高中數(shù)學(xué)課件-圓與圓的位置關(guān)系2

類型一圓與圓位置關(guān)系的判定通過解答以下圓與圓位置關(guān)系的題目,總結(jié)兩圓位置關(guān)系的兩種判斷方法.1.假設(shè)a2+b2=4,那么兩圓(x-a)2+y2=1與x2+(y-b)2=1的位置關(guān)系是.2.兩圓C1：x2+y2-2ax+4y+a2-5=0和C2：x2+y2+2x-2ay+a2-3=0.(1)當(dāng)a為何值時(shí),兩圓外切.(2)當(dāng)a=1時(shí),試判斷兩圓的位置關(guān)系.【解題指南】1.計(jì)算兩圓的圓心距,判斷與兩圓半徑的關(guān)系.2.(1)將圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程,求出圓心、半徑、圓心距.借助兩圓外切的條件列出關(guān)于a的方程.(2)當(dāng)a=1時(shí),需計(jì)算圓心距d=|C1C2|及兩圓半徑r1,r2,然后通過d與r1,r2的關(guān)系確定兩圓的位置關(guān)系.【解析】1.因?yàn)閮蓤A的圓心分別為O1(a,0),O2(0,b).半徑r1=r2=1,所以|O1O2|==2=r1+r2,故兩圓外切.答案：外切2.將兩圓的方程寫成標(biāo)準(zhǔn)方程為C1：(x-a)2+(y+2)2=9,C2：(x+1)2+(y-a)2=4.所以兩圓的圓心和半徑分別為C1(a,-2),r1=3,C2(-1,a),r2=2.設(shè)兩圓的圓心距為d,那么d2=(a+1)2+(-2-a)2=2a2+6a+5.(1)當(dāng)d=5,即2a2+6a+5=25時(shí),兩圓外切,此時(shí)a=-5或a=2.(2)當(dāng)a=1時(shí),d=r1=3,r2=2,因?yàn)閨r2-r1|<d<r2+r1,所以兩圓相交.【互動(dòng)探究】假設(shè)題2條件不變，那么當(dāng)a為何值時(shí)，兩圓內(nèi)切.【解析】當(dāng)d=|r2-r1|=|2-3|=1，即2a2+6a+5=1時(shí)，兩圓內(nèi)切，此時(shí)a=-2或a=-1.【技法點(diǎn)撥】?jī)蓤A位置關(guān)系的判斷方法提醒：僅從圓與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)判定兩圓位置關(guān)系,可能無法得出最終結(jié)論，如有1個(gè)交點(diǎn),就不能判定是內(nèi)切還是外切,應(yīng)再結(jié)合圖象判定.【拓展延伸】?jī)蓤A公切線的條數(shù)問題兩圓的公切線：兩圓外離時(shí),有四條公切線;外切時(shí),有三條公切線;相交時(shí),有兩條公切線;內(nèi)切時(shí),僅有一條公切線;內(nèi)含時(shí),沒有公切線.【變式訓(xùn)練】?jī)蓤Ax2+y2=9和x2+y2-8x+6y+9=0的位置關(guān)系是

