2023年高考數(shù)學(xué)練習(xí)壓軸題（新高考版）14 解三角形（解答題壓軸題） （解析版）

專題14解三角形(解答題壓軸題)

解三角形(解答題壓軸題)

①三角形中線問題

②三角形角平分線問題

③三角形周長(邊長)(定值，最值，范圍問題)

④三角形面積(定值，最值，范圍問題)

①三角形中線問題

1.(2022?湖南省臨澧縣第一中學(xué)高三階段練習(xí))在中，角A,8,C所對(duì)的邊分別為a,。,c,其

外接圓的半徑為6，且滿足4√JsinBcosC=2a-c.

⑴求角8;

⑵若AC邊上的中線長為求.,ABC的面積.

【答案】⑴60。

(2)2y∕3

(1)

由正弦定理a=2RsinA,h=2RsinB,c=22?sinC得：46SinBcosC=4√3sinA-2√3sinC,

GP2√3sinBcosC=2有Sin(B+C)-有SinC,

∣'∣J26sinCcosB=小sinC>因?yàn)镾inCw0,

化簡得CoSB=；,

Be(0,^),.?.B=60o.

(2)

設(shè)AC邊上的中線為30，則8O=；(84+BC)

2122

所以BO-=—(BA+BC"÷2BA?BC),

4

IβD∣2≈?(|BA∣2+1BC∣：+21BA∣?IBC∣cosB)

即有：名=!(/+/+")①

44

乂b=2RsinB=3,

由余弦定理∕√=a2+c2-2〃CCoS8得9=/+c2一ac②

由①②得ac=8,

所以SAABC=^acsinB=2?∣3.

2.（2022?湖北嗯施土家族苗族高中高一期末）如圖，設(shè)ABC中角A,3,C所對(duì)的邊分別為α,"c,AO

為BC邊上的中線，已知C=I且2csinAcos8=αsinA-bsinB+??sinC,cos/BAD=???

⑴求中線A。的長度;

【答案】（呼

2csinAcosB=tzsinA-bsinB+—?sinC,由正弦定理：2CQCOS3=/-?2+—he,

44

22Λ21?

由余弦定理：2ca-+〃-------=a2—?2+—Z?C=c2=-bcnb=4c,??c=l,/.?=4.

2ac44

因?yàn)?。為中點(diǎn)，所以AD=g(A8+AC),設(shè)AB,AC的夾角為。，

.?.∣AD∣=∣?∣AB2+AC2+2ABAC=?√C2+?2+2?CCOS<9=CoSe,

又ABW嗎AB+4c)=”+AB?Ac)=y?TM

√21ABAD1+4CoSe

-~T=c°^bad==√17÷8cos^,即28co%+8cosOT=0'

解得cos，=4或cosS=-U,又1+4COSe>0cos。」,，AO=立;

21422

3.（2022?遼寧?高二階段練習(xí)）在.45C中，AC=2,AB=3,A=60.

⑴求AfiC的外接圓的面積；

⑵在下述條件中任選一個(gè)，求AD的長.

①AO是ABC的角平分線；②AO是；ABC的中線.

1TT

【答案】（I）T

⑵答案見解析

（1）

由余弦定理得COSA=W黑瀉

嗚X,所以BC=J7,

設(shè)，ABC外接圓半徑為R,由正弦定理得，匹=Xl=2K,

sinAsin60

所以R=叵

3

7π-

所以ABC外接圓的面積為乃心=彳.

(2)

若選擇①，SABC=^AB?ACsin/BAC=；x2x3x曰=普

同時(shí)S∕w?=；AB?AOsinZBAO+^AC-AD.smZCAD=∣AD,

所以^AO=氈，所以40=5叵.

425

若選擇②，AD=^(AB+AC),

兩邊平方得A4=；(府+AC?+2W)=；(9+4+2x3x2x?=弓，

所以AQ=四.

2

4.(2022?全國?高三專題練習(xí))在.ABC中，AB=2,AC=5,^BAC=60°,BC,AC邊上的兩條

中線AM,BN相交于點(diǎn)P.

