新教材人教A版高中數(shù)學必修第二冊平面向量的奔馳定理與四心問題 同步講義

7、平面向量的奔馳定理與四心問題

【考點分析】

考點一：三角形重心的概念及向量表示

①重心的概念：三角形各邊中線的交點叫做重心，重心分中線長度的比為2：1.

②重心的向量表示：如圖所示在AABC中，G為ΔABC重心o質+/+友=6

證明：GB+GC^GA'=-GA,所以蘇+無+岳=6

③重心坐標公式，設A(XI,y∣),B(Λ2,y2),C(x3,y3),則△ABC的重心坐標為

χi+χ2+χiyt+y2+yi.

3,3-

考點二：三角形垂心的概念及向量表示

①垂心的概念：三角形各邊上高線的交點叫做垂心.

1、、'

I

②垂心的向量表示：如圖所示在MBC中，P為ΔABC重心o

^PA~PB=~PB~PC=~PA^PC

證明：因為麗?麗=麗?正，所以麗麗一麗正=兩百一對=麗而=0,所

以萬，瓦

同理可得正，踵，PALBC,所以P為ΔABC重心

考點三：三角形內心的概念及向量表示

①內心的概念：三角形各角平分線的交點叫做內心，內心也為三角形內切圓的圓心.

②內心的向量表示：如圖所示在AABC中，/為ΔABC重心O8/=4-+—且

B

考點四：三角形外心的概念及向量表示

①外心的概念：三角形各邊中垂線的交點叫做外心，外心也為外接圓的圓心.

②外心的向量表示：若P為AABC內一點，則Pd=IPq=|PCl=P為ZXABC的外心.

考點五：奔馳定理

奔馳定理：若。為A43C內一點，且滿足4而+4為+4反=6,則Z?AO3'?AOC?

ABOC的面積之比等于4：%：%

考點六：三角形四心與奔馳定理的關系及證明

①O是ZSABC的重心：SΔSOC:SΔCOΛ:SMOB=1：1：1OOA+OB+OC=0.

證明：由重心分三角形面積相等及奔馳定理易得

S.BOC?SMOA?SMOB=l：l：loQA+OB+OC=0

②O是/\ABC的內心：SABOC:SACCM:SMoB=α：匕：cOCiOA+bOB+cOC=0

證明：（為內切圓的半徑），所以

S4s?βI>IoZVc=-aΔl?-Λr-∕rl,2SSCOA=-4bi∕lUτ∕O,2SSAOB=-CTrΔABC

SABoC:SACoA:SMOB=a:b:c,再由奔馳定理可得。04+c°C=0

③O是ZVlBC的外心：

SΔAΔADUMV:SM4-ΛVClZAA：SAZ-AVCllzRD=Sin2A:Sin2B:sin2C<=>sin2AOA+sin2B0B+sin2COC=0.

證明：S&BOC=??∣δc∣sinZCOB,由同弧所對的圓周角是圓心角的一半可得

所以網為外接圓的半

ACOB=IZA,SΔB.C=J?∣°gsin2A=JK?Sin2A（RA43C

徑），同理可得所以

SAaM=g/?2Sin26,SΔAo8=；R2sin2C,

SABOC:s^COA:S^AOB=Sin2A:sin2B:sin2C,再由奔馳定理可得

sin2AOA+sin2BOB÷sin2COC-e

④P是Z?Λ3C的垂心：

SmPC:SZCPA:SWiB-tanA:tanB:tanC<=>tanAPA÷tanBPB+tanCPC=5

DB

證明：如圖P為ZXABC的垂心，則有tanA=—,IanB=—,所以

ADBD

怛4：|A4=tanA:tan3,所以5兇小SzMPC=gc"?忸力」|CH?∣A"=忸4IAq

=tan4:tan6,同理可得SM>c?:s?APB=tanB:tanC,所以

SABPC-SMPC:S6APB=tanA:tanβ:tanC,再由奔馳定理可得

SSBPC:SACPA:SeSAPB=tanA:tanβ:tanC<=>tanAPA+tanBPB+tanCPC=O

【題型目錄】

題型一：四心的向量表示

題型二：奔馳定理的應用

【典型例題】

題型一：四心的向量表示

【例1】已知O,N,P在所在ΔABC的平面內，且IOAHoBHoCl,M4+NB+NC=0,且

PA.PB=PB.PC=PA.PC,則O,N,P分別是ΔABC的（）

A.重心外心垂心B.重心外心內心

C.外心重心垂心D.外心重心內心

【解析】解：因為且IOAI=I。BHoCl,所以O到頂點A,B,C的距離相等，所以。為AABC

的外心.

