線段的垂直平分線性質(zhì)

1312線段的垂直平分線的性質(zhì)想一想：1、對兩個圖形而言2、指兩個圖形的相互關(guān)系3、只有一條對稱軸1、對一個圖形而言2、指一個圖形的特殊形狀3、至少有一條對稱軸1、沿某條直線對折后都能重合；2、若將成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形；若把軸對稱圖形沿對稱軸看成兩個圖形，那么這兩個圖形關(guān)于這條對稱軸成軸對稱．探究:如圖．直線l垂直平分線段AB，P1，P2，P3，…是l上的點，分別量一量點P1，P2，P3，…到A與B的距離，你有什么發(fā)現(xiàn)？結(jié)論：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點距離相等你能證明這一結(jié)論嗎已知：如圖，AC=BC，MN⊥AB，N上任意一點求證:PA=PBACBPMN證明：∵M(jìn)N⊥AB∴∠PCA=∠PCB∵AC=BC，PC=PC∴△APC≌△BPCSAS∴PA=PB探究:定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點距離相等提示:這個結(jié)論是經(jīng)常用來證明兩條線段相等的根據(jù)之一幾何語言：∵AC=BC，MN⊥AB，N上任意一點已知，∴PA=PB線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點距離相等ACBPMN探究:解：∵AD⊥BC，BD=DC，∴AD是BC的垂直平分線，∴AB=AC．∵點C在AE的垂直平分線上，∴AC=CE．例題1、如圖，AD⊥BC，BD=DC，點C在AE的垂直平分線上，AB，AC，CE的長度有什么關(guān)系？ABBD與DE有什么關(guān)系？A

B

C

D

E

∴AB=AC=CE．∵AB=CE，BD=DC，∴ABBD=CDCE．即ABBD=DE．8課堂練習(xí)1、如圖，在△ABC中，BC=8，AB的中垂線交BC于D，AC的中垂線交BC于E，則△ADE的周長等于______．A

B

CD

E例2如圖，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，△BCE的周長等于50，求BC的長ABCED變式1如圖，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，BC=23，求△BCE的周長。變式2如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，已知AD=15，△BCE的周長等于50，求△BAC的周長猜想：反過來，如果PA=PB，那么點P是否在線段AB的垂直平分線上呢？點P在線段AB的垂直平分線上．已知：如圖，PA=PB．求證：點P在線段AB的垂直平分線上．PAB

證明：證明：過點P作線段AB的垂線PC，垂足為C．則∠PCA=∠PCB=90°．在Rt△PCA和Rt△PCB中，∵PA=PB，PC=PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．∴AC=BC．又PC⊥AB，∴點P在線段AB的垂直平分線上．PABC你能用其他方法證明嗎？線段垂直平分線的判定：用數(shù)學(xué)符號表示為：∵PA=PB，∴點P在AB的垂直平分線上．定理：與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上．PAB

提示:這個結(jié)論是經(jīng)常用來證明點在直線上或直線經(jīng)過某一點的根據(jù)之一這些點能組成什么幾何圖形？歸納：你能再找一些到線段AB兩端點的距離相等的點嗎？能找到多少個到線段AB兩端點距離相等的點？線段AB的垂直平分線l上的點與A，B的距離都相等；反過來，與A，B的距離相等的點都在直線l上，所以直線l可以看成與兩點A、B的距離相等的所有點的集合．PAB

C解：∵AB=AC，∴點A在BC的垂直平分線．∵M(jìn)B=MC，∵點M在BC的垂直平分線上，∴直線AM是線段BC的垂直平分．課堂練習(xí)3、如圖，AB=AC，MB=MC．直線AM是線段BC的垂直平分線嗎？A

B

C

D

M

結(jié)論：三角形三邊垂直平分線交于一點，這一點到三角形三個頂點的距離相等。例2已知:如圖,在ΔABC中,邊AB，BC的垂直平分線交于P（1）求證：PA=PB=PC;（2）點P是否也在邊AC的垂直平分線上呢？由此你還能得出什么結(jié)論？證明：∵點N上，∴PA=PB同理PB=PC∴PA=PB=PC∵PA=PC∴點P在線段AC的垂直平分線上BACMNM’N’P如圖，點A和點B關(guān)于某條直線成軸對稱，你能作出這條直線嗎？ABCD作法：（1）分別以點A，B為圓心，以大于

AB的長為半徑作弧，兩弧交于C，D兩點.（2）作直線CDCD即為所求特別說明：這個作法實際上就是線段垂直平分線的尺規(guī)作圖，我們也可以用這種方法確定線段的中點例如圖，A，B是路邊兩個新建小區(qū)，要在公路邊增設(shè)一個公共汽車站使兩個小區(qū)到車站的路程一樣長，該公共汽車站應(yīng)建在什么地方？AB分析：增設(shè)的公共汽車站要滿足到兩個小區(qū)的路程一樣長，應(yīng)在線段AB的垂直平分線上，又要在公路邊上，所以找到AB垂直平分線與公路的交點便是公共汽車站練一練現(xiàn)在某市要在A、B、C三個小區(qū)附近新建一個公園，要使公園到三個小區(qū)距離相等，請在圖中確定公園的位置。A●B●C●●P點P的位置就是公園的位置3如圖，八（1）班與八（2）班兩個班的學(xué)生分別在M、N兩處參加植樹勞動，現(xiàn)要在道路AB、AC的交叉區(qū)域內(nèi)設(shè)一個茶水供應(yīng)點=PN，請你用折紙的方法找出P點并說明理由

MNBAPC探索與思考如何用尺規(guī)作圖的方法經(jīng)過直線外一點作已知直線的垂線？已知：直線AB和直線外一點C求作:AB的垂線，使它經(jīng)過點CABC畫法：1任意取一點，使點與點C在直線AB兩旁。2以點C為圓心，C長為半徑作弧，交AB于點D和E。DEF4作直線CF。（CF就是所求的直線）練習(xí)1如圖，△ABC和△A′B′C′關(guān)于直線l對稱，請用無刻度的直尺作出它們的對稱軸ABCA′B′C′l相關(guān)鏈接：成軸對稱的兩個圖形對稱點連線段（或延長線）相交，交點必定在對稱軸上（1）本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？（2）線段垂直平分線的性質(zhì)和判定是如何得到的？兩者之間有什么關(guān)系？（3）如何判斷一條直線是否是線段的垂直平分線？小結(jié)與作業(yè)：教科書習(xí)題131第6、9題．12.3角的平分線ODEABPC定理1在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等定理2到一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上角的平分線是到角的兩邊距離相等的