⑴求AM?BN;

(2)求NMPN的余弦值.

【答案】⑴3;

⑵噤

(1)

nun*1/UiinUinn

因?yàn)锳Λ∕是BC上的中線，所以4Λ∕=5(A8+AC

山BN是AC卜.的中線，所以BM=IAC-AA,

2

Ae

AM.^=l(AB+AC).[lAC-^4^4^4^

Lχ5?一，x2?-Lχ2x5χL

4242

=3.

(2)

AMBN

/MPN為AM與BN夾角,cos/MPN=

AMHBNr

-?1-21-21---

?AMI2=-AB+-AC+2×-ABAC

444

=-×4÷-×25÷2×-×2×5×-

4442

4+25+1039

424T

所以IAMl=當(dāng)

212

∣B7V∣2=ΛB^^+-AC-ABAC

)1“-1425U25I21

=4H—×25-2×5×-=4H-----5=----1=—

42444

所以IBM=呼

_________3_________

CoSNMPN=3x44√97

顯屈√5^χ√7=3×√9?

~2-X-T^91

5.(2022?江蘇?金沙中學(xué)高一階段練習(xí))在IlABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,已知

(a+c)(a—c)=b(b+c).

⑴求角A的大??；

(2)在下列三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中的橫線上，并解答.

若)=3,c=4,點(diǎn)。是BC邊上的一點(diǎn)，且.

求線段AD的長.

①AZ)是：ABC的高；②AO是ABC的中線；③AO是:AfiC的角平分線.

【答案】⑴?

⑵答案見解析

(1)

在；ABC中，a,b,c分別為A,B,C所對(duì)的邊，且

(α+c)(α—c)=6(b+c),+c1-a2=-bc,

由余弦定理可得CoSA="+d-'=一工

2bc2

OVAV兀，

.2π

/.A=—

3

(2)

選①：An是一ABC的高，

由余弦定理得/=<?+〃一28CeOSA=9+16+12=37,

所以α=后.

所以根據(jù)等面積法s=i?csinA=?A。得，

22

12x6L

.C?csinA26√111；

AD=----------=——,—r'=--------

a炳37

選②：AD是，ABC的中線，

.?.AD=∣(AB+AC),

.?.∣AZ)∣2=?(|AB∣2+1AC∣2+2AB?AC),

。=3,c=4,A=與，

.?.∣AZ)∣2=^-(?2+C2+2??C?COSA)=∣9+16+2X3*4X(-；)]=?

???網(wǎng)=孚

選③：A。是一ABC的角平分線.

山「SA8C=Sabd+Sadc,

11Δ1Δ

所以一OcsinA=—c?ADsin-+-b`ADsin-,

22222

1_..2兀1..??πICAr?.冗

一X3x4?sιn——=-×AAD?sin-÷—×3AD?sin—

232323

12

解得AO=/

6.(2022?全國?高三專題練習(xí))在一ABC中，點(diǎn)。在邊BC上，AB=3,AC=2.

⑴若4短是NflAC的角平分線，求BD:DC；

(2)若A0是邊BC上的中線，且AO=也，求8C.

2

【答案】⑴B￡):￡)C=3:2

(2)√19.

(1)

解：點(diǎn)￡＞在邊BC匕AB=3,AC=2.Ar)是NfiAC的角平分線，

在△?￡＞和"8中，由正弦定理可得二八口=.BLz.

sinZADBsinNBADs?nZADCsinZ.DAC

.sinZBAD=sinZDAC,sinZADB=sin(l80o-ZADC)=sinZADC,

:.BD-.DC=3:2.

(2)

解：因?yàn)锳n是邊Be上的中線,

設(shè)BD=CD=x,x>0,

AZ^+BQZ-AB?丁+廠9

8SZBDA+cosZADC=0,CoSNBD4

2ADBD

C°SZADC=AD2AD'JDC=—?-

77,

4-----9+x?+—4....__219z≠?n∕qJ]9?,JT9

4_______4___0,化間可r得X=—?解得X=------或lK=--------（舍去），

√7x422

.?.BC=2x=2×-=√19.