由PA.PB=PB.PC=f?A.PC得（PA-PC）PB=O,HPAC.PB,所以AC_LP3.

同理可證ΛBJ?PC,所以P為AAfiC的垂心.

若NA+NB+NC=O,財NA+NB=-NC,取AS的中點E,則NA+NB=2NE=CN,所以

2?NE∏CN?,

所以N是ΔABC的重心.

ΔRAC

【例2】已知M點在ABC所在的平面內，滿足OM=OA+λ(———+———)(λ∈R),

IABlSin8∣ACIsinC

則動點M的軌跡一定通過"C的（）

A.內心B.垂心C.夕卜心D.重心

【答案】D

【分析】由給定條件可得IABlSinB=IAClSinC,由4仇A>表示出A件即可判斷作答.

【詳解】令AABC邊BC上的高為〃，則有IABISinB=IAClSinC=/7,令邊BC的中點為D,

貝∣JAB+AC=24。，

因此，AM=OM-OA=λ（-+-）=-（AB+AC）=-AD,BPAMHAD

hhhh

所以動點M的軌跡一定通過ABC的重心.

【例3】設。為AABC的外心，若04+08+0C=OM,則M是AABC的（）

A.重心（三條中線交點）B.內心（三條角平分線交點）

C.垂心（三條高線交點）D.外心（三邊中垂線交點）

【答案】C

【解析】設AB的中點為。，根據(jù)題意可得由題中向量的等式化簡得C/_L四，

即C/0在AB邊的高線上.同理可證出AM在Be邊的高線上，故可得M是三.角形ABC的垂

心.

【詳解】在ΔABC中，。為外心，可得OA=OB=OC,

OA+OB+OC=OM，

.'?OA+OB=OM-OC<

設AB的中點為￡>,則。。_LA8,CM=2OD-

/.CM±AB,可得CM在AB邊的高線上.

同理可證，AM在BC邊的高線上，

故M是三角形ABC兩高線的交點，可得〃是三角形ABC的垂心，

【例4】已知點。是ΔABC所在平面內的一定點，P是平面ABC內一動點，若

OP=OA+^^AB+lβC^λ∈（0,+∞）,則點尸的軌跡一定經過AABC的（）

A.重心B.垂心C.內心D.外心

【答案】A

【分析】設D是BC的中點，由AB+gBC=Af>,OP=OA+λ^AB+^BC^,λ∈（0,+∞）,

^?OP=OA+λAD>所以點P的軌跡是射線A。，故點P的軌跡一定經過△4BC的重心.

【詳解】如圖，設。是BC的中點,

?；AB+-BC=AD,

2

OP=OA++ZIe(O,+8),

0P=0A+λAD<

即AP=AAD

：?點、P的軌跡是射線AD,

。是AABC中BC邊上的中線，

二點P的軌跡一定經過4ABC的重心.

【例5】點。為.ABC所在的平面內，給出下列關系式:

①OA+08+0C=0;

②OA?=0且OB?=0；

③(OA+OB)?A8=(08+OC)?BC=0.

則點。依次為的()

A.內心、重心、垂心B.重心、內心、垂心C.重心、內心、外心D.外心、垂心、重心

【答案】C

ABAC

【解析】逐條判斷。第一條是關于重心的性質；第二條取單位長度的向量網和同，從而

得出點。在NBAC的平分線上，這就涉及三角形的內心；第三條可以推導出OA+OB和AB?

直，從而和三角形的外心相關。

【詳解】①由于OA=-(OB+OC)=-2OD,其中。為BC的中點，可知。為BC邊上中線的

:：等分點(靠近線段BC),故。為ABC的重心;

ACAB

②向量FTK，Γ7∑l,分別表示在邊AC和AB上取單位向量AC'和ABl它們的差是向量B'C'，

當。4?-~r=0,即OALB'C'時，則點O在/胡C的平分線上，同理由

UπAClIτA叩

OB-I—-j?-∣—I=0,知點。在/ABC的平分線上，故。為&AfiC的內心；

UBCl網

③IoA+O3∣是以04,OB為邊的平行四邊形的一條對角線的長，而是該平行四邊形的另

一條對角線的長，(OA+OB)?AB=O表示這個平行四邊形是菱形，S∣J∣C?∣=∣(7B∣,同理有

阿I=Io4,故O為AASC的外心.

