新教材人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)平面向量萬能建系法 同步講義

4、平面向量萬能建系法5種常見題型

【考點(diǎn)分析】

考點(diǎn)一：常見建立坐標(biāo)系方法

【題型目錄】

【題型目錄】

題型一：建坐標(biāo)系求向量值

題型二：三角形建坐標(biāo)系求向量最值問題

題型三：四邊形建坐標(biāo)系求向量最值問題

題型四：多邊形建坐標(biāo)系求向量最值問題

題型五：建坐標(biāo)系設(shè)三角函數(shù)求向量最值問題

【典型例題】

題型一：建坐標(biāo)系求向量值

【例1】如圖在ABC中，NABC=90。，F(xiàn)為AB中點(diǎn),CE=3,CB=8,AB=12,貝J∣E4?EB=

A.-15B.-13C.13D.14

【答案】C

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，得到各點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算法則求出M=IJ，-M

以=（-2，-弓），從而求出數(shù)量積.

【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

則A(-12,0),B(0,0),C(0,8),F(-6,0),

又CE=3,CB=8,AS=12,

則CF=-JCB2+BF2=ιo>

37

即CE—FC,BPFE=-FC,

1010

則BE=8F+FE=BF+y^FC=(-6,0)+?(6,8)=(-

77(5128、

EA=EF+FA=-CF+M=-(-6,-8)+(-6,0)=l-y,

5

928

則EB=一，---

55

【例2】已知正方形ABC。的邊長(zhǎng)為2,以8為邊作正三角形COE,使得AE位于直線CO

的兩側(cè)，則AKAZ的值為（）

A.6-2√3B.6-2√2C.6+2√2D.6+2√3

【答案】D

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.

【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以A8,A。為x,y軸非負(fù)半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖,

由正三角形CDE及正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2可知,

C(2,2),E(∣,2+√3),

所以λb?A?=(2,2)?(l,2+G)=6+2√L

【例3】如圖甲所示，古代中國(guó)的太極八卦圖是以同圓內(nèi)的圓心為界，畫出相等的兩個(gè)陰陽

魚.其平面圖形記為圖乙中的正八邊形ABcDE尸G”,其中OA=2,則以下結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.√2OB+OE+C>G=0

B.OAOD=-2?^

C.?AG+EH?=4

D.Ao在?！ǚ较蛏系耐队跋蛄繛?也OH

2

【答案】C

【分析】選擇合適的位置建立平面直角坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，逐項(xiàng)驗(yàn)證即可.

【詳解】由題意，分別以冊(cè)IF所在直線為x,y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示:

由ZAOB=ZBOC=ZCOD=ADOE=ZEOF=AFOG

=ZGOH=ZHOA=≈-=45

8

過A作AMHD=OM=AM

因?yàn)椤?=2,所以O(shè)M=AM=&，

所以A(-√2,-^^),8(0,-2),f(√2,√2),G(-√2,√2),D(2,0),77(-2,0)

對(duì)A選項(xiàng)：√∑08+OE+OG=五（0,-2）+（點(diǎn),√Σ）+（-￠,71）=（0,0）=0,

故A正確，

對(duì)B選項(xiàng)：OA?0O=（-√Σ）x2+卜應(yīng)）xO=-2√Σ,故B正確，

對(duì)C選項(xiàng)：AG=（0,26,EH=（-2-丘,-五）

所以AG+EH=（0,2√Σ）+（-2-立,-√Σ）=（-2-虛,虛）

所以∣AG+EH∣=J（-2-√Σ）2+（√Σ）2=J8+4√Σ,故C不正確，

對(duì)D選項(xiàng)：AO=（y∕2,正）,0H=（-2,0）

所以Ao在OH方向上的投影向量為：

-0,0H?ΘH=^YL0H=--OH,故D正確

IOH）42

【例4】《九章算術(shù)》中有一個(gè)“引葭赴岸”問題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引

葭赴岸，適與岸齊.問水深、葭長(zhǎng)各幾何？”其大意為現(xiàn)有水池1丈見方（即CE=I丈=10尺），

蘆葦生長(zhǎng)在水池的中央，長(zhǎng)出水面部分的長(zhǎng)度為1尺.將蘆葦向池岸牽引，牽引至恰巧與水

岸齊接的位置（如圖所示）.試問水深、蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度各是多少？若將蘆葦4區(qū)AC均視為線段，

在蘆葦移動(dòng)的過程中，設(shè)其長(zhǎng)度不變，則AC?OE=（）.

