2022-2023學年八年級數(shù)學知識點串講（蘇科版）：二次根式的加減（解析版）

專題10二次根式的加減

一.選擇題（共8小題）

1.（2022秋?如東縣期末）下列二次根式中，化簡后能與企合并的是（）

A.√4B.√8C.√12D.√24

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)把各選項的二次根式化簡，再根據(jù)能合并的二次根式是同

類二次根式解答.

【解答】解：A、√4=2,不能與應合并，故本選項錯誤；

B、√8=2√2,能與√Σ合并，故本選項正確；

C、√12=2√3,不能與迎合并，故本選項錯誤；

D、√24=2√6,不能與VI合并，故本選項錯誤.

故選:B.

【點評】本題考查同類二次根式的概念，同類二次根式是化為最簡二次根式后，被開方

數(shù)相同的二次根式稱為同類二次根式.

2.（2022春?灌云縣期末）下列計算正確的是（）

A.?/?+√3=V5B.Vδ÷√2=??∕3C.（V3）2=6D.=2~

【分析】利用二次根式的加法的法則，二次根式的乘除法的法則，二次根式的化簡的法

則對各項進行運算即可.

【解答】解：A、夜與次不屬于同類二次根式，不能運算，故A不符合題意；

B、Vβ÷V∑=√3＞故B符合題意；

C、（√3）2=3,故C不符合題意；

*礙警,故D不符合題意；

故選：B.

【點評】本題主要考查二次根式的混合運算，解答的關(guān)鍵是對相應的運算法則的掌握.

3.（2022春?銅山區(qū)期末）下列運算錯誤的是（）

A.√2XV3—V6B.V2+V3-√5C.D.J（-3）2—3

【分析】利用二次根式的加法的法則，二次根式的乘法的法則，二次根式的化簡的法則

對各項進行運算即可.

【解答】解：A、√∑x√5=√δ,故A不符合題意；

B、α與Vi不屬于同類二次根式，不能運算，故B符合題意；

c、t=F，故C不符合題意；

D、√(-3)2=3,故D不符合題意；

故選：B.

【點評】本題主要考查二次根式的混合運算，解答的關(guān)鍵是對相應的運算法則的掌握.

4.(2022春?東?？h期末)老師設(shè)計了接力游戲，用合作的方式完成二次根式運算，規(guī)則是:

每人只能看到前一人給的式子，并進行一步計算，再將結(jié)果傳遞給下一人，最后完成化

簡，過程如圖所示:

老師甲乙丙丁

------------------------------????~es/

I?I

√6×2√3-√∏÷^:l2√18-√Γ2÷√^：≈(2-l)√l8^i2÷^≈麗÷石;；1

I??I*I

接力中，自己負責的一步出現(xiàn)錯誤的是()

A.只有乙B.甲和丁C.乙和丙D.乙和丁

【分析】根據(jù)二次根式的相應的運算法則進行求解，再對比題目中的運算順序，可以發(fā)

現(xiàn)哪位同學做錯了.

【解答】解：√6×2√3-√12÷√6

=2√18-√12÷√6

=6√2-√2

=5√2,

故運算錯誤的是乙，故選：A.

【點評】本題主要考查二次根式的混合運算，解答的關(guān)鍵是對相應的運算法則的掌握.

5.(2022秋?如東縣期末)如圖，長方形內(nèi)有兩個相鄰的正方形，其面積分別為6和24,則

圖中陰影部分面積為()

A.5B.5√5C.6D.6√6

【分析】設(shè)兩個正方形的邊長是x、y(x<y),得出方程f=6,y2=24,求出x,y,代

入陰影部分的面積是(y-x)X求出即可.

【解答】解：設(shè)兩個正方形的邊長是x、y(x<y),

則X2=6.y2-24,

X=Vδ,y—2Λ∕6,

則陰影部分的面積是(y-χ)X—(2√6-√6)×√6=6,

故選：C.

【點評】本題考查了二次根式的應用，主要考查學生的計算能力.

