新教材人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)運(yùn)算及歐拉公式的應(yīng)用 同步講義

18、復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)運(yùn)算及歐拉公式的應(yīng)用

【考點(diǎn)分析】

考點(diǎn)一：復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算性質(zhì)

①IZl=口，Z?Z=,

證明：設(shè)z=α+Z?"則z=0-∕√,所以忖=Ja2+l2,∣z∣=^Ja2+(-bf-^a2+b2,

所以IZl=H

z-z=(a+bi?a-bi)^a2-b2i2=a2+b2,因IZl=Ja?+〃,所以，=/+/，所以

z?z=∣z∣

(2)∣ZIZ2∣=∣Z1∣∣Z2∣,?=W

證明：設(shè)Z]=Q+hi,Z2=c+Jz,則

2

z1z2=(67+hι^c+di)-ac+adi+bci+hdi=(ac-bd)+(ad+bc)i,所以

22221222

∣zlz2∣=?/[ac-hd^+(ad+bcf=?/ac—2abcd+hd÷ad+2abcd+bc

=y∣a2c2+b2d2+crd2+b2c2,

22222212

∣zl∣?∣z2∣=J∕+j2JcH=yJac+ad+bc-vbd,

所以％z2l=klz2l

同理可證三?=包

Z2lz2∣

③,1=同"

zz

φ∣∣∣∣-∣2∣∣≤IZl+z2∣≤∣z,∣+∣z2∣(三角不等式)

考點(diǎn)二：復(fù)數(shù)的歐拉公式

e'x=cosx+zsinX

【題型目錄】

題型一：復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)運(yùn)算

題型二：復(fù)數(shù)的歐拉公式應(yīng)用

【典型例題】

題型一：復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)運(yùn)算

【例1】(多選題)下面四個(gè)命題正確的是()

A.若復(fù)數(shù)Z滿足LeR,則ZWR

Z

B.若復(fù)數(shù)Z滿足∕GR,則ZeR

C.若復(fù)數(shù)4，z2,滿足㈤=%|,則ZlZl=Z2Z2

D.若復(fù)數(shù)z∣,Z2滿足z&eR,則zl=z2

【答案】AC

【分析】設(shè)z=a+6i,α,8∈R,z∣=q+b∣i,z?=々+/i，卬，々，的也?R.根據(jù)復(fù)數(shù)的計(jì)算方

法和相關(guān)概念逐項(xiàng)計(jì)算驗(yàn)證即可.

【詳解】設(shè)z="+歷,α,?∈R,zl=?|+?∣i,z2=a2+b2i,at,ht,a2,b2eR.

對(duì)于選項(xiàng)A：l=?a-bi

a2+h2

若』eR,則萬(wàn)=0,即z="為實(shí)數(shù)，故A正確；

Z

對(duì)于選項(xiàng)B：z2=cr-h2+2ab??若z?wR，則26?=0=α=0或Z?=0,

若α=0,AwO,則zeR,故B錯(cuò)誤；

22

對(duì)于選項(xiàng)C：∣z1∣=∣z2∣=>01+?1=Y+以,

Z[Z]=a；+牙，Z2Z2-C^+Z?2?故4Z]=Z2Z2,故C正確;

ɑ

對(duì)于選項(xiàng)D：Z1Z2=（《+%）（電+Di）=（∕?—32）+（貼2+4））力

若Z&WR,則q&+a在=0,無(wú)法得到4=Z2,故D錯(cuò)誤.

【例2】（多選題）對(duì)于任意復(fù)數(shù)馬、z2,下列說(shuō)法中正確的有（）

A.若Z[=Z],則Z[∈/?B.若Z]-Z2>0,則4>Z2

22

C.（zl+z2）=∣z1÷Z2∣D.若㈤=1,則Z]+'∈R

zI

【答案】AD

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的模以及復(fù)數(shù)的運(yùn)算逐項(xiàng)排除.

【詳解】設(shè)z∣=4+%i,4,b∈R

z1=zl,EPa+b?=a-b?,.*./?=0,z1=?∈R,故A對(duì)；

Z]=3+4i/2=2+4i,Z[—Z2>0但Z1與N2無(wú)大小,故B錯(cuò)；

2

z∣+z2=i時(shí)i=—l,∣z∣+Z21=1，故C錯(cuò)；

.ICI..1..u-b?.?