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)A.相離B.相交C.內(nèi)切D.外切【解析】選B.圓x2+y2-8x+6y+9=0的圓心為(4,-3),半徑為4.兩圓心之間的距離為5,因?yàn)閨3-4|<5<3+4,所以兩圓相交.類型二兩圓的公共弦問題嘗試完成以下題目,請(qǐng)歸納求兩圓公共弦長(zhǎng)及公共弦所在直線的方程的方法.1.假設(shè)圓x2+y2=4與圓x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦長(zhǎng)為2,那么a=.2.(2013·煙臺(tái)高一檢測(cè))兩圓C1：x2+y2-2x-6y+1=0和圓C2：x2+y2-10x-12y+45=0.求兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長(zhǎng).【解題指南】1.先求出公共弦所在的直線方程,利用圓x2+y2=4的半徑和圓心到直線的距離及半弦長(zhǎng)求解.2.先求兩圓的公共弦所在的直線方程,然后求圓心C1到公共弦所在直線的距離d,最后利用公共弦的長(zhǎng)即可得解.【解析】1.兩圓方程作差知公共弦所在直線方程為如圖.由得|AC|=，｜OA｜=2.因?yàn)閍>0,所以|OC|＝=1,所以a=1.答案：12.設(shè)兩圓的交點(diǎn)為A(x1,y1)，B(x2,y2)，那么A，B兩點(diǎn)滿足方程組將兩個(gè)方程相減得4x+3y-22=0，即為兩圓公共弦所在直線的方程.易知圓C1的圓心(1，3)，半徑r=3，那么點(diǎn)C1到直線4x+3y-22=0的距離故公共弦AB的長(zhǎng)為【技法點(diǎn)撥】求兩圓公共弦長(zhǎng)及公共弦所在直線的方程的兩種方法(1)方法一：解方程組求出兩圓交點(diǎn)坐標(biāo),然后由兩點(diǎn)間距離公式求弦長(zhǎng),由兩點(diǎn)坐標(biāo)求公共弦所在直線方程.本方法運(yùn)算量較大,一般不常用.(2)方法二：【變式訓(xùn)練】圓O：x2+y2=25和圓C：x2+y2-4x-2y-20=0相交于A,B兩點(diǎn),求公共弦AB的長(zhǎng).【解析】?jī)蓤A方程相減得弦AB所在直線的方程為4x+2y-5=0.圓O：x2+y2=25的圓心到直線AB的距離所以公共弦AB的長(zhǎng)為|AB|=類型三與兩圓相切有關(guān)的問題通過解答與兩圓相切有關(guān)的問題,試總結(jié)處理兩圓相切問題的兩個(gè)步驟.1.(2013·哈爾濱高二檢測(cè))半徑為6的圓與x軸相切,且與圓x2+(y-3)2=1內(nèi)切,那么此圓的方程是()A.(x-4)2+(y-6)2=6B.(x+4)2+(y-6)2=6或(x-4)2+(y-6)2=6C.(x-4)2+(y-6)2=36D.(x+4)2+(y-6)2=36或(x-4)2+(y-6)2=362.求與圓x2+y2-2x=0外切且與直線x+y=0相切于點(diǎn)M(3,-)的圓的方程.【解題指南】1.半徑,確定圓的方程的關(guān)鍵是確定圓心坐標(biāo).2.兩圓外切時(shí)圓心距等于兩半徑之和,當(dāng)直線與圓相切時(shí)圓心到直線的距離等于圓的半徑長(zhǎng),據(jù)此列方程組求解.【解析】1.選D.由題意可設(shè)圓的方程為(x-a)2+(y-6)2=36，由題意，得所以a2=16,所以a=±4.2.設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r＞0),由題知所求圓與圓x2+y2-2x=0外切，那么=r+1.①又所求圓過點(diǎn)M(3，-)的切線為直線x+y=0,故②③解由①②③組成的方程組得a=4,b=0,r=2或a=0,b=,r=6.故所求圓的方程為(x-4)2+y2=4或x2+(y+)2=36.【技法點(diǎn)撥】處理兩圓相切問題的兩個(gè)步驟(1)定性，即必須準(zhǔn)確把握是內(nèi)切還是外切，假設(shè)只是告訴相切，那么必須分兩圓內(nèi)切、外切兩種情況討論.(2)轉(zhuǎn)化思想，即將兩圓相切的問題轉(zhuǎn)化為兩圓的圓心距等于兩圓半徑之差的絕對(duì)值(內(nèi)切時(shí))或兩圓半徑之和(外切時(shí)).【變式訓(xùn)練】求和圓(x-2)2+(y+1)2=4相切于點(diǎn)(4,-1)且半徑為1的圓的方程.【解析】設(shè)所求圓的圓心為P(a,b)，所以①(1)假設(shè)兩圓外切，那么有②由①②，解得a=5,b=-1.所以所求圓的方程為(x-5)2+(y+1)2=1.(2)假設(shè)兩圓內(nèi)切，那么有③由①③,解得a=3,b=-1.所以所求圓的方程為(x-3)2+(y+1)2=1.綜上可知,所求圓的方程為(x-5)2+(y+1)2=1或(x-3)2+(y+1)2=1.1.圓C1：x2+y2-4x=0和C2：x2+y2+4y=0的位置關(guān)系是(

)A.外切B.相離C.內(nèi)切D.相交【解析】選D.兩圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：圓C1：(x-2)2+y2=4,圓C2：x2+(y+2)2=4,所以r1=r2=2,d=|C1C2|因此|r2-r1|<d<r1+r2,故兩圓相交.2.圓C1：x2+y2=1與圓C2：(x-3)2+(y-4)2=16的公切線條數(shù)為()A.1B.2C.3D.4【解析】選C.圓C1的圓心為C1(0,0),半徑r=1,圓C2的圓心為C2(3,4),半徑R=4,那么|C1C2|=5=R+r,所以兩圓外切.所以兩圓有3條公切線.3.假設(shè)圓O1：x2+y2=4與圓O2：x2+y2-2ax+a2-1=0內(nèi)切,那么a=.【解析】?jī)蓤A的圓心和半徑分別為O1(0,0),r1=2,O2(a,0),r2=1,由兩圓內(nèi)切可得d(O1,O2)=r1-r2,即|a|=1,所以a=±1.答案：±14.兩圓x2+y2=10和(x-1)2+(y-3)2=20相交于A,B兩點(diǎn),那么直線AB的方程是.【解析】?jī)蓤A方程相減得公共弦AB所在直線方程為：x+3y=0.答案：x+3y=05.假設(shè)圓x2+y2-2ax+a2=2和圓x2+y2-2by+b2=1外離,那么a,b滿足的條件是.【解析】?jī)蓤A的連心線的長(zhǎng)為d=,因?yàn)閮蓤A外離,所以d>+1,所以a2+b2>3+2.答案：a2+b2>3+26.判斷以下兩圓的位置關(guān)系.(1)(x+2)2+(y-2)2=1和(x-2)2+(y-5)2=16.(2)x2+y2+6x-7=0和x2+y2+6y-27=0.【解析】