6.(2022春?南京期末)下列運算中，正確的是()

A.√2×√3=√5B.2√2-√2=2

C.√(-3)×(-5)=√z3×√^5D.√6÷√3=√2

【分析】根據(jù)二次根式的加法、減法、乘法、除法法則進行計算，逐一判斷即可解答.

【解答】解：A、√2×√3=√6,故A不符合題意；

B、2√2-√2=√2,故B不符合題意；

C、√(-3)×(-5)=√3×√5,故C不符合題意；

D、√6÷√3=√2,故D符合題意：

故選:D.

【點評】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的加法、減法、乘法、除

法法則是解題的關(guān)鍵.

7.(2022春?海陵區(qū)校級期末)若x=",代數(shù)式/+2x+的值為-1,則當x=-q

時，代數(shù)式*2+2x+√n—2的值為()

A.-1B.1C.2D.3

【分析】由x=α,代數(shù)式/+2x+F=I的值為-1,可得(α+l)2+訴=1=0,即得

a—-?,n—2,即可得到答案.

【解答】解：?.?χ=",代數(shù)式/+2χ+赤=I的值為-1,

Λa2+2a+>Jn-2=-1,

Λ(α+l)2+√n—2=0,

.'.a=-1,n—2,

.?.當X=-α時J

X2+2x+√n-2

=(-α)2-2a+y∕n—2

=l2+2+0

=3.

故選：D.

【點評】本題考查求代數(shù)式的值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出〃的值.

8.(2022春?丹陽市期末)下列等式成立的是()

bbeLLL

A.-=-----B.√2+√5=√7

33ac

χ+1

C.——=X-ID.√27÷√3=3

X2-I

【分析】利用分式的基本性質(zhì)，合并同類項，二次根式的除法法則計算即可求解.

【解答】解：???=—(c≠0),不符合題意；

33c

B、近與石不是同類二次根式，不符合題意;

x+11

C、二？不符合題意:

X2-I

D、V27÷√3=3,符合題意.

故選:D.

【點評】本題主要考查二次根式的混合運算，分式的基本性質(zhì).解題的關(guān)鍵是掌握分式

的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘(或除以)一個不等于。的整式，分式的值不變.

二.填空題(共12小題)

9.(2022春?寶應縣期末)計算：(√Π+√7)(√IT-√T)=4.

【分析】用平方差公式和(√H)2=cι(“NO)計算即可.

【解答】解：原式=(√∏)2-(√7)2

=II-7

=4.

故答案為：4.

【點評】本題考查二次根式的運算，解題的關(guān)鍵是掌握平方差公式和(√H)2=4(a>0)?

10.(2022春?丹陽市期末)已知最簡二次根式√Σ在與我是同類二次根式,則X的值為」

4.

【分析】根據(jù)最簡二次根式及同類二次根式的定義列方程求解.

【解答】解：?.?√δ=2√∑

根據(jù)題意得：x+6=2,

解得:X--4.

故答案為：-4.

【點評】此題主要考查了同類二次根式的定義，即化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同

的二次根式叫做同類二次根式.

11.(2022春?江寧區(qū)期末)如圖，在矩形ABCD中無重疊放入面積分別為12c〃J和i8c∕

的兩張正方形紙片，則圖中空白部分的面積為(6√6-12)cm2.

1812

【分析】根據(jù)題意列代數(shù)式，再利用二次根式的運算求解.

【解答】解：根據(jù)題意可得：

√18×√12-12

=6√6-12.

故答案為：6√6-12.

【點評】本題考查列二次根式的應用，正確使用公式是解題得關(guān)鍵.

12.（2022春?泗陽縣期末）請寫出滿足不等式x+√Σ>7的最小整數(shù)解6.

【分析】直接解不等式，再估算無理數(shù)得出答案.

【解答】解：不等式x+√I>7的解集為：x>7-√2,

Vl<√2<2,

Λ5<7-√2<6,

，不等式》+應>7的最小整數(shù)解為：6.

故答案為：6.

【點評】此題主要考查了解一元一次不等式以及二次根式的應用，正確估算無理數(shù)大小

是解題關(guān)鍵.

13.（2022春?宿豫區(qū)期末）計算總-百的結(jié)果為-√5.