［例6］。是MfiC所在平面上的一定點，動點P滿足

OP=OA+λ(----------------+-----------------),Λ∈［0,+8),則點P形成的圖形一定通過ΔABC

?AB?cosZBIACIcosZC

的垂心.(填外心或內心或重心或垂心)

ΔRAC

【解析】解：BC?(--------------+---------------)=-?BC?+?BC?=O

IABIcosBIACIcosC

.?.BC與〃———+———)垂直

IABIcosBIAClCOSC

Cn?-ΛBAC、

OP=OA+λ(z---------------+------------------)

IABIcosZ.BIAC∣cosZC

.?.Λl,>P在3C的高線上，即P的軌跡過ΔABC的垂心

【例7】點O是平面上一定點，A、B、C是平面上ΔA8C的三個頂點，ZB、NC分別是邊

AC./記的對角，以下命題正確的是①②③④⑤(把你認為正確的序號全部寫上).

①動點P滿足OP=OA+PB+PC,則AABC的重心一定在滿足條件的P點集合中；

②動點P滿足OP=OA+/1(——+——)(Λ>0),則AABC的內心一定在滿足條件的P點集合

IABl∣AC∣

中;

AAAC

③動點P滿足OP=。4+Λ(-------------+--------------)(Λ>0),則Δ4BC的重心一定在滿足條件

IΛBIsinB∣AC∣sinC

的尸點集合中;

ARAC

④動點P滿足OP=OA+2(-------------+----------------)(/1>0),則AABC的垂心一定在滿足條件

IABIcosBIACIcosC

的P點集合中；

⑤動點尸滿足OP=+Λ(———+—絲一)(Λ>0),則AASC的外心一定在滿

2IABICOSBIAC∣cosC

足條件的P點集合中.

【解析】解：對于①，?動點尸滿足OP=OA+P8+PC,

.??AP=PB+PC,

則點夕是ΔABC的重心，故①正確;

An

對于②，.?動點P滿足。P=QA+"——+------)(2>0),

∣AB∣∣AC∣

ABAC

.?.AP=λ(------+-----)-(-2>0),

∣AB∣∣AC∣

又必+匹在Nfi4C的平分線上,

?AB??AC?

.?.Ap與NbAC的平分線所在向量共線,

.?.ΔABC的內心在滿足條件的尸點集合中，②正確;

ΔRAC

對于③，動點尸滿足OP=04+4(-------------+——--)(2>0),

IABIsinB∣AC∣sinC

??g(∕k∣ACA∣CsinC

),(Λ>0),

過點A作AD_LBC,垂足為。，則IABIsinB=IACIsinC=AD,

AP=-(AB+AC),向量A8+AC與3C邊的中線共線,

AD

因此AABC的重心一定在滿足條件的。點集合中，③正確;

4PAC

對于④，動點P滿足。尸=OA+〃-------------+)(2>0),

IABIcosBIAC∣cosC

扁+∣AC

??AP=?ACl8SC)(2>0),

AfiΔΓ

AP.BC=λ(--------------+--------------).BC=Λ(∣BC∣-∣BC∣)=O,

IABIcosBIACIcosC

.?.APLBC,

.?.ΔA8C的垂心一定在滿足條件的P點集合中，④正確；

對于⑤，動點P滿足M絲產+4ABAC

----：----------1------：---------)(Λ>0),

IAB∣cosB∣AC∣COSC

設”產=3

則吁

由④知(———+———).BC=O,

IABIcosBIACIcosC

.?.EP?BC=0?

..EPS.BC9

.?.p,點的軌跡為過E的3C的垂線，即3C的中垂線；

.?.ΔA8C的外心?定在滿足條件的尸點集合，⑤正確.

故正確的命題是①②③④⑤.

【題型專練】

1.在.AfiC中，非零向量OA、OB、OC滿足。A+OB+OC=0,則點。是「ABC的()

A.內心B.外心

C.重心D.垂心

【答案】C

【分析】分別取BC、AC、AB的中點。、E、F,分析出。為ABC三條底邊上中線的交

點，由此可得出結論.