4=1,a2+b1=1,z∣+-=〃+方+----=a+hι+--—=2α∈R,故D對(duì),

11

zla+bi1

【例3】（多選題）已知i為虛數(shù)單位，下列命題中正確的是（）

A.Z?Z=∣2∣2=∣Z∣2B.復(fù)數(shù)Z=C,則同=2書

C.若復(fù)數(shù)z∣>Z2,則4,Z2∈RD.若元，y∈C,則x+yi=l+i的充要條件是

x=y=l

【答案】AC

【分析】利用復(fù)數(shù)的求模公式和四則運(yùn)算判斷A、B,利用虛數(shù)不能比較大小判斷C,利用

特殊值判斷D.

【詳解】解：對(duì)于A：設(shè)z=4+歷.(a,?∈R),則彳=α-bi,∣z∣2=∣z∣2=a2+h1=z?z,故A

正確，

,.3i3i3i(2+i)-3+6i36.

對(duì)于B：ZE=—2T)(2+i)=M=Tθ

所以IZln+("=哈故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：.虛數(shù)不能比較大小，能比較大小的一定為實(shí)數(shù)，???z∣,Z2∈R,故C正確；

當(dāng)x=l+2i,y=T時(shí)，滿足x+yi=l+i,但x=y=l不成立，故D錯(cuò)誤.

【例4】(多選題)設(shè)Z是非零復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是()

A.若z+∣z∣eR,則ZWRB.若Z=IZ貝Ijz=乞

C.若z+i^=O,則片=1D.若彳=目，則IZl=I

IZlz

【答案】ABD

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)逐一檢驗(yàn)即可.

【詳解】A選項(xiàng)，IZIeR,故zwR,正確；

B選項(xiàng)，Z=IZl即zeR,故z=W,正確；

Z

C選項(xiàng)，z+5=0即Z為純虛數(shù)，故目=±i，不正確；

D選項(xiàng)，二三?Z=∣Z∣2,.?Jz∣2=∣Z∣,故∣Z∣=1,正確.

【例5】設(shè)復(fù)數(shù)Z[,Z2滿足IZj=I,∣Z2∣=2,Z1-Z2=1+√2i,則∣Z]+Z2∣=.

【答案】√7

【分析】由已知可得∣Z]-Z2]=,進(jìn)而由k-Z2『=(z1-Z2)Z1-Z2可得Z]Z2÷z2z1=2,從而

222z

有2]÷Z2∣=∣zι∣+∣Z2∣÷z1z2+Z2I?故而可得答案.

【詳解】解：因?yàn)閦∣-z2=ι+",所以％-ZZI=JF+(應(yīng)y=后,

又∣Z]∣=1,卜|=2,

222

所以IZl-Z2∣=(ZI-Z2)ZI-Z2=zlZ1+z2Z2-Z1Z2-Z2Z1=∣Z1∣+∣z2∣-Z1Z2-Z2Z1=3,

所以4Z2+z2z1=2,

所以「=『+

∣Z]+Z2(z∣+Z2)Z]+z[=∣z∣∣z2∣^+z1z2+z2zl=7,

所以k+Z2∣=j7,

【例6】已知zeC,且∣z-i∣=l,i為虛數(shù)單位，則∣Z-2∣的最大值是.

【答案】

λ^+l??l+√5

【分析】利用復(fù)數(shù)模幾何意義求解.

【詳解】滿足|z-”=1的Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在復(fù)平面上以M(O,1)為圓心，1為半徑的圓上，∣z-2∣表

示點(diǎn)Z到點(diǎn)N(2,0)的距離，

22所以

?MN?=√(2-O)+(O-I)=√5,IZNlnKK=√5+l.

【例7】已知zeC,|z—2-2i∣=l,i為虛數(shù)單位，貝IJlZ+2—2i∣取至IJ最小值時(shí)，Z的值為

【答案】l+2i##2i+l

【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義和卜-2-2i∣=l可知其表示以C(2,2)為圓心，1為半徑的圓,

而|z+2-2i∣表示點(diǎn)B(-2,2)與圓上點(diǎn)A(x,y)的距離，利用圓的幾何性質(zhì)即可求出結(jié)果.

【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)z=x+W(x,yeR),

則∣z-2-2i∣=∣(x-2)+(y-2)i∣=J(X-2):+(y-2)'=1,

22表示以為圓心，為半徑的圓，

W(Λ-2)+(y-2)=l,C(2,2)r=l

22

∣z+2-2i∣=∣(x+2)+(?-2)i∣=A∕(X+2)+(>>-2),

表示圓C上的點(diǎn)A(x,y)到定點(diǎn)B(-2,2)的距離，

當(dāng)點(diǎn)4x,y)、8(-2⑵、C(2,2)三點(diǎn)共線時(shí)，&x,y)到8(-2,2)的距離最小,

即|z+2-2i∣取到最小值，此時(shí)A(l,2),所以z=l+2i.

