材料力學(xué)（知識(shí)點(diǎn)）

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁(yè)/共頁(yè)緒論一工程力學(xué)的研究對(duì)象工程力學(xué)是一門研究物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)普通邏輯和有關(guān)構(gòu)件的強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性理論的科學(xué)，它包括靜力學(xué)、材料力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)的有關(guān)內(nèi)容。建造物中承受荷載而起骨架作用的部分稱為結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)是由若干構(gòu)件按一定方式組合而成的。組成結(jié)構(gòu)的各單獨(dú)部分稱為構(gòu)件。支承渡槽槽身的排架是由立柱和橫梁組成的剛架結(jié)構(gòu)；單層廠房結(jié)構(gòu)由屋頂、樓板和吊車梁、柱等構(gòu)件組成；結(jié)構(gòu)受荷載作用時(shí)，如不考慮建造材料的變形，其幾何形狀和位置不會(huì)發(fā)生改變。結(jié)構(gòu)按其幾何特征分為三種類型：（1）桿系結(jié)構(gòu)：由桿件組成的結(jié)構(gòu)。桿件的幾何特征是其長(zhǎng)度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于橫截面的寬度和高度。（2）薄壁結(jié)構(gòu)：由薄板或薄殼組成。薄板或薄殼的幾何特征是其厚度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于另兩個(gè)方向的尺寸。（3）實(shí)體結(jié)構(gòu)：由塊體構(gòu)成。其幾何特征是三個(gè)方向的尺寸基本為同一數(shù)量級(jí)。工程力學(xué)的研究對(duì)象主要是桿系結(jié)構(gòu)。二工程力學(xué)的研究?jī)?nèi)容和任務(wù)工程力學(xué)的任務(wù)是研究物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)普通邏輯和構(gòu)件的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性問(wèn)題。研究平面桿系結(jié)構(gòu)的計(jì)算原理和主意，為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)合理的形式，其目的是保證結(jié)構(gòu)按設(shè)計(jì)要求正常工作，并充足發(fā)揮材料的性能，使設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)既安全可靠又經(jīng)濟(jì)合理。舉行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，要求在受力分析基礎(chǔ)上，舉行結(jié)構(gòu)的幾何組成分析，使各構(gòu)件按一定的邏輯組成結(jié)構(gòu)，以確保在荷載的作用下結(jié)構(gòu)幾何形狀不發(fā)生過(guò)度的形變。結(jié)構(gòu)正常工作必須滿意強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性的要求。強(qiáng)度是指抵御破壞的能力。滿意強(qiáng)度要求就是要求結(jié)構(gòu)的構(gòu)件在正常工作時(shí)不發(fā)生破壞。剛度是指抵御變形的能力。滿意剛度要求就是要求結(jié)構(gòu)的構(gòu)件在正常工作時(shí)產(chǎn)生的變形不超過(guò)允許范圍。穩(wěn)定性是指結(jié)構(gòu)或構(gòu)件保持原有的平衡狀態(tài)的能力。滿意穩(wěn)定性要求就是要求結(jié)構(gòu)的構(gòu)件在正常工作時(shí)不驟然改變?cè)衅胶鉅顟B(tài)，以免因變形過(guò)大而破壞。按教學(xué)要求，我們主要研究以下幾個(gè)部分的內(nèi)容。（1）靜力學(xué)基礎(chǔ)。這是工程力學(xué)的重要基礎(chǔ)理論。包括物體的受力分析、力系的簡(jiǎn)化與平衡等剛體靜力學(xué)基礎(chǔ)理論。（2）桿件的承載能力計(jì)算。這部分是計(jì)算結(jié)構(gòu)承載能力計(jì)算的實(shí)質(zhì)。包括基本變形桿件的內(nèi)力分析和強(qiáng)度、剛度計(jì)算，（3）靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算。這部分是靜定結(jié)構(gòu)承載能力計(jì)算和超靜定結(jié)構(gòu)計(jì)算的基礎(chǔ)。剛體、變形固體及其基本假設(shè)工程力學(xué)中將物體抽象化為兩種計(jì)算模型：剛體和理想變形固體。剛體是在外力作用下形狀和尺寸都不改變的物體。實(shí)際上，任何物體受力的作用后都發(fā)生一定的變形，但在一些力知識(shí)題中，物體變形這一因素與所研究的問(wèn)題無(wú)關(guān)或?qū)ζ溆绊懮跷?，這時(shí)可將物體視為剛體，從而使研究的問(wèn)題得到簡(jiǎn)化。理想變形固體是對(duì)實(shí)際變形固體的材料理想化，作出以下假設(shè)：（1）延續(xù)性假設(shè)。認(rèn)為物體的材料結(jié)構(gòu)是密實(shí)的，物體內(nèi)材料是無(wú)空隙的延續(xù)分布。（2）勻稱性假設(shè)。認(rèn)為材料的力學(xué)性質(zhì)是勻稱的，從物體上任取或大或小一部分，材料的力學(xué)性質(zhì)均相同。（3）各向同性假設(shè)。認(rèn)為材料的力學(xué)性質(zhì)是各向同性的，材料沿不同方向具有相同的力學(xué)性質(zhì)，而各方向力學(xué)性質(zhì)不同的材料稱為各向異性材料。本教材中僅研究各向同性材料。按照上述假設(shè)理想化的普通變形固體稱為理想變形固體。剛體和變形固體都是工程力學(xué)中必不可少的理想化的力學(xué)模型。變形固體受荷載作用時(shí)將產(chǎn)生變形。當(dāng)荷載撤去后，可徹低出現(xiàn)的變形稱為彈性變形；不能恢復(fù)的變形稱為塑性變形或殘余變形。在多數(shù)工程問(wèn)題中，要求構(gòu)件只發(fā)生彈性變形。工程中，大多數(shù)構(gòu)件在荷載的作用下產(chǎn)生的變形量若與其原始尺寸相比很極小，稱為小變形。小變形構(gòu)件的計(jì)算，可采取變形前的原始尺寸并可略去某些高階無(wú)窮小量，可大大簡(jiǎn)化計(jì)算。綜上所述，工程力學(xué)把所研究的結(jié)構(gòu)和構(gòu)件看作是延續(xù)、勻稱、各向同性的理想變形固體，在彈性范圍內(nèi)和小變形情況下研究其承載能力。四荷載的分類結(jié)構(gòu)工作時(shí)所承受的主動(dòng)外力稱為荷載。荷載可分為不同的類型。（1）按作用性質(zhì)可分為靜荷載和動(dòng)荷載。由零逐漸緩慢增強(qiáng)加到結(jié)構(gòu)上的荷載稱為靜荷載，靜荷載作用下不產(chǎn)生顯然的加速度。大小方向隨時(shí)光而改變的荷載稱為動(dòng)荷載。地震力、沖擊力、慣性力等都為動(dòng)荷載。（2）按作用時(shí)光的長(zhǎng)短可分為恒荷載和活荷載。永遠(yuǎn)作用在結(jié)構(gòu)上大小、方向不變的荷載稱為恒荷載。結(jié)構(gòu)、固定設(shè)備的自重等都為恒荷載。暫時(shí)作用在結(jié)構(gòu)上的荷載稱為活荷載。風(fēng)、雪荷載等都是活荷載。（3）按作用范圍可分為擴(kuò)散荷載和分布荷載。若荷載的作用范圍與結(jié)構(gòu)的尺寸相比很小時(shí)，可認(rèn)為荷載擴(kuò)散作用于一點(diǎn)，稱為擴(kuò)散荷載。分布作用在體積、面積和線段上的荷載稱為分布荷載。結(jié)構(gòu)的自重、風(fēng)、雪等荷載都是分布荷載。當(dāng)以剛體為研究對(duì)象時(shí)，作用在結(jié)構(gòu)上的分布荷載可用其合力（擴(kuò)散荷載）代替；但以變形體為研究對(duì)象時(shí)，作用在結(jié)構(gòu)上的分布荷載不能用其合力代替。剛體靜力學(xué)基礎(chǔ)第一節(jié)靜力學(xué)基本概念靜力學(xué)是研究物體的平衡問(wèn)題的科學(xué)。主要研究作用在物體上的力系的簡(jiǎn)化和平衡兩大問(wèn)題。所謂平衡，在工程上是指物體相對(duì)于地球保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，它是物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)的一種異常形式。剛體的概念工程實(shí)際中的許多物體，在力的作用下，它們的變形普通很極小，對(duì)平衡問(wèn)題影響也很小，為了簡(jiǎn)化分析，我們把物體視為剛體。所謂剛體，是指在任何外力的作用下，物體的大小和形狀一直保持不變的物體。靜力學(xué)的研究對(duì)象僅限于剛體，所以又稱之為剛體靜力學(xué)。二、力的概念力的概念是人們?cè)诔志玫纳a(chǎn)勞動(dòng)和生活實(shí)踐中逐步形成的，通過(guò)歸納、概括和科學(xué)的抽象而建立的。力是物體之間互相的機(jī)械作用，這種作用使物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變，或使物體產(chǎn)生變形。力使物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變的效應(yīng)稱為外效應(yīng)，而使物體發(fā)生變形的效應(yīng)稱為內(nèi)效應(yīng)。剛體只考慮外效應(yīng)；變形固體還要研究?jī)?nèi)效應(yīng)。經(jīng)驗(yàn)表明力對(duì)物體作用的效應(yīng)徹低決定于以下力的三要素：（1）力的大小是物體互相作用的強(qiáng)弱程度。