《第四章 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)》章節(jié)復(fù)習(xí)與小結(jié)及章節(jié)練習(xí)

復(fù)習(xí)與小結(jié)第四章

指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)教學(xué)目標(biāo)及核心素養(yǎng)教學(xué)目標(biāo)1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的定義；2.掌握指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖像及其性質(zhì)，并會運用；3.會求函數(shù)的零點；4.能用函數(shù)與方程的思想解決實際問題．核心素養(yǎng)a.數(shù)學(xué)抽象：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的概念；b.邏輯推理：借助圖像求函數(shù)零點；c.數(shù)學(xué)運算：指數(shù)、對數(shù)的有關(guān)運算；d.直觀想象：函數(shù)圖象；e.數(shù)學(xué)建模：通過建立函數(shù)模型，借助函數(shù)與方程的思想解決實際問題.f.數(shù)據(jù)分析：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)應(yīng)用.指數(shù)與指數(shù)冪運算對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)基本初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)反函數(shù)指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)對數(shù)及其運算知識框圖①方程f(x)＝0的實數(shù)x；②f(a)·f(b)＜0；③x軸；④有零點⑤二分法；⑥方程f(x)＝0的根；⑦函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)知識框圖⑧越來越慢；⑨越來越快，爆炸式增長知識框圖專題一指數(shù)、對數(shù)的運算專題訓(xùn)練專題二指、對數(shù)函數(shù)的典型問題及其求解策略

(2)a，b，c互不相等，不妨設(shè)a＜b＜c.∵f(a)＝f(b)＝f(c)，則由圖象可知0＜a＜1,1＜b＜10,10＜c＜12.[例5]

已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x，y均有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，

且當(dāng)x>0時有f(x)>0，f(－1)＝－2，求f(x)在[－2,1]上的值域．專題三利用模型函數(shù)巧解題[解析]

設(shè)x1<x2，則x2－x1>0，∵當(dāng)x>0時有f(x)>0，∴f(x2－x1)>0.又對任意實數(shù)x，y均有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令x＝y(tǒng)＝0，則由f(0)＝f(0)＋f(0)得f(0)＝0；再令y＝－x，則f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，即f(x)為奇函數(shù)．∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)>0，∴f(x)為R上的增函數(shù)．又f(－2)＝f(－1－1)＝2f(－1)＝－4，f(1)＝－f(－1)＝2，∴當(dāng)x∈[－2,1]時，f(x)∈[－4,2]．[分析]利用等式f(x)＝f(－x)恒成立確定a的值，

利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)f(x)是增函數(shù)．專題四函數(shù)與方程思想【例7】方程log3x＋x＝3的解所在的區(qū)間是(

)A．(0，1)

B．(1，2)C．(2，3) D．(3，＋∞)專題五函數(shù)的零點與方程的根【解析】

令f(x)＝log3x＋x－3，f(2)＝log32－1＜0，f(3)＝1＞0，∴f(2)·f(3)＜0，且函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，∴函數(shù)f(x)只有一個零點，且零點x0∈(2，3)，即方程log3x＋x＝3的解所在的區(qū)間為(2，3)．故選C.【答案】

C【例8】要在墻上開一個上部為半圓，下部為矩形的窗戶(如右圖)，在窗框為定長l的條件下，要使窗戶透光面積S最大，窗戶應(yīng)具有怎樣的尺寸？專題六

函數(shù)模型的建立與應(yīng)用【例10】若關(guān)于x的方程x2＋mx＋m－1＝0有一個正根和一個負根，且負根的絕對值較大，求實數(shù)m的取值范圍．專題七

一元二次方程根的分布問題《第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)》章節(jié)練習(xí)專題一指數(shù)、對數(shù)的有關(guān)運算問題主題串講

方法提煉·總結(jié)升華

解題技巧

進行指數(shù)式的運算時,要注意運算或化簡的先后順序,一般應(yīng)將負指數(shù)轉(zhuǎn)化為正指數(shù)、將根式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式后再計算或化簡,同時注意冪的運算性質(zhì)的應(yīng)用;對數(shù)運算要注意對數(shù)運算性質(zhì)的正用與逆用,注意對底數(shù)的轉(zhuǎn)化、對數(shù)恒等式以及換底公式的靈活運用,還要注意對數(shù)運算與指數(shù)運算之間的關(guān)系及其合理地轉(zhuǎn)化.【跟蹤訓(xùn)練一】題型二指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的定義和性質(zhì)又t=x2-2x+2=(x-1)2+1,0≤x≤3,∴當(dāng)x=1時,tmin=1;當(dāng)x=3時,tmax=5.故1≤t≤5,A.a<b<c

B.c<b<a

C.c<a<b

D.b<a<c答案:A例2(4)已知不等式2x+3-2m>0在區(qū)間[0,+∞)內(nèi)恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.解:原不等式可變形為2m-3<2x,要使此不等式在區(qū)間[0,+∞)內(nèi)恒成立,只需2m-3小于y=2x在區(qū)間[0,+∞)內(nèi)的最小值.當(dāng)x∈[0,+∞)時,由y=2x的單調(diào)性可知y=2x在區(qū)間[0,+∞)內(nèi)的最小值是20=1,所以有2m-3<1,解得m<2.故實數(shù)m的取值范圍為(-∞,2).解題技巧1.求定義域注意事項（1）分母不等于零；（2）偶次方根大于等于零；（3）對數(shù)函數(shù)中真數(shù)大于零.2.一般采用換元法轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)，再利用兩個函數(shù)的單調(diào)性與圖像求值域，換元后注意新元范圍.3.分別判斷a,b,c與0和1的大小,利用中間量法比較大小.4.恒成立問題，采用分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求最值問題.【跟蹤訓(xùn)練2】解析:（1）要使函數(shù)有意義,則需6x-36≥0,即6x≥62.又函數(shù)y=6x在R上是增函數(shù),則x≥2.（2）要使函數(shù)有意義,則需1-log3x≥0,即log3x≤1=log33.又函數(shù)y=log3x在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù),則x≤3.又x>0,則0<x≤3.答案:（1）[2,+∞)；（2）(0,3].2.若f(x)=lg(x2-2ax+1+a)在區(qū)間(-∞,1]上是減函數(shù),則a的取值范圍為(