【題型專練】

1.(多選題)若Z=二，則下列結(jié)論正確的是()

1-1

A.Z的虛部為iB.z-z=l

C.∣z-l∣=2D.l+z+z2+z3+z4=1

【答案】BD

【分析】先對(duì)復(fù)數(shù)Z化簡(jiǎn)，然后逐個(gè)分析判斷即可.

_1+i(l+i)2l+2i+i2

【詳解】

z-T≡i-(l-i)(l+i)^-2-

對(duì)于A,復(fù)數(shù)Z的虛部為1,所以A錯(cuò)誤,

對(duì)于B,z?z=i?(-i)=-i2=1,所以B正確,

對(duì)于C,IZT=Ii-1|=J(T)"2=0,所以C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,l+z+z2+z3+z4=l+i+i2+i3+i4=l+i-l-i+l=l>所以D正確,

2.(多選題)設(shè)句，句為復(fù)數(shù)，下列命題中正確的是()

22

?-z∣?z∣=∣zjB.z1=∣zl∣

C.∣Z,Z2∣=∣Z,∣?∣Z2∣D.Z1+z2=z1+z2

【答案】ACD

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的性質(zhì)依次判斷即可得出.

【詳解】設(shè)Z[=α+?i(α,b∈R),z2=c+di(c,d∈R),

β222

對(duì)于A,則z1=a-bi,.*z1?z1=(a+bi)(a-bi)=a+b=∣z1∣,故A正確；

對(duì)于B,zf=(a+bi)2=a2-b2+2abi,當(dāng)必HO,z：是虛數(shù)，㈤?一定是實(shí)數(shù)，不可能相等，

故B錯(cuò)誤；

又寸于C,z1z2=(α+fei)(c+Ji)=<??-?J+(?</+?)i,

122222222222

所以Iz∣N?I=Q(ac-bd)'+(ad+忖°=?∣ac+bd+ad+bc=??(ɑ+?)(c+J)=∣zl∣?∣z2∣,

故C正確，

對(duì)于D,zl+z2=(?+c)-(h+d)i,zl+z2=(a+c)-(b+d)i.故D正確.

3.(多選題)關(guān)于復(fù)數(shù)Z及其共扼復(fù)數(shù)2,下列說(shuō)法正確的是()

A.z+z∈RB.∣z∣=∣z∣

C.Iz?zI=Z2D.z?z=∣z∣?∣z∣

【答案】ABD

【分析】根據(jù)題意，設(shè)z=α+bi,α力eR,則％=進(jìn)而依次討論各選項(xiàng)即可得答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)Z=“+歷,”,6eR,z=α-?i,

則z+?=2α∈R,Iz|=|zI=-Ja2+b2>?z?z?=c^+b2,z2=a1-b2+2aln,z?z=∣z???z?=a2+b2,

4.(多選題)已知復(fù)數(shù)4，z2,Z3,則下列結(jié)論正確的是()

A.若z∣+Zz=O,則IZJ=IZJB.?∣z,+l∣=∣z2+l∣,則IZJ=㈤

22

c.z,=∣zl∣D.若Z3=Z∣Z2,則%|=歸憶|

【答案】AD

【分析】對(duì)于A,由模的定義判斷，對(duì)于B,舉例判斷，對(duì)于C,設(shè)4=x+W(x,yeR),然后

分別計(jì)算z：,|zj進(jìn)行判斷，對(duì)于D,設(shè)z,=x+M(x,yeR),z2=a-bi(a,beR),然后分別計(jì)算

IZ闖和㈤IZj進(jìn)行判斷

【詳解】對(duì)于A,若Z∣+Z2=O,則Zl=-Z2，所以㈤=卜司=同，所以A正確，

22

對(duì)于B,設(shè)z∣=2+4i,N2=4,則匕+l∣=∣3+4i∣=5=憶+1|=|5|,fl∏∣z1∣=√2+4=2√5≠∣z2∣=4,

所以B錯(cuò)誤，

22222222

對(duì)于C,設(shè)ZI=X+yi(x,yeR),則z「=(x+yi)=x-y+2xyi,?zl?=y∣x+y,所以㈤=X+y,

所以z"㈤2,所以C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,設(shè)Zl=X+W(x,ywR),z2=α-?i(α,?∈R),則

zlz2=(x+>i)(α-?i)=(0r+?y)+(tzy-?x)i,

22222222

所以BZ21=J(Ox+勿)2+(4y-?r)2_y∣(x+y)(a+h'),∣zl∣∣z2∣=y∕(x+y)(a+h),

所以當(dāng)Z3=z∣Z2時(shí),∣z3∣=∣z1∣∣z2∣,所以D正確,

5.(多選題)已知復(fù)數(shù)4,馬，則下列說(shuō)法正確的是()