在國(guó)際單位制中，力的單位用牛頓（N）或千牛頓（kN），1kN=103N。（2）力的方向包含力的方位和指向兩方面的涵義。如重力的方向是“豎直向下”?！柏Q直”是力作用線的方位，“向下”是力的指向。（3）力的作用位置是指物體上承受力的部位。普通來(lái)說(shuō)是一塊面積或體積，稱為分布力；而有些分布力分布的面積很小，可以近似看作一個(gè)點(diǎn)時(shí)，這樣的力稱為擴(kuò)散力。倘若改變了力的三要素中的任一要素，也就改變了力對(duì)物體的作用效應(yīng)。既然力是有大小和方向的量，所以力是矢量?？捎靡粠Ъ^的線段來(lái)表示，如線段AB長(zhǎng)度按一定的比例尺表示力F的大小，線段的方位和箭頭的指向表示力的方向。線段的起點(diǎn)A或盡頭B表示力的作用點(diǎn)。線段AB的延伸線（圖中虛線）表示力的作用線。本教材中，用黑體字母表示矢量，用對(duì)應(yīng)字母表示矢量的大小。普通來(lái)說(shuō)，作用在剛體上的力不止一個(gè)，我們把作用于物體上的一群力稱為力系。倘若作用于物體上的某一力系可以用另一力系來(lái)代替，而不改變?cè)械臓顟B(tài)，這兩個(gè)力系互稱等效力系。倘若一個(gè)力與一個(gè)力系等效，則稱此力為該力系的合力，這個(gè)過(guò)程稱力的合成；而力系中的各個(gè)力稱此合力的分力，將合力代換成分力的過(guò)程為力的分解。在研究力知識(shí)題時(shí)，為方便地顯示各種力系對(duì)物體作用的總體效應(yīng)，用一個(gè)容易的等效力系（或一個(gè)力）代替一個(gè)復(fù)雜力系的過(guò)程稱為力系的簡(jiǎn)化。力系的簡(jiǎn)化是剛體靜學(xué)的基本問(wèn)題之一。三、靜力學(xué)公理所謂公理就是無(wú)需證實(shí)就為大家在持久生活和生產(chǎn)實(shí)踐中所公認(rèn)的真理。靜力學(xué)公理是靜力學(xué)所有理論的基礎(chǔ)。公理一二力平衡公理作用于同一剛體上的兩個(gè)力成平衡的須要與充足條件是：力的大小相等，方向相反，作用在同向來(lái)線上。即等值、反向、共線。可以表示為：F=-F/或F+F/=0此公理給出了作用于剛體上的最簡(jiǎn)力系平衡時(shí)所必須滿意的條件，是推證其它力系平衡條件的基礎(chǔ)。在兩個(gè)力作用下處于平衡的物體稱為二力體，若物體是構(gòu)件或桿件，也稱二力構(gòu)件或二力桿件簡(jiǎn)稱二力桿。公理二加減平衡力系公理在作用于剛體的隨意力系中，加上或減去平衡力系，并不改變?cè)ο祵?duì)剛體作用效應(yīng)。推論一力的可傳性原理作用于剛體上的力可以沿其作用線移至剛體內(nèi)隨意一點(diǎn)，而不改變?cè)摿?duì)剛體的效應(yīng)。證實(shí)：設(shè)力F作用于剛體上的點(diǎn)A。在力F作用線上任選一點(diǎn)B，在點(diǎn)B上加一對(duì)平衡力F1和F2，使F1=－F2=F則F1、F2、F構(gòu)成的力系與F等效。將平衡力系F、F2減去，則F1與F等效。此時(shí)，相當(dāng)于力F已由點(diǎn)A沿作用線移到了點(diǎn)B。由此可知，作用于剛體上的力是滑移矢量，因此作用于剛體上力的三要素為大小、方向和作用線。公理三力的平行四邊形法則作用于物體上同一點(diǎn)的兩個(gè)力可以合成為作用于該點(diǎn)的一個(gè)合力，它的大小和方向由以這兩個(gè)力的矢量為鄰邊所構(gòu)成的平行四邊形的對(duì)角線來(lái)表示。以FR表示力F1和力F2的合力，則可以表示為：FR=F1+F2。即作用于物體上同一點(diǎn)兩個(gè)力的合力等于這兩個(gè)力的矢量合。在求共點(diǎn)兩個(gè)力的合力時(shí)，我們常采使勁的三角形法則：從剛體外任選一點(diǎn)a作矢量ab代表力F1，然后從b的盡頭作bc代表力F2，最后連起點(diǎn)a與盡頭c得到矢量ac,則ac就代表合力矢FR。分力矢與合力矢所構(gòu)成的三角形abc稱為力的三角形。這種合成主意稱為力三角形法則。推論二三力平衡匯交定理剛體受同一平面內(nèi)互不平行的三個(gè)力作用而平衡時(shí)，則此三力的作用線必匯交于一點(diǎn)。證實(shí):設(shè)在剛體上三點(diǎn)A、B、C分離作用有力F1、F2、F3，其互不平行，且為平衡力系，按照力的可傳性，將力F1和F2移至匯交點(diǎn)O，按照力的可傳性公理，得合力FR1，則力F3與FR1平衡，由公理一知，F(xiàn)3與FR1必共線，所以力F1、F2的作用線必過(guò)點(diǎn)O。公理四作用與反作用公理兩個(gè)物體間互相作使勁，總是同時(shí)存在，它們的大小相等，指向相反，并沿同向來(lái)線分離作用在這兩個(gè)物體上。物體間的作使勁與反作使勁總是同時(shí)浮上，同時(shí)出現(xiàn)?？梢姡烊唤缰械牧偸浅蓪?duì)地存在，而且同時(shí)分離作用在互相作用的兩個(gè)物體上。這個(gè)公理概括了任何兩物體間的互相作用的關(guān)系，不論對(duì)剛體或變形體，不管物體是靜止的還是運(yùn)動(dòng)的都適用。應(yīng)該注重，作使勁與反作使勁固然等值、反向、共線，但它們不能平衡，因?yàn)槎叻蛛x作用在兩個(gè)物體上，不可與二力平衡公理混淆起來(lái)。公理五剛化原理變形體在已知力系作用下平衡時(shí)，若將此變形體視為剛體（剛化），則其平衡狀態(tài)不變。此原理建立了剛體平衡條件與變形體平衡條件之間的關(guān)系，即關(guān)于剛體的平衡條件，對(duì)于變形體的平衡來(lái)說(shuō)，也必須滿意。但是，滿意了剛體的平衡條件，變形體不一定平衡。例如一段軟繩，在兩個(gè)大小相等，方向相反的拉力作用下處于平衡，若將軟繩變成剛桿，平衡保持不變。反過(guò)來(lái)，一段剛桿在兩個(gè)大小相等、方向相反的壓力作用下處于平衡，而繩索在此壓力下則不能平衡?？梢?，剛體的平衡條件對(duì)于變形體的平衡來(lái)說(shuō)只是須要條件而不是充足條件。第二節(jié)力對(duì)點(diǎn)之矩力矩的概念力不僅可以改變物體的移動(dòng)狀態(tài)，而且還能改變物體的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)。力使物體繞某點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的力學(xué)效應(yīng)，稱為力對(duì)該點(diǎn)之矩。以扳手旋轉(zhuǎn)螺母為例，設(shè)螺母能繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)。由經(jīng)驗(yàn)可知，螺母能否旋動(dòng)，不僅取決于作用在扳手上的力F的大小，而且還與點(diǎn)O到F的作用線的垂直距離d有關(guān)。因此，用F與d的乘積不作為力F使螺母繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的量度。其中距離d稱為F對(duì)O點(diǎn)的力臂，點(diǎn)O稱為矩心。因?yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng)有逆時(shí)針和順時(shí)針兩個(gè)轉(zhuǎn)向，則力F對(duì)O點(diǎn)之矩定義為：力的大小F與力臂d的乘積冠以適當(dāng)?shù)恼?fù)號(hào)，以符號(hào)mo(F)表示，記為mo(F)＝±Fd通常規(guī)定：力使物體繞矩心逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，力矩為正，反之為負(fù)。力F對(duì)O點(diǎn)之矩的大小，也可以用三角形OAB的面積的兩倍表示，即mo(F)＝±2ΔABO在國(guó)際單位制中，力矩的單位是牛頓?米（N??m）或千牛頓?米（kN?m）。由上述分析可得力矩的性質(zhì)：（1）力對(duì)點(diǎn)之矩，不僅取決于力的大小，還與矩心的位置有關(guān)。力矩隨矩心的位置變化而變化。（2）力對(duì)任一點(diǎn)之矩，不因該力的作用點(diǎn)沿其作用線移動(dòng)而改變，再次說(shuō)明力是滑移矢量。（3）力的大小等于零或其作用線通過(guò)矩心時(shí)，力矩等于零。二、合力矩定理定理：平面匯交力系的合力對(duì)其平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩等于所有各分力對(duì)同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和。證實(shí)：設(shè)剛體上的A點(diǎn)作用著一平面匯交力系。力系的合力。在力系所在平面內(nèi)任選一點(diǎn)O，過(guò)O作oy軸，且垂直于OA。則圖中Ob1、Ob2、…、Obn分離等于力F1、F2、…、Fn和FR在Oy軸上的投影Y1、Y2、…、Yn和YR?，F(xiàn)分離計(jì)算F1、F2、…、Fn和FR各分力對(duì)點(diǎn)O的力矩。（1）按照合力投影定理YR＝Y(jié)1＋Y2＋…＋Yn兩端乘以O(shè)A得YROA＝Y(jié)1OA＋Y2OA＋…＋YnOA將式（1）代入得mo(FR)＝mo(F1)＋mo(F2)＋…＋mo(Fn)即mo(FR)＝Σmo(F)上式稱為合力矩定理。合力矩定理建立了合力對(duì)點(diǎn)之矩與分力對(duì)同一點(diǎn)之矩的關(guān)系。這個(gè)定理也適用于有合力的其它力系。例1－1試計(jì)算圖中力對(duì)A點(diǎn)之矩。解本題有兩種解法。由力矩的定義計(jì)算力F對(duì)A點(diǎn)之矩。先求力臂d。由圖中幾何關(guān)系有：d=ADsinα=(AB-DB)sinα=(AB-BCctg)sinα=(a-bctgα)sinα=asinα-bcosα所以mA(F)=F?d=F(asinα-bcosα)按照合力矩定理計(jì)算力F對(duì)A點(diǎn)之矩。將力F在C點(diǎn)分解為兩個(gè)正交的分力，由合力矩定理可得mA(F)=mA(Fx)+mA(Fy)=－Fxb+Fya=－Fbcosα＋Fasinα=F(asinα-bcosα)本例兩種解法的計(jì)算結(jié)果是相同的，當(dāng)力臂不易決定時(shí)，用后一種主意較為簡(jiǎn)便。