【詳解】如下圖所示：

分別取BC、AC,A3的中點。、E、F,連接。。、OE、OF,

0D=0B+BD=0B+^BC=0B+^(0C-0B^=^(0B+0Cy所以，OB+OC=2OD,

所以，OA+OB+OC=OA+2OD=0^故A、。、。三點共線，即OiAD,

同理可知O∈BE,OeCF,即。為ABC三條底邊上中線的交點，

因此，。為ABC的重心.

2.設O是AABC所在平面內一定點,P是平面內一動點,若

(PB-PC)(OB+OC)=(PC-PA)-(OA+OC)=O,則點。是MBC的

A.內心B.外心C.重心D.垂心

【答案】B

【解析】設5C,AC的中點分別為0,E,πj^OB+OC=2OD,OA+OC=2OE,再由己知可得

CBlOD=O，得ODJ■BC,同理可得OElAC,即可得出結論.

【詳解】設BC,AC的中點分別為

OB+OC=2OD,OA+OC=2OE,

(PB-PC)?(OB+OC)=CB-2OD=0,.?.CBLOD,

所以0。18C.點。在線段BC的垂直平分線上，

同理點0在線段AC的垂直平分線上，

所以。為A4BC的外心.

3.已知。是ABC所在平面上的一點,角4、B、C所對的邊分別為“力,c,若

po=aPA+bPB+cPC(其中P是ABC所在平面內任意一點)，則。點是_ABC的()

a+b+c

A.外心B.內心C.重心D.垂心

【答案】B

【分析】將所給向量表達式進行變形,表示成AB與AC方向上的單位向量的形式,由向量加法

運算的性質即可知0在角平分線上,即可得解.

aPA+bPB+cPC

【詳解】因為尸O=

a+b+c

貝∣J(α+b+c)P。=αPA+bPB+CPC.upaPO+hPO+CPO=aPA+bPH+cPC

移項可得“PA-αPO+bPB-bPO+cPC-cPO=0

H[]α(Λ4-Pθ)+力(PB-PO)+c(PC-Pθ)=0

則“O4+bO3+cOC=0

因為。B=0A+AB,0C=0A+4C,

所以aOA+b[θA+43)+C(OA+AC)=0

?^↑S?a?^aOA+bOA+bAB+cOA+cAC=0^^a+b+c)0A=-bAB-cAC

設i為AB方向上的單位向量,，為AC方向上的單位向量

所以AB=ci,AC-bj

則(α+b+C)OA--bci-bej

^a+b+c^OA=-bc(^i+/)

所以。A=(j+4

a+b+cx7

則。在284C的角平分線上

同理可知。在NeW的角平分線上

因而。為ΔABC的內心

4.已知。是ABC所在平面內一點，向量。[、06。R滿足條件。q+O[+Ol=0,且

IoN=IOq卜函1=1,則AABC是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形

【答案】D

【分析】由題可得。既是tABC的外心又是重心進而即得.

（詳解]由O[+Og+=0得一。是ΔABC的重心，

由IOM=I叫=∣O閭=1得O是aABC的外心，故重心與外心重合，

所以ABC是等邊三角形.

5.（多選題）已知4,B,C是平面上不共線的三點，。是一ABC的重心，動點P滿足

OP=g（；OA+；O8+2Ocj,則點P一定不是（）

A.AB邊中線的中點

B.A8邊中線的三等分點（非重心）

C..45C的重心

D.A8邊的中點

【答案】ACD

【分析】利用重心的向量表示及向量的線性運算，得到OP=Joc,判斷出P的位置，對四

個選項一一驗證，得到正確答案.

【詳解】因為。是,ABC的重心，所以Q4+O8+OC=0,

所以OPHOA+；O8+2OC）T一；OC+20C）=gθC.

所以點尸為OC的中點，即為AB邊中線的三等分點（非重心）

6.設。為°A5C所在平面上一點，內角A,B,C所對的邊分別為α,b,c,則正確的（）

A.0為OABC的外心。|04?=?OBI=IOC|=-

SinA

B.。為ΛBC的重心OOA+08+0C=O

C.。為XBC的垂心。OA?OB=OB?OC=OC?OA

D.。為ABC的內心OaOA+ZJO3+COC=0

【答案】BCD

【分析】由三角形四心的定義，利用正弦定理，向量共線定理和平面幾何的知識，即可得出

結果.