A.若㈤=憶|,則z∣=±z?B.若z；=z；,則IZJ=IZJ

C.?∣z1∣>∣z2∣,則Z∣>z?D.?(zl+z2)(z,-z2)=O,則z；=z；

【答案】BD

【分析】對(duì)于A,舉例判斷，對(duì)于B,由復(fù)數(shù)相等的條件和復(fù)數(shù)的模的計(jì)算分析判斷，對(duì)于

C,兩個(gè)虛數(shù)無(wú)大小關(guān)系，對(duì)于D,對(duì)已知的式子化簡(jiǎn)變形即可

【詳解】對(duì)于A,若z∣=l+i*2=",則滿足IZJ=IZ2∣=√∑,而不滿足4=±與所以A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,由z：=z；,得z；-z；=(z∣+Z2)(z∣-Z2)=O,

所以z∣+Z2=0或4-Z2=0,所以Zl=-Z2或Z]=N2,所以㈤=憶|,所以B正確，

對(duì)于C,因?yàn)閮蓚€(gè)虛數(shù)的?？梢员容^大小，而兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小，所以C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,?(z,+z2)(z∣-z2)=0,得z：-z；=O,所以z：=z；,所以D正確，

6.(多選題)已知Z復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()

A.Z+W是實(shí)數(shù)B.∣z∣=z2C.∣z∣=∣z∣D.z+W是純虛數(shù)

【答案】AC

【分析】設(shè)出復(fù)數(shù)Z的代數(shù)形式，再逐項(xiàng)計(jì)算判斷作答.

【詳解】設(shè)z=α+Ai,α,b∈R,則I=CLbi，

z+z=a+b?+a-b?=2a≡R?A正確，D不正確；

IZl=Ja2+6,而z?-〃+2αbi,B不正確；

22

∣z∣z=λ∕α+(-?)=∣z∣,C正確.

7.(多選題)設(shè)復(fù)數(shù)Z=-4+立i,則下列命題中正確的是()

22

A.∣z∣2=z?zB.z2=z

C.Z的虛部是也iD.若z"∈R,則正整數(shù)〃的最小值是3

2

【答案】ABD

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)的分類，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】對(duì)于A中，由IZI=J（Ty+凈2=],z?"g+*）（-g半）=1,

所以IZf=Z所以A正確：

對(duì)于B中，由z）=-------I=z＞則B正確；

22

對(duì)于C中，由z=」+且i,可得Z的虛部是也，則C錯(cuò)誤；

222

對(duì)于D中，由Z=-L+^i,可得z2=-」-3i,?=1，

2222

所以z"eR，得正整數(shù)〃的最小值是3,所以D正確.

8.（多選題）已知復(fù)數(shù)4，z2,下列結(jié)論正確的有（）

A.Z1+z2=zl+z2B.若Z-=O,則Z∣=Z?=°

zzz2

c.∣∣?∣~∣∣∣∣2∣D.zl=∣z∣∣

【答案】ABC

【分析】利用共軌復(fù)數(shù)的定義判斷選項(xiàng)A,由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及實(shí)數(shù)O的含義判斷選項(xiàng)B,

由復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)判斷選項(xiàng)C,由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算及模的平方判斷選項(xiàng)D.