第三節(jié)力偶一、力偶力偶矩在日常生活和工程實(shí)際中常常見到物體受動(dòng)兩個(gè)大小相等、方向相反，但不在同向來(lái)線上的兩個(gè)平行力作用的情況。例如，司機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)駕駛汽車時(shí)兩手作用在方向盤上的力，工人用絲錐攻螺紋時(shí)兩手加在扳手上的力；以及用兩個(gè)手指擰動(dòng)水龍頭所加的力等等。在力學(xué)中把這樣一對(duì)等值、反向而不共線的平行力稱為力偶，用符號(hào)(F,F′)表示。兩個(gè)力作用線之間的垂直距離稱為力偶臂，兩個(gè)力作用線所決定的平面稱為力偶的作用面。實(shí)驗(yàn)表明，力偶對(duì)物體只能產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，且當(dāng)力愈大或力偶臂愈大時(shí)，力偶使剛體轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)就愈顯著。因此，力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)取決于：力偶中力的大小、力偶的轉(zhuǎn)向以及力偶臂的大小。在平面問(wèn)題中，將力偶中的一個(gè)力的大小和力偶臂的乘積冠以正負(fù)號(hào)，作為力偶對(duì)物體轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的量度，稱為力偶矩，用m或m(F,F′)表示，即m(F)＝F?d=±2ΔABC

通常規(guī)定：力偶使物體逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，力偶矩為正，反之為負(fù)。在國(guó)際單位制中，力矩的單位是牛頓?米（N??m）或千牛頓?米（kN?m）。二、力偶的性質(zhì)力和力偶是靜力學(xué)中兩個(gè)基本要素。力偶與力具有不同的性質(zhì)：（1）力偶不能簡(jiǎn)化為一個(gè)力，即力偶不能用一個(gè)力等效替代。因此力偶不能與一個(gè)力平衡，力偶只能與力偶平衡。(2)力偶對(duì)其作在平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩恒等于力偶矩，與矩心位置無(wú)關(guān)。如圖，力偶(F,F′)的力偶矩m(F)＝F?d在其作用面內(nèi)任取一點(diǎn)O為矩心，因?yàn)榱κ刮矬w轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)使勁對(duì)點(diǎn)之矩量度，因此力偶的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)可使勁偶中的兩個(gè)力對(duì)其作用面內(nèi)任何一點(diǎn)的矩的代數(shù)和來(lái)量度。設(shè)O到力F′的垂直距離為x，則力偶(F,F′)對(duì)于點(diǎn)O的矩為mo(F,F′)=mo(F)+mo(F′)=F（x+d）-F′x=F?d=m所得結(jié)果表明，不論點(diǎn)O選在何處，其結(jié)果都不會(huì)變，即力偶對(duì)其作用面內(nèi)任一點(diǎn)的矩總等于力偶矩。所以力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)總?cè)Q于偶矩（包括大小和轉(zhuǎn)向），而與矩心位置無(wú)關(guān)。由上述分析得到如下結(jié)論：在同一平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，只要兩力偶的力偶的代數(shù)值相等，則這兩個(gè)力偶相等。這就是平面力偶的等效條件。按照力偶的等效性，可得出下面兩個(gè)推論：推論1力偶可在其作用面內(nèi)隨意移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，而不會(huì)改變它對(duì)物體的效應(yīng)。推論2只要保持力偶矩不變，可同時(shí)改變力偶中力的大小和力偶臂的長(zhǎng)度，而不會(huì)改變它對(duì)物體的作用效應(yīng)。由力偶的等效性可知，力偶對(duì)物體的作用，徹低取決于力偶矩的大小和轉(zhuǎn)向。因此，力偶可以用一帶箭頭的弧線來(lái)表示如圖所求，其中箭頭表示力偶的轉(zhuǎn)向，m表示力偶矩的大小。三、平面力偶系的合成作用在物體同一平面內(nèi)的各力偶組成平面力偶系。設(shè)在剛體的同一平面內(nèi)作用三個(gè)力偶(F1,F1′)(F2,F2′)和(F3,F3′)，各力偶矩分離為：m1＝F1?d1，m2＝F2?d2，m3＝－F3?d3，在力偶作用面內(nèi)任取一線段AB＝d，按力偶等效條件，將這三個(gè)力偶都等效地改為以為d力偶臂的力偶(P1,P1′)(P2,P2′)和(P3,P3′)。由等效條件可知P1?d=F1?d1，P2?d＝F2?d2，－P3?d＝－F3?d3則等效變換后的三個(gè)力偶的力的大小可求出。然后移轉(zhuǎn)各力偶，使它們的力偶臂都與AB重合，則原平面力偶系變換為作用于點(diǎn)A、B的兩個(gè)共線力系。將這兩個(gè)共線力系分離合成，得FR＝P1＋P2－p3FR′＝P1′＋P2′－P3′可見，力FR與FR′等值、反向作用線平行但不共線，構(gòu)成一新的力偶（FR，F(xiàn)R′），為偶（FR，F(xiàn)R′）稱為本來(lái)的三個(gè)力偶的合力偶。用M表示此合力偶矩，則M＝FRd＝（P1＋P2－P3）d=P1?d+P2?d－P3?d=F1?d1+F2?d2－F3?d3所以M＝m1＋m2＋m3若作用在同一平面內(nèi)有個(gè)力偶，則上式可以推廣為M＝m1＋m2＋…＋mn＝Σm由此可得到如下結(jié)論：平面力偶系可以合成為一合力偶，此合力偶的力偶矩等于力偶系中各力偶的力偶矩的代數(shù)和。四、平面力偶系的平衡條件平面力偶系中可以用它的合力偶等效代替，因此，若合力偶矩等于零，則原力系必然平衡；反之若原力偶系平衡，則合力偶矩必等于零。由此可得到平面力偶系平衡的須要與充足條件：平面力偶系中所有各力偶的力偶矩的代數(shù)和等于零。即Σm＝0平面力偶系有一個(gè)平衡方程，可以求解一個(gè)未知量。例`1－2如圖所示，電動(dòng)機(jī)軸通過(guò)聯(lián)軸器與工作軸相連，聯(lián)軸器上4個(gè)螺栓A、B、C、D的孔心勻稱地分布在同一圓周上，此圓的直徑d＝150mm，電動(dòng)機(jī)軸傳給聯(lián)軸器的力偶矩m＝2.5kN?m，試求每個(gè)螺栓所受的力為多少？解取聯(lián)軸器為研究對(duì)象，作用于聯(lián)軸器上的力有電動(dòng)機(jī)傳給聯(lián)軸器的力偶，每個(gè)螺栓的反力，受力圖如圖所示。設(shè)4個(gè)螺栓的受力勻稱，即F1＝F2＝F3＝F4＝F，則組成兩個(gè)力偶并與電動(dòng)機(jī)傳給聯(lián)軸器的力偶平衡。由Σm＝0，m－F×AC－F×d＝0解得第四節(jié)力的平移定理由力的可傳性可知，力可以沿其作用線滑移到剛體上隨意一點(diǎn)，而不改變力對(duì)剛體的作用效應(yīng)。但當(dāng)力平行于本來(lái)的作用線移動(dòng)到剛體上隨意一點(diǎn)時(shí)，力對(duì)剛體的作用效應(yīng)便會(huì)改變，為了舉行力系的簡(jiǎn)化，將力等效地平行移動(dòng)，給出如下定理：力的平移定理：作用于剛體上的力可以平行移動(dòng)到剛體上的隨意一指定點(diǎn)，但必須同時(shí)在該力與指定點(diǎn)所決定的平面內(nèi)附加一力偶，其力偶矩等于原力對(duì)指定點(diǎn)之矩。證實(shí)：設(shè)力F作用于剛體上A點(diǎn)，為將力F等效地平行移動(dòng)到剛體上隨意一點(diǎn),按照加減平衡力系公理，在B點(diǎn)加上兩個(gè)等值、反向的力F′和F"，并使F′＝F"＝F，顯然，力F、F′和F"組成的力系與原力F等效。因?yàn)樵诹ο礔、F′和F"中，力F與力F"等值、反向且作用線平行，它們組成力偶（F、F"）。于是作用在B點(diǎn)的力F′和力偶（F、F"）與原力F等效。亦即把作用于A點(diǎn)的力F平行移動(dòng)到隨意一點(diǎn)B，但同時(shí)附加了一個(gè)力偶，附加力偶的力偶矩為m＝F?d＝mB（F）力的平移定理表明，可以將一個(gè)力分解為一個(gè)力和一個(gè)力偶；反過(guò)來(lái)，也可以將同一平面內(nèi)一一個(gè)力和一個(gè)力偶合成為一個(gè)力。應(yīng)該注重，力的平移定理只適用于剛體，而不適用于變形體，并且只能在同一剛體上平行移動(dòng)。第五節(jié)約束與約束反力工程上所碰到的物體通常分兩種：可以在空間作隨意運(yùn)動(dòng)的物體稱為自由體，如飛機(jī)、火箭等；受到其它物體的限制，沿著某些方向不能運(yùn)動(dòng)的物體稱為非自由體。如懸掛的重物，因?yàn)槭艿嚼K索的限制，使其在某些方向不能運(yùn)動(dòng)而成為非自由體，這種妨礙物體運(yùn)動(dòng)的限制稱為約束。約束通常是通過(guò)物體間的直接接觸形成的。既然約束妨礙物體沿某些方向運(yùn)動(dòng)，那么當(dāng)物體沿著約束所妨礙的運(yùn)動(dòng)方向運(yùn)動(dòng)或有運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，約束對(duì)其必然有力的作用，以限制其運(yùn)動(dòng)，這種力稱為約束反力。簡(jiǎn)稱反力。約束反力的方向總是與約束所能妨礙的物體的運(yùn)動(dòng)或運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的方向相反，它的作用點(diǎn)就在約束與被約束的物體的接觸點(diǎn)，大小可以通過(guò)計(jì)算求得。工程上通常把能使物體主動(dòng)產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)或運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的力稱為主動(dòng)力。