數(shù)學(xué)-第十二講 二次函數(shù)與幾何綜合（原卷版）

第十二講二次函數(shù)與幾何綜合命題點(diǎn)1二次函數(shù)中線(xiàn)段與面積問(wèn)題1．如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx﹣3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；（2）在對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)Q，使△ACQ的周長(zhǎng)最小，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)P是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)M是對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，當(dāng)△PMB是以PB為腰的等腰直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有點(diǎn)M的坐標(biāo)．

2．如圖，已知拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（0，3）和B（，﹣）兩點(diǎn)，直線(xiàn)AB與x軸相交于點(diǎn)C，P是直線(xiàn)AB上方的拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PD⊥x軸交AB于點(diǎn)D．（1）求該拋物線(xiàn)的表達(dá)式；（2）若PE∥x軸交AB于點(diǎn)E，求PD+PE的最大值；（3）若以A，P，D為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P，點(diǎn)D的坐標(biāo)．3．如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+x+c經(jīng)過(guò)B（3，0），D（﹣2，﹣）兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，與y軸相交于點(diǎn)C．（1）求拋物線(xiàn)的解析式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)M在直線(xiàn)BC上方的拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)（與點(diǎn)B，C不重合），求使△MBC面積最大時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)，并求最大面積；（請(qǐng)?jiān)趫D1中探索）（3）設(shè)點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，要使以點(diǎn)A，B，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．（請(qǐng)?jiān)趫D2中探索）

4．如圖，已知拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)O（0，0），A（5，5），且它的對(duì)稱(chēng)軸為x＝2，點(diǎn)B是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)B在第一象限．（1）求此拋物線(xiàn)的解析式；（2）當(dāng)△OAB的面積為15時(shí)，求B的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，P是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA﹣PB的值最大時(shí)，求P的坐標(biāo)以及PA﹣PB的最大值．命題點(diǎn)2二次函數(shù)中的特殊角5．如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0）、B（8，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，4），連接AC、BC．（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；（2）將△ABC沿AC所在直線(xiàn)折疊，得到△ADC，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D，直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)，并求出四邊形OADC的面積；（3）點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠PCB＝∠ABC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

6．如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+3交x軸于點(diǎn)A（3，0）和點(diǎn)B（﹣1，0），交y軸于點(diǎn)C．（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；（2）D是直線(xiàn)AC上方拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，連接OD交AC于點(diǎn)N，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）P為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，連接CP，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥CP交拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)Q，當(dāng)tan∠PCQ＝時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．

7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+2經(jīng)過(guò)A（，0），B（3，）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，過(guò)P作PD⊥x軸，交直線(xiàn)BC于點(diǎn)D，若以P、D、O、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；（3）拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)Q，使∠QCB＝45°？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．命題點(diǎn)3二次函數(shù)與三角形的存在性7．已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線(xiàn)交正方形OBDC的邊BD于點(diǎn)E，點(diǎn)M為射線(xiàn)BD上一動(dòng)點(diǎn)，連接OM，交BC于點(diǎn)F．（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；（2）求證：∠BOF＝∠BDF；（3）是否存在點(diǎn)M，使△MDF為等腰三角形？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在，求ME的長(zhǎng)．

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝ax2+x+m（a≠0）的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，其中點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，﹣4），點(diǎn)C坐標(biāo)為（2，0）．（1）求此拋物線(xiàn)的函數(shù)解析式．（2）點(diǎn)D是直線(xiàn)AB下方拋物線(xiàn)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD、BD，探究是否存在點(diǎn)D，使得△ABD的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）點(diǎn)P為該拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的動(dòng)點(diǎn)，使得△PAB為直角三角形，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．9．如圖，拋物線(xiàn)y＝﹣x2+3x+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A位于點(diǎn)B

的左側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸l與x軸交于點(diǎn)N，長(zhǎng)為1的線(xiàn)段PQ（點(diǎn)P位于點(diǎn)Q的上方）在x軸上方的拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上運(yùn)動(dòng)．（1）直接寫(xiě)出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求CP+PQ+QB的最小值；（3）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥y軸于點(diǎn)M，當(dāng)△CPM和△QBN相似時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．命題點(diǎn)4二次函數(shù)與四邊形的存在性10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝ax2+2x+c與x軸分別交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），連接BC．（1）求拋物線(xiàn)的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)．（2）如圖，點(diǎn)P為線(xiàn)段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B，C重合），過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)Q，求線(xiàn)段PQ長(zhǎng)度的最大值．（3）動(dòng)點(diǎn)P以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線(xiàn)段BC上由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)M以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線(xiàn)段BO上由點(diǎn)B向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)P，M，B，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，0）的直線(xiàn)AB與y軸交于點(diǎn)B（0，4）．經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c交直線(xiàn)AB于點(diǎn)A，C，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為D．（1）求拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c的表達(dá)式；（2