)A.[1,2) B.[1,2] C.[1,+∞) D.[2,+∞)答案:A3.已知a=log2e,b=ln2,c=,則a,b,c的大小關(guān)系為(

)A.a>b>c

B.b>a>cC.c>b>a

D.c>a>b解析:因為c==log23,a=log2e,且y=log2x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以log23>log2e>log22=1,即c>a>1.因為y=ln

x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且b=ln

2,所以ln

2<ln

e=1,即b<1.綜上可知,c>a>b.故選D.答案:D專題三

指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用例3（1）已知a>0,且a≠1,函數(shù)y=ax與y=loga(-x)的圖象可能是(

)解析:由y=loga(-x)的定義域為(-∞,0)知,圖象應(yīng)在y軸左側(cè),可排除A,D選項.當(dāng)a>1時,y=ax應(yīng)為增函數(shù),y=loga(-x)應(yīng)為減函數(shù),可知B項正確;而對C項,由y=ax的圖象知y=ax為減函數(shù),則0<a<1,y=loga(-x)為增函數(shù),與C項中y=loga(-x)的圖象不符.答案:B例3（2）若直線y=2a與函數(shù)y=|ax-1|+1(a>0,且a≠1)的圖象有兩個公共點,則a的取值范圍是

.

解析:當(dāng)a>1時,通過平移變換和翻折變換可得如圖(1)所示的圖象,解題技巧

指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用有兩個方面:一是已知函數(shù)解析式求作函數(shù)圖象,即“知式求圖”,此類題目往往是選擇題,常借助于指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象特征來解決;二是判斷方程的根的個數(shù)時,通常不具體解方程,而是轉(zhuǎn)化為判斷指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等圖象的交點個數(shù)問題.這就要求畫指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象時盡量準(zhǔn)確,特別是一些關(guān)鍵點要正確,比如,指數(shù)函數(shù)的圖象必過點(0,1),對數(shù)函數(shù)的圖象必過點(1,0).【跟蹤訓(xùn)練三】答案:D答案:B題型四函數(shù)的零點與方程的根例4設(shè)方程lgx+x=3的實數(shù)解為x0,則x0所在的一個區(qū)間是(

)A.(3,+∞) B.(2,3)C.(1,2) D.(0,1)解析:由lg

x+x=3得lg

x=3-x.分別畫出方程lg

x=3-x兩邊對應(yīng)的函數(shù)圖象,如圖所示.由圖知它們的交點x0在區(qū)間(2,3)內(nèi).答案:B解題技巧

【跟蹤訓(xùn)練四】1.設(shè)函數(shù)f(x)=ax+2a+1(a≠0),在-1≤x≤1上f(x)存在一個零點,求實數(shù)a的取值范圍.解:因為函數(shù)f(x)在-1≤x≤1上存在一個零點,所以f(-1)f(1)≤0,即(-a+2a+1)(a+2a+1)≤0,即(a+1)(3a+1)≤0.題型五函數(shù)模型的應(yīng)用

例5夏天,大家都喜歡吃西瓜,而西瓜的價格往往與西瓜的質(zhì)量相關(guān).某人到一個水果店去買西瓜,價格表上寫的是:3千克以下,每千克0.8元;大于等于3千克且小于等于4.5千克時,每千克1元;4.5千克以上,每千克1.2元.此人挑了一個西瓜,稱重后店主說5元1角,1角就不要了,給5元吧,可這位聰明的顧客馬上說,你不僅沒少要,反而多收了我的錢.當(dāng)顧客講出理由后,店主只好承認了錯誤,照實收了錢.你知道顧客是怎樣判斷店主算錯了嗎?解:設(shè)這位顧客所購西瓜重x千克,應(yīng)付款y元,當(dāng)0<x<3時,0<y<2.4;當(dāng)3≤x≤4.5時,3≤y≤4.5;當(dāng)x>4.5時,y>5.4.故所付款不可能是5.1元,所以店主算錯了.解題技巧

解答函數(shù)實際應(yīng)用問題時,一般要分哪四步進行?(1)審題——弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型；(2)建模——將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)求模——求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)模型；(4)還原——將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實際問題．【跟蹤訓(xùn)練五】1.某服裝廠現(xiàn)有甲種布料42米,乙種布料30米,現(xiàn)計劃用這兩種布料生產(chǎn)M,L兩種型號的校服共40件.已知做一件M型號的校服需用甲種布料0.8米,乙種布料1.1米,可獲利45元;做一件L型號的校服需用甲種布料1.2米,乙種布料0.5米,可獲利30元.設(shè)生產(chǎn)M型號的校服件數(shù)為x,用這批布料生產(chǎn)這兩種型號的校服所獲的利潤為y(單位:元).(1)寫出y(單位:元)關(guān)于x(單位:件)的函數(shù)解析式,并求出自變量x的取值范圍;(2)該廠在生產(chǎn)這批校服時,當(dāng)M型號的校服為多少件