【分析】先化簡每一個二次根式，然后再進行計算即可解答.

【解答】解：京-√汨

=V5-2Λ∕5

=—75?

故答案為：-忌.

【點評】本題考查了二次根式的混合運算，分母有理化，準確熟練地進行計算是解題的

關(guān)鍵.

14.（2022春?潤州區(qū)校級期末）寫兩個不同的a的值16或7（答案不唯一），使得后=4

與次是同類二次根式.

【分析】根據(jù)同類二次根式的定義：化成最簡二次根式后被開方數(shù)相同的，即為同類二

次根式，即可解答.

【解答】解：由題意得：

當α-4=3時，

.?.α=7,

當"-4=12時?，

.?.α=16,

當“=16或7時?，√^二4與√5是同類二次根式，

故答案為：16或7（答案不唯一）.

【點評】本題考查了同類二次根式.熟練掌握同類二次根式的定義是解題的關(guān)鍵.

15.（2022春?灌云縣期末）如果最簡二次根式√7不百與最簡二次根式√IT五是同類二次根

式，則X=2.

【分析】根據(jù)一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，

就把這幾個二次根式叫做同類二次根式列出方程，解方程即可得出答案.

【解答】解：根據(jù)題意得：x+3=l+2r,

解得：x—2.

故答案為：2.

【點評】本題考查了同類二次根式，最簡二次根式，掌握一般地，把幾個二次根式化為

最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式是

解題的關(guān)鍵.

16.（2022春?興化市期末）如果最簡二次根式√5W與夜是同類二次根式，那么“的值是

3.

【分析】根據(jù)兩個二次根式是同類二次根式，被開方數(shù)相同，列出方程即可得到。的值.

【解答】解：?.?最簡二次根式標7與VI是同類二次根式，

.?.3a-7=2,

解得：（1=3.

故答案為：3.

【點評】本題考查了同類二次根式的概念，一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式

后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式，牢記同類二次

根式的概念是解題的關(guān)鍵.

17.（2022春?泰州期末）若與最簡二次根式√T二元能合并成一項，則?=-4.

【分析】根據(jù)一般地，把幾個二次根式化為最筒二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，

就把這幾個二次根式叫做同類二次根式列出方程求解即可.

【解答】解：√20=2√5,

:何與最簡二次根式VFF能合并成一項，

.?.5=1-tn,

:?m=-4,

故答案為：-4.

【點評】本題考查了同類二次根式，最簡二次根式，先將兩化簡成最簡二次根式是解

題的關(guān)鍵.

18.（2022春葉B江區(qū)期末）若α+4夜=（zn+MVΣ）2,當α,〃均為正整數(shù)時，貝!）α的

值為9或6.

【分析】先利用完全平方公式將（巾+兀加產(chǎn)展開，再根據(jù)等式左右兩邊對應項相等得到

關(guān)于m、〃的方程組，進而可求解.

【解答】解：Va+4√2=（m+n√2）z=m2+2n2+2√2τnn,

.φ.a=加-+2〃，2mn—4,

?.?"?、〃均為正整數(shù)，

'.m-1,〃=2或，〃=2,n—1,

當“7=1,"=2時,a-l2+2×22-9;

當加=2,〃=1時，a-2r+2×12=6,

故答案為：9或6.

【點評】本題考查完全平方公式在二次根式混合運算中的運用，熟記完全平方公式，以

及分類討論思想的運用是解答的關(guān)鍵.

19.（2022春?江都區(qū)期末）已知實數(shù)人6滿足√^=I+∣b-l∣=O,則已的值為y.

【分析】先根據(jù)算術(shù)平方根和絕對值的非負性得出?-3=0且。-1=0,求出a、b的值，

再代入求出答案即可.

【解答】解：：實數(shù)滿足√^=^+W-l∣=0,

.?a-3=0,h-1=0,

?二α=3,b=1,

b1√3

Λ√S=√5≡T,

故答案為：y.

【點評】本題考查了算術(shù)平方根和絕對值的非負性，二次根式的化簡求值等知識點，能

求出“、人的值是解此題的關(guān)鍵.