2

7.（2022?河南開封?高二期末（理））在ABC中，a,b,C分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,

π卜。

sin2β+sin2C=sin2A+cosBS(J+C.

⑴求角A；

（2）若AD是BC邊上的中線，45C的面積為2√?，求AD的最小值.

?jr

【答案】（l）A=g

⑵√∑

⑴

因?yàn)閟in?θ+sin2C=sin2A+cosy-BIcos

所以sin?β+sin2C-sin2A=-sinBsinC,

由正弦定理，得b?+C?一/=_歷,

b1+c2-a2-be

由余弦定理，得CoS4=?

2bcIbc2

因?yàn)?<A<7t,所以A=?.

（2）

因?yàn)锳BC的面積為26,

所以—besinA=—be=2邪,

24

所以be=8.

因?yàn)锳O是BC邊上的中線,

所以Ao=IΛB+'AC,

22

∣211

所以心=-AB+-ACABCf+-?AC[+2--AB--AC

422

>—×(2?c)-^-?c=—be=2,

當(dāng)且僅當(dāng)IABI=IACI，即?！〞r(shí)等號(hào)成立.

所以W4≥√Σ,即AD的最小值為友.

8.(2022?北京?清華附中高一期末),ABC中，已知GC陪-B)+cos(?+3)=0.AC邊上的中線

為BD.

⑴求ZB;

(2)從以下三個(gè)條件中選擇兩個(gè)，使ABC存在且唯一確定，并求AC和80的長度.

條件①：a2-b2+c2-3c=0;條件②”=6；條件③SABC=I56.

【答案】(I)B=葛

⑵選擇條件②和條件③；ΛC=14,BD=√19.

(1)

解：因?yàn)椴糃OS(Jl-8卜COSE+B)=0,

則?/?^cosycosB+sinys*n+(cos看cos8-SinSin8)=0,

立CoSB-LSinB

—cosB+sin=GCOS8+sin3=2Sin=0,

I2f4

乂0<8<萬，解得：B+^-=π,故8=4.

33

(2)

解：由(1)得NABC=等，

又余弦定理得：cos/ABC=-L所以/+c2-)2=-αc?,

2ac2

而條件①中〃一爐+。2—3c=0,所以。=-3,顯然不符合題意，即條件①錯(cuò)誤,

由條件②。=6,條件③S.c=JacsinNABC=I5后，解得C=I0,

由余弦定理可得〃=α2+c2-2qccosZΛ8C=36+100+60=196,所以。=14.

b解得

在ABC中，山正弦定理可得一；“nA=*

sinAsinZABC

TT1S

XO<A<y,所以COSA弋,

因?yàn)?。為AC邊上的中線，所以AD=CD=7,

在△?￡)中，由余弦定理可得BI)?=Aβ2+AE>2-2A8χAr>χcosA=19,解得8￡>=加.

故AC=I4,BO=M.

D

②三角形角平分線問題

1.（2022?江蘇南通?高一期末）在.ABC中，角A,3,C所對(duì)的邊分別為“"，。，且SIMc+b

SinCa-b

⑴若α=2√J,h=2,求角8;

⑵設(shè)NfiAC的角平分線A。交BC于點(diǎn)￡>,若，AfiC面積為6，求40長的最大值.

【答案】(I)B=J

O

(2)1

(1)

解：因?yàn)閟inA+fBc+b

SinCa-b

依據(jù)正弦定理?≠7=,

SinAs?nBs?nC

所以=n/-?2=bc+c2,

ca-b

BPb1÷c2-a2=-be,

由余弦定理變形知CoSA='+/一）=四?

2hc2bc2

因?yàn)锳e(0,萬)，所以4=子.

因?yàn)棣?2jj,b=2,

則在ABC中，由正弦定理得：

ab262.1

------=--------=-f=-=-------=>sinBd=—

τ又7sinAsinB小SinB2，

~2~

因?yàn)樨?lt;α=8vA,所以8=

6

(2)

法一：因?yàn)镾abc=；bcsin/BAC=^~bc=6nbe=4,

力。是ZBAC=笄的角平分線，

而Sabc—Sabd+sacd,

IπI7T12TT

所以一XABXAOXSin-+—xACxAOXSin-=-xABxACx——,

232323

即(/?+C)Ao=Ac,

所以3名,

因?yàn)閎>0,c>0,h+c≥2?Jbc.且歷=4,故AD=T—VC片=1；

b+c2。be

當(dāng)且僅當(dāng)匕=c=2取等，

所以AD最大值為1.

