數(shù)學(xué)-難點(diǎn)特訓(xùn)（一）和平行線有關(guān)的壓軸大題（帶答案）

難點(diǎn)特訓(xùn)（一）和平行線有關(guān)的壓軸大題1．如圖，已知，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠EBD＋∠EDB＝90°．(1)求證：ABCD；(2)射線BF、DF分別在∠ABE、∠CDE內(nèi)部，且∠BFD＝30°．當(dāng)∠ABE＝3∠ABF，試探究的值；畫出圖形，并說明理由．(3)H是直線CD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），BI平分∠HBD，試探究∠EBI與∠BHD的數(shù)量關(guān)系，畫出圖形，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)(3)∠BHD＝2∠EBI或∠BHD＝180°?2∠EBI【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠ABD＝2∠EBD，∠BDC＝2∠BDE，然后求出∠ABD＋∠BDC＝180°，再根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行證明；（2）作EPAB，F(xiàn)QAB，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)解答即可；（3）根據(jù)角平分線的定義可得∠ABD＝2∠EBD，∠HBD＝2∠IBD，然后分點(diǎn)H在點(diǎn)D的左邊和右邊兩種情況，表示出∠ABH和∠EBI，從而得解．【詳解】（1）證明：∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，∴∠ABD＝2∠EBD，∠CDB＝2∠EDB，又∵∠EBD＋∠EDB＝90°，

∴∠ABD＋∠CBD＝2×90°＝180°，∴ABCD；（2）作EPAB，F(xiàn)QAB，如圖，又∵ABCD，∴ABCDEP，ABCDFQ，∴∠BED＝∠ABE＋∠CDE＝90°，∴∠BFD＝∠ABF＋∠CDF∴∠BFD＝∠ABE＋∠CDF＝30°＝∠BED，∴＝（3）∵BE平分∠ABD，∴∠ABD＝2∠EBD，∵BI平分∠HBD，∴∠HBD＝2∠IBD，如圖1，點(diǎn)H在點(diǎn)D的左邊時(shí)，∠ABH＝∠ABD?∠HBD，∠EBI＝∠EBD?∠IBD，∴∠ABH＝2∠EBI，∵ABCD，

∴∠BHD＝∠ABH，∴∠BHD＝2∠EBI，如圖2，點(diǎn)H在點(diǎn)D的右邊時(shí)，∠ABH＝∠ABD＋∠HBD，∠EBI＝∠EBD＋∠IBD，∴∠ABH＝2∠EBI，∵ABCD，∴∠BHD＝180°?∠ABH，∴∠BHD＝180°?2∠EBI，綜上所述，∠BHD＝2∠EBI或∠BHD＝180°?2∠EBI．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于（3）分情況討論并理清圖中各角度之間的關(guān)系．2．在平面直角坐標(biāo)系中，D（0，﹣3），M（4，﹣3），直角三角形ABC的邊與x軸分別相交于O、G兩點(diǎn)，與直線DM分別交于E、F點(diǎn)，∠ACB＝90°．(1)將直角三角形如圖1位置擺放，如果∠AOG＝46°，則∠CEF＝；(2)將直角三角形ABC如圖2位置擺放，N為AC上一點(diǎn)，①若∠NEC+∠CEF＝180°，請(qǐng)直接寫出∠NEF與∠AOG之間的等量關(guān)系：；②若∠NED+∠CEF＝180°，請(qǐng)判斷∠NEF與∠AOG之間的等量關(guān)系，并說明理由．(3)將直角三角形ABC如圖3位置擺放，若∠GOC＝140°，延長(zhǎng)AC交DM于點(diǎn)Q，點(diǎn)P是射線GF上一動(dòng)點(diǎn)，探究∠POQ，∠OPQ與∠PQF的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出結(jié)論（題中的所有角都大于0°小于180°）：．【答案】(1)136°(2)①∠NEF＝2∠AOG；②∠AOG＋∠NEF＝90°；理由見解析