【詳解】A.當O為三角形的外心，由正弦定理可得：網=阿=IOq=W于故A錯誤;

B.當。為三角形的重心，。為中線的交點，延長AO交BC于點M,可得∣A0∣=2∣0M∣,所以

IIU(UUuUrIllULILlUULΠLllULlUUI

AO=2OM=OB+OC...OA^-OB+OC=O.

反之，取BC中點M,若OA+O5+OC=0，則武1+2圜=3，則可得A。,M三點共線且

H=2∣0M∣,即A為三角形的重心.故B正確；

Uiuumιuu?UiniUlruiii?uuπuιιιιιιuuu?Uun

C.當。為三角形的垂心，QAIBC=QAgβC=OnOAg(OC-OB)=OnOAgOC=OAgOB,同理可

證OSgOC=OAgOβ,即OA-OB=OB-OC=OC-OA，反之也成立，故C正確；

D.當。為三角形的內心，O為三角形的角平分線，則3=用A=圈，如圖過A作CF的

平行線交8E的延長線于點M過A作8E的平行線交C尸于點M,則四邊形AMoN為平行四

邊形

7.已知ΔA8C所在的平面上的動點〃滿足4P=∣AB∣AC+∣AC∣AB,則直線AP一定經過

ΔABC的()

A.重心B.外心C.內心D.垂心

【解析】解：AP=∣Aβ∣AC+∣AC∣AB

.?.AP=IABllAC|(」一AC+」一A8),

IAClIABl

.?.根據(jù)平行四邊形法則知」一AC+'AB表示的向量在三角形角A的平分線上，

IACl?AB?

而向量A尸與」一AC+------48共線，

IACl∣AB∣

P點的軌跡過MBC的內心，

8.(1)已知O是平面上的一定點，A,B,C是平面上不共線的三個動點，若動點P滿足

OP=OA+λ(AB+AC),Λ∈(0,^o),則點P的軌跡一定通過AAfiC的重心(填“內心”“外

心”“重心，，或“垂心，，).

(2)己知O是平面上的一定點，A,B,C是平面上不共線的三個動點，若動點P滿足

AliAC

OP=OA+λ(------+-------),2∈(0,-κ>o),則點P的軌跡一定通過ΔABC的.(填“內心”“外

IABl∣AC∣——

心，，“重心”或“垂心，，)

【解析】解：(1)由已知，AP=λ(AB+AC),

根據(jù)平行四邊形法則，設ΔA5C中BC邊的中點為。，知A3+AC=2AZ),

.?.AP=2λAD,

：.AP//AD,則A,P,。三點共線，

，點P的軌跡必過MBC的重心；

(2)由已知，AP=ZI(&+士)，而且表示與AB共線的單位向量，維表示與AC

∣ΛB∣∣AC∣?AB??AC?

共線的單位向量，

.?.AP在44C的角平分線上，

.?.點P的軌跡一定通過AABC的內心.

題型二：奔馳定理

【例1】(多選題)“奔馳定理''是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論，因為這個定理對應的圖

形與"奔馳''轎車(MerCedeSbeuZ)的∕ogo很相似，故形象地稱其為"奔馳定理奔馳定理：已

知。是ABC內的一點，BOC、?AOC.Ao3的面積分別為果、Sβ,Sc,貝Ij

S晨。4+S/O3+Sc-OC=0.若O是銳角ABC內的一點，ZBAC,AABC,N4CB是,AfiC的

三個內角，且點。滿足Q4?OB=O3?OC=OC?OA，則()

A.。為一ABC的垂心

B.NAoB=兀-NACB

C.Iod:∣O8∣:∣(9C∣=sinNBAC:sinAABC:sinAACB

D.tanABACOA+tanNABC?08+tanZACBOC=0

【答案】ABD

【解析】

首先可根據(jù)。4?θE=θE?θC得出OEd.C4，用相同的方式得出。4_L而、OC1AB>即可

得出A正確，然后作輔助線，根據(jù)？54090-?ABC>2ABO90-?BAC即可得出B正

∩ACRDA

確，再然后通過正弦定理得出一.:-，即w=m用相同的方式代出

sin↑1ABOs?nBAOOBcosDABC

段=里頭，即可得出C錯誤，最后結合解三角形面積公式以及B項得出L、SB、Sc,

OCCOSDAC8

sinDBAC?SinD45CmanSinDAC3八〃.