如重力、風(fēng)力、水壓力等。通常主動(dòng)力是已知的，約束反力是未知的，它不僅與主動(dòng)力的情況有關(guān)，同時(shí)也與約束類型有關(guān)。下面推薦工程實(shí)際中常見的幾種約束類型及其約束反力的特性。柔性約束繩索、鏈條、皮帶等屬于柔索約束。理想化條件：柔索絕對(duì)柔軟、無(wú)分量、無(wú)粗細(xì)、不可伸長(zhǎng)或縮短。因?yàn)槿崴髦荒艹惺芾?，所以柔索的約束反力作用于接觸點(diǎn)，方向沿柔索的中央線而背離物體，為拉力。二、光潔接觸面約束當(dāng)物體接觸面上的摩擦力可以忽略時(shí)，即可看作光潔接觸面，這時(shí)兩個(gè)物體可以脫離開，也可以沿光潔面相對(duì)滑動(dòng)，但沿接觸面法線且指向接觸面的位移受到限制。所以光潔接觸面約束反力作用于接觸點(diǎn)，沿接觸面的公法線且指向物體，為壓力。三、圓柱形鉸鏈約束工程上常用銷釘來(lái)聯(lián)接構(gòu)件或零件，這類約束只限制相對(duì)移動(dòng)不限制轉(zhuǎn)動(dòng)，且忽略銷釘與構(gòu)件間的磨擦。若兩個(gè)構(gòu)件用銷釘銜接起來(lái)，這種約束稱為鉸鏈約束，簡(jiǎn)稱鉸銜接或中間鉸，鉸鏈約束只能限制物體在垂直于銷釘軸線的平面內(nèi)相對(duì)移動(dòng)，但不能限制物體繞銷釘軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。鉸鏈約束的約束反力作用在銷釘與物體的接觸點(diǎn)D，沿接觸面的公法線方向，使被約束物體受壓力。但因?yàn)殇N釘與銷釘孔壁接觸點(diǎn)與被約束物體所受的主動(dòng)力有關(guān)，普通不能預(yù)先決定，所以約束反力Fc的方向也不能決定。因此，其約束反力作用在垂直于銷釘軸線平面內(nèi)，通過(guò)銷釘中央，方向不定。為計(jì)算方便，鉸鏈約束的約束反力常用過(guò)鉸鏈中央兩個(gè)大小未知的正交分力Xc，Yc來(lái)表示。兩個(gè)分力的指向可以假設(shè)。四、固定鉸支座：將結(jié)構(gòu)物或構(gòu)件用銷釘與地面或機(jī)座銜接就構(gòu)成了固定鉸支座，固定鉸支座的約束與鉸鏈約束徹低相同。簡(jiǎn)化記號(hào)和約束反力如圖。五、活動(dòng)鉸鏈支座在固定鉸支座和支承面間裝有輥軸，就構(gòu)成了輥軸支座，又稱活動(dòng)鉸支座，這種約束只能限制物體沿支承面法線方向運(yùn)動(dòng)，而不能限制物體沿支承面移動(dòng)和相對(duì)于銷釘軸線轉(zhuǎn)動(dòng)。所以其約束反力垂直于支承面，過(guò)銷釘中央指向可假設(shè)。六、中間鉸鏈兩端以鉸鏈與其它物體銜接中間不受力且不計(jì)自重的剛性直桿稱鏈桿，這種約束反力只能限制物體沿鏈桿軸線方向運(yùn)動(dòng)，因此鏈桿的約束反力沿著鏈桿,兩端中央連線方向，指向或?yàn)槔驗(yàn)閴毫?。鏈桿屬于二力桿的一種異常情形。七、固定端約束將構(gòu)件的一端插入一固定物體（如墻）中，就構(gòu)成了固定端約束。在銜接處具有較大的剛性，被約束的物體在該處被徹低固定，即不允許相對(duì)移動(dòng)也不可轉(zhuǎn)動(dòng)。固定端的約束反力，普通用兩個(gè)正交分力和一個(gè)約束反力偶來(lái)代替。第六節(jié)物體的受力分析與受力圖靜力知識(shí)題大多是受一定約束的非自由剛體的平衡問(wèn)題，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是找出主動(dòng)力與約束反力之間的關(guān)系。因此，必須對(duì)物體的受力情況作全面的分析，即物體的受力分析，它是力學(xué)計(jì)算的前提和關(guān)鍵。物體的受力分析包含兩個(gè)步驟：一是把該物體從與它相聯(lián)系的周圍物體中分離出來(lái)，解除所有約束，單獨(dú)畫出該物體的圖形，稱為取分離體。二是在分離體上畫出所有主動(dòng)力和約束反力，這稱為畫受力圖。下面舉例說(shuō)明物體受力分析的主意。例1－3起吊架由桿件AB和CD組成，起吊重物的分量為Q。不計(jì)桿件自重，作桿件AB的受力圖。解：取桿件AB為分離體，畫出其分離體圖。桿件AB上沒(méi)有荷載，惟獨(dú)約束反力。A端為固定鉸支座。約束反力用兩個(gè)垂直分力XA和YA表示，二者的指向是假定的。D點(diǎn)用鉸鏈與CD銜接，因?yàn)镃D為二力桿，所以鉸D反力的作用線沿C、D兩點(diǎn)連線，以FD表示。圖中FD的指向也是假定的。B點(diǎn)與繩索銜接，繩索作用給B點(diǎn)的約束反力FT沿繩索、背離桿件AB。圖2－14b為桿件AB的受力圖。應(yīng)該注重，（圖b）中的力FT不是起吊重物的重力FG。力FT是繩索對(duì)桿件AB的作使勁；力FG是地球?qū)χ匚锏淖魇箘?。這兩個(gè)力的施力物體和受力物體是徹低不同的。在繩索和重物的受（圖c）上，作用有力FT的反作使勁FTˊ和重力FG。由二力平衡條件，力FTˊ與力FG是反向、等值的；由作用反作用定律，力FT與FTˊ是反向、等值的。所以力FT與力FG大小相等，方向相同。例1－3水平梁ＡＢ用斜桿ＣＤ支撐，A、C、D三處均為光潔鉸鏈銜接，梁上放置一重為FG1的電動(dòng)機(jī)。已知梁重為FG2，不計(jì)桿CD自重，試分離畫出桿CD和梁AB的受力圖。解：（1）取CD為研究對(duì)象。因?yàn)樾睏UCD自重不計(jì)，只在桿的兩端分離受有鉸鏈的約束反力FC和FD的作用，由些判斷CD桿為二力桿。按照公理一，F(xiàn)C和FD兩力大小相等、沿鉸鏈中央連線CD方向且指向相反。斜桿CD的受力圖如圖所示。（2）取梁AB（包括電動(dòng)機(jī)）為研究對(duì)象。它受FG1、FG2兩個(gè)主動(dòng)力的作用；梁在鉸鏈D處受二力桿CD給它的約束反力FDˊ的作用，按照公理四，F(xiàn)Dˊ＝－FD；梁在A處受固定鉸支座的約束反力，因?yàn)榉较蛭粗?，可用兩個(gè)大小未知的正交分力XA和YA表示。梁AB的受力圖如圖所示。例1－3簡(jiǎn)支梁兩端分離為固定鉸支座和可動(dòng)鉸支座，在C處作用一擴(kuò)散荷載FP梁重不計(jì)，試畫梁AB的受力圖。解：取梁AB為研究對(duì)象。作用于梁上的力有擴(kuò)散荷載FP，可動(dòng)鉸支座B的反力FB，鉛垂向上，固定鉸支座A的反力用過(guò)點(diǎn)A的兩個(gè)正交分力XA的YA表示。因?yàn)樾┝菏苋齻€(gè)力作用而平衡，故可由推論二決定FA的方向。用點(diǎn)D表示力FP和FB的作用線交點(diǎn)。FA的作用線必過(guò)交點(diǎn)D。例1－3三鉸拱橋由左右兩拱鉸接而成，如圖所示。設(shè)各拱自重不計(jì)，在拱AC上作用荷載F。試分離畫出拱AC和CB的受力圖。解：（1）取拱CB為研究對(duì)象。因?yàn)楣白灾夭挥?jì)，且只在B、C處受到鉸約束，因此CB為二力構(gòu)件。在鉸鏈中央B、C分離受到FB和FC的作用，且FB＝－FC。拱CB的受力圖如圖所示。（2）取拱AC連同銷釘C為研究對(duì)象。因?yàn)樽灾夭挥?jì)，主動(dòng)力惟獨(dú)荷載F；點(diǎn)C受拱CB施加的約束力FCˊ，且FCˊ＝－FC；點(diǎn)A處的約束反力可分解為XA和YA。拱AC的受力圖如圖所示。又拱AC在F、FCˊ和FA三力作用下平衡，按照三力平衡匯交定理，可決定出鉸鏈A處約束反力FA的方向。點(diǎn)D為力F與FCˊ的交點(diǎn)，當(dāng)拱AC平衡時(shí)，F(xiàn)A的作用線必通過(guò)點(diǎn)D，如圖1－17d所示，F(xiàn)A的指向，可先作假設(shè)，以后由平衡條件決定。例1－3圖示系統(tǒng)中，物體F重FG，其它和構(gòu)件不計(jì)自重。作（1）整體；（2）AB桿；（3）BE桿；（4）桿CD、輪C、繩及重物F所組成的系統(tǒng)的受力圖。解：整體受力圖如圖所示。固定支座A自有兩個(gè)垂直反力和一個(gè)約束反力偶。鉸C、D、E和G點(diǎn)這四處的約束反力對(duì)整體來(lái)說(shuō)是內(nèi)力，受力圖上不應(yīng)畫出。桿件AB的受力圖如圖。對(duì)桿件AB來(lái)說(shuō)，鉸B、D的反力是外力，應(yīng)畫出。桿件BE的受力圖如圖。BE上B點(diǎn)的反力XBˊ和YBˊ是AB上XB和YB反作使勁，必須等值、反向的畫出。桿件CD、輪C、繩和重物F所組成的系統(tǒng)的受力圖如圖所示。桿件CD上的約束反力分離是桿件AB、BE上D、E兩點(diǎn)相應(yīng)力的反作使勁，它們的指向分離與相應(yīng)力的指向相反。如XEˊ是XE的反作使勁，力XEˊ的指向應(yīng)與力XE的指向相反，不能再隨意假定。鉸C的反力為內(nèi)力，受力圖上不應(yīng)畫出。在畫受力圖時(shí)應(yīng)注重如下幾個(gè)問(wèn)題：（1）明確研究對(duì)象并取出脫離體。（2）要先畫出所有的主動(dòng)力。（3）明確約束反力的個(gè)數(shù)。凡是研究對(duì)象與周圍物體相接觸的地方，都一定有約束反力，不可隨意增強(qiáng)或減少。（4）要按照約束的類型畫約束反力。即按約束的性質(zhì)決定約束反力的作用位置和方向，不能主觀臆斷。（5）二力桿要優(yōu)先分析。（6）對(duì)物體系統(tǒng)舉行分析時(shí)注重同一力，在不同受力圖上的畫法要徹低一致；在分析兩個(gè)互相作用的力時(shí)，應(yīng)遵循作用和反作用關(guān)系，作使勁方向一經(jīng)決定，則反作使勁必與之相反，不可再假設(shè)指向。（7）內(nèi)力不必畫出。第二章平面匯交力系按照力系中各力作用線的位置，力系可分為平面力系和空間力系。各力的作用線都在同一平面內(nèi)的力系稱為平面力系。在平面力系中又可以分為平面匯交力系、平面平行力系、平面力偶系和平面普通力系。在平面力系中，各力作用線匯交于一點(diǎn)的力系稱平面匯交力系。本章研究平面匯交力系的合成與平衡問(wèn)題?！?-1平面匯交力系合成與平衡的幾何法一、平面匯交力系合成的幾何法設(shè)在某剛體上作用有由力F1、F2、F3、F4組成的平面匯交力系，各力的作用線交于點(diǎn)A。