教學(xué)研究的定量分析有關(guān)公式與運(yùn)用

教學(xué)研究的定量分析有關(guān)公式與運(yùn)用

一、平均數(shù)：（表示平均數(shù)，表示變量的觀測(cè)值，n表示觀測(cè)值的總次數(shù)，求和）二、離差：（表示各觀測(cè)值的離差）三、平均差：（表示平均差）四、方差：（表示方差）五、標(biāo)準(zhǔn)差：（表示標(biāo)準(zhǔn)差）六、標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)：（表示標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)）例6-1.初二某生期末考試，語(yǔ)文90分，數(shù)學(xué)80分。已知初二級(jí)學(xué)生語(yǔ)文平均分為88分，標(biāo)準(zhǔn)差為8分；數(shù)學(xué)平均分為78分，標(biāo)準(zhǔn)差為6分。問該生期末考試是語(yǔ)文成績(jī)好，還是數(shù)學(xué)成績(jī)好？解：

該生語(yǔ)文期末考試成績(jī)?cè)谄湔w分布中位于平均分之上0.25個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的地位，數(shù)學(xué)期末考試成績(jī)?cè)谄湔w分布中位于平均分0.34個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的地位。所以，數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)于語(yǔ)文成績(jī)。七、積差相關(guān)：（rxy為積差相關(guān)系數(shù)）例7-1.隨機(jī)觀測(cè)15名高一學(xué)生語(yǔ)文測(cè)驗(yàn)X和數(shù)字測(cè)驗(yàn)Y上的成績(jī)（兩個(gè)測(cè)驗(yàn)的滿分均為70分），其結(jié)果如表所示，試求該兩個(gè)測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)之間的積差相關(guān)系數(shù)。n123456789101112131415x312340196015462632302528222333y3286921664157757376827412030解：（1）用列表法求Sx、Sy、；nXiYidxdyd2xd2ydxdy13132-1.4-6.731.9645.29299.4222238-9.430.7388.36944.3329288.862340697.630.2757.76916.2729230.05241921-13.4-17.73179.56314.3529237.5825606627.627.27761.76743.3529752.65261541-17.42.27302.765.1529-39.4987465713.618.27184.96333.7929248.4728267-6.4-31.7340.961006.7929203.07293257-0.418.270.16333.7929-7.308103037-2.4-1.735.762.99294629.27655.36856.7329749.312122827-4.4-11.7319.36137.592951.612132241-10.42.27108.165.1529-23.608142320-9.4-18.7388.36350.8129176.0621533300.6-8.730.3676.2129-5.2384865810+0.052495.606072.932875.6032.4038.73

S12.9020.12

（1）代入公式求:（2）由于rxy=0.74，所以兩個(gè)測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)之間有較高的正相關(guān)。八、等級(jí)相關(guān)：（為等級(jí)相關(guān)系數(shù)，D為兩變量每對(duì)數(shù)據(jù)等級(jí)之差，n為兩列數(shù)據(jù)的總對(duì)數(shù)。）例8-1.某校抽取10名學(xué)生參加化學(xué)和生物兩科比賽，名次排列如下表，試問化學(xué)和生物兩科比賽排名是否具有相關(guān)性？被試12345678910化學(xué)名次12345678910生物名次62341758109解：（1）用列表法求被試12345678910Rx12345678910

Ry62341758109

D-50004-120-110D225000161401148（2）代入公式求：答：化學(xué)和生物兩科比賽排名具有中等程度的正相關(guān)。九、點(diǎn)二列相關(guān)：（r為點(diǎn)二列相關(guān)系數(shù)，p為定名變量中一項(xiàng)所占次數(shù)與總次數(shù)之比，q為1-p，S為全體變量的標(biāo)準(zhǔn)差）例9-1.有50道是非選擇測(cè)驗(yàn)題，每題選對(duì)得2分，滿分為100分?，F(xiàn)有20人的總成績(jī)及對(duì)第五道題選答情況列表如下，請(qǐng)問第五道題選答情況與總分的相關(guān)程度如何？學(xué)生1234567891011121314151617181920總分8482766072747684889078809294968890787674第五題對(duì)錯(cuò)錯(cuò)錯(cuò)錯(cuò)錯(cuò)錯(cuò)對(duì)對(duì)對(duì)對(duì)錯(cuò)對(duì)對(duì)對(duì)對(duì)對(duì)錯(cuò)錯(cuò)錯(cuò)

