①；②；〔5〕證明不等式.【規(guī)律方法技巧】1.在應用通項公式時，要注意以下幾點：①它表示二項展開式的任意項，只要與確定，該項就隨之確定；②是展開式中的第項，而不是第項；③公式中，，的指數(shù)和為且，不能隨便顛倒位置；④對二項式展開式的通項公式要特別注意符號問題．=5\*GB3⑤在二項式定理的應用中，“賦值思想”是一種重要方法，是處理組合數(shù)問題、系數(shù)問題的經(jīng)典方法．2.二項定理問題的處理方法和技巧:⑴運用二項式定理一定要牢記通項，注意與雖然相同，但具體到它們展開式的某一項時是不同的，一定要注意順序問題，另外二項展開式的二項式系數(shù)與該項的(字母)系數(shù)是兩個不同的概念，前者只指，而后者是字母外的局部．前者只與和有關(guān)，恒為正，后者還與，有關(guān)，可正可負．⑵對于二項式系數(shù)問題，應注意以下幾點：①求二項式所有項的系數(shù)和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母變量的值為1；②關(guān)于組合恒等式的證明，常采用“構(gòu)造法”——構(gòu)造函數(shù)或構(gòu)造同一問題的兩種算法；③證明不等式時，應注意運用放縮法.⑶求二項展開式中指定的項，通常是先根據(jù)條件求，再求，有時還需先求，再求，才能求出.⑷有些三項展開式問題可以變形為二項式問題加以解決；有時也可以通過組合解決，但要注意分類清楚，不重不漏.⑸對于二項式系數(shù)問題，首先要熟記二項式系數(shù)的性質(zhì)，其次要掌握賦值法，賦值法是解決二項式系數(shù)問題的一個重要手段.⑹近似計算要首先觀察精確度，然后選取展開式中假設干項.⑺用二項式定理證明整除問題，一般將被除式變?yōu)橛嘘P(guān)除式的二項式的形式再展開，常采用“配湊法”“消去法”配合整除的有關(guān)知識來解決.多項式乘法的進位規(guī)那么:在求系數(shù)過程中,盡量先化簡，降底數(shù)的運算級別,盡量化成加減運算，在運算過程可以適當注意令值法的運用，例如求常數(shù)項，可令.在二項式的展開式中，要注意項的系數(shù)和二項式系數(shù)的區(qū)別.3.排列組合在二項展開式中的應用：展開式可以由次數(shù)、項數(shù)和系數(shù)來確定．(1)次數(shù)確實定：從個相同的中各取一個(或)乘起來，可以構(gòu)成展開式中的一項，展開式中項的形式是，其中.(2)項數(shù)確實定：滿足條件的共組．即將展開共項，合并同類項后共項．(3)系數(shù)確實定：展開式中含()項的系數(shù)為(即個，個的排列數(shù))因此展開式中的通項是：(),這種方法比數(shù)學歸納法推導二項式定理更具一般性和創(chuàng)造性，不僅可二項展開，也可三項展開，四項展開等．4.求幾個二項式積的展開式中某項的系數(shù)或特定項時，一般要根據(jù)這幾個二項式的結(jié)構(gòu)特征進行分類搭配，分類時一般以一個二項式逐項分類，分析其他二項式應滿足的條件，然后再求解結(jié)果．5.“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如、()的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令即可；對形如()的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令即可．“賦值法”是求二項展開式系數(shù)問題常用的方法，注意取值要有利于問題的解決，可以取一個值或幾個值，也可以取幾組值，解題易出現(xiàn)漏項等情況，應引起注意．例：假設，那么展開式中各項系數(shù)之和為，奇數(shù)項系數(shù)之和為，偶數(shù)項系數(shù)之和為，令，可得．6.