20.（2022春?新吳區(qū)期末）我國南宋數(shù)學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求其面積的秦

九韶公式S=TJa2爐一（心岑出）2,其中〃、仄C為三角形的三條邊，C為最長邊.若

一個三角形的三邊長分別為2,3,4,則此三角形面積為”.

4

【分析】直接代入公式，再利用二次根式的運算進行化簡.

【解答】解：4=2,h=3,C=4;

r7~^^4+9-163√15

ΛS=∣4X9-z(—2—λ)27=F".

3√15

故答案為：----

4

【點評】本題考查了二次根式的化簡，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵.

三.解答題（共10小題）

21.（2022秋?如皋市校級期末）計算:

（1）∣√2-l∣+（-π）0-（i）-2;

（2）2∕?—√24÷V3+《乎.

yLL

【分析】（1）根據(jù)絕對值，零指數(shù)累，負整數(shù)指數(shù)累計算即可;

（2）根據(jù)二次根式的加減乘除運算法則計算即可.

【解答】解：（1）原式=近一1+1-4

=√2—4；

(2)原式=2x^-2√^÷√I+竽

=√2-2√2+√3

=V3—V2.

【點評】本題考查的是二次根式的混合運算，熟練掌握絕對值，零指數(shù)累，負整數(shù)指數(shù)

基的性質(zhì)，以及二次根式混合運算法則是解題關(guān)鍵.

22.（2022春?寶應縣期末）化簡或計算:

(I)(2√12-3Jj)

×√6+Λ^7;

(2)空

(-5b3'

【分析】（1）先用乘法分配律，化為最簡二次根式，再合并同類：次根式:

（2）先算乘方，把除化為乘，再約分即可.

【解答】解：（I）原式=2√12x6-3J∣×6+3√3

=12√2-3√3+3√3

=12√2;

2Sb3

（2）原式=-α?'-τ

b22α2

=f^?

【點評】本題考查二次根式和分式的運算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式，分式相關(guān)運算

的法則.

23.（2022春?灌云縣期末）像（√I+2）（√I-2）=L（√b-1）（√?+1）=?-l（e≥0）,

√∏?√∏=a（a>0）兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個

代數(shù)式互為有理化因式.例如：遍與遙，√Σ+1與近-1,2遮+3遍與2a-3聲等都

是互為有理化因式，進行二次根式計算時，利用有理化因式，可以化去分母中的根號，

請回答下列問題：

1

（1）化簡：（??=W；（2）-7==^Ξ^;

5√2----5√7+√5-------2

（2）計算：√?+√?∑+√?5++√2022^√202iκ^+D?

【分析】(1)根據(jù)閱讀材料，分別分母有理化即可；

(2)先分母有理化，再合并即可.

…22√2√21√7-√5√7-√5

【解答】解：(1)呢方=訪正=W，而奔=(√7+√5)(√7-√5)=F-'

故答案為：E修；

52

(2)原式=√5-ι+√^-√5+C-√^+???+√ΣUΣΣ-√ΣUΣI

=√2022-I.

【點評】本題考查二次根式的運算，解題的關(guān)鍵是掌握分母有理化的方法.

24.(2022春?新吳區(qū)期末)小明在學習二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一

個式子的平方.

例如：4+2√3=l+3+2√3=l2+2√3+(√3)2=(l+√3)2.這樣小明就找到了一種把類

似4+28的式子化為完全平方式的方法.

請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：

(1)I4-6√5=14-2X3×√5=(3)2+(_V5_)2-2×3×√5=(3-√5)

(2)化簡：√3-2√2+√5-2√6+√7-2√12+....+J2n+1-2√n(n+1).(〃為

正整數(shù))

【分析】(1)仿照閱讀材料解答即可；

(2)先化簡每個根式，再合并即可.

【解答】解：(1)14-6√5=14-2×3×√5=32+(√5)2-2×3×√5=(3-√5)2；

故答案為：3,√5,3-√5;

(2)原式=(√2-1)+(√3-√2)+(√4-√3)+.....+(√n∏-√n)

=√2—1+V3—√2+√4-√3+.....+Vn+1—√π

=√n+1—1.