(3)∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF或140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF【分析】（1）作軸，可得軸，由平行線性質(zhì)可得∠AOG＝∠1，∠2+∠CEF＝180°，進(jìn)而可求∠CEF的大?。唬?）①過點(diǎn)C作軸，可得軸，則∠AOG＝∠ACQ，∠ECQ＝∠CEK，結(jié)合已知條件與鄰補(bǔ)角的定義可得∠NEC＝∠CEK，根據(jù)∠ACQ＋∠ECQ＝90°，可得∠ECQ＝∠CEK＝∠NEC＝90°?∠AOG，結(jié)合∠CEK＋∠NEC＋∠NEF＝180°，可得出答案；②由軸，可得∠AOG＝∠ACQ，∠ECQ＝∠CEK，結(jié)合已知條件與鄰補(bǔ)角的定義可得∠NED＝∠CEK，最后由∠ACQ＋∠ECQ＝90°，可得出答案；（3）分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)P在GF上時(shí)，過點(diǎn)P作，可得，由平行線性質(zhì)可得∠GOP＝∠OPN，∠PQF＝∠NPQ，可得∠OPQ＝∠GOP+∠PQF，進(jìn)而可得∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF；當(dāng)點(diǎn)P在線段GF的延長(zhǎng)線上時(shí)，過點(diǎn)P作，可得，由平行線性質(zhì)可得∠GOP＝∠OPN，∠PQF＝∠NPQ，又∠OPN＝∠OPQ+∠QPN，可得∠GOP＝∠OPQ+∠PQF，進(jìn)而可得140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF．【詳解】（1）解：如圖1，作軸，∵D（0，﹣3），M（4，﹣3），∴軸，∴軸，∴∠AOG＝∠1，∠2+∠CEF＝180°，∴∠2＝180°﹣∠CEF，∵∠1+∠2＝90°，∴∠AOG+180°﹣∠CEF＝90°，∵∠AOG＝46°，

∴∠CEF＝136°．故答案為136°．（2）解：①過點(diǎn)C作軸，如圖2所示：∴軸，∴∠AOG＝∠ACQ，∠ECQ＝∠CEK，∵∠NEC＋∠CEF＝180°，∠CEK＋∠CEF＝180°，∴∠NEC＝∠CEK，∵∠ACQ＋∠ECQ＝90°，∴∠ECQ＝∠CEK＝∠NEC＝90°?∠ACQ＝90°?∠AOG，∵∠CEK＋∠NEC＋∠NEF＝180°，∴2（90°?∠AOG）＋∠NEF＝180°，整理得∠NEF＝2∠AOG．故答案為：∠NEF＝2∠AOG．②∠NEF＋∠AOG＝90°．理由如下：∵軸，∴∠AOG＝∠ACQ，∠ECQ＝∠CEK，∵∠NED＋∠CEF＝180°，∠CEK＋∠CEF＝180°，∴∠NED＝∠CEK，∵∠ACQ＋∠ECQ＝90°，∴∠AOG＋∠NEF＝90°．（3）解：如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在GF上時(shí)，過點(diǎn)P作，

∴，∴∠GOP＝∠OPN，∠PQF＝∠NPQ，∴∠OPQ＝∠GOP+∠PQF，∴∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF；如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在線段GF的延長(zhǎng)線上時(shí)，過點(diǎn)P作，∴，∴∠GOP＝∠OPN，∠PQF＝∠NPQ，∵∠OPN＝∠OPQ+∠QPN，∴∠GOP＝∠OPQ+∠PQF，∴140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF；綜上分析可知，∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF或140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF．故答案為：∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF或140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定，互余和互補(bǔ)，熟練掌握平行線的性質(zhì)、余角和補(bǔ)角的等量代換，是解題的關(guān)鍵．3．已知直線l1l2，直線l3交l1于點(diǎn)C，交l2于點(diǎn)D，P是直線CD上一點(diǎn)．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時(shí)，請(qǐng)你探究∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)找出它們之間的關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線段CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出結(jié)論．【答案】(1)∠3=∠1+∠2，理由見解析(2)∠2=∠1+∠3，理由見解析(3)∠1=∠2+∠3，理由見解析【分析】（1）過點(diǎn)P作PE∥l1，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠1=∠APE，∠2=∠BPE，結(jié)合圖形求解即可；（2）過點(diǎn)P作PE∥l1，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠1=∠APE，∠2=∠BPE，結(jié)合圖形求解即可；（3）方法同（1）（2）類似，進(jìn)行求解即可【詳解】（1）解：如圖所示，過點(diǎn)P作PE∥l1∵l1∥l2∴PE∥l1∥l2∴∠1=∠APE，∠2=∠BPE，∵∠APB=∠APE+∠BPE，∴∠APB=∠1+∠2，即∠3=∠1+∠2，