由力的可傳性，將力的作用線移至匯交點(diǎn)A;然后由力的合成三角形法則將各力依次合成，即從隨意點(diǎn)a作矢量ab代表力矢F1，在其末端b作矢量bc代表力矢F2，則虛線ac表示力矢F1和F2的合力矢FR1；再?gòu)狞c(diǎn)C作矢量cd代表力矢F3，則ad表示FR和F3的合力FR2；最后從點(diǎn)d作de代表力矢F4，則ae代表力矢FR2與F4的合力矢，亦即力F1、F2、F3、F4的合力矢FR，其大小和方向如圖，其作用線通過(guò)匯交點(diǎn)A。作圖時(shí)，虛線ac和ad不必畫出，只需把各力矢首尾相連，得折線abcd，則第一個(gè)力矢F1的起點(diǎn)a向最后一個(gè)力矢F4的盡頭e作ae，即得合力矢FR。各分力矢與合力矢構(gòu)成的多邊形稱為力的多邊形，表示合力矢的邊ae稱為力的多邊形的逆封邊。這種求合力的主意稱為力的多邊形法則。若改變各力矢的作圖順序，所得的力的多邊形的形狀則不同，但是這并不影響最后所得的逆封邊的大小和方向。但應(yīng)注重，各分力矢必須首尾相連，而環(huán)抱力多邊形周邊的同一方向，而合力矢則把向封閉力多邊形。上述主意可以推廣到由n個(gè)力F1、F2、…、Fn組成的平面匯交力系：平面匯交力系合成的結(jié)果是一個(gè)合力，合力的作用線過(guò)力系的匯交點(diǎn)，合力等于原力系中所有各力的矢量和?？捎檬噶渴奖硎緸镕R=F1+F2+…+Fn=ΣF例2－1同一平面的三根鋼索邊連結(jié)在一固定環(huán)上，已知三鋼索的拉力分離為：F1＝500N，F(xiàn)2＝1000N，F(xiàn)3＝2000N。試用幾何作圖法求三根鋼索在環(huán)上作用的合力。解先定力的比例尺如圖。作力多邊形先將各分力乘以比例尺得到各力的長(zhǎng)度，然后作出力多邊形圖，量得代表合力矢的長(zhǎng)度為，則FR的實(shí)際值為FR＝2700NFR的方向可由力的多邊形圖直接量出，F(xiàn)R與F1的夾角為71o31＇。二、平面匯交力系平衡的幾何條件平面匯交力系合成為一合力，即與原力系等效。若在該力系中再加一個(gè)與等值、反向、共線的力，按照二力平衡公理知物體處于平衡狀態(tài)，即為平衡力系。對(duì)該力系作力的多邊形時(shí)，得出一個(gè)閉合的力的多邊形，即最后一個(gè)力矢的末端與第一個(gè)力矢的始端相重合，亦即該力系的合力為零。因此，平面匯交力系的平衡的須要與充足的幾何條件是：力的多邊形自行封閉，或各力矢的矢量和等于零。用矢量表示為FR=ΣF=0例2－2求一支架，A、B為鉸鏈支座，C為圓柱鉸鏈。斜撐桿BC與水平桿AC的夾角為30o。在支架的C處用繩子吊著重G＝20kN的重物。不計(jì)桿件的自重，試求各桿所受的力。解桿AC和BC均為二力桿，取銷釘C為研究對(duì)象，作用在它上面的力有：繩子的拉力FT(FT=G)，AC桿和BC桿對(duì)銷釘C的作使勁FCA和FCB。這三個(gè)力為一平面匯交力系（銷釘C的受力圖如圖所示）。按照平面匯交力系平衡的幾何條件，F(xiàn)T、FCA和FCB應(yīng)組成閉合的力三角形。選取比例尺如圖，先畫已知力FT＝ab，過(guò)a、b兩點(diǎn)分離作直線平行于FCA和FCB得交點(diǎn)c，于是得力三角形abc，順著abc的方向標(biāo)出箭頭，使其首尾相連，則矢量ca和bc就分離表示力FCA和FCB的大小和方向。用同樣的比例尺量得FCA＝34.6kNFCB＝40kN§2-2平面匯交力系合成與平衡的解析法求解平面匯交力系問(wèn)題的幾何法，具有直觀簡(jiǎn)捷的優(yōu)點(diǎn)，但是作圖時(shí)的誤差難以避免。因此，工程中多用解析法來(lái)求解力系的合成和平衡問(wèn)題。解析法是以力在坐標(biāo)軸上的投影為基礎(chǔ)的。在坐標(biāo)軸上的投影如圖3－5所示，設(shè)力F作用于剛體上的A點(diǎn)，在力作用的平面內(nèi)建立坐標(biāo)系oxy，由力F的起點(diǎn)和盡頭分離向x軸作垂線，得垂足a1和b1，則線段a1b1冠以相應(yīng)的正負(fù)號(hào)稱為力F在x軸上的投影，用X表示。即X=±a1b1；同理，力F在y軸上的投影用Y表示，即Y=±a2b2。力在坐標(biāo)軸上的投影是代數(shù)量，正負(fù)號(hào)規(guī)定：力的投影由始到末端與坐標(biāo)軸正向一致其投影取正號(hào)，反之取負(fù)號(hào)。投影與力的大小及方向有關(guān)，即式中α、β分離為F與X、Y軸正向所夾的銳角。反之，若已知力F在坐標(biāo)軸上的投影X、Y，則該力的大小及方向余弦為應(yīng)該注重，力的投影和力的分量是兩個(gè)不同的概念。投影是代數(shù)量，而分力是矢量；投影無(wú)所謂作用點(diǎn)，而分力作用點(diǎn)必須作用在原力的作用點(diǎn)上。另外僅在直角坐標(biāo)系中在坐標(biāo)上的投影的絕對(duì)值和力沿該軸的分量的大小相等。二、合力投影定理設(shè)一平面匯交力系由F1、F2、F3和F4作用于剛體上，其力的多邊形abcde如圖所示，封閉邊ae表示該力系的合力矢FR，在力的多邊形所在平面內(nèi)取一坐標(biāo)系oxy，將所有的力矢都投影到x軸和y軸上。得X=a1e1,X1=a1b1,X2=b1c1，X3=c1d1,X4=d1e1由圖可知a1e1=a1b1+b1c1+c1d1+d1e1即X=X1+X2+X3+X4同理Y=Y1+Y2+Y3+Y4將上述關(guān)系式推廣到隨意平面匯交力系的情形，得（即合力在任一軸上的投影，等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和，這就是合力投影定理。三、平面匯交力系合成的解析法用解析法求平面匯交力系的合成時(shí)，首先在其所在的平面內(nèi)選定坐標(biāo)系oxy。求出力系中各力在x軸和y軸上的投影，由合力投影定理得其中α是合力FR分離與X、Y軸正向所夾的銳角。例2－3如圖，固定圓環(huán)作用有四根繩索，其拉力分離為F1＝0.2kN，F(xiàn)2＝0.3kN,F3=0.5kN,F4=0.4kN,它們與軸的夾角分離為α1＝30o，α2＝45o，α3＝0，α4＝60o。試求它們的合力大小和方向。解建立如圖所示直角坐標(biāo)系。按照合力投影定理，有X=ΣX＝X1+X2+X3+X4＝F1cosα1＋F2cosα2＋F3cosα3＋F4cosα4=1.085kNY=ΣY＝Y(jié)1+Y2+Y3+Y4＝F1sinα1＋F2sinα2＋F3sinα3－F4sinα4=－0.234kN由ΣX、ΣY的代數(shù)值可知，X沿X軸的正向，Y沿Y軸的負(fù)向。得合力的大小方向?yàn)榻獾忙粒?2o12＇四、平面匯交力系平衡的解析條件我們已經(jīng)知道平面匯交力系平衡的須要與充足條件上其合力等于零，即FR＝0。ΣX=0；ΣY=0(平衡方程)上式表明，平面匯交力系平衡的須要與充足條件是：力系中各力在力系所在平面內(nèi)兩個(gè)相交軸上投影的代數(shù)和同時(shí)為零。平面匯交力系的平衡方程只能求解兩個(gè)未知量。例2－4分量為G和重物，放置在傾角為α的光潔斜面上，試求保持重物成平衡時(shí)需沿斜面方向所加的力F和重物對(duì)斜面的壓力FN。解以重物為研究對(duì)象。重物受到重力G、拉力F和斜面向重物的作使勁FN，其受力圖如圖所示。取坐標(biāo)系oxy，列平衡方程ΣX=0Gsinα－F=0(1)ΣY=0－Gcosα+FN=0(2)解得F＝GsinαFN＝Gcosα則重物對(duì)斜面的壓力FN＇＝Gcosα，指向和相反。例2－5水平桿分量不計(jì)，受固定鉸支座A及CD的約束，在桿端B受一力偶作用，已知力偶矩m＝100N?m，求A、C處的約束反力。解取AB桿為研究對(duì)象。作用于AB桿的是一個(gè)主動(dòng)力偶，A、C兩點(diǎn)的約束反力也必然組成一個(gè)力偶才干與主動(dòng)力偶平衡。因?yàn)镃D桿是二力桿，F(xiàn)C必沿C、D兩點(diǎn)的連線，而FA應(yīng)與FC平行，且有FA＝FC，由平面力偶系平衡條件可得Σm＝0，F(xiàn)A×h－m＝0其中h＝Acsin30=1×0.5=0.5m則例2－6重G＝20kN的物體被絞車勻速吊起，絞車的繩子繞過(guò)光潔的定滑輪A，滑輪由不計(jì)分量的桿AB、AC支撐，A、B、C三點(diǎn)均為光潔鉸鏈。試求AB、AC所受的力。解桿AB和AC都是二力桿，其受力如圖b所示。假設(shè)兩桿都受拉。取滑輪連同銷釘A為研究對(duì)象。重物G通過(guò)繩索直接加在滑輪的一邊。在其勻速升高時(shí)，拉力FT1＝G，而繩索又在滑輪的另一邊施加同樣大小的拉力，即FT1＝FT2。受力圖如圖c所示，取坐標(biāo)系A(chǔ)xy。列平衡方程由ΣX=0解得FAC＝－63.2kN由ΣY=0解得FAB＝41.6kN力FAC是負(fù)值，表示該力的假設(shè)方向與實(shí)際方向相反，因此桿AC是受壓桿。通過(guò)以上分析和求解過(guò)程可以看出，在求解平衡問(wèn)題時(shí)，要恰當(dāng)?shù)剡x取脫離體，恰當(dāng)?shù)剡x取坐標(biāo)軸，以最簡(jiǎn)捷、合理的途徑完成求解工作。盡量避免求解聯(lián)立方程，以提高計(jì)算的工作效率。這些都是求解平衡問(wèn)題所必須注重的。第三章平面隨意力系各力作用線在同一平面內(nèi)且隨意分布的力系稱為平面隨意力系。在工程實(shí)際中常常碰到平面隨意力系的問(wèn)題。有些結(jié)構(gòu)所受的力系本不是平面隨意力系，但可以簡(jiǎn)化為平面隨意力系來(lái)處理。如圖所示的屋架，可以忽略它與其它屋架之間的聯(lián)系，單獨(dú)分離出來(lái)，視為平面結(jié)構(gòu)來(lái)考慮。屋架上的荷載及支座反力作用在屋架自身平面內(nèi)，組成一平面隨意力系。對(duì)于水壩縱向尺寸較大的結(jié)構(gòu)，在分析時(shí)常截取單位長(zhǎng)度的壩段來(lái)考慮，將壩段所受的力簡(jiǎn)化為作用于中央平面內(nèi)的平面隨意力系。事實(shí)上工程中的多數(shù)問(wèn)題都簡(jiǎn)化為平面隨意力系問(wèn)題來(lái)解決。所以，本章的內(nèi)容在工程實(shí)踐中有著重要的意義。第一節(jié)平面隨意力系向作用面內(nèi)隨意一點(diǎn)簡(jiǎn)化設(shè)剛體受到平面隨意力系F1、F2、…、Fn的作用，在力系所在的平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，稱O點(diǎn)為簡(jiǎn)化中央。