XQ

根據(jù)“奔馳定理”得出IoRA+∣0目照B+CdOC=Ot結合C項即可得出D

正確.

【詳解】

A項：OAOB=OBOC即OAOB-OBoC=0,

08?(θA-OC)=0,05.C4=o，OBlCA^

同理可得OAd.C8,OCLAB,

故。為一ABC的垂心，A正確；

B：如圖，延長AO交BC于點。，延長BO交AC于點E,延長8交AB于點產,

因為OA_LC3，所以NAZ）B=90"，?BAO90-?ABC,

因為OB_LeA，所以/8E4=90，?ABO90-?BAC，

貝IJZAOB=萬一ZABo-Na40=汀一（90-ZBAC）-（90-ZABC）

=NBAC+NABC=Ti-NACB,B正確;

∩ΛOB

C項:在SOB中,由正弦定理易知而病

sinBAO

因為？BAO90-?ABC,?ABO90-?BAC.

OA_OB

所.以sin（90-?BACj-Sin（90?ABC）,

OAOBOACOSDBAC

即hπ——F—=--------，—=---------

COS他ACcosABCOBCOSDABC

同理可得等COSDABC

cosDACB

故∣0A∣:∣OB∣:∣C>C∣=cosABAC:cosZABC:cosZACB,C錯誤;

D項：NAoB=乃一NACB,同理可得NAoC="-ZABC,NBOC=乃一NBAC,

則SA=J靶BHOC悒n80C=g?IOq靶ClSin(π-?BAc)

=；婀BHOq縫n?BAC?∣OA∣7∣OB∣φ9C∣SinDBAC

囪，

同理可得3挪4|網舸I節(jié),SL抑硝。股ClW

因為SA√M+S8?O8+SC?OC=0,

SinDBAC_.si∏DABCSinDACB

—；---；—第B+―；---；—OC=O

所以將臬、SB、SC代入,可得-η~LXOA+

04OBOC

因為?∣OB∣:Ioq=cosABAC:cosZABC:cosZACB,

SinNBAC.SinNABCSinNAC3

=tanZBAC:tanZABC:tanZ.ACB

助以網,網∣oc∣

故tanNBAC?OA+tanZABC?OB+tanN4CB?OC=6成立，D正確，

【例2】設。為:ASC所在平面內一點，滿足OA+2OB+2OC=0，貝∣J.ABC的面積與BOC

的面積的比值為（）

812

A.6B.-C.—D.5

37

【答案】D

【分析】延長。8到。，使。8=8。，延長OC到E,使OC=C￡,連接AD,DE,AE,則由

已知條件可得。為aABC的重心，由重心的性質可得S.A”=SME=S00E=S,再結合中點可

求出SA（W,SA°C,SBoC的面積，進而可求得答案

【詳解】解：延長08到。，使OB=BD,延長OC到E，使OC=CE,連接Aaz）E,AE.

因為OA+2OB+2OC=0，所以。A+。。+OE=0，

所以。為VAr）E的重心，

所以設SAOO=S"OE=SDOE=S，則SA（W=SAOC='S，Sb0c=-S.

所以S.皿=；s+gs+；s=；s.

ST5

所以#=f-=5

3BOC-S

DE

【例3】已知。為..ABC所在平面內的一點，且滿足OA+OB=CO,則AOBC的面積與ABC

的面積的比值為()

A.-B.?C.-D.-

3234

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，可得。為ΔABC內部一點，取BC中點。，連接并延長OD至E,使

DE=OD于是四邊形BoCE是平行四邊形，由條件和共線向量定理，即可得到AD為中線,

同理延長8。交AC于F,則尸也為中點，即可得到。是重心.

【詳解】解：由OA+O8=CO得Q4+OB+OC=0,故。在△內部，

如圖，取BC中點。，連接。。并延長至E,使得OE=OD,

則四邊形BOCE為平行四邊形.

則OB+OC=OE,又因為OB+OC=4O,

所以A、。、E三點共線且IAOl=IOEI=2∣OZ)∣,

即。為ΔA3C的重心.