（2）如圖所示，過點(diǎn)P作PE∥l1∵l1∥l2∴PE∥l1∥l2∴∠1=∠APE，∠2=∠BPE，∵∠APB+∠APE=∠BPE，∴∠BPE=∠1+∠3，即∠2=∠1+∠3，（3）過點(diǎn)P作PE∥l1∵l1∥l2∴PE∥l1∥l2∴∠1=∠BPE，∠2=∠APE，∵∠EPB=∠APE+∠BPA，∴∠BPE=∠2+∠3，即∠1=∠2+∠3．

【點(diǎn)睛】題目主要考查平行線的判定和性質(zhì)，理解題意，作出輔助線，熟練掌握運(yùn)用平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．如圖1，已知a∥b，點(diǎn)A、B在直線a上，點(diǎn)C、D在直線b上，且AD⊥BC于E．（1）求證：∠ABC+∠ADC=90°；（2）如圖2，BF平分∠ABC交AD于點(diǎn)F，DG平分∠ADC交BC于點(diǎn)G，求∠AFB+∠CGD的度數(shù)；（3）如圖3，P為線段AB上一點(diǎn)，I為線段BC上一點(diǎn)，連接PI，N為∠IPB的角平分線上一點(diǎn)，且∠NCD=∠BCN，則∠CIP、∠IPN、∠CNP之間的數(shù)量關(guān)系是______．【答案】（1）見解析；（2）225°；（3）3∠CNP=∠CIP+∠IPN或3∠IPN=∠CIP+∠CNP．【分析】(1)如圖1中，過E作EF∥a，利用平行線的性質(zhì)即可解決問題；(2)如圖2中，作FM∥a，GN∥b，設(shè)∠ABF=∠EBF=x，∠ADG=∠CDG=y，可得x+y=45°，證明∠AFB=180°-（2y+x），∠CGD=180°-（2x+y），推出∠AFB+∠CGD=360°-（3x+3y）即可解決問題；(3)分兩種情形：①當(dāng)點(diǎn)N在∠DCB內(nèi)部時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)N′在直線CD的下方時(shí)，分別畫出圖形求解即可．【詳解】(1)證明：如圖1中，過E作EF∥a．

∵a∥b，∴a∥b∥EF，∵AD⊥BC，∴∠BED=90°，∵EF∥a，∴∠ABE=∠BEF，∵EF∥b，∴∠ADC=∠DEF，∴∠ABC+∠ADC=∠BED=90°．(2)解：如圖2中，作FM∥a，GN∥b，設(shè)∠ABF=∠EBF=x，∠ADG=∠CDG=y，由（1）知：2x+2y=90°，x+y=45°，∵FM∥a∥b，∴∠BFD=2y+x，∴∠AFB=180°-（2y+x），同理：∠CGD=180°-（2x+y），∴∠AFB+∠CGD=360°-（3x+3y），=360°-3×45°=225°．(3)解：如圖，設(shè)PN交CD于E．當(dāng)點(diǎn)N在∠DCB內(nèi)部時(shí)，∵∠CIP=∠PBC+∠IPB，∴∠CIP+∠IPN=∠PBC+∠BPN+2∠IPE，∵PN平分∠EPB，