答：當(dāng)匕=c=2時(shí)，A。最大值為1.

法二：因?yàn)镾ABC=*csinNBAC=號(hào)be=6nbe=4,

設(shè)?ZABD=e,θ∈^0,—^,

在443D,AACO中由正弦定理知：

_A__D_—_____c____(>__A_D_—______c____

sin。sinZADBSine.(乃)①，

sinθn+-J

____A_D___________b____〈.>_____A_D____—______h____

.(π?sinZADC.(πΛ?G∣吟②，

sin——ωθsin——θsinθ+-=

l?JUJI3J

因?yàn)榱?=4,所以①,②得，

AOjgin'sin(尹)=8sin"s陪一勾=2氐山2。+2/2。-2

sin2(y+0)l+cos(2。-。11+cos^20-yj

4sin(26>+?)-24cos∣2θ-^-?-2,

L__3^=4_______9______,

l+cos(29-1)1+cosf20-—?l+cos∣2θ-^-?

4>∕=l+cosf26?-yLew(θ號(hào)

所以S="',易得此函數(shù)在T∣,2為單調(diào)遞增函數(shù),

所以當(dāng)t=2oe=J時(shí)，A。最大值為L

6

2.(2022?福建南平?高二期末)ABC的角A,B,C所對(duì)的邊分別為“，b,c,點(diǎn)。在BC上，AD=A

(1)若AO_LAC,cosC=√2sinB,求J

⑵若AD是HC的角平分線，ZBAC≈y,求ABC周長的最小值.

【答案】⑴4√Σ;

(2)16+8萬

(1)

解：VADlAC,

71TC

..ZDAC=-ZADB=-+C

2f2

,?,cosC=在SinB，

.?,SinNAoB=SinG+0=cOSC=V∑sin8

在，ABC中，由正弦定理得

ABADAB_4

sinZADBsinB>∕2sinBSinB

.?C=AB=4Λ∕Σ?

(2)

9TT

解:解法?：?「ZδAC=(,AO是㈤C的角平分線，

.??ZBAD=ZDAC=-

3

由SABC=Sabd+Sadc得

-AB?ACsin-=-AB?ADsin-÷?AC?ADsin-

232323

又Ao=4,4(Z?+C)=歷，

在ZABC中，由余弦定理得

/=b2+c2+bc,則a=?∣b2+c2+bc

設(shè)工ABC的周長為/,/=a+b+c=y∣b~÷c÷beH—be

4

由基本不等式得，4(b+c)=bc≥8瓜,當(dāng)且僅當(dāng)h=c時(shí)等號(hào)成立，

得仇?≥64

l=a+b+c=Λ∕?2+C2+be+-bc≥?∣3bc+Lc≥16+86

44

當(dāng)且僅當(dāng)匕=c=8時(shí)等號(hào)成立，

所以AHC的周長最小值為16+

2Tt

解法二：?.?∕R4C=?y,A。是ZflAC的角平分線

π

..ZBAD=ZDAC=-

3

HlSABC=SABD+SADC得

LgACsin型」A3?ADsin工+,ACADsin巴

232323

XAD=4,4(Z?+c)=Z?c

在，ABC中，由余弦定理得

a1=b2+c2+?c=(?+c)2-bc=-b2c2-be

v)16

設(shè)：ABC的周長為/,∕=q+Z?+C=Jab%?一be+%c

設(shè)6C=X,則∕=一x++

由基本不等式得，4(b+c)=bc≥8屈，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=8時(shí)等號(hào)成立

得be≥64,即X≥64

根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)可得，

當(dāng)xN64時(shí)，/(X)=點(diǎn)/—X+；X單調(diào)遞增

.?.I=/(x)≥∕(64)=16+8√3

所以ABC的周長最小值為16+86.