【點評】本題考查二次根式的運算，解題的關(guān)鍵是掌握完全平方公式和二次根式相關(guān)運

算的法則.

25.(2022春?南京期末)像(6+√Σ)(√5-√I)=3、√H?√H=α(α20)?(乃+1)(√F-1)

=b-1(?>0)…兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個

代數(shù)式互為有理化因式.例如，聲和75、√2+l與五一1、2百+3①與2√5-3?等都

是互為有理化因式.在進行二次根式計算時，利用有理化因式,可以化去分母中的根號.請

完成下列問題：

(1)計算：

1√3+l

②

√3-l

12

⑵計算：

(3)已知有理數(shù)a、b滿足,+^7∣+=2?-1，則〃=-1，b=L

【分析】(1)①利用分母有理化進行計算即可解答,

②利用分母有理化進行計算即可解答;

(2)利用分母有理化先化簡每一個式子，然后再進行計算即可解答;

(3)利用分母有理化進行計算，可得(?-α)√3+(2α+?)=2√3-l,從而可得6-α

=2,2a+b=-I,然后進行計算即可解答.

【解答】解：⑴φ?=忌=今

1_____________6+τ_√i+ι

^√3-l—(√3-l)(√3+l)-2，

故答案為：?~'

-?√3+l

②z丁

12

2+√3________2(√3÷1)

=(2-√3)(2÷√3)-(√3-l)(√3÷l)

=2+—(v?+1)

=2+V5—√3-1

a2bf-

(3),.,?=—+-p—=2-v3—1,

√3+2√3-l

.a(2-√?)2b(6+l)

,?(2+√3)(2-√3)*(√3-l)(√3+l)--

Λ2a-√3tz+√3?+?=2√3-1,

.?.(?-α)√3+(2fl+?)=2√3-1,

:?b-a=2,2a+b=-1,

??6Z=~1,b=1,

故答案為：-1,1.

【點評】本題考查了二次根式的混合運算，分母有理化，平方差公式，熟練掌握分母有

理化是解題的關(guān)鍵.

26.（2022春?秦淮區(qū)期末）兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，稱這兩

個代數(shù)式互為有理化因式.

例如：√5與國、a+1與夜—1等都是互為有理化因式.

在進行二次根式計算時，利用有理化因式，可以化去分母中的根號.

fcl,1√3√31√2-l√2-l/-

例如：6=高a=W√?7T=（√2÷i）（√2-i）=TT=v2-1……

（1）請仿照上述過程，化去下式分母中的根號：,L（〃為正整數(shù)）；

√n+2+√n

（2）利用有理化因式比較4一反與舊-4的大小，并說明理由.

【分析】（1）仿照例題，利用分母有理化，進行計算即可解答；

（2）仿照例題，利用分母有理化，進行計算即可解答.

2(V∏+2-V∏)

【解答】解：（1）

，∕ι+2+(V∣ι+2+JH)(>∕∏?+2-V∏)

=√n+2-√∏;

(2)4-√15>√T7-4,

理由：4—小=H嗎±運

(√17-4)(√17+4)

717+4

-√17+4,

V4+√T5<4+√17,

.11

"4+√15一√17+4,

即4-√I5>√I7-4.

【點評】本題考查了二次根式的混合運算，分母有理化，熟練掌握分母有理化是解題的

關(guān)鍵.

27.（2022?南京自主招生）已知X=匕挈紅，求（4X3-2025X-2022）3.

【分析】根據(jù)X=1~^°22?1-2x=√2022,貝IJ（I-2x）2=1-4X+4∕=2022,4?-4X

=2021,將原式化為[（4X3-4?）+（4√-4x）-202Ix-2022]3,再整體代入即可求解.

【解答】解：?.“=上挈紅，

Λ(1-2x)2=1-4x+4∕=2022,

Λ4Λ2-4X=2021,

.?.原式=[(4?-4?)+(4X2-4X)-2021尤-2022]3

=(2021x+2021-202Ix-2022)3

=(-D3

=-I.