∴∠EPB=∠EPI，∵AB∥CD，∴∠NPE=∠CEN，∠ABC=∠BCE，∵∠NCE=∠BCN，∴∠CIP+∠IPN=3∠PEC+3∠NCE=3（∠NCE+∠NEC）=3∠CNP．當(dāng)點(diǎn)N′在直線CD的下方時(shí)，同理可知：∠CIP+∠CNP=3∠IPN，綜上所述：3∠CNP=∠CIP+∠IPN或3∠IPN=∠CIP+∠CNP．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，對(duì)頂角相等等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．5．如圖，點(diǎn)E、F、分別在直線AB，CD上，P為AB，CD之間一點(diǎn)，連接PE，過點(diǎn)P作PG//EF，交CD于點(diǎn)G，∠CGP＝∠BEF．(1)如圖1，求證：AB//CD；(2)如圖2，EF平分∠PEB，H為線段GF上一點(diǎn)，連接PH．①若∠FHP＋∠PEF＝200°，求∠HPG的度數(shù)：②如圖3，HQ平分∠CHP，交PG于點(diǎn)Q．若∠HPE＝α，直接寫出∠HQP的度數(shù)為（結(jié)果用含α的式子表示）．【答案】(1)見解析；(2)①∠HPG＝20°；②∠HQP＝【分析】（1）證明∠CFE＝∠BEF，根據(jù)平行線的判定可得結(jié)論；（2）①設(shè)∠PEF＝x，可得∠CGP＝∠CFE＝x，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)、角平分線的定義求出∠FHP＋∠PEF＝180°?x＋∠HPG＋x＝180°＋∠HPG，即可得出答案；②延長(zhǎng)PQ交CD于點(diǎn)G，則∠GFE＝∠BEF＝∠PEF，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EPQ＋∠PEF＝180°，∠PGF＋∠GFE＝180°，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)、角平分線的定義得到∠HQP＝∠EPQ＋∠PHQ＝∠HPE＋∠HPQ＋∠PHQ，等量代換求出2∠HQP＝∠HPE＋180°即可解決問題．

（1）證明：∵PGEF，∴∠CGP＝∠CFE，∵∠CGP＝∠BEF，∴∠CFE＝∠BEF，∴ABCD；（2）解：①∵EF平分∠PEB，∴∠PEF＝∠BEF，設(shè)∠PEF＝x，則∠BEF＝x，由（1）知∠CGP＝∠CFE＝∠BEF，∴∠CGP＝∠CFE＝x，∴∠HGP＝180°?∠CGP＝180°?x，∵∠FHP＝∠HGP＋∠HPG＝180°?x＋∠HPG，∴∠FHP＋∠PEF＝180°?x＋∠HPG＋x＝180°＋∠HPG，∵∠FHP＋∠PEF＝200°，∴∠HPG＝200°?180°＝20°；②依題意，延長(zhǎng)PQ交CD于點(diǎn)G，如圖所示，則∠GFE＝∠BEF＝∠PEF，∵PGEF，∴∠EPQ＋∠PEF＝180°，∠PGF＋∠GFE＝180°，由（2）知∠GFE＝∠PEF，∴∠PGF＝∠EPQ，∵∠HQP＝∠PGF＋∠CHQ，∴∠HQP＝∠EPQ＋∠CHQ，∵HQ平分∠CHP，∴∠CHQ＝∠PHQ，∴∠HQP＝∠EPQ＋∠PHQ＝∠HPE＋∠HPQ＋∠PHQ，

∵∠HPQ＋∠PHQ＝180°?∠HQP，∴∠HQP＝∠HPE＋180°?∠HQP，∴2∠HQP＝∠HPE＋180°，∵∠HPE＝α，∴2∠HQP＝α＋180°，∴∠HQP＝．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，角平分線定義等知識(shí)，靈活運(yùn)用平行線的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．6．已知：．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點(diǎn)F在、之間，平分交于點(diǎn)G，若，求的大?。?3)如圖3，點(diǎn)P、Q分別在、上，點(diǎn)M在下方，點(diǎn)N在兩平行線之間．，請(qǐng)?zhí)骄恐g的關(guān)系．【答案】(1)證明見解析；(2)60°；(3)5∠MPN+3∠M-∠N=360°；【分析】（1）過點(diǎn)E作EF∥AB，由AB∥CD可得EF∥CD，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，再計(jì)算角的和即可證明；（2）過點(diǎn)F作FM∥AG，由EH∥AG可得EH∥FM，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義由∠E依次求得∠EFM，∠MFA，∠FAG，∠BAG，∠AGC即可解答；（3）過點(diǎn)N作NE∥AB，過點(diǎn)M作MF∥AB，由AB∥CD可得NE∥CD，MF∥CD，由∠APM=3∠APN可得∠MPN=2∠APN，根據(jù)平行線的性質(zhì)依次求得∠PNE，∠QNE，∠NQD，∠FMQ，再由∠APM+∠PMF=180°化簡(jiǎn)求值即可；