A.90平方尺B.92平方尺C.94平方尺D.98平方尺

【答案】C

【分析】設(shè)AB=X（尺），利用勾股定理可構(gòu)造方程求得AB,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立平面直

角坐標(biāo)系，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)AB=X（尺），則AC=X+1（尺），

AD=5（尺），/.52+X2=（X+1）2,解得：x=12.

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系（單位：尺），

則A(0,0),0(5,0),C(5,12),E(-5,12),.?.ΛC=(5,12),DE=(-10,12),

二.AC?DE=-50+144=94(平方尺).

【例5】己知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)P滿足AP=∣(AS+AC),則∣Pz)I=；

PBPD=----------

【答案】(1).√5(2).-1

【解析】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AO所在直線分別為8、V軸建立如下圖所示的平面直

角坐標(biāo)系，

則點(diǎn)4(0,0)、3(2,0)、C(2,2)、D(0,2),

AP=∣(AB+AC)=1(2,0)+1(2,2)=(2,1),

則點(diǎn)P(2,l),??.PD=(-2,1),PB=(0,T),

因此，∣P*J(_2,+12=GPBpr)=OX(—2)+lx(—1)=—1.

【題型專練】UlD

I.已知矩形ABCz)中，,q=4,k4=2,DM=3MC，BP=PC，則AM?AP=()

A.6B.10C.14D.38

【答案】C

【分析】以B為原點(diǎn)，BA,BC分別為X，V軸建立平面直角坐標(biāo)系，由條件得出點(diǎn)P,M的坐標(biāo),

進(jìn)而得出向量AP,AM的坐標(biāo)，從而得出向量的數(shù)量積.

【詳解】以8為原點(diǎn)，84BC分別為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系.

則A(0,4),r>(2,4),C(2,0)

由82=”，則尸(1，0)，由0加=3M€'，則加(2,1)

LlUilUUU

所以AP=(I,-4),AM=(2,-3)

UUUUUl

所以AM?AP=lx2+(T)x(-3)=14

2.(多選題)已知"C是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,D,E分別是AC,AB上的點(diǎn),且AE=E8,

AD=2DCBD與CE交于點(diǎn)、O,下列結(jié)論正確的是()

A.OC+EO=OB.ABCE=O

C.?OA+OB+OC+OD?=>J3D.ED在BC方向上的投影為看

【答案】BD

【分析】以E為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，用向量的線性運(yùn)算、

數(shù)量積、向量的模坐標(biāo)運(yùn)算以及數(shù)量積的幾何意義判斷各選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)?，ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，AE=EB,

所以E為AB的中點(diǎn)，且CE_ZA3,以E為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：

取皿的中點(diǎn)G,連接GE,易得GEi且GE="。=亦,

所以aC∕X>gZ?EGO,所以EO=CO,

對(duì)于A,OC+EO=EC≠Q(mào),故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由48_￡€^可得48??！?0，故B正確；

對(duì)于C,OA=T-亭，OB=1,一與,OC=［岑)，OD=-?,^,

所以O(shè)4+OB+OC+OO=-；，-*，

所以∣OA+O8+OC+C>4=g,故C錯(cuò)誤；

(?2出、

對(duì)十D,BC=1,>∕3j,ED=——,——,

133,

l+2

所以ED在BC方向上的投影為叩,平=3—=2,故D正確.

∣BC∣26

3.已知矩形ABa>,AB=3,AD=4.P為矩形ABCD所在平面內(nèi)一點(diǎn)，∕?=1,PC=2#.則

PB-PD=-

【答案】0

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求得點(diǎn)P坐標(biāo)滿足的關(guān)系，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，

即可求得結(jié)果.

則A(0,0),B(3,0),D(0,4),C(3,4),設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(x,y),

貝IJPB=(3—x,—y),PD=(—x,4—y),

因?yàn)镻A=I,PC=2√6,故可得χ2+y2=],(χ-3y+(y-4)2=24,

上述兩式相減可得：3x+4y=?.