【詳解】設(shè)ZI=α+歷/2=c+di,

對(duì)于A,zl+z2=(α+c)-(?+J)i,zl+z2=(α+c)-(?+J)i,

故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于B,因?yàn)閦∣z?=(α+fei)(c+㈤=(αc-M)+(0rf+bc)i=O,

[ac-bd=0

貝叫j,c，則a=。=?；騝=d=(‰

[ad+hc=0

所以z∣,年中至少有一個(gè)0,

故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于C,由復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)可知,

∣zlz2∣=∣(<7+?i)(c+Ji)∣=+(ad+6C)-，

=J(ac)-+(bdJ+(〃“)+伍

22222222

IzlHz21=7?+b-?∣c+d-??(ae)+(W)+(αJ)+(?c)

故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D,當(dāng)z∣="+歷，則z；=(α+bi)?(α+3i)=t/2+246i,

|Z/=,+歷「=('/+〃)=a2+b2所以Z；N|Z『

故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

9.(多選題)已知復(fù)數(shù)Z∣,Z2(z∣WZ2)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱.則下列說(shuō)法一定

正確的是()

A.z∣+z?是實(shí)數(shù)B.Z「馬是純虛數(shù)C.馬烏是實(shí)數(shù)D.ZL是純虛數(shù)

Z2

【答案】ABC

【分析】結(jié)合向量運(yùn)算、向量的有關(guān)概念對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確選項(xiàng).

【詳解】依題意，設(shè)耳=。+例,3力€/?),則22="-為，其中6x0.

z∣+z?=2α為實(shí)數(shù)，A選項(xiàng)正確.

z∣-Z2=2歷為純虛數(shù)，B選項(xiàng)正確.

z「Z?=/+6為實(shí)數(shù)，C選項(xiàng)正確.

22

z1^ι+b?_(α+歷)-a-b+2abi當(dāng)〃*從時(shí)，五不是純虛數(shù)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

1ZI

z2a-b?(a-?i)(α+?i)a+b^

10.(多選題)設(shè)復(fù)數(shù)Z的共規(guī)復(fù)數(shù)為Z,i為虛數(shù)單位，則下列命題正確的是()

A.若z?N=0,則Z=OB.若z—乞eR,貝∣Jz∈R

C.若IZJ=IZ2∣,則z；=z；D.若Z=Sing→icos-^?,則IZl=I

【答案】AB

【分析】根據(jù)共輾復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的模的定義，結(jié)合特例法逐一判斷即可.

【詳解】A：設(shè)z=α+加(4,b∈R),貝丘=干一歷,

z?z=O=>(。+藥)(。一4)=OnQ2+?2二。=〃=〃=。=?=。，故本命題是真命題；

B：設(shè)z=α+bi(a,b∈R),則I=〃-歷，

Z-z=α÷?i—(?—?i)=2bi,

因?yàn)閦-5∈R,所以。=0,因此zeR,故本命題是真命題：

C：令Z∣=i∕2=l,顯然團(tuán)=閭=1,但是2：=-1,2；=1,顯然2：=2；不成立，因此本選項(xiàng)是

假命題；

D：因?yàn)镮ZI=JSin??+cos2,≠l,所以本命題是假命題，

11.已知∣Z∣=2,則∣z+3-4i∣的最大值是.

【答案】7

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.

【詳解】設(shè)z=χ+yiχ,yeR,則有"77=2,即/+/=4,

則Z在復(fù)平面中的點(diǎn)P(x,y)在以(0,0)為圓心，r=2為半徑的圓周上,

z+3-4i=(x+3)+(y-4)i,

∣z+3-4i∣=J(X+3)2+(y-4尸，表示P(x,y)與點(diǎn)4-3,4)的距離，

22

由圖可知，IAPLlM=√(-3-0)+(4-0)+r=5+2=7,

即∣z+3-4i∣的最大值為7.

12.設(shè)4,Z2是復(fù)數(shù)，已知㈤=1,∣?∣=3,∣ZI-Z2∣=√5,則∣4+Z2∣=.

【答案】√15

【分析】設(shè)4=α+4(α,6eR),z2=c+M(GdeR)，根據(jù)復(fù)數(shù)模長(zhǎng)運(yùn)算，利用∣z∣-zj=5可

求得.c+b”,進(jìn)而可得∣z∣+Z2f,由此可求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)Z]=α+bi(4,力∈R),Z2=c+cR[c,d∈R),

1122

.,.∣z1∣^=ci+b=1,∣z2∣^=C+d=9,

=(a-c^+(b-d^=a2+b2+c→d2-2{ac^bd)=?0-2(ac+bd)=5,

,5

Cic+bdj=一,

2

2222222

.?.∣Z1+Z2∣=(Q+C)+(?+J)=67+?÷C+J+2(ac+6J)=15,Λ∣Z1+Z2∣=7Γ5.