【點評】本題主要考查二次根式的化簡，能正確根據(jù)二次根式的運算法則進行計算是解

題關(guān)鍵.

28.(2022春?江都區(qū)期末)請閱讀下列材料：

問題：已知X=b+2,求代數(shù)式/-4χ-7的值.

小明的做法是：根據(jù)X=+2得(X-2)2=5,.?.X2-4X+4=5,Λ2-4X=1.把Λ2-4X

作為整體代入，得：Λ2-4X-7=1-7--6.即：把已知條件適當變形，再整體代入解

決問題.

仿照上述方法解決問題：

(1)已知x=√IU-3,求代數(shù)式x2+6x-8的值；

(2)已知％=號，求代數(shù)式/+2?的值.

【分析】(1)根據(jù)X=JIδ-3求出x+3=√TU,兩邊平方后求出x2+6x+9=10,求出/+6X

=L再代入求出答案即可；

(2)根據(jù)X=烏-?求出2x+l=遍，兩邊平方求出4X2+4X+1=5,求出X2+X=1,再變形

后代入，即可求出答案.

【解答】解：(1)Vx=√10-3,

.φ.x+3=VlO,

兩邊平方得：(x÷3)2=10,

即X2÷6X÷9=10,

ΛX2+6X=1,

.?.√+6χ-8=l-8=-7;

.*.2x=V5—1,

/.2r+?=V5,

兩邊平方，得（2x+l）2=5,

即4Λ2+4X+1=5,

.Φ.4X2+4X=4,

即x2+x=L

Λ√+2Λ2

=X3+X2+Λ2

—x(x2+x)+x2

=XX1+Λ2

=X+/

=1.

【點評】本題考查了二次根式的化簡求值，完全平方公式，整式的加減等知識點，能夠

整體代入是解此題的關(guān)鍵.

29.(2022春?連云港期末)材料一：兩個含有二次根式而非零的代數(shù)式相乘，如果它們的

積不含二次根式，那么這兩個代數(shù)式互為有理化因式.

例如：√3×√3=3,(√6+√2)(√6-√2)=4,則遮的一個有理化因式是√5.√6+迎的

一個有理化因式是

材料二：如果一個代數(shù)式的分母中含有二次根式，通?？蓪⒎肿?、分母同時乘以分母的

有理化因式，使分母中不含根號，這種變形叫做分母有理化.

例如.二=WL=@_J_=4(√6-√2)

'√3√3×√33'√6+√2(√6+√2)(√6-√2)V"'

請你仿照材料中的方法探索并解決下列問題：

(1)述的有理化因式為逐(答案不唯一)，√3-√I的有理化因式為N+√2K

案不唯一)；(均寫出一個即可)

、，…1111

(2)計算：-p-+—p^~^p+—p^~7=++r~；

√2+l√3+√2√4+√3√2022+√2r021

(3)當2WαW4時，求代數(shù)式GT至-GTI的最大值.

【分析】(1)根據(jù)有理化因式的定義進行求解即可；

(2)把分母進行有理化運算，從而可求解；

(3)逆用分母有理化的運算，從而可求解.

【解答】解：(1)n的有理化因式為√δ,√5-我的有理化因式為√5+√Σ,

故答案為：√6,√3+√2(答案不唯一)；

Ill1

(2)~p+^7=F+~pF+…+廠^---

√2+l√3+√2√4+√3√2022+√20Il21

=√2-l+√3-√2+√4-√3+...+√2022-√2021

=√2022-1；

(3)√α+2—√α+1

_(Ja+2-Ja+l)(Ja+2+Ja+1)

，a+2+Ja+1

_α+2—（α+l）

Jα+2+Jα+l

=1

，α+2+Jα+l

V2≤α≤4,

??.要使代數(shù)式√T較-有最大值，則α=2,

.1

"√2+2+√2+l

1

^2+√3

=2-√3.

【點評】本題主要考查二次根式的混合運算，解答的關(guān)鍵是對相應的運算法則的掌握與

運用.

30.（2023春?惠山區(qū)校級期中）我們稱長與寬之比為√Σ:1的矩