應(yīng)使勁的平移定理，將力系中的和力依次分離平移至O點(diǎn)，得到匯交于O點(diǎn)的平面匯交力系F1′、F2′、…、Fn′，此外還應(yīng)附加相應(yīng)的力偶，構(gòu)成附加力偶系mO1、mO2、…、mOn.平面匯交力系中各力的大小和方向分離與原力系中對(duì)應(yīng)的各力相同，即F1′＝F1，F(xiàn)2′＝F2，…，F(xiàn)n′＝Fn所得平面匯交力系可以合成為一個(gè)力RO，也作用于點(diǎn)O，其力矢R′等于各力矢F1′、F2′、…、Fn′的矢量和，即RO＝F1′+F2′+…+Fn′＝F1+F2+…+Fn＝ΣF＝R′R′稱為該力系的主矢，它等于原力系各力的矢量和，與簡(jiǎn)化中央的位置無(wú)關(guān)。主矢R′的大小與方向可用解析法求得。按圖所選定的坐標(biāo)系Oxy,有Rx=X1+X2+…Xn＝ΣXRy=Y1+Y2+…Yn＝ΣY主矢R′的大小及方向分離由下式?jīng)Q定：其中α為主矢R′與x軸正向間所夾的銳角。各附加力偶的力偶矩分離等于原力系中各力對(duì)簡(jiǎn)化中央O之矩，即mO1＝mo(F1)，mO2＝mo(F2)，…，mOn＝mo(Fn)所得附加力偶系可以合成為同一平面內(nèi)的力偶，其力偶矩可用符號(hào)MO表示，它等于各附加力偶矩mO1、mO2、…、mOn的代數(shù)和，即MO＝mO1+mO2+…+mOn＝mo(F1)+mo(F2)+…mo(Fn)＝ΣmO（F）原力系中各力對(duì)簡(jiǎn)化中央之矩的代數(shù)和稱為原力系對(duì)簡(jiǎn)化中央的主矩。在選取不同的簡(jiǎn)化中央時(shí)，每個(gè)附加力偶的力偶臂普通都要發(fā)生變化，所以主矩普通都與簡(jiǎn)化中央的位置有關(guān)。由上述分析我們得到如下結(jié)論：平面隨意力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡(jiǎn)化，可得一力和一個(gè)力偶。這個(gè)力的作用線過(guò)簡(jiǎn)化中央，其力矢等于原力系的主矢；這個(gè)力偶的矩等于原力系對(duì)簡(jiǎn)化中央的主矩。簡(jiǎn)化結(jié)果分析及合力矩定理平面隨意力系向O點(diǎn)簡(jiǎn)化，普通得一個(gè)力和一個(gè)力偶?？赡芨∩系那闆r有四種：R′≠0，MO＝0，原力系簡(jiǎn)化為一個(gè)力，力的作用線過(guò)簡(jiǎn)化中央，此合力的矢量為原力系的主矢即RO＝R′＝ΣF。R′＝0，MO≠0，原力系簡(jiǎn)化為一力偶。此時(shí)該力偶就是原力系的合力偶，其力偶矩等于原力系的主矩。此時(shí)原力系的主矩與簡(jiǎn)化中央的位置無(wú)關(guān)。R′＝0，MO＝0，原力系平衡，R′≠0，MO≠0，這種情況下，由力的平移定理的逆過(guò)程，可將力R′和力偶矩為MO的力偶進(jìn)一步合成為一合力R，將力偶矩為MO的力偶用兩個(gè)力R與R"表示，并使R′＝R＝R"，R"作用在點(diǎn)O，R作用在點(diǎn)O′，R′與R"組成一對(duì)平衡力，將其去掉后得到作用于O′點(diǎn)的力R，與原力系等效。因此這個(gè)力R就是原力系的合力。顯然R′＝R，而合力作用線到簡(jiǎn)化中央的距離為當(dāng)MO＞0時(shí)，順著RO的方向看，合力R在RO的右邊；當(dāng)MO＜0時(shí)，合力R在RO的左邊。由上分析，我們可以導(dǎo)出合力矩定理。合力對(duì)點(diǎn)之矩為mO(R)＝R?d=MO而MO＝ΣmO（F）則mO(R)＝ΣmO（F）因?yàn)镺點(diǎn)是任選的，上式有普遍意義。于是：得到合力矩定理：平面隨意力系的合力對(duì)其作用面內(nèi)任一點(diǎn)之矩等于力系中各力對(duì)同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和。例3－1重力壩斷面如圖a所示,壩上游有泥沙淤積，已知水深H＝46m，泥沙厚度h＝6m，水的容重γ＝98kN/m3，泥沙的容重γ′＝8kN/m3，已知1m長(zhǎng)壩段所受重力W1＝4500kN，W2＝14000kN。受力圖如圖b所示。試將此壩段所受的力向點(diǎn)O簡(jiǎn)化，并求簡(jiǎn)化的最后結(jié)果。解已知水中任一點(diǎn)的相對(duì)壓強(qiáng)與距水面的距離成正比，即在坐標(biāo)為y處的水壓強(qiáng)為p＝γ(H－y)(0≤y≤H)。同理,泥沙壓強(qiáng)為p′＝γ′(h－y)(0≤y≤h)。所以上游壩面所受的分布荷載如圖b所示。為了方便計(jì)算，先將分布力合成為合力。將水壓力與泥沙壓力分開計(jì)算。水壓力如圖中大三角形所示，其合力為P1,則P1過(guò)三角形形心，即與壩底相距。泥沙壓力如圖中的小三角形所示，其合力設(shè)為P2，則P2與壩底相距現(xiàn)將P1、P2、W1、W2四個(gè)力向O點(diǎn)簡(jiǎn)化。先求主矢。Rx′＝ΣX＝P1+P2=10510kNRy′＝ΣY＝－W1－W2＝－18500kN再求對(duì)O的主矩最后求合力R＝R′，其作用線線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)x為平面隨意力系的平衡當(dāng)平面隨意力系的主矢和主矩都等于零時(shí)，作用在簡(jiǎn)化中央的匯交力系是平衡力系，附加的力偶系也是平衡力系，所以該平面隨意力系一定是平衡力系。于是得到平面隨意力系的充足與須要條件是：力系的主矢和主矩同時(shí)為零。即R′＝0，MO＝0用解析式表示可得上式為平面隨意力系的平衡方程。平面隨意力系平衡的充足與須要條件可解析地表達(dá)為：力系中各力在其作用面內(nèi)兩相交軸上的投影的代數(shù)和分離等于零，同時(shí)力系中各力對(duì)其作用面內(nèi)任一點(diǎn)之矩的代數(shù)和也等于零。平面隨意力系的平衡方程除了由簡(jiǎn)化結(jié)果直接得出的基本形式外，還有二矩式和三矩式。二矩式平衡方程形式：其中矩心A、B兩點(diǎn)的連線不能與x軸垂直。因?yàn)楫?dāng)滿意時(shí)，力系不可能簡(jiǎn)化為一個(gè)力偶，或者是通過(guò)A點(diǎn)的一合力，或者平衡。倘若力系同時(shí)又滿意條件，則這個(gè)力系或者有一通過(guò)A、B兩點(diǎn)連線的合力，或者平衡。倘若力系又滿意條件，其中x軸若與A、B連線垂直，力系仍有可能有通過(guò)這兩個(gè)矩心的合力，而不一定平衡；若x軸不與A、B連線垂直，這就排除了力系有合力的可能性。由此斷定，當(dāng)三個(gè)方程同時(shí)滿意，并附加條件矩心A、B兩點(diǎn)的連線不能與x軸垂直時(shí)，力系一定是平衡力系。三矩式平衡方程形式：其中A、B、C三點(diǎn)不能共線。對(duì)于三矩式附加上條件后，上式是平面隨意力系平衡的須要與充足條件。平面隨意力系有三種不同形式的平衡方程組，每種形式都只含有三個(gè)自立的方程式，都只能求解三個(gè)未知量。應(yīng)用時(shí)可按照問(wèn)題的詳細(xì)情況，挑選適當(dāng)形式的平衡方程。平面平行力系是平面隨意力系的一種異常情況。當(dāng)力系中各力的作用線在同一平面內(nèi)且互相平行，這樣的力系稱為平面平行力系。其平衡方程可由平面隨意力系的平衡方程導(dǎo)出。在平面平行力系的作用面內(nèi)取直角坐標(biāo)系Oxy，令y軸與該力系各力的作用線平行，則不論力系平衡與否，各力在x軸上的投影恒為零，不再具有判斷平衡與否和功能。于是平面隨意力系的后兩個(gè)方程為平面平行力系的平衡方程。其中兩個(gè)矩心A、B的連線不能與各力作用線平行。平面平行力系有兩個(gè)自立的平衡方程，可以求解兩個(gè)未知量。例3－2圖示為一懸臂式起重機(jī)，A、B、C都是鉸鏈銜接。梁AB自重FG＝1kN，作用在梁的中點(diǎn)，提升分量FP＝8kN，桿BC自重不計(jì)，求支座A的反力和桿BC所受的力。解（1）取梁AB為研究對(duì)象，受力圖如圖b所示。A處為固定鉸支座，其反力用兩分力表示，桿BC為二力桿，它的約束反力沿BC軸線，并假設(shè)為拉力。取投影軸和矩心。為使每個(gè)方程中未知量盡可能少，以A點(diǎn)為矩,選取直角坐標(biāo)系A(chǔ)xy。列平衡方程并求解。梁AB所受各力構(gòu)成平面隨意力系，用三矩式求解：由ΣmA＝0－FG×2－FP×3＋FTsin30o×4=0得由ΣmB＝0－FAy×4+FG×2+FP×1=0得由ΣmC＝0FAx×4×tg30o－FG×2－FP×3=0得校核ΣFx=FAx－FT×cos30o＝11.26－13×0.866＝0ΣFy=FAy－FG－FP＋FT×sin30o＝2.5－1－8－13×0.5可見計(jì)算無(wú)誤。例3－3一端固定的懸臂梁如圖a所示。梁上作用均布荷載，荷載集度為q，在梁的自由端還受一擴(kuò)散力P和一力偶矩為m的力偶的作用。試求固定端A處的約束反力。解取梁AB為研究對(duì)象。受力圖及坐標(biāo)系的選取如圖b所示。列平衡方程由ΣX＝0，XA＝0ΣY＝0，YA－ql－P＝0解得YA＝ql＋P由Σm＝0，mA－ql2／2－Pl－m＝0解得mA＝ql2／2+Pl+m例3－4塔式起重機(jī)如圖所示。機(jī)身重G＝220kN，作用線過(guò)塔架的中央。已知最大起吊分量P＝50kN，起重懸臂長(zhǎng)12m，軌道A、B的間距為4m，平衡錘重Q至機(jī)身中央線的距離為6m。試求：（1）確保起重機(jī)不至翻倒的平衡錘重Q的大小；（2）當(dāng)Q＝30kN，而起重機(jī)滿載時(shí)，軌道對(duì)A、B的約束反力。解取起重機(jī)整體為研究對(duì)象。其正常工作時(shí)受力如圖所示。求確保起重機(jī)不至翻倒的平衡錘重Q的大小。起重機(jī)滿載時(shí)有順時(shí)針轉(zhuǎn)向翻倒的可能，要保證機(jī)身滿載時(shí)而不翻倒，則必須滿意：NA≥0ΣmB＝0，Q（6+2）+2G―4NA―P(12－2)=0解得Q≥(5P－G)／4＝7.5kN起重機(jī)空載時(shí)有逆時(shí)針轉(zhuǎn)向翻倒的可能，要保證機(jī)身空載時(shí)平衡而不翻倒，則必須滿意下列條件NB≥0ΣmA＝0，Q（6－2）+4NB―2G=0解得Q≤G／2＝110kN因此平衡錘重Q的大小應(yīng)滿意7.5kN≤Q≤110kN當(dāng)Q＝30kN，求滿載時(shí)的約束反力NA、NB的大小。