求展開式系數(shù)最大項：如求()的展開式系數(shù)最大的項，一般是采用待定系數(shù)法，設展開式各項系數(shù)分別為，且第項系數(shù)最大，應用從而解出k來，即得．7.(1)利用二項式定理解決整除問題時，關(guān)鍵是進行合理地變形構(gòu)造二項式，應注意：要證明一個式子能被另一個式子整除，只要證明這個式子按二項式定理展開后的各項均能被另一個式子整除即可．(2)求余數(shù)問題時，應明確被除式與除式()，商式與余式的關(guān)系及余式的范圍．(3)展開式中常數(shù)項、有理項的特征是通項中未知數(shù)的指數(shù)分別為零和整數(shù)．解決這類問題時，先要合并通項中同一字母的指數(shù)，再根據(jù)上述特征進行分析．(4)有關(guān)求二項展開式中的項、系數(shù)、參數(shù)值或取值范圍等，一般要利用通項公式，運用方程思想進行求值，通過解不等式(組)求取值范圍．【考點針對訓練】1.的展開式的前三項的系數(shù)成等差數(shù)列；〔1〕求展開式中所有的有理項；〔2〕求展開式中系數(shù)的絕對值最大的項。2.求的展開式中的常數(shù)項，其中是除以的余數(shù)．【兩年模擬詳解析】1.二項展開式中，第4項的二項式系數(shù)與第3項的二項式系數(shù)的比為8：3〔1〕求n的值；〔2〕求展開式中項的系數(shù)〔3〕計算式子的值．2．．〔1〕求的值〔2〕求〔3〕求．3．假設展開式中第二、三、四項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列．〔1〕求n的值及展開式中二項式系數(shù)最大的項．〔2〕此展開式中是否有常數(shù)項，為什么？4．的展開式中，只有第六項的二項式系數(shù)最大．〔Ⅰ〕求該展開式中所有有理項的項數(shù)；〔Ⅱ〕求該展開式中系數(shù)最大的項．5．展開式中各項的系數(shù)之和比各項的二項式系數(shù)之和大．〔1〕求展開式中二項式系數(shù)最大的項；〔2〕求展開式中系數(shù)最大的項．6．解以下方程：7．在的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列?！并瘛城笳归_式中含有的項的系數(shù)；〔Ⅱ〕求展開式中的有理項。8．設數(shù)列{an}是等比數(shù)列，，公比q是的展開式中的第二項〔按x的降冪排列〕．〔1〕用n、x表示通項an與前n項和Sn；〔2〕假設An+1＝S1＋S2＋…＋Sn＋Sn+1，用n、x表示An+1．9．二項式〔N*〕展開式中，前三項的二項式系數(shù)和是，求：〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕展開式中的常數(shù)項．10．〔1〕假設的展開式中，的系數(shù)是的系數(shù)的倍，求；〔2〕的展開式中,的系數(shù)是的系數(shù)與的系數(shù)的等差中項,求；〔3〕的展開式中,二項式系數(shù)最大的項的值等于,求.11．的展開式中，前三項系數(shù)的絕對值依次成等差數(shù)列〔1〕證明展開式中沒有常數(shù)項；〔2〕求展開式中的所有有理項；12．:〔,n為常數(shù)〕．〔1〕求；〔2〕我們知道二項式的展開式．假設該等式兩邊對x求導得：=,令x=1，可得=．利用此方法解答以下問題：①求；②求．13．設．〔1〕假設數(shù)列的各項均為1，求證：；〔2〕假設對任意大于等于2的正整數(shù)，都有恒成立，試證明數(shù)列是等差數(shù)列．14．．⑴求及；⑵試比擬與的大小，并說明理由．15．設且對于二項式〔1〕當時，分別將該二項式表示為的形式；〔2〕求證：存在使得等式與同時成立．16．展開式中各項的二項式系數(shù)和比各項的系數(shù)和大256；〔Ⅰ〕求展開式中的所有無理項的系數(shù)和；〔Ⅱ〕求展開式中系數(shù)最大的項．17．在數(shù)學上，常用符號來表示算式，如記=，其中，.〔1〕假設，，