【例4】生于瑞士的數(shù)學巨星歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學》一書中有這樣一個定

理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直線上這就是著名的歐拉線定理，在°ABC中，

0,4,G分別是外心、垂心和重心，。為BC邊的中點，下列四個結論：(1)GH=2OGi(2)

GA+G8+GC=0;(3)AH=2OD,(4)SMG=SBCC=S如。正確的個數(shù)為

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，結合圖形，利用歐拉線定理和三角形相似得出選項(1)(3)

正確；根據(jù)三角形的重心的性質得出選項(2)正確；求出15&(^；=54%0=5&06=155(?，

進而判斷選項(4)正確.

【詳解】A3C中，0,4,G分別是外心、垂心和重心，畫出圖形，如圖所示；

對于(1)(3)：根據(jù)歐拉線定理，得AH〃O￡>,

所以AHGSDOG,所以縹=照=笑=2,

(JL)DCJ(JCJ

即〃G=2OG,AH=IOD,即選項(1)(3)正確;

對于(2)：根據(jù)三角形的重心性質得&4=-2GO，

V.2GD=GB+GC?所以GA+G8+GC=0,

即選項(2)正確；

對于(4)：過點G作GEJ_BC,垂足為E,

,GEDG1

則π一=——

ANDA3

所以SABCC=;XBCXGE=gxBCxgxABc，

同理S&AGC=SAAGB=§^?ABC,即選項(4)正確.

【例5】已知P,。為；,ABC中不同的兩點，若3PA+2PB+PC=0,QA+QB+QC=O,則

SAaAB：SAQyj為()

A.1:2B.2:1C.2:3D.3:2

【答案】A

【分析】設/W,AC的中點分別為M,N,由3PA+2PB+PC=0可得點尸在MN上，且

即可得到S=∣SABC，再根據(jù)重心的性質得到SS8=(s,即可得解.

PM:PN=T:2,weabc

o3

【詳解】解：因為3PA+2尸B+PC=2(PA+PB)+A4+PC=0,

如圖所示，設AB，AC的中點分別為M,N,

因為2(∕?+PB)=-(PA+PC),.?.點尸在MN上，且尸M:PN=I:2,

.?.P到邊AB的距離與C到邊AB的距離比值為：=可得Swfl=Js

3266

由QA+Q8+QC=O可得。是三角形4BC的重心，因此S；SAZj,，

所以SpAS：S2AB=萬，

故選：A.

【題型專練】

1.（多選題）（2022?全國?高三專題練習）奔馳定理：已知。是,ΛBC內的一點，BoC,AAOC,

AOB的面積分別為1，SB,SC,則SA?Q4+SB?O5+SC?OC=0.“奔馳定理”是平面向量中

一個非常優(yōu)美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳"轎車（Mercedesbenz）的/ogo很相

似，故形象地稱其為“奔馳定理”.若。、P是銳角ABC內的點，A、B、C是，ABC的三個

內角，且滿足PA+P8+PC=；CA,OAoB=OBoC=OCOA，則()

B.ZA+ZBOC=π

C.：|°@：|℃|=cosA:COSB:cosC

D.tanA?OA+tanB-OB÷tanC?OC=0

【答案】ABCD

【解析】

I24

PA+PB+PC=-CA變形后及視為PB=-§PA-§PC,再由奔馳定理得密向量PB,PA,PC的

關系，利用平面向量基本定理判斷A,利用數(shù)量積的運算，變形后證明。是dΛBC的重心，

由平面幾何知識判斷B,利用數(shù)量積的定義表示已知數(shù)量積的等式，結合選項B的結論可證

明C,求出aA08,ABOC,aCOA的面積，利用選項B的結論轉化，再利用選項C的結論可

得面積比，然后結合奔馳定理可判斷D.