ΣmB＝0，Q（6+2）+2G―4NA―P(12－2)=0解得NA＝(4Q+G―5P)/2＝45kN由ΣY＝0，NA＋NB－Q－G－P＝0解得NB＝Q＋G＋P－NA＝255kN第四節(jié)靜定和超靜定問(wèn)題及物體系統(tǒng)的平衡先前面的研究已經(jīng)知道，對(duì)每一種力系來(lái)說(shuō)，自立平衡方程的數(shù)目是一定的，能求解的未知數(shù)的數(shù)目也是一定的。對(duì)于一個(gè)平衡物體，若自立平衡方程數(shù)目與未知數(shù)的數(shù)目恰好相等，則所有未知數(shù)可由平衡方程求出，這樣的問(wèn)題稱為靜定問(wèn)題。我們前面所研究的都屬于這類問(wèn)題。但工程上偶爾為了增強(qiáng)結(jié)構(gòu)的剛度或結(jié)實(shí)性，常設(shè)置多余的約束，而使未知數(shù)的數(shù)目多于自立方程的數(shù)目，未知數(shù)不能由平衡方程所有求出，這樣的問(wèn)題稱為靜不定問(wèn)題或超靜定問(wèn)題。圖a是平面平行力系，平衡方程是2個(gè)，而未知力是3個(gè)，屬于超靜定問(wèn)題；圖b是平面隨意力系，平衡方程是3個(gè)，而未知力有4個(gè)，因而也是超靜定問(wèn)題。對(duì)于超靜定問(wèn)題的求解，要考慮物體受力后的變形，列出補(bǔ)充方程。工程中的結(jié)構(gòu)，普通是由幾個(gè)構(gòu)件通過(guò)一定的約束聯(lián)系在一起的，稱為物體系統(tǒng)。如圖所示的三角拱。作用于物體系統(tǒng)上的力，可分為內(nèi)力和外力兩大類。系統(tǒng)外的物體作用于該物體系統(tǒng)的力，稱為外力；系統(tǒng)內(nèi)部各物體之間的互相作使勁，稱為內(nèi)力。對(duì)于囫圇物體系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，內(nèi)力總是成對(duì)浮上的，兩兩平衡，故無(wú)需考慮，如圖b的鉸C處。而當(dāng)取系統(tǒng)內(nèi)某一部分為研究對(duì)象時(shí)，作用于系統(tǒng)上的內(nèi)力變成了作用在該部分上的外力，必須在受力圖中畫出，如圖c中鉸C處的FCx和FCy。物體系統(tǒng)平衡是靜定問(wèn)題時(shí)才干應(yīng)用平衡方程求解。普通若系統(tǒng)由n個(gè)物體組成，每個(gè)平面力系作用的物體，最多列出三個(gè)自立的平衡方程，而囫圇系統(tǒng)共有不超過(guò)3n個(gè)自立的平衡方程。若系統(tǒng)中的未知力的數(shù)目等于或小于能列出的自立的平衡方程的數(shù)目時(shí)，該系統(tǒng)就是靜定的；否則就是超靜定的問(wèn)題。例3－5圖示的人字形折梯放在光潔地面上。重P＝800N的人站在梯子AC邊的中點(diǎn)H，C是鉸鏈，已知AC＝BC＝2m；AD＝EB＝0.5m，梯子的自重不計(jì)。求地面A、B兩處的約束反力和繩DE的拉力。解先取梯子整體為研究對(duì)象。受力圖及坐標(biāo)系如圖b所示。由ΣmA＝0,NB(AC+BC)cos75o－P?ACcos75o／2＝0解得NB＝200N由ΣY＝0，NA+NB－P＝0解得NA＝600N為求繩子的拉力，取其所作用的桿BC為研究對(duì)象。受力圖如圖c所示。由ΣmC＝0,NB?BC?cos75o－T?EC?sin75o＝0解得T=71.5N例3－6組合梁由AB梁和BC梁用中間鉸B銜接而成，支承與荷載情況如圖所示。已知P＝20kN，q＝5kN/m，α＝45o；求支座A、C的約束反力及鉸B處的壓力。解先取BC梁為研究對(duì)象。受力圖及坐標(biāo)如圖b所示。由ΣmC＝0,1?P－2YB＝0解得YB＝0.5P＝0.5×20＝10kN由ΣY＝0,YB－P+NCcosα＝0解得NC＝14.14kN由ΣX＝0,XB－NCsinα＝0解得XB＝10kN再取AB梁為研究對(duì)象，受力圖及坐標(biāo)如圖c所示。由ΣX＝0,XA－XB′＝0解得XA＝XB′＝10kN由ΣY＝0,YA－Q－YB′＝0解得YA＝Q＋YB′＝2q+YB＝20kN由ΣmA＝0,mA－1?Q－2YB′＝0解得mA＝30kN?m例3－7圖為一個(gè)鋼筋混凝土三鉸剛架的計(jì)算簡(jiǎn)圖，在剛架上受到沿水平方向勻稱分布的線荷載q＝8kN/m，剛架高h(yuǎn)＝8m，跨度l＝12m。試求支座A、B及鉸C的約束反力。解先取剛架整體為研究對(duì)象。受力圖如圖b所示。由ΣmC＝0,ql2/2－YAl＝0解得YA＝ql/2＝48由ΣX＝0，YA－ql＋YB＝0解得YB＝Y(jié)A＝48由ΣX＝0，XA－XB＝0解得XA＝XB再取左半剛架為研究對(duì)象。受力圖如圖c所示。由ΣmC＝0,ql2/8＋XAh－YAl／2＝0解得XA＝18kN由（1）式得XA＝XB＝18kN由ΣX＝0,XA－XC＝0解得XC＝XA＝18kN由ΣX＝0，YA－ql／2＋YC＝0解得YC＝0考慮摩擦?xí)r物體的平衡前面研究物體平衡問(wèn)題時(shí)，物體間的接觸面都假設(shè)是絕對(duì)光潔的。事實(shí)上這種情況是不存在的，兩物體之間普通都要有摩擦存在。只是有些問(wèn)題中，摩擦不是主要因素，可以忽略不計(jì)。但在另外一些問(wèn)題中，如重力壩與擋土墻的滑動(dòng)稱定問(wèn)題中，帶輪與摩擦輪的轉(zhuǎn)動(dòng)等等，摩擦是是重要的甚至是決定性的因素，必須加以考慮。按照接觸物體之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)形式，摩擦可分為滑動(dòng)摩擦和滾動(dòng)摩擦。本節(jié)只研究滑動(dòng)摩擦，當(dāng)物體之間僅浮上相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)而尚未發(fā)生運(yùn)動(dòng)時(shí)的摩擦稱為靜滑動(dòng)摩擦，簡(jiǎn)稱靜摩擦；對(duì)已發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的物體間的摩擦稱為動(dòng)滑動(dòng)摩擦，簡(jiǎn)稱動(dòng)摩擦?；瑒?dòng)摩擦與滑動(dòng)摩擦定律當(dāng)兩物體接觸面間有相對(duì)滑動(dòng)或有相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，沿接觸點(diǎn)的公切面彼此作用著妨礙相對(duì)滑動(dòng)的力，稱為滑動(dòng)摩擦力，簡(jiǎn)稱摩擦力。用F表示。如圖所示一重為G的物體放在粗糙水平面上，受水平力P的作用，當(dāng)拉力P由零逐漸增大，只要不超過(guò)某一定值，物體仍處于平衡狀態(tài)。這說(shuō)明在接觸面處除了有法向約束反力N外，必然還有一個(gè)妨礙重物沿水平方向滑動(dòng)的摩擦力F，這時(shí)的摩擦力稱為靜摩擦力。靜摩擦力可由平衡方程決定。ΣX＝0,P－F＝0。解得F＝P。可見，靜摩擦力F隨主動(dòng)力P的變化而變化。但是靜摩擦力F并不是隨主動(dòng)力的增大而無(wú)限制地增大，當(dāng)水平力達(dá)到一定限度時(shí)，倘若再繼續(xù)增大，物體的平衡狀態(tài)將被破壞而產(chǎn)生滑動(dòng)。我們將物體即將滑動(dòng)而未滑動(dòng)的平衡狀態(tài)稱為臨界平衡狀態(tài)。在臨界平衡狀態(tài)下，靜摩擦力達(dá)到最大值，稱為最大靜摩擦力，用Fm表示。所以靜摩擦力大小只能在零與最大靜摩擦力Fm之間取值。即0≤F≤Fm最大靜摩擦力與許多因素有關(guān)。大量實(shí)驗(yàn)表明最大靜摩擦力的大小可用如下近似關(guān)系：最大靜摩擦力的大小與接觸面之間的正壓力（法向反力）成正比，即Fm＝fN(5－10)這就是庫(kù)倫摩擦定律。式中f是無(wú)量綱的比例系數(shù)，稱為靜摩擦系數(shù)。其大小與接觸體的材料以及接觸面情況（如粗糙度、濕度、溫度等）有關(guān)。普通可在一些工程手冊(cè)中查到。式（5－10）表示的關(guān)系只是近似的，對(duì)于普通的工程問(wèn)題來(lái)說(shuō)能夠滿意要求，但對(duì)于一些重要的工程，如采用上式必須通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量與實(shí)驗(yàn)確切地測(cè)定靜摩擦系數(shù)的值作為設(shè)計(jì)計(jì)算的根據(jù)。物體間在相對(duì)滑動(dòng)的摩擦力稱為動(dòng)摩擦力，用F′表示。實(shí)驗(yàn)表明，動(dòng)摩擦力的方向與接觸物體間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向相反，大小與兩物體間的法向反力成正比。即F′＝f′N（5－11）這就是動(dòng)滑動(dòng)摩擦定律。式中無(wú)量綱的系數(shù)f′稱為動(dòng)摩擦系數(shù)。還與兩物體的相對(duì)速度有關(guān)，但因?yàn)樗鼈冴P(guān)系復(fù)雜，通常在一定速度范圍內(nèi)，可以不考慮這些變化，而認(rèn)為只與接觸的材料以及接觸面情況有關(guān)外。二、摩擦角與自鎖現(xiàn)象如圖5－17所示，當(dāng)物體有相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，支承面向物體法向反力N和摩擦力F，這兩個(gè)力的合力R，稱為全約束反力。全約束反力R與接觸面公法線的夾角為φ，如圖5－17a。顯然，它隨摩擦力的變化而變化。當(dāng)靜摩擦力達(dá)到最大值Fm時(shí)，夾角φ也達(dá)到最大值φm，則稱φm0為摩擦角。如圖5－17b所示，可見tanφm＝Fm/N＝fN/N＝f（5－12）若過(guò)接觸點(diǎn)在不同方向作出在臨界平衡狀態(tài)下的全約束反力的作用線，則這些直線將形成一個(gè)錐面，稱摩擦錐。如圖5－17c所示。圖5－17圖5－18將作用在物體上的各主動(dòng)力用合力Q表示，當(dāng)物體處于平衡狀態(tài)時(shí)，主動(dòng)力合力Q與全約束反力R應(yīng)共線、反向、等值，則有α＝φ。而物體平衡時(shí)，全約束反力作用線不可能超出摩擦錐，即φ≤φm（圖5－18）。