解：由已知可看出兩列數(shù)據(jù)，一列數(shù)據(jù)是順序變量數(shù)據(jù)，另一列是二分類的稱名變量數(shù)據(jù)，故用點(diǎn)二列相關(guān)計(jì)算其相關(guān)系數(shù)。（1），，（2），，（2）答：第五道題的選答情況與總分之間具有相當(dāng)高的正相關(guān)。十、檢驗(yàn)（適用于大樣本，n≥30,兩個(gè)平均數(shù)顯著性檢驗(yàn)）（一）兩個(gè)獨(dú)立樣本（分別為兩樣本的平均數(shù)，s12

和s22分別為兩樣本的方差，n1和n2分別為兩樣本的容量）例10-1.見P286-287（二）兩個(gè)相關(guān)樣本例10-2.抽取某校七年級(jí)學(xué)生50名，分別接受新、舊兩種方法學(xué)習(xí)英語(yǔ)。學(xué)完后進(jìn)行統(tǒng)一測(cè)試，新法平均分為85，標(biāo)準(zhǔn)差為8；舊法平均分為80，標(biāo)準(zhǔn)差為6，相關(guān)系數(shù)r為0.02。問新法是否優(yōu)于舊法。解：假設(shè)新法和舊法無顯著差異。已知代入公式：查表Z0.05=1.64由于Z=0.08＜Z0.05，所以P＞0.05，應(yīng)接受虛無假設(shè)，新法和舊法無顯著差異。十一、T檢驗(yàn)（適用于小樣本，＜30，兩個(gè)平均數(shù)顯著性檢驗(yàn)）（一）兩個(gè)獨(dú)立樣本1、兩總體方差齊性（）t（分別為兩樣的平均數(shù)，分別為兩樣本的方差，分別為兩樣本的容量）例11-1.隨機(jī)抽取文、理兩科大學(xué)生各一組參加一推理測(cè)驗(yàn)，已知測(cè)驗(yàn)成績(jī)服從正態(tài)分布且總體方差相等。測(cè)驗(yàn)結(jié)果數(shù)據(jù)為：文科生13名，平均得分85分，標(biāo)準(zhǔn)差11分；理科生15名，平均得分82分，標(biāo)準(zhǔn)差9分。問文、理科大學(xué)生在這個(gè)推理測(cè)驗(yàn)的得分有無明顯的差異？（）解：根據(jù)題意可設(shè)，

t

已知t值服從自由度的t分布，根據(jù)和自由度查表，要注意其為雙側(cè)檢驗(yàn)，查雙側(cè)表，可查得因?yàn)?.765＜2.056，未進(jìn)入危機(jī)域所以無充分理由拒絕虛無假設(shè)，即文、理兩科大學(xué)生在這個(gè)推理測(cè)驗(yàn)上的得分沒有顯著性差異。這樣下結(jié)論犯錯(cuò)誤的機(jī)率不會(huì)大于0.05。2、兩總體方差不齊性（）t

（分別為兩樣本的平均數(shù)，和分別為兩樣本的方差，和分別為兩樣本的容量。）理論t值的自由度為：，式中例11-2.對(duì)甲乙兩校九年級(jí)學(xué)生進(jìn)行化學(xué)測(cè)驗(yàn)。甲校隨機(jī)抽取15名學(xué)生，平均分76分，標(biāo)準(zhǔn)差為7分；乙校隨機(jī)抽取10名學(xué)生，平均分為80分，標(biāo)準(zhǔn)差6分。兩校測(cè)驗(yàn)成績(jī)總體方差不等。請(qǐng)問兩校九年級(jí)學(xué)生化學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)有無明顯差異。（a=0.05）解：根據(jù)題意可設(shè)：無明顯差異t根據(jù)和自由度查表得：，由于<,所以P>0.05故接受虛無假設(shè)，兩校九年級(jí)學(xué)生化學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)無顯著差異。（二）兩個(gè)相關(guān)樣本DDt（式中D為后測(cè)分?jǐn)?shù)減去前測(cè)分?jǐn)?shù)，為兩個(gè)小樣本對(duì)原始數(shù)據(jù)之差（D）的平均數(shù)，N為學(xué)生數(shù)）例11-3.嚴(yán)格配對(duì)的兩組被試各有12名學(xué)生，分別接受新、舊兩種教法學(xué)習(xí)同一種學(xué)習(xí)材料。學(xué)完后進(jìn)行統(tǒng)一測(cè)試，測(cè)得結(jié)果如下表。這組數(shù)據(jù)支持新教法優(yōu)于舊教法的結(jié)論嗎？（a=0.01）被試對(duì)1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12新