（1）證明：如圖，過點(diǎn)E作EF∥AB，∵AB∥EF，∴∠A=∠AEF，∵EF∥AB，AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠CEF=∠C，∴∠AEF=∠CEF+∠AEC=∠C+∠AEC，∴∠A=∠C+∠AEC；（2）解：如圖，過點(diǎn)F作FM∥AG，∵EH∥AG，F(xiàn)M∥AG，∴EH∥FM，∴∠EFM=∠E=30°，∵∠EFA=5∠E=150°，∴∠MFA=∠EFA-∠EFM=120°，∵AG∥FM，∴∠FAG=180°-∠MFA=60°，∵AG平分∠BAF，∴∠BAG=∠FAG=60°，∵AB∥CD，∴∠AGC=∠BAG=60°，

∵AG∥EH，∴∠EHG=∠AGC=60°；（3）解：如圖，過點(diǎn)N作NE∥AB，過點(diǎn)M作MF∥AB，∠APM=3∠APN，則∠MPN=2∠APN，AB∥NE，則∠PNE=∠APN=∠MPN，∴∠QNE=∠PNQ-∠PNE=∠PNQ-∠MPN，NE∥AB，AB∥CD，則NE∥CD，∴∠NQD=180°-∠QNE=180°-∠PNQ+∠MPN，∠NQD=3∠MQD，則∠MQD=（180°-∠PNQ+∠MPN）=60°-∠PNQ+∠MPN，MF∥AB，AB∥CD，則MF∥CD，∴∠FMQ=∠MQD=60°-∠PNQ+∠MPN，∴∠PMF=∠FMQ+∠PMQ=60°-∠PNQ+∠MPN+∠PMQ，∵AB∥MF，∴∠APM+∠PMF=180°，∴∠APN+∠MPN+∠PMF=180°，∴∠MPN+∠MPN+60°-∠PNQ+∠MPN+∠PMQ=180°，∴∠MPN+∠PMQ-∠PNQ=120°，∴5∠MPN+3∠PMQ-∠PNQ=360°；【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，角的和差計(jì)算等知識(shí)；正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．7．如圖1，直線分別交直線、于點(diǎn)E、F（點(diǎn)F在點(diǎn)E左側(cè)），動(dòng)點(diǎn)M、N不在，，上．若平分，連．

(1)求證：；(2)如圖2所示，點(diǎn)M、N停在圖2位置，且，求度數(shù)；(3)如圖3，點(diǎn)M在左側(cè)，點(diǎn)N在下方運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)直接寫出、、三個(gè)角之間存在的數(shù)量關(guān)系______________________．（M、F、N三點(diǎn)不共線）【答案】(1)見解析(2)(3)或【分析】（1）只需要證明，即可證明；（2）如圖所示，過點(diǎn)M作，過點(diǎn)N作，設(shè)，則，，依據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明求解即可；（3）分點(diǎn)M在CD上方和點(diǎn)M在CD下方兩種情況求解即可．(1)證明：∵與相交，∴，又∵，∴，∴；(2)解：如圖所示，過點(diǎn)M作，過點(diǎn)N作，設(shè)，則，，∵，∴，∴，，，，

∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴；(3)解：如圖2所示，由（1）可知，∠AEF=2∠AEM，∴；如圖3所示，過點(diǎn)M作，過點(diǎn)N作，同理可證∠EMG=∠AEM，∠NMG=∠MNT，，