題型二：復(fù)數(shù)的歐拉公式應(yīng)用

【例1】歐拉公式∕=cose+isin夕把自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e、虛數(shù)單位i、三角函數(shù)聯(lián)系在一起，

充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美.若復(fù)數(shù)Z滿足(ebr+i)?z=l,貝IJZ的虛部為()

A.~B.—C.ID.—1

22

【答案】B

【分析】由歐拉公式和復(fù)數(shù)除法運(yùn)算可求得Z,由復(fù)數(shù)虛部定義求得結(jié)果

【詳解】由歐拉公式知：

em=cosπ÷isinπ=—1,?'?(e'π+i)?z=(-l÷i)?z=i,

ii(-l-i)1-i11.

.?.Z=------=------------------=-----=-------?.

-l+i(-l+i)(-l-i)222,

.■.Z的虛部為-g.

【例2】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z="+bi(α,∕>eR)對(duì)應(yīng)向量為OZ(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，設(shè)IoZl=r,

以射線OX為始邊，OZ為終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得的角為凡則z=∕?(cose+isin6),法國(guó)數(shù)學(xué)家

棣莫弗發(fā)現(xiàn)棣莫弗定理：Zl=MCOSa+isi∏α),z2=/j(eose,+isi∏6ζ),則

Z-=樣[cos(α+a)+isin(a+a)],由棣莫弗定理導(dǎo)出了復(fù)數(shù)乘方公式：

z"=[r(cose+isin6)]"=r"(cos〃e+isin〃e)(〃∈N*),則(-l+6i)'°=()

A.1024-1024√3iB.-1024+1024√3iC.512-512√3iD.-512+512√3i

【答案】D

【分析】先將z=-l+Gi衣示為三角形式，然后結(jié)合棣莫弗定理求得正確答案.

9

【詳解】由題意，得當(dāng)z=-l+√Ji時(shí)，r=2,0=yπ,

.*.(-l+>∕3i)10=2(COSg+isin1)]

c/20π..20兀)

=2"'cos-----+ιsιn------.

I33)

..20π(.π1.20π.(?π?.π?/?

3Ik3)32313J32

2H)(CoS竽+isin等)=2∣°-→y^i=-5l2+5l2^i,

【例3】歐拉公式e'0=cose+isine(e=2?71828)是由18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家、自然科學(xué)家萊昂

哈德?歐拉發(fā)現(xiàn)的，被譽(yù)為數(shù)學(xué)上優(yōu)美的數(shù)學(xué)公式.已知/'W)='+且i,則e=()

22

A.1+2E(AEZ)B.?^+2?π(?∈Z)C.y+?π(?∈Z)D.?^+?π(?∈Z)

【答案】B

【分析】按已知公式展開，由等式列出方程組，解出即可.

【詳解】ei0=cos0+isin0,

.?.e**V=COS(e+2]+isin3i

I6jI6)22

8=2kw+g(kEZ)

【例4】棣莫弗公式（COSX+isinx）”=cos∕tv+isinnr（其中i為虛數(shù)單位）是由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫

z\2023

弗（1667-1754年）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)卜唉+isi哈在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)

應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【分析】根據(jù)棣莫弗公式及誘導(dǎo)公式計(jì)算即可.

71

【詳解】由棣莫弗公式知，（CoSN+isin四］~=cos^ɑ-?+isjn—-=cosf337π+—>l+?sin（337π+?'l

V66）66\6JV6）

.Ji、..兀、y/31.

=cos（π+-）+ιsιn（fπ+-）=----------1,

6622

/?2O23（/?］'

.?.復(fù)數(shù)上os^+isinF在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為-一,-彳，位于第三象限.

166）I22J

【例5】歐拉公式ejfi=cosx+isinx（i為虛數(shù)單位，XWR）是由數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，該公式

建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的

是（）

i

A.］的虛部為iB.e^=---i

C.∣eri∣=∣cosx∣+∣sinx∣D.e?的共朝復(fù)數(shù)為;-等i

【答案】D

【分析】對(duì)于A,由/一，其虛部為1，可判斷A；對(duì)于B,e苧=-也+變i,判斷B；

eτ22

對(duì)于C,PiI=JCoS2x+si??x=l,判斷C；對(duì)TD,求得J，結(jié)合共甑復(fù)數(shù)的概念即可判斷.