【詳解】

1124

因為PA+PB+尸C=-CA,所以PA+PB+PC=-(PA-PC),即一PA+P8+—PC=0,所以

3333

PB=--PA--PC,

33

又由奔馳定理SWBCPA+S&PCAPB+SΔPABPC=O得P8=-書崢PA-乎皿PC,

,4PCAJZkPCA

因為PA,PC不共線，所以一^￡=-；-2■=一：,

,△PCA3'WCA'

所以S^PAB-SAPBC?S△尸CA=4：2:3,A正確；

延長AO,80,C。分別與對邊交于點2E,F,如圖，

由040B=O8?0C得08（。A-OC）=OBCA=O,所以OBj.AC,同理OC_LAB,OA_LBC,

所以。是，ABe的垂心，

所以四邊形AE。尸中N84C+/EOF=7，NEoF=NBOC,所以NA+∕BOC=乃，BiE確；

由OA.08=OB?OC=OC?OA得畫囪COSZAOB=∣（9B∣∣OC∣cosZBOC=∣OC∣∣OA∣cosZAOC,

所以IoAl:∣OB∣:∣OC∣=cosZBOC:cosΛAOC:cosZAOB,

由選項B得COSABOC=-cosA,cosZAOC=-cosB,cosZAOB=-cosC,

所以IoAI:∣0B∣:10C∣=cosA:cosB:cosC,C正確;

由上討論知，

SAOBC=即OaSinZBOC=JIo訓OqSinA,

5ΔOΛC=TOAlloqSinZAOC=JoAllOqSinB

%c=Jθ4∣∣O8kinNAOB=g∣OA∣∣O8kinNC,

_sinAsinBsinC

所以△。小-%°A8=扃：畫：西'

又由選項c：畫:網：|Oq=cosA:cosB:cosC,

,口CCCsinAsinBsinC.?C

δobcδoacAO4e=^4：^B：^C=tanana,

由奔馳定理：S4?QA+StfOB+Sc?0C=0WtanA?0A+tanB?0B+tanC?0C=0>D正確.

2.己知.ABC所在平面內的一點尸滿足PA+2P8+PC=0,則S△.：S△/>〃■：S△-sc=()

A.1：2：3B.1：2：1C.2：1：ID.1：I：2

【答案】B

【解析】延長所至。，可得出點P是ZXAOC的重心，再根據(jù)重心的性質可得出結論。

【詳解】延長PB至。，使得PZ)=2尸8,于是有PA+PZ)+PC=O,即點尸是ZkAOC的重心，

1=：

依據(jù)用心的性質，有S4PAD=S&PAC=Sz?w>c.由B是PD的11點，得SQPMi'S"Ac?^^PBC12:1.

3.己知。是,ABC內的一點，若BOC,∕LOC,AOB的面積分別記為S∣,S?,S3,則

S「04+S2?OB+S3?OC=0.這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車的log。很相似，故形象地稱其

為“奔馳定理如圖，已知。是ABC的垂心，且OA+2OB+3OC=0,則

UmNBAC:tanZABC:tanZACB-()

A

O

BC

A.1:2:3B.1:2:4C.2:3:4D.2:3:6

【答案】A

【解析】

延長CO,BO,AO分別交邊ASAC,BC于點P,M,M利用同底的兩個三角形面積比推

得tanZBAC:tanZABC:tanNACB=S1:S2:S3即可求解作答.

【詳解】

。是ABC的垂心，延長C0,BO,AO分別交邊AB,AC,BC于點P,M,N,如圖，

則CP1AB9BMYAC9ANIBC1ABOP=ZBAC,ZAOP=ZABC,

S?BPOPtan∕B0PtanNBAC5,tanZBAC

因此，-AP-OPlanZAOP~tanZABC'同理衛(wèi)-tanNACB'

于是得tanZBAC:tanZABC:tanZACB=Sl:S2:S3,

12

又OA+2O8+3OC=0,即OC=-IOA-由“奔馳定理”有SIQ+S2?O8+S3?OC=0,

則0C=4?0A—今?°8,而OA與。8不共線，有U，?-=t'即，§:邑=1:2:3,

???????????

所以tanNBAC:tanZABC:tanZACB=1:2:3.

4.（多選題）已知一ΛBC的重心為G,過G點的直線與邊AS,AC的交點分別為M,N,

9

若AM=∕IM3,且一AMN與/BC的面積之比為77,則/1的可能取值為（）

【答案】BD

【分析】設AC=fAN,利用重心的性質，把AG用AM、4V表示，再由M，G,N三點共

線得關于幾，，的方程，再由三角形面積比得關于；I,，的另一方程，聯(lián)立即可求得實數(shù)；I的

值.

【詳解】解：如圖，AM=λMB=λ{AB—AM)>AM=------AB,KPAB=------AM,設

1+Λλ

AC=tAN，則AG=W(A8+AC)=-^―AM+gA∕V,

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