3.(2022?江蘇蘇州?高一期末)已知ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為〃，b,c,滿足

SinAbsinB,

---------------+--------------------=1

sin8+sinCZ?sinA+csinZ?

⑴求角c；

⑵CD是ZAC8的角平分線，若CD=迪，ABC的面積為2√L求C的值.

3

TF

【答案】⑴c=§；

(2)c=2√3

⑴

由正弦定理得/一+，_=],即二+_2_=1,整理得a(α+c)+%S+c)=(α+c)(6+c),

b+cba+cbb+ca+c

化簡得/+^一°2=必，由余弦定理得COSC="2+"-i=L又C∈(0,τr),則C=g；

⑵

SAcDJ—*CAJQ

5BCD--CBCDsm-CBBD

26

即絲，，則CD=CA+AO=CA+"-AB=C4+4-(C8-CA)=，^CA+/-CB,

BDaa+ba+b^fa+ha+b

1

?>，CA+2b2

所以Co=CACB+CB,即

a+ha+h

16a2b2lab,1crb2

——-----------4^-----------ab?—I-----------

3(a+b)2(〃+b)23(α+4

3a2h2

則"+/=(α+8)~-2cιb=20,

整理得彳=(6Z+Z?)2，又ab=8,解得4+b=6

222

由(1)?c=a+b-ab=20-S=?29則c=2√^.

4.(2022?江蘇宿遷?高一期末)在4?C中，角A,B,。的對(duì)邊分別為〃，b,c,且

IO(Sin^≤)=7-cos2Λ.

I2J

⑴求角A的大?。?/p>

(2)若6=2,c=l,

①ZBAC的角平分線交BC于M,求線段AM的長；

②若O是線段BC上的點(diǎn)，E是線段84上的點(diǎn)，滿足CO=；ICB,BE=/134,求AO?CE的取值范圍.

【答案】⑴4=。

⑵①AM=手；@[-3,-1]

⑴

/-,?2

“sin8；Cz)=7-cos2A,則5(1-CoS(B+C))=7-cos2A,故5(1+cosA)=8-2cos?A,所以

2cos2Λ+5cosΛ-3=0,因?yàn)镃OSAV1,

?JF

可得COSA=—，由4e(0,乃)，所以A=—.

23

⑵

①法一：在AAMC與.ABMψ,

CMACBMAB

由正弦定理得

SinZCAM^SinZAWCsinNBAMsinZAMB

BP≡=≡=2故CM=2MB，

212421244

所以AW=—A3+—AC,AM=-AB÷-AC+-ABAC=-

339993f

所以AM=2叵

3

法二：在，ΛBC中，由AM是NR4C的角平分線

TT

所以∕84M=∕ΛMC=-

由^?ABM+4^?4Λ∕C=SAABC知：

-AB-AMSinZBAM+-AMACsinZMAC=--AB-ACsinZBAC

222

即一?I?AM?sin—I—,2?AM?Sin—=—,1-2,sin—，解得AM=

2626233

②法一：由CO=2CB，得AO=4AB+(1-;I)AC,(2G[0,1])

又CE=AE-AC=(I-㈤AB-AC

所以AO?CE=[∕lAB+(l-∕l)AC]1(l-4)AB-AC]=24-3e[-3,-l].

AOCE的取值范圍為[-3,-1]：

法二：以AB所在直線為X軸，過點(diǎn)A垂直于AB的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由

?=2,c=l,A=y.貝IJA(0,0),8(1,0),C(l,√J),AB=(1,0),AC=(1,√3)

因?yàn)镃Z)=λCB,BE=ABA,

所以Ao=AC+CO=(1,√5-向),CE=BE-8C=(-Z-√J).

所以A。?CE=-√-√J(石-值)=22-3

由2e[0,l],得4。.CE的取值范圍為

y

5.(2022?浙江寧波?高一期中)已知點(diǎn)M(；sin2x,sin2x),N(2,2回O為坐標(biāo)原點(diǎn)，函數(shù)

八X)=OM?ON.