由此得到α≤φm（5－13）即作用于物體上的主動(dòng)力的合力Q，不論其大小如何，只要其作用線與接觸面公法線間的夾角α不大于摩擦角φm，物體必保持靜止。這種現(xiàn)象稱為自鎖現(xiàn)象。自鎖現(xiàn)象在工程中有重要的應(yīng)用。如造斤頂、壓榨機(jī)等就利用發(fā)自鎖原理。三、考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題求解有摩擦?xí)r物體的平衡問(wèn)題，其解題主意和步驟與不考慮摩擦?xí)r平衡問(wèn)題基本相同。例5－8物體重G＝980N，放在一傾角α=30o的斜面上。已知接觸面間的靜摩擦系數(shù)為f＝0.20。有一大小為Q＝588N的力沿斜面推物體如圖5－19a所示，問(wèn)物體在斜面上處于靜止還是處于滑動(dòng)狀態(tài)？若靜止，此時(shí)摩擦力多大？圖5－19解可先假設(shè)物體處于靜止?fàn)顟B(tài)，然后由平衡方程求出物體處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)所需的靜摩擦力F，并計(jì)算出可能產(chǎn)生的最大靜摩擦力Fm，將兩者舉行比較，決定力F是否滿意F≤Fm，從而斷定物體是靜止的還是滑動(dòng)的。設(shè)物體沿斜面有下滑的趨勢(shì)；受力圖及坐標(biāo)系如圖5－19所示。由ΣX＝0,Q－Gsinα+F＝0解得F＝Gsinα－Q＝－98N由ΣY＝0,N－Gcosα＝0解得N=Gcosα=848.7N按照靜定摩擦定律，可能產(chǎn)生的最大靜摩擦力為，F(xiàn)m＝fN＝169.7N結(jié)果說(shuō)明物體在斜面上保持靜止。而靜摩擦力F為－98N，負(fù)號(hào)說(shuō)明實(shí)際方向與假設(shè)方向相反，故物體沿斜面有上滑的趨勢(shì)。例5－9重Q的物體放在傾角α＜φm的斜面上（圖5－20a），求維持物體在斜面上靜止時(shí)的水平推力P的大小。圖5－20解因α＞φm，若力P過(guò)小，則物體下滑；若力P過(guò)大，又將使物體上滑；若力P的數(shù)值必在某一范圍內(nèi)。先求剛好維持物體不至于下所需力P的最小值Pmin。此時(shí)物體處于下滑的臨界狀態(tài)，其受力圖及坐標(biāo)系如圖5－20b所示。由ΣX＝0,Pmincosα－Qsinα+F1m＝0(a)ΣY＝0,N1－Pminsinα－Qcosα＝0(b)由式（b）有N1＝Pminsinα+Qcosα(c)將F1m=fN1、f=tanφm和式（c）代入式（a），得(d)再求不至使物體向上滑動(dòng)的力P的最大值Pmin。此時(shí)物體處于上滑的臨界平衡狀態(tài)，其受力圖及坐標(biāo)如圖5－20c所示。由ΣX＝0,Pmaxcosα－F2m－Qsinα＝0(e)ΣY＝0,N2－Pmaxsinα－Qcosα＝0由式（f）有N2＝Pmaxsinα+Qcosα將F2m=fN2、f=tanφm和式（g）代入（e），得(h)可見，要使物體在斜面上保持靜止，力P必須滿意下列條件。Qtan(α－φm)≤P≤Qtan(α+φm)第四章軸向拉伸與壓縮在舉行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，為保證結(jié)構(gòu)安全正常工作，要求各構(gòu)件必須具有充足的強(qiáng)度和剛度。解決構(gòu)件的強(qiáng)度和剛度問(wèn)題，首先需要決定危險(xiǎn)截面的內(nèi)力。內(nèi)力計(jì)算是結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。本章研究桿件的內(nèi)力計(jì)算問(wèn)題。第一節(jié)、軸向拉伸與壓縮的概念受力特點(diǎn)：桿件受到與桿件軸線重合的外力的作用。變形特點(diǎn)：桿沿軸線方向的伸長(zhǎng)或縮短。產(chǎn)生軸向拉伸與壓縮變形的桿件稱為拉壓桿。屋架中的弦桿、牽引橋的拉索和橋塔、閥門啟閉機(jī)的螺桿等均為拉壓桿。第二節(jié)、截面法、軸力與軸力圖一、內(nèi)力的概念構(gòu)件的材料是有許多質(zhì)點(diǎn)組成的。構(gòu)件不受外力作用時(shí)，材料內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)之間保持一定的互相作使勁，使構(gòu)件具有固體形狀。當(dāng)構(gòu)件受外力作用產(chǎn)生變形時(shí)，其內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)之間互相位置改變，原有內(nèi)力也發(fā)生變化。這種由外力作用而引起的受力構(gòu)件內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)之間互相作使勁的改變量成為附加內(nèi)力，簡(jiǎn)稱內(nèi)力。工程力學(xué)所研究的內(nèi)力是由外力引起的附加內(nèi)力，內(nèi)力隨外力的變化而變化，外力增大，內(nèi)力也增大，外力撤銷后，內(nèi)力也隨著出現(xiàn)。顯然，構(gòu)件中的內(nèi)力是與構(gòu)件的變形相聯(lián)系的，內(nèi)力總是與變形同時(shí)產(chǎn)生。構(gòu)件中的內(nèi)力隨著變形的增強(qiáng)而增強(qiáng)大，但對(duì)于決定的材料，內(nèi)力的增強(qiáng)有一定的限度，超過(guò)這一限度，構(gòu)件將發(fā)生破壞。因此，內(nèi)力與構(gòu)件的強(qiáng)度和剛度都有密切的聯(lián)系。在研究構(gòu)件的強(qiáng)度、剛度等問(wèn)題時(shí)，必須知道構(gòu)件在外力作用下某截面上的內(nèi)力值。二、截面法決定構(gòu)件隨意截面上內(nèi)力值的基本主意是截面法。圖示為隨意受平衡力系作用的構(gòu)件.為了顯示并計(jì)算某一截面上的內(nèi)力,可在該截面處用一假想截面將構(gòu)件一分為二并棄去其中一部分.將棄去部分對(duì)保留部分的作用以力的形式表示,此即該截面上的內(nèi)力.按照變形固體勻稱、延續(xù)的基本假設(shè)，截面上的內(nèi)力是延續(xù)分布的。通常將截面上的分布內(nèi)力用位于該截面形心處的合力（簡(jiǎn)化為主矢和主矩）來(lái)代替。盡管內(nèi)力的合力是未知的，但總可以用其六個(gè)內(nèi)力分量（空間隨意力系）Nx、Qy、Qz和Mx、My、Mz來(lái)表示，如圖7-6（b）所示.因?yàn)闃?gòu)件在外力作用下處于平衡狀態(tài),所以截開后的保留部分也應(yīng)保持平衡.由此,按照空間力系的六個(gè)平衡方程:∑Fx=0∑Fy=0∑Fz=0∑mx=0∑my=0∑mz=0既可求出Nx、Qy、Qz和Mx、My、Mz等各內(nèi)力分量.用截面法研究保留部分的平衡時(shí),各內(nèi)力分量相當(dāng)于平衡體上的外力.截面上的內(nèi)力并不一定都同時(shí)存在上述六個(gè)內(nèi)力分量,普通可能僅存在其中的一個(gè)或幾個(gè).隨著外力與變形形式的不同,截面上存在的內(nèi)力分量也不同,如拉壓桿截面上的內(nèi)力,,惟獨(dú)與外力平衡的軸向內(nèi)力Nx.截面法求內(nèi)力的步驟可歸納為:（1）截開:在欲求內(nèi)力截面處,用一假想截面將構(gòu)件一分為二。（2）代替:棄去任一部分,并將棄去部分對(duì)保留部分的作用以相應(yīng)內(nèi)力代替(即顯示內(nèi)力)。（3）平衡:按照保留部分的平衡條件,決定截面內(nèi)力值。三、軸向拉(壓)桿件橫截面上的內(nèi)力如圖所示為一受拉桿,用截面法求m-m截面上的內(nèi)力，取左段為研究對(duì)象：由ΣX=0N-P=0解得N=P同樣以右段為研究對(duì)象：由ΣX=0N/-P=0解得N/=P由上可見N與N/大小相等，方向相反，符合作用與反作用定律。因?yàn)閮?nèi)力的作用線與軸線重合，故稱軸力。其實(shí)際是橫截面上分布內(nèi)力的合力。為了無(wú)論取哪段，均使求得的同一截面上的軸力N有相同的符號(hào)，則規(guī)定：軸力N方向與截面外法線方向相同為正，即為拉力；相反為負(fù)，即為壓力。例4-1一等直桿受4個(gè)軸向力作用，試求指定截面的軸力。解假設(shè)各截面軸力均為正。如圖7-8b所示。由ΣX=0N1-P=0解得N1=P=10KN如圖7-8c所示，由ΣX=0N2-P1-P2=0解得N2=P1+P2=35KN如圖7-8d所示，由ΣX=0N3-P1+P3-P2=0解得N3=P1-P3+P2=-20KN結(jié)果為負(fù)值，說(shuō)明N3為壓力，由上述軸力計(jì)算過(guò)程可推得：任一截面上的軸力的數(shù)值等于對(duì)應(yīng)截面一側(cè)所有外力的代數(shù)和，且當(dāng)外力的方向使截面受拉時(shí)為正，受壓時(shí)為負(fù)。即：N=ΣP第三節(jié)、橫截面上的應(yīng)力一、應(yīng)力的概念內(nèi)力是構(gòu)件橫截面上分布內(nèi)力系的合力，只求出內(nèi)力，還不能解決構(gòu)件的強(qiáng)度問(wèn)題。例如，兩根材料相同、粗細(xì)不同的直桿，在相同的拉力作用下，隨著拉力的增強(qiáng)，細(xì)桿首先被拉斷，這說(shuō)明桿件的強(qiáng)度不僅與內(nèi)力有關(guān)，而且與截面的尺寸有關(guān)。為了研究構(gòu)件的強(qiáng)度問(wèn)題，必須研究?jī)?nèi)力在截面上的分布的邏輯。為此引入應(yīng)力的概念。內(nèi)力在截面上的某點(diǎn)處分布集度，稱為該點(diǎn)的應(yīng)力。設(shè)在某一受力構(gòu)件的截面上，圍繞點(diǎn)取為面積，上的內(nèi)力的合力為，這樣，在上內(nèi)力的平均集度定義為：

普通情況下，截面上的內(nèi)力并不是勻稱分布的，因此平均應(yīng)力隨所取的大小而不同，當(dāng)時(shí)，上式的極限值即為點(diǎn)的分布內(nèi)力集度，稱為點(diǎn)處的總應(yīng)力。是一矢量，通常把應(yīng)力分解成垂直于截面的分量和相切與截面的分量。由圖中的關(guān)系可知稱為正應(yīng)力，稱為剪應(yīng)力。在國(guó)際單位制中，應(yīng)力的單位是帕斯卡，以Pa（帕）表示，1Pa=1N/m