∴，∴∴，∴；綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，正確作出輔助線，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．8．已知：AB∥CD．(1)如圖1，求證：∠A＝∠E+∠C；(2)如圖2，點(diǎn)F在AB、CD之間，∠BAF＝5∠E，AG平分∠BAF交CD于點(diǎn)G，若EH∥AG，∠E＝30°，求∠EHG的大??；(3)如圖3，點(diǎn)P、Q分別在AB、CD上，點(diǎn)M在CD下方，點(diǎn)N在兩平行線之間．∠APM＝3∠APN，∠NQD＝3∠MQD，請(qǐng)?zhí)骄俊螹、∠N、∠MPN之間的關(guān)系．【答案】(1)見解析(2)75°(3)

【分析】（1）作EF∥AB．利用平行線的性質(zhì)即可證明；（2）由AG平分∠BAF交CD于點(diǎn)G，以及平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得；（3）過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，設(shè)，∠MQD，根據(jù)平行線的性質(zhì)，分別表示出，，，進(jìn)而根據(jù)加減消元法即可求得．（1）證明：如圖，作EF∥AB．∵AB∥CD，，∠A=∠AEF，∴∠C=∠CEF，，，（2）∠BAF＝5∠E，∠E＝30°，AG平分∠BAF交CD于點(diǎn)G，，，，EH∥AG，，，，（3）如圖，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，

設(shè)，∠APM＝3∠APN，，，，，，設(shè)∠MQD，∠NQD＝3∠MQD，，，，，

，，即，①，，，②，①×3-②得：，，．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何圖形中角度的計(jì)算，平行線的性質(zhì)與判定探究角之間的關(guān)系，角平分線的意義，掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．9．已知，直線AB∥CD，點(diǎn)E、F分別在直線AB、CD上，點(diǎn)P是直線AB與CD外一點(diǎn)，連接PE、PF．

(1)如圖1，若∠AEP＝45°，∠DFP＝105°，求∠EPF的度數(shù)：(2)如圖2，過點(diǎn)E作∠AEP的角平分線EM交FP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，∠DFP的角平分線FN交EM的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，若∠M與3∠N互補(bǔ)，試探索直線EP與直線FN的位置關(guān)系，并說明理由；(3)若點(diǎn)P在直線AB的上方且不在直線EF上，作∠DFP的角平分線FN交∠AEP的角平分線EM所在直線于點(diǎn)N，請(qǐng)直接寫出∠EPF與∠ENF的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)，理由見解析(3)或【分析】（1）延長(zhǎng)EP交CD于點(diǎn)G，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得，再根據(jù)補(bǔ)角和三角形外角的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案；（2）延長(zhǎng)EP交CD于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)Q，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，設(shè)，，根據(jù)平行線和三角形外角性質(zhì)，得，根據(jù)三角形外角和三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，得；再根據(jù)平行線的性質(zhì)分析，即可完成證明；（3）根據(jù)題意，分P在直線EF左側(cè)和右側(cè)兩種情況分析；設(shè)，，根據(jù)角平分線、平行線和三角形外角的性質(zhì)，得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案．（1）如圖，延長(zhǎng)EP交CD于點(diǎn)G∵AB∥CD，∠AEP＝45°，

∴∵∠DFP＝105°∴∴；（2）如圖，延長(zhǎng)EP交CD于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)Q根據(jù)題意，得，設(shè)，∴∵AB∥CD∴，，即∴∵∴，即∵∴∴將代入到得：∴∴；（3）當(dāng)點(diǎn)P在直線EF左側(cè)時(shí)，交AB于點(diǎn)Q，如圖，

根據(jù)題意，得：，設(shè)，∴∵AB∥CD∴∴∵，∴將代入到，得：∴；當(dāng)點(diǎn)P在直線EF右側(cè)時(shí)，交AB于點(diǎn)Q，和相交于點(diǎn)K，如圖，根據(jù)題意，得：，設(shè)，∴，∵AB∥CD∴，