⑴求函數(shù)/(x)的解析式和最小正周期；

⑵在銳角AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊為4,b,c,AO為NBAC的角平分線，AB=2AC,BD=I,

若"A)=有，求AACQ面積.

【答案】(l)/(x)=2sin(2x-?)+6,萬

⑵3(5+26)

26

⑴

?,?w^?sin2x,sin2χ},Na,2Mj,

OM=Qsin2x,sin?r),ON=^2,2^3j,

f^x)=OMON=sin2Λ+2?/?sin2x=sin2x+√3(1-cos2x)

=Sin2x->∕JCoS2x+6=2—sin2x-----cos2x+Λ∕3=2sin2x--+5∕3

(22JI3J

T2τr2π

.??T=ITT=k="

囪2

⑵

V/")=6,

.?./(A)=2sinf2Λ-yU√3=√3,

.?.sin(2A一5]=0,

TT

即.?.2A--=kπf

3

πkπ

?'?A=—I------,攵1∈Z

62

???△ABC為銳角三角形,

π

A=一

6

如圖,

;AO為/BAC的角平分線，AB=IAC,

.??BD=2DC，

.?.=BC=3,

d?AβC?

設(shè)AC=X,AB=2x,

由余弦定理可知，cosZ.BAC=COS工=='+4?y——2.

622×x×2x

.?,9(5+26).

13

.C1,.乃129(5+2G)

-abc26226

6.(2022?江西?豐城九中高一期末)已知向量機(jī)=(SinX,1),〃=.令函數(shù)/(x)=(∕n+”)?wι.

⑴求函數(shù)/(X)的最大值；

(2)ABC中，內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為a,b,c?,NACB的角平分線交AB于。.其中，函數(shù)/(C)恰好

為函數(shù)/O)的最大值，且此時(shí)CO=f(C),求34+6的最小值.

【答案】(1)2

⑵4+空

3

(1)

m=(sinx,l),n=^5/3cos?,-?j,/.瓶+〃=(SinX+外COSX

.,./(x)=SinMSinX+6CoS?x)+g

=sin2x+>^sinxcosΛ+^

l-cos2x>∕3.1_-f.πY

=------------+?-sin2πx+-=Soln20vx--+11,

222k6J

???∕(x)的最大值為2；

(2)

由/(C)恰好為函數(shù)/(X)的最大值可得"C)=sin(2Cf+1=2,

即sin(2C-工)=1,

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,0<C<π,r?--<2C--<——,故2C-7=U，故。=彳，

666623

又CD=f(C)=2,

因?yàn)镾AS+Sbcd=SAC8，故gxCQxbsin300+JχCZ)xαsin30°=；4》sin60°,

整理得到：…邛而≡→i=τ?

故3α+b=*(3α+%+目=專(4+與+*專(4+2電

當(dāng)且僅當(dāng)卮鳥艮小『,a=*時(shí)等號(hào)成立，

故3α+力的最力、值為4+更.

3

7.(2022?河南南陽?高一期中)記，ABC的內(nèi)角AB,C的對(duì)邊分別為。也c,已知A=,AO為邊

BC上的中線，A的角平分線AE交BC于點(diǎn)E.

⑴若α=7,c=3,求Ao的值；

(2)若AE=6,求ABC面積的最小值.

【答案】⑴巫

2

(2)36√3

⑴

在,ABC中，A=—,α=7,c=3,

由余弦定理cosA=C+b_土9+?2-49?

2hc2x3b2

得。2+勸-40=e+8)(〃-5)=0,解得b=5或6=—8(舍去)，

由題意得AO=；(A8+AC),

AB∣2^+2∣AB∣?∣AC∣?cosNBAC+14)

??[9-2×3×5×-?+25I=—,

4(2)4

所以34=半，即AZ)的值為孚,

(2)

因?yàn)镾ΔABC=?6csinNBAC=^bAEsinNCAE+Jc?AE?sinZBAE,

所以bc=6(8+c).

