課題學(xué)習(xí)最短路徑問題-省賽一等獎

134課題學(xué)習(xí)最短路徑問題人教版八年級上新知導(dǎo)入兩點之間，_________最短。如圖，第______條線路最短。點到直線的距離，_________最短。類似這樣的問題我們稱為最短路徑問題，如何利用軸對稱解決實際生活中的最短路徑問題？線段垂線段①②③②新知講解知識1、將軍飲馬問題問題一有一位牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊飲馬，然后到B地。那么牧馬人到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答了這個問題．這個問題后來被稱為“將軍飲馬問題”．新知講解將A，B兩地抽象為兩個點，將河l抽象為一條直線．B··Al想一想如何將實際問題數(shù)學(xué)化呢？新知講解河AB現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線l上的點．設(shè)C為直線上的一個動點，上面的問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點C在l的什么位置時，AC與CB的和最小（如圖）新知講解點A、B是分別是直線l異側(cè)的兩個點，如何在l上找到一個點，使得這個點到A、B兩點的距離最短呢？B··Al兩點之間,線段最短交點即為所求依據(jù)：新知講解如何將點B“移”到l的另一側(cè)B′處，滿足直線l上的任意一點C，都保持CB與CB′的長度相等？你能利用軸對稱的有關(guān)知識，找到上問中符合條件的點B′嗎？作法：1作點B關(guān)于直線l的對稱點B′；2連接AB′，與直線l即為所求．ACB＇┓B新知講解證明：如圖，在直線l上任取一點C′與點C不重合，連接AC′，BC′，B′C′由軸對稱的性質(zhì)知：BC＝B′C，BC′＝B′C′?！郃C＋BC＝AC＋B′C＝AB′，AC′＋BC′＝AC′＋B′C′。在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′∴AC＋BC＜AC′＋BC′。即AC＋BC最短。B·lA·B′CC′新知講解問題1歸納lABClABCB′抽象為數(shù)學(xué)問題用舊知解決新知聯(lián)想舊知解決實際問題ABl鞏固練習(xí)1如圖，直線l是一條河，，分別向P、Q兩地供水，四種方案中鋪設(shè)管道最短的是（）D鞏固練習(xí)2如圖，在直角三角形ABC中，∠A＝30度，角C為直角，且BC=1，MN為AC的垂直平分線，設(shè)N上任一點，PBPC的最小值為______________2新知講解知識2、造橋選址問題問題二：如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，橋造在何處可使從A到B的路徑AMNB最短？假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直。新知講解將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題ABMNab將河的兩岸看作兩條平行線a、b，N為直線b上的一個動點，MN垂直于a，交a于N點。當(dāng)N在什么位置時，AMMNNB最??？新知講解問題解決BAA'MN如圖，平移A到A'，使ＡA'等于河寬，連接A'Ｂ交河岸于Ｎ作橋ＭＮ，此時路徑ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短Ｎ'Ｍ'新知講解另任意造橋M′N′，連接AM′、BN′、A′N′由平移性質(zhì)可知，AM＝A′N，AM′＝A′N′，AA′＝MN＝M′N′∴AMMNBN＝AA′A′B，AM′M′N′BN′＝AA′A′N′BN′在△A′N′B中，由線段公理知A′N′BN′＞A′B，∴AM′M′N′BN′＞AMMNBN證明：aBAbMNA'N′M′新知講解問題2歸納抽象為數(shù)學(xué)問題用舊知解決新知聯(lián)想舊知解決實際問題lABC利用軸對稱、平移等變化把已知問題轉(zhuǎn)化為易解決的問題，從而作出最短路徑的選擇。新知講解小結(jié)歸納lABClABCB′轉(zhuǎn)化軸對稱變換平移變換兩點之間，線段最短鞏固練習(xí)3某中學(xué)八2班舉行文藝晚會，桌子擺成如圖所示兩直排圖中的AO，BO，AO桌面上擺滿了橘子，OB桌面上擺滿了糖果，站在C處的學(xué)生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D處座位上，請你幫助他設(shè)計一條行走路線，使其所走的總路程最短．解：如圖．作法：①作點C關(guān)于OA的對稱點C1，點D關(guān)于OB的對稱點D1；②連接C1D1，分別交OA，OB于點P，Q，連接CP，DQ，那么小明沿C→P→Q→D的路線行走，所走的總路程最短．鞏固練習(xí)4如圖，一個旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC上，再返回P處，請畫出旅游船的最短路徑．解答：（1）兩點之間，線段最短，連接，再連接M--P．1如圖，AM⊥EF，BN⊥EF，垂足為M、N，MN＝12m，AM＝5m，BN＝4m，．解：作點A關(guān)于EF的對稱點A’，過點A’作A’C⊥BN的延長線于C．易知A’M＝AM＝NC＝5m，BC＝9m，A’C＝MN＝12m，在Rt△A’BC中，A’B＝15m，即．15屬于兩定一動將軍飲馬型，根據(jù)常見的“定點定線作對稱拓展提高拓展提高2如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，D為BC中點，AD＝5，P為AD上任意一點，E為AC上任意一點，則PC＋PE的最小值是_________．

解答：作BE⊥AC交于點E，交AD于點P，易知AD⊥BC，BD＝3，BC＝6，則AD·BC＝BE·AC，4×6＝BE·5，BE＝48∴最小：PCPE=BPPE=BE=4848屬于一定兩動的將軍飲馬模型，我們習(xí)慣于“定點定線作對稱”3如圖，在五邊形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分別找一點M、N，使得△AMN的周長最小時，則∠AMN＋∠ANM的度數(shù)為________．解答：如圖，∵∠BAE＝136°∴∠MA′A＋∠NA″A＝44°由對稱性知：∠MAA′＝∠MA′A，∠NAA″＝∠NA″A，∠AMN＋∠ANM＝2∠MA