【詳解】對(duì)于A,e≡i=cos-+isin?=i,其虛部為1,故A錯(cuò)誤；

22

*j十B,e4=cos—+isin—=+?^?i>?Bt∣li'y<；

4422

對(duì)于C,eti=cosx÷isinx?則∣e[=JCOS2χ+sin?χ=1,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D.J'=cos^+isin巴='+3i,故啟的共軌復(fù)數(shù)為L(zhǎng)-3i,D正確，

3322e22

【例6】（多選題）1748年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并寫下公

式e"=8sx+isinx（XeR,i為虛數(shù)單位），這個(gè)公式在復(fù)變函數(shù)中有非常重要的地位，被譽(yù)為

“數(shù)學(xué)中的天橋“，據(jù)此公式，則有（）

（1j?V022

A.e'"+l=OB.[2-+—2iJ=I

C.產(chǎn)+e半2D.-2<eιx-eix<2

【答案】ABC

【分析】根據(jù)題設(shè)中的公式和復(fù)數(shù)運(yùn)算法則，逐項(xiàng)計(jì)算后可得正確的選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)*=兀時(shí)，因?yàn)閑ht=cosπ+isinπ=-1，所以e'"+l=O,故選項(xiàng)A正確;

(,QYr_?2β22/EiY022

對(duì)于B,—+—i=cos?+isin—=e?=e674i"=cos674π+isin674π=1,故B正

(22JI33)IyI

確；

對(duì)于C,由eiA=COSX+isinx,e^tr=cos(-x)+isin(-x)=cosx-isinx,所以e"+e*=2cosx.

得出卜"+e-k∣=∣2cosx∣≤2,故選項(xiàng)C正確;

對(duì)于D,由C選項(xiàng)的分析得建-6』=公$也了，推不出-2≤e*-e上≤2，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

【例7】（多選題）歐拉公式e'*=COSX+isinX（其中i為虛數(shù)單位，XeR）是由瑞士著名數(shù)

學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之間

的關(guān)系，在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋“，依據(jù)歐拉公式，

下列選項(xiàng)正確的是（）

A.復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限B.e會(huì)為純虛數(shù)

C.復(fù)數(shù)Wy的模等于TD￡的共規(guī)復(fù)數(shù)為[*i

【答案】BC

【分析】根據(jù)歐拉公式寫出e?'=cos2+isin2、e?'=cos—+isin—?ee'=cos—+isin—,再判

2266

斷復(fù)數(shù)所在象限、類型及求模長(zhǎng)、共軌復(fù)數(shù).

【詳解】由題知e2i=cos2+isin2,而cos2<0,sin2>0,則復(fù)數(shù)e?’對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限,

故A錯(cuò)誤;

e?'=COs-+isin—=i,則q為純虛數(shù)，故B正確;

22e

nri

ecosx+isin?(COSX+isinX)(G-i)J5cosx+sinxGSinX-CoSx.πιle

(√3÷i)(^-i)=-4—+-4—"則正的

+i~√3÷i4

>∕3cosx÷sinx?∕3sinx-cos3cos2X+sin2x+3sin2X+cos2X

模為÷?,故C正

44162

確;

e*=coSMiSin巴=3+匕,其共軌復(fù)數(shù)為L(zhǎng)i,故D錯(cuò)誤.

662222

【題型專練】

i.歐拉公式e"=CoSX+isinXG為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函

數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重

要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋“，我表示的復(fù)數(shù)位于復(fù)平面內(nèi)（）.

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【分析】根據(jù)歐拉公式*=cosx+isinx,得到清'，再利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)，然后利用復(fù)數(shù)

的幾何意義求解.

【詳解】解：因?yàn)閑爭(zhēng)=COS包+isinF=正4,

4422

ii/忘＞∣2.}應(yīng)近

*=亙邁;=l3+τj=-^τ+^r.,

22?

所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)卜日,乎位于第二象限，

2.1748年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并寫下公式

eiβ=cosθ+isinθ,這個(gè)公式在復(fù)變函數(shù)中有非常重要的地位，即著名的“歐拉公式”，被譽(yù)為

“數(shù)學(xué)中的天橋”，據(jù)歐拉公式，則下列選項(xiàng)不正確的是（）

3

πi/1∕Γ.?M-ΞL

AT.Bel=ICJ"=[Dπe4+e4

c?e2=io,0cos—=-------------

\1）42

【答案】C

【分析】根據(jù)建=cosθ+isi∏e可判斷ABD,根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可判斷C.