因?yàn)閎c=6e+c)≥12^/^,所以Ac≥144,

當(dāng)且僅當(dāng)6=c=12時(shí)，等號(hào)成立，

I∏

所以SdABC=—besinNBAC=-bc≥36√3,

故AABC面積的最小值為36√L

8.(2022?河南?汝州市第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(文))在[ASC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為α,

b,c,且瘋∕sin8=6(2+cosA).

⑴求角A的大??；

L3

(2)若α=2√J,BA?AC=pA。是.ABC的角平分線，求AZ)的長.

【答案】(1)4=看；

(2)日.

⑴

因?yàn)棣玘αsin5=A(2+cosA),由正弦定理得GSin3sinA=sinB(2+cos4).

因?yàn)?∈(0,乃)，所以sinB>0,所以JJSinA-COSA=2.

即sinA-?cosA)=2sin(A-?^)=2,

因?yàn)锳∈(0,τr),所以A—J=即A==.

623

(2)

3τr3

由BA?AC=—,得仍COS-=—即be=3,a2=b2+c2—2bccosA=(ft+c)2-2bc+bc=12,

232

可得人+c=V12÷3=Viy，由Sabc=Sabd+Sacd,/?csin——??ΛD?si∏y+-c?AD-sin—,

.2π√3L

匕7CSln——3TT15

3=

所以A。=

(Z?+c)siny岳35

2

9.(2022?全國?高三專題練習(xí))BC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為α,b,c.已知叵=I-COSB

ClsinA

⑴求R

(2)若a=2,c=ι,,求怛q.

在①。為AC的中點(diǎn)，②BD為NABC的角平分線這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在橫線上.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】⑴與

(2)答案見解析

(1)(1)由正弦定理得，5/3sinBsinΛ=sinA-sinAcosB.

因?yàn)镾inAW0,所以6SinB=I-cos8,

所以GSin5+cos3=2sin(3+?)=1,即Sin(B+?)=；.

又3e(0,τ),貝IJB+9=當(dāng)，所以B=?.

663

(2)

(2)選擇條件①：因?yàn)锽OMB”?。,所以|比＞『=；QBAj+2A4?BC+Bq2),

=^-Γ12+2×1×2×(-1)+22')=∣,

???IM=4-

選擇條件②：

因?yàn)?。為NABC的角平分線，所以SMi)+S.cTO=SABC,

則;c?∣Bqsin60o+gα?∣80∣sin60o=gα?csinl20o,

.?.^?l?∣BD∣sin60o+^?2?∣BZ)∣sin60o=∣?2?l?sinl20o

2

解得忸必=§.

10.(2022?全國?高三專題練習(xí))在二ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,已知

a-bcosC=—csinB,角C的內(nèi)角平分線與邊AB交于點(diǎn)D.

3

(1)求角B的大?。?/p>

(2)記4BCD,?ΛCQ的面積分別為耳，S2,在①c=2,b=&,②$0品=孚，b=布,A>C

這兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知，求務(wù)的值.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】(嗚

(2)答案見解析

(1)

解：因?yàn)閍-6cosC=^CSinB,山正弦定理可得SinA-sinBcosC=^sinCsinB,

33

又由SinA=Sin[%—(3+C)]=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

可得cos3sinC=-SinCsinB,

3

因?yàn)镃e(O,幻，u?得SinC>0,所以COSB=且SinB，即tan8=G,

3

又因?yàn)?∈(0∕),可得6

(2)

解：選①：因?yàn)閏=2,b=下,

由余弦定理可得cosB="一+「從=fl^+4-3=1,

Iac4。2

整理得a2—20÷l=0?解得α=1,

因?yàn)镃D為ZAa的平分線，令ZACD=ABCD=θ,

則S=-BC-CDsinθ=-×?×CDainθ,5,=-ACCDsmθ=-×-j3×CDsinθ,

2222

所以今=J==g故今的值為巨

S2√33S23

選②：SΔΛZJC=乎，?=√7，A>C,

由SZU)C=IaCSin8=1acsin工=,解得“c=3,

abc2234

又由b=",由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB,

BP7=a2+c2-2×3×p可得/+/=10，

又因?yàn)锳>C,可得。>c,所以(a+。)？=/+/+2αc=10+2x3=16,即α+c=4,

α+c=4

聯(lián)立方程組"=3,解得α=3,c=l,

a>c

由Co為N4C6的平分線，令NACD=4BCD=Θ,

所以S=,8C?COSine=Lx3XCOSin6,1=JACCDSine=—XaXC力Sin

22-22

所以卷=/==羋，故興的值為也.