∴∵∴∴將代入到，得：∴．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線、三角形、平行線的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和、三角形外角、平行線的性質(zhì)，從而完成求解．10．已知：直線AB∥CD，M，N分別在直線AB，CD上，H為平面內(nèi)一點(diǎn)，連HM，HN．(1)如圖1，延長(zhǎng)HN至G，∠BMH和∠GND的角平分線相交于點(diǎn)E．①若∠BME=25°，∠END=75°，則∠H的度數(shù)為_______；②探究∠MEN與∠MHN的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；(2)如圖2，∠BMH和∠HND的角平分線相交于點(diǎn)E．作MP平分∠AMH，NQ∥MP交ME的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，若∠H＝150°，求∠ENQ的度數(shù)．【答案】(1)①20°；②，理由見解析(2)15°【分析】（1）①設(shè)MH與CD的交點(diǎn)為O，如圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)求得、和的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求解即可；②過點(diǎn)E，作EP//AB，可得，類似求得與、的關(guān)系，即可求解；（2）分別過點(diǎn)H、E作HI//AB，EF//AB，如圖，根據(jù)平行線的性質(zhì)求得，根據(jù)∠H＝150°，求得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求得，利用三角形外角的性質(zhì)，即可求解．

（1）①∵平分，平分∴，∴，∵∴∴；②，理由如下：過點(diǎn)E，作EP//AB，如下圖：∵平分，平分∴，，∴，∵∴∴，，∴，∴，即可得：（2）分別過點(diǎn)H、E作HI//AB，EF//AB，如圖，∵平分，平分，平分

∴，，，∴∵∴∴，，，，∴，，∴∴，∵∴∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)，根據(jù)題意構(gòu)造出輔助線．11．如圖，直線，點(diǎn)A為直線a上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B為直線a、b之間的定點(diǎn)，點(diǎn)C為直線上的定點(diǎn)．(1)當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到圖1所示位置時(shí)，容易發(fā)現(xiàn)之間的數(shù)量關(guān)系為；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，作等邊，平分，交直線a于點(diǎn)M，平分

，交直線b于點(diǎn)N，將繞點(diǎn)B轉(zhuǎn)動(dòng)，且始終在的內(nèi)部時(shí)，的值是否發(fā)生變化？若不變，求其值，若變化，說明理由；(3)點(diǎn)F為直線a上一點(diǎn)，使得，的平分線交直線a于點(diǎn)G，當(dāng)點(diǎn)A在直線a上運(yùn)動(dòng)時(shí)（A，B，C三點(diǎn)不共線），探究并直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系．（本問中的角均為小于180°的角）【答案】(1)∠ABC＝∠DAB+∠BCE；(2)不變化，；(3)∠ECB＝2∠FBG或，理由見解析．【分析】（1）過點(diǎn)B作，根據(jù)兩直線平行、內(nèi)錯(cuò)角相等解答；（2）根據(jù)角平分線的定義得到，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案；（3）分點(diǎn)F在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)和點(diǎn)F在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)兩種情況求解．【詳解】（1）解：作BH∥a，如圖1：則，∵，∴，∴，∴，故答案為：；（2）的值不變化，理由如下：如圖2：

∵，∴，∵，∴，∵，∴，即，由（1）得，∴；（3）當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，如圖3：，理由如下：∵，由（1）知，∵的平分線交直線a于點(diǎn)G，∴，∵，∴，∵，∴，∴，

即．當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，如圖4，，理由如下：∵的平分線交直線a于點(diǎn)G，∴．∵，，∴．由（1）知，∴，∴，∴，∴．綜上可知，與之間的數(shù)量關(guān)系為：或．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)，掌握平行線的性質(zhì)定理、三角形的外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．如圖1，，直線與、分別交于點(diǎn)A、D，點(diǎn)B在直線上，過點(diǎn)B作，垂足為點(diǎn)G．(1)__________；(2)若點(diǎn)C在線段上（不與A、D、G重合），連接，和的平分線交于點(diǎn)H，請(qǐng)?jiān)趫D2中補(bǔ)全圖形，猜想并證明與的數(shù)量關(guān)系__________；