【詳解】因?yàn)閐°=cosO+isinO所以e?=Cos工+isin工=i,故A正確

22

J=cos；+isin；=孝+孝i,=J?]+[?]=1，故B正確

匕&=-1,故C錯(cuò)誤

juJri

e4÷e4

3.(多選題)1748年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并寫出以下公

式e"=8sx+isinx(e是自然對(duì)數(shù)的底，i是虛數(shù)單位)，這個(gè)公式在復(fù)變論中占有非常重要的

地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋"，已知復(fù)數(shù)z∣=e&lz?=e應(yīng)，Z3=e%在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分

別為Z∣,Z2,Z3,且小的共軌復(fù)數(shù)為e*=e"，則下列說(shuō)法正確的是()

B.小表示的復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)位于第一象限

C.elv'+e*'+eb?=函+支+1

D.若Z-D為兩個(gè)不同的定點(diǎn),Z?為線段Z￡的垂直平分線上的動(dòng)點(diǎn)，則IZl-Z3∣=∣Z2-Z3∣

【答案】ACD

【分析】根據(jù)共扼復(fù)數(shù)的定義及復(fù)數(shù)的幾何意義，對(duì)各選項(xiàng)逐一判斷即可.

【詳解】解：對(duì)丁?A選項(xiàng)，e"=COSX+isinx,e'u=cos(-x)+isin(-v)=cosx-isinx

???elt+elv=2cosx，

ix+e-ix

則COSX=----------,選項(xiàng)A正確;

2

對(duì)于B選項(xiàng),e2i=cos2÷isin2,

-<2<πcos2<0,sin2>0,

2f

，e”表示的復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面中位于第二象限，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

tv,lt2l

對(duì)于C選項(xiàng)，e+e+e"=(COSX〕+cosx2+COSΛ3)+(Sin玉+sinx2+sinx5)i

貝IJe好+e'+e'=(CoSXI+COSΛ?+cosΛ?)-(sinxl+si∏Λ?+sinx3)i,

ix>hlit,

e*+e":+e=e^++e-=(cosxx+cosx,+cosW)一(Sin玉+sinx,+sin毛)i

.?.eW+e應(yīng)+e國(guó)=西+典+匹，選項(xiàng)C正確：

對(duì)于D選項(xiàng)，％-Z3∣可轉(zhuǎn)化為乙與Z3兩點(diǎn)間距離，卜-Z3∣可轉(zhuǎn)化為Z?與Z3兩點(diǎn)間距離,

由于Z3為線段Z1Z2的垂直平分線上的動(dòng)點(diǎn)，

根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可知Zl?4兩方間距離等于Z2馬Z.、兩點(diǎn)間距離，

則IZI-Z3∣=∣z2-z3?,選項(xiàng)DiE確.

4.（多選題）1748年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的關(guān)系，并給出公式

e"=cosO+isinO（i為虛數(shù)單位，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），這個(gè)公式被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.

據(jù)此公式，下列說(shuō)法正確的是（）

A.a表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限

B.eiir+l=O

iθ,-?θ

D.cos?>=

2

【答案】BCD

【分析】根據(jù)題設(shè)中的公式和復(fù)數(shù)運(yùn)算法則，逐項(xiàng)計(jì)算后可得正確的選項(xiàng).

JT

【詳解】解：對(duì)于A：e3i=cos3+isin3.因?yàn)樗詓in3>0,cos3<0,

2

所以e》表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：e"r+1=cosπ?+isin^?+1=-1+1=0.故B正確；

對(duì)于C：f?+-i=（CoS工+isin2]=e不=e"'=cos%+isin%=-1,故C正確；

122JI33）（J

對(duì)于D：由e*=cose+isin6，e~"=cos（-6）+isin（-6?）=cose-isine,

所以即+e-2=2cos6,所以CoSe=J∣J,選項(xiàng)D正確；

5.（多選題）歐拉公式evi=cosx+isinx（其中i為虛數(shù)單位，XeR）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家

歐拉創(chuàng)立的，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，

在復(fù)變函數(shù)論里面占有非常重要的地位.依據(jù)歐拉公式，下列選項(xiàng)正確的是（）

A.復(fù)數(shù)學(xué)的值為-@-LB.V為純虛數(shù)

e22

C.復(fù)數(shù)；二的模長(zhǎng)等于正D.e苧+e爭(zhēng)+1-0

?ψj2C?C?1—

【答案】CD

【分析】由復(fù)數(shù)的指數(shù)形式化為三角形式，然后計(jì)算化簡(jiǎn)，結(jié)合復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的概念判斷

各選項(xiàng).

【詳解】由于e景=CoS旦+isin2=-史→Li,所以A錯(cuò)誤;

6622

e"π=COS乃+isinτr=-l為實(shí)數(shù)，故B￡音誤；

復(fù)數(shù)E的模長(zhǎng)為但3^=；=變，故C正