S2√77S27

③三角形周長（邊長）（定值，最值，范圍問題）

1.（2022?廣東佛山?高三階段練習(xí)）在ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為“，b,c,己知A=^.

（1）若α=6,ABC的面積為2有，。為邊BC的中點(diǎn)，求AZ）的長度；

⑵若E為邊BC上一點(diǎn),且AE=#,BE-.EC=2c-.h,求6+2C的最小值.

【答案】⑴括

（2）8√2

（1）

因?yàn)锳=g,MC的面積為26，

所以SΛHC=—?csinA=??esin—=—be=2?j3,

abc2234

212

即bc=8,又4=6,由余弦定理可得：a=b+c+bc,

BP36=?2+C2+8,得6+C2=28,

又■.￡>為邊BC的中點(diǎn)，.??AD=^-{AB+AC),

2

211/22\

則AD=-(AB+AC)2=-?AB^+2AB-AC+AC]

44\/

=^(C2+2C?COSA+?2)=^(C2-C?+?2)=^-(28-8)=5,

即|A。I=石，二中線Af)的長度為6.

(2)

..E為邊BC上一點(diǎn)，BE-.EC=2cιb,

2c

??BE=-------BC,

2c+h

.?.AE-AB=-^-{AC-AB),Bp(2c+b)AE=2cAC+bAB,

2c÷?

???(2c+b)2AE2^(,2cAC+bAB)2>乂AE=瓜,

6(2c+h)2=(2cAC+hAB)2=4h2c2-2h2c2+h2c2=3h2c2,

：.√2(2c+?)=?c,即2+，=走，

bc2

4cb?

h+2c=Λ∕2(Z?+2c)+—+-34+2件斗8立

bc)

當(dāng)且僅當(dāng)4=L即b=2c?=4√∑取等號(hào)，。+2C有最小值8√∑.

bc

2.（2022?安徽?合肥市第五中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））在AABC中，a,6,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)

邊，AABC的面積S=Lc?.

4

⑴若y∕2ccosB=-Jla-b，求n）的值；

Ss?lnB

(2)求?的取值范圍.

b

【答案】⑴√Σ+1或0-1

(2)[√2-l,√2+l]

(1)

因?yàn)閂∑ccosB=J∑α-Z?，中止弦定理得：5/2sinCcosB=?J1sinA-sinB，

即Λ∕2sinCcosB=7∑sin(B+C)-sinB,即y∣2sinBcosC=sinB，

因?yàn)镾inBWO,所以?∕ΣcosC=l,即COSC=

JT

由C∈(0,π)得：C=-;

4

由S=，，2得：?^sine??e2,即立必=J?c,即√^∕b=c2,

42444

由余弦定理可得：/=〃+h2-2tabcosC=a2+b2-y[lab=?Jlab，

2

故a2+?2=2近Clb，則M+1=2Λ∕2×f,

h~b

令，=￡，則/+1=2"，解得f二0±l，

b

由正弦定理得：出絲=?，故駕的值為JΣ+1或JΣ-1;

sinBbsinB

(2)

由S=：/得：-abs?nC=-c2,lψ26r?sinC=c2,

424

由余弦定理可得：c1=a1+Ir-IabcosC=2而SinC，

即+?2=26f?(sinC+cosC)=2y∣2absin(C+—),

4

令f=q,l)∣lJr+l=2√2rsin(C+-),即?!?=sin(C+工)，

b42√2r4

由Ce(O,π)得C+]ej>故Sin(C+；)∈(--?,l]>

故-<—?"41,即得?∕2—1≤Z<?∣2+1>

22√2f

故多的取值范圍是[√∑-1,√∑+1].

b

3.(2022?江西金溪一中高二階段練習(xí))在一ABC中，內(nèi)角A,B,