(3)若直線的位置如圖3所示，點(diǎn)C在線段上（不與A、D、G重合），連接，和的平分線交于點(diǎn)H，請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系__________．【答案】(1)(2)2∠AHB-∠CBG=90°或2∠AHB+∠CBG=90°(3)2∠AHB+∠CBG=270°或2∠AHB-∠CBG=270°【分析】（1）先證明從而可得答案；（2）分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)C在AG上時(shí)，依據(jù)平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，2∠AHB-∠CBG=90°；當(dāng)點(diǎn)C在DG上時(shí)，依據(jù)平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，2∠AHB+∠CBG=90°；（3）分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)C在AG上時(shí)，依據(jù)平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，2∠AHB+∠CBG=270°；當(dāng)C在DG上時(shí)，依據(jù)平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，2∠AHB-∠CBG=270°．（1）解：故答案為：.（2）2∠AHB-∠CBG=90°或2∠AHB+∠CBG=90°，證明：①如圖，當(dāng)點(diǎn)C在AG上時(shí)，∵，∴∠MAC=∠BDC，∵∠ACB是△BCD的外角，∴∠ACB=∠BDC+∠DBC=∠MAC+∠DBC，∵AH平分∠MAC，BH平分∠DBC，

∴∠MAC=2∠MAH，∠DBC=2∠DBH，∴∠ACB=2（∠MAH+∠DBH），同理可得，∠AHB=∠MAH+∠DBH，∴∠ACB=2（∠MAH+∠DBH）=2∠AHB，又∵∠ACB是△BCG的外角，∴∠ACB=∠CBG+90°，∴2∠AHB=∠CBG+90°，即2∠AHB-∠CBG=90°；②如圖，當(dāng)點(diǎn)C在DG上時(shí)，同理可得，∠ACB=2∠AHB，又∵Rt△BCG中，∠ACB=90°-∠CBG，∴2∠AHB=90°-∠CBG，即2∠AHB+∠CBG=90°；（3）2∠AHB+∠CBG=270°；2∠AHB-∠CBG=270°．①如圖，當(dāng)點(diǎn)C在AG上時(shí)，由，可得：∠ACB=360°-∠MAC-∠PBC=360°-2（∠MAH+∠PBH），又同理可得：∠AHB=∠MAH+∠PBH，∴∠ACB=360°-2∠AHB，又∵∠ACB是△BCG的外角，

∴∠ACB=90°+∠CBG，∴360°-2∠AHB=90°+∠CBG，即2∠AHB+∠CBG=270°；②如圖，當(dāng)C在DG上時(shí)，同理可得，∠ACB=360°-2（∠MAH+∠PBH），∠AHB=∠MAH+∠PBH，∴∠ACB=360°-2∠AHB，又∵Rt△BCG中，∠ACB=90°-∠CBG，∴360°-2∠AHB=90°-∠CBG，∴2∠AHB-∠CBG=270°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義的運(yùn)用，三角形的外角的性質(zhì)的運(yùn)用，準(zhǔn)確識(shí)圖并理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于利用三角形外角性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．13．（1）探究：如圖1，ABCDEF，試說明．（2）應(yīng)用：如圖2，ABCD，點(diǎn)在、之間，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．若，，則的大小是多少？（3）拓展：如圖3，直線在直線、之間，且ABCDEF，點(diǎn)、分別在直線、上，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且不在直線上，連接、．若，則度（請(qǐng)直接寫出答案）．【答案】（1）見解析；（2）60°；（3）70或290【分析】（1）由可得，，，則；（2）利用（1）中的結(jié)論可知，，則可得的度數(shù)為

，由對(duì)頂角相等可得；（3）結(jié)合（1）中的結(jié)論可得，注意需要討論是鈍角或是銳角時(shí)兩種情況．【詳解】解：（1）如圖1，，，，，．（2）由（1）中探究可知，，，且，，；（3）如圖，當(dāng)為鈍角時(shí)，由（1）中結(jié)論可知，，；當(dāng)為銳角時(shí)，如圖，由（1）中結(jié)論可知，，即，綜上，或．故答案為：70或290．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)與判定，難度適中，觀察圖形，推出角之間的和差