線段的垂直平分線性質(zhì)

1312線段的垂直平分線的性質(zhì)想一想：1、對(duì)兩個(gè)圖形而言2、指兩個(gè)圖形的相互關(guān)系3、只有一條對(duì)稱軸1、對(duì)一個(gè)圖形而言2、指一個(gè)圖形的特殊形狀3、至少有一條對(duì)稱軸1、沿某條直線對(duì)折后都能重合；2、若將成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體，那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形；若把軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸看成兩個(gè)圖形，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條對(duì)稱軸成軸對(duì)稱．探究:如圖．直線l垂直平分線段AB，P1，P2，P3，…是l上的點(diǎn)，分別量一量點(diǎn)P1，P2，P3，…到A與B的距離，你有什么發(fā)現(xiàn)？結(jié)論：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等你能證明這一結(jié)論嗎已知：如圖，AC=BC，MN⊥AB，N上任意一點(diǎn)求證:PA=PBACBPMN證明：∵M(jìn)N⊥AB∴∠PCA=∠PCB∵AC=BC，PC=PC∴△APC≌△BPCSAS∴PA=PB探究:定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等提示:這個(gè)結(jié)論是經(jīng)常用來證明兩條線段相等的根據(jù)之一幾何語言：∵AC=BC，MN⊥AB，N上任意一點(diǎn)已知，∴PA=PB線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等ACBPMN探究:解：∵AD⊥BC，BD=DC，∴AD是BC的垂直平分線，∴AB=AC．∵點(diǎn)C在AE的垂直平分線上，∴AC=CE．例題1、如圖，AD⊥BC，BD=DC，點(diǎn)C在AE的垂直平分線上，AB，AC，CE的長(zhǎng)度有什么關(guān)系？ABBD與DE有什么關(guān)系？A

B

C

D

E

∴AB=AC=CE．∵AB=CE，BD=DC，∴ABBD=CDCE．即ABBD=DE．8課堂練習(xí)1、如圖，在△ABC中，BC=8，AB的中垂線交BC于D，AC的中垂線交BC于E，則△ADE的周長(zhǎng)等于______．A

B

CD

E例2如圖，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，△BCE的周長(zhǎng)等于50，求BC的長(zhǎng)ABCED變式1如圖，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，BC=23，求△BCE的周長(zhǎng)。變式2如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，已知AD=15，△BCE的周長(zhǎng)等于50，求△BAC的周長(zhǎng)猜想：反過來，如果PA=PB，那么點(diǎn)P是否在線段AB的垂直平分線上呢？點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上．已知：如圖，PA=PB．求證：點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上．PAB

證明：證明：過點(diǎn)P作線段AB的垂線PC，垂足為C．則∠PCA=∠PCB=90°．在Rt△PCA和Rt△PCB中，∵PA=PB，PC=PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．∴AC=BC．又PC⊥AB，∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上．PABC你能用其他方法證明嗎？線段垂直平分線的判定：用數(shù)學(xué)符號(hào)表示為：∵PA=PB，∴點(diǎn)P在AB的垂直平分線上．定理：與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上．PAB

提示:這個(gè)結(jié)論是經(jīng)常用來證明點(diǎn)在直線上或直線經(jīng)過某一點(diǎn)的根據(jù)之一這些點(diǎn)能組成什么幾何圖形？歸納：你能再找一些到線段AB兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)嗎？能找到多少個(gè)到線段AB兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)？線段AB的垂直平分線l上的點(diǎn)與A，B的距離都相等；反過來，與A，B的距離相等的點(diǎn)都在直線l上，所以直線l可以看成與兩點(diǎn)A、B的距離相等的所有點(diǎn)的集合．PAB

C解：∵AB=AC，∴點(diǎn)A在BC的垂直平分線．∵M(jìn)B=MC，∵點(diǎn)M在BC的垂直平分線上，∴直線AM是線段BC的垂直平分．課堂練習(xí)3、如圖，AB=AC，MB=MC．直線AM是線段BC的垂直平分線嗎？A

B

C

D

M

結(jié)論：三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。例2已知:如圖,在ΔABC中,邊AB，BC的垂直平分線交于P（1）求證：PA=PB=PC;（2）點(diǎn)P是否也在邊AC的垂直平分線上呢？由此你還能得出什么結(jié)論？證明：∵點(diǎn)N上，∴PA=PB同理PB=PC∴PA=PB=PC∵PA=PC∴點(diǎn)P在線段AC的垂直平分線上BACMNM’N’P如圖，點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱，你能作出這條直線嗎？ABCD作法：（1）分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于

AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于C，D兩點(diǎn).（2）作直線CDCD即為所求特別說明：這個(gè)作法實(shí)際上就是線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，我們也可以用這種方法確定線段的中點(diǎn)例如圖，A，B是路邊兩個(gè)新建小區(qū)，要在公路邊增設(shè)一個(gè)公共汽車站使兩個(gè)小區(qū)到車站的路程一樣長(zhǎng)，該公共汽車站應(yīng)建在什么地方？AB分析：增設(shè)的公共汽車站要滿足到兩個(gè)小區(qū)的路程一樣長(zhǎng)，應(yīng)在線段AB的垂直平分線上，又要在公路邊上，所以找到AB垂直平分線與公路的交點(diǎn)便是公共汽車站練一練現(xiàn)在某市要在A、B、C三個(gè)小區(qū)附近新建一個(gè)公園，要使公園到三個(gè)小區(qū)距離相等，請(qǐng)?jiān)趫D中確定公園的位置。A●B●C●●P點(diǎn)P的位置就是公園的位置3如圖，八（1）班與八（2）班兩個(gè)班的學(xué)生分別在M、N兩處參加植樹勞動(dòng)，現(xiàn)要在道路AB、AC的交叉區(qū)域內(nèi)設(shè)一個(gè)茶水供應(yīng)點(diǎn)=PN，請(qǐng)你用折紙的方法找出P點(diǎn)并說明理由

MNBAPC探索與思考如何用尺規(guī)作圖的方法經(jīng)過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線？已知：直線AB和直線外一點(diǎn)C求作:AB的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)CABC畫法：1任意取一點(diǎn)，使點(diǎn)與點(diǎn)C在直線AB兩旁。2以點(diǎn)C為圓心，C長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D和E。DEF4作直線CF。（CF就是所求的直線）練習(xí)1如圖，△ABC和△A′B′C′關(guān)于直線l對(duì)稱，請(qǐng)用無刻度的直尺作出它們的對(duì)稱軸ABCA′B′C′l相關(guān)鏈接：成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形對(duì)稱點(diǎn)連線段（或延長(zhǎng)線）相交，交點(diǎn)必定在對(duì)稱軸上（1）本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？（2）線段垂直平分線的性質(zhì)和判定是如何得到的？?jī)烧咧g有什么關(guān)系？（3）如何判斷一條直線是否是線段的垂直平分線？小結(jié)與作業(yè)：教科書習(xí)題131第6、9題．12.3角的平分線ODEABPC定理1在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等定理2到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上角的平分線是到角的兩邊距離相等的