法18

15

14

18

10

8

20

5

12

16

17

8舊

法20

12

14

16

11

5

14

7

12

15

15

6解：

用列表法求、、。被試對(duì)1

2

3

4

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12新

法18

15

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18

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20

5

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17

816113.42舊

法20

12

14

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11

5

14

7

12

15

15

614712.25D-2

3

0

2

-1

3

6

-2

0

1

2

2141.17D24

9

0

4

1

9

36

4

0

1

4

476

代入公式計(jì)算t在T分布表中，按，，查單測(cè)臨界值t0.01，可得t0.01=2.718由于t<t0.01，所以P>0.01，接受虛無假設(shè)，新教法并不優(yōu)于舊教法。十二、F檢驗(yàn)（用于方差的差異顯著性檢驗(yàn)）（和分別為兩樣本的方差，和分別為兩樣本方差的無偏估計(jì)值，n1和n2分別為兩樣本的容量。）例12-1.湛江市語(yǔ)文中考結(jié)束后，隨機(jī)抽取廉江考生16名，算得他們分?jǐn)?shù)的方差為28；隨機(jī)抽取吳川考生21名，算得他們分?jǐn)?shù)的方差為19，問兩市中考語(yǔ)文科成績(jī)的方差有無顯著差異？（a=0.05）解：根據(jù)題意可設(shè)：H0：兩市中考語(yǔ)文成績(jī)的方差無顯著差異；H1：兩市中考語(yǔ)文科成績(jī)的方差有顯著差異。分子自由度分母自由度根據(jù)，查雙側(cè)F分布表，可得F0.05（15，20）=2.57因F=1.50<2.57，未進(jìn)入危機(jī)域所以無充分理由拒絕虛無假設(shè)，即兩市中考語(yǔ)文科成績(jī)的方差無顯著差異。這樣下結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不會(huì)大于0.05。十三、X2檢驗(yàn)（一）適應(yīng)性檢驗(yàn)（單項(xiàng)表）（為實(shí)際次數(shù)，為理論次數(shù)）例13-1.大學(xué)某學(xué)院54位老年教師中，健康狀況好的有15人，中等的有23人，差的有16人，問該校老年教師健康狀況好、中、差的人數(shù)比率是否為1:2:1？（）解：根據(jù)題意可設(shè)：H0：健康狀況好、中、差的人數(shù)比率為1:2:1；H1：健康狀況好、中、差的人數(shù)比率不是1:2:1。所以，健康狀況好、中、差的理論頻數(shù)分別為：

(好)

(中)

(差)然后代入公式求自由度查值表，(2)0.05=5.991.22<5.99

未進(jìn)入危機(jī)域所以，我們無充分理由拒絕虛無假設(shè)。這說明該校老年教師的健康狀況好、中、差人數(shù)比率為1:2:1；這樣下結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不會(huì)大于0.05。（二）獨(dú)立性檢驗(yàn)（雙項(xiàng)表）ij

（式中r為橫行的次數(shù)合計(jì)，kj為縱列的次數(shù)合計(jì)，nij為表內(nèi)各個(gè)次數(shù)，n為總次數(shù)。）例13-2.從甲、乙兩個(gè)學(xué)校平行班中，隨機(jī)抽取兩組學(xué)生，測(cè)得他們的語(yǔ)文成