則PB-PD=X2+y2=

4.如圖，四邊形ABC。是邊長(zhǎng)為8的正方形，若。E=Loc,且尸為BC的中點(diǎn)，則￡4.EF

4

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，表示出來￡4，EF的坐標(biāo)，然后利用坐標(biāo)求數(shù)量積即可.

【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以48,A。所在的直線分別為X軸，＞軸建立如圖所示的平面直

角坐標(biāo)系，

則A(0,0),￡(2,8),F(8,4),

則EA=(-2,-8),EF=(6,T),所以E4?EF=-2x6+(-8)x(T)=20.

5.已知向量α,b在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若網(wǎng)格中每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1,則=

【答案】-6

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可

【詳解】由圖可得α=(2,l),b=(-3,0),故α?∕,=-6

題型二：三角形建坐標(biāo)系求向量最值問題

【例1】已知在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中，〃、N分別為邊BC、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且CN=BM,

則AM?MN的最大值為()

A.--B.--C.-D.-

3334

【答案】B

【分析】建立直角坐標(biāo)系由數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算公式可得答案.

【詳解】如圖建系,則B(-l,0)、C(LO)、Λ(0,√3),

則BC=(2,0),CA=(-1,√3),設(shè)8M=f8C(0≤Z≤l),

則CN=tC4(0≤f≤l),則M⑵-1,0),N(l-t,y∕3t),

：.AM=(2/-1,-√3),MN=Q-3t,瓜),

：.AM-MN=(2r-l)×(2-3r)+(-√3)X(√3r)=-f>t2+4r-2=-e(r-?)2--,

33

14

當(dāng)，時(shí)AM?MM取最大值-§，

【例2】已知4Q4B是邊長(zhǎng)為1的正三角形，若點(diǎn)P滿足OP=(2-√)0i+rQ8Q∈R),

則網(wǎng)的最小值為

A.y∣3B.1C.—D.—

24

【答案】C

【解析】以。為原點(diǎn)，OB所在直線為X軸，建立坐標(biāo)系，

?.?△Q48為邊長(zhǎng)為1的正三角形，.?.A?,?,β(l,O),

0P=(2-t)0A+t0B'1+3?旦

fl?6

AP=OP-OA-zIH-,----------------L

22,22

【例3】在RdABC中，ZC=90o,CB=2,CA=4,P在邊AC的中線BC上，貝IJCPBP的

最小值為()

D.-1

【答案】A

【解析】根據(jù)題意，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，寫出函而的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)

計(jì)算數(shù)量積，結(jié)合二次函數(shù)的最小值，即可求得結(jié)果.

【詳解】依題意，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AC,8C所在的直線為X,y軸，

建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

-1O(C)1234X

則仇0,2),DQ,0),所以直線8。的方程為y=-χ+2,

因?yàn)辄c(diǎn)尸在邊AC的中線8。上，所以可設(shè)P(f,2-∕)(0<∕<2),

所以CP=(f，2-t),BP=Q，-t),

所以CP?B.=/2_?2_f)=2f2_2f=2(，_g)—?,

當(dāng)f=；時(shí)，CpBP取得最小值一；，

【例4】已知，ABC是邊長(zhǎng)為2"(α>0)的等邊三角形,P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則PA?(P8+PC)

的最小值是

A.-IcTB.aC.—cι~D.—a~

23

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，建立平面直角坐標(biāo)系，表示出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而利用向量數(shù)量積的坐

標(biāo)運(yùn)算求得PA?(PB+PC);利用平方為非負(fù)數(shù)的特性求得最小值.

【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系

則PA=(-x,?j3a-y^,PB=(-a-x,-y'),PC={a-x,-y')

所以P4?(PB+PC)

=(-x,√3f7->J?[(-<7-x,-y)+(α-x,-y)]

=(-Λ,6ι-y)?(-2x,-2y)

=2x2+2y2-2y∕3ay

?,Jy∣3Y32

=2x÷2V------a——a

22

所以最小值為-∣∕

【例5】在直角△ABC中，/86=90。,04=。8=1,尸為48邊上的點(diǎn)且4「=/143,若

CPAB≥PA-PB1則2的取值范圍是

A.[?1]B.r?,?^lc.f2z√lZ12∕21D.l^?,l]

222222

【答案】D

【詳解】分析：把三角形放入直角坐標(biāo)系中，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用已知條件即可求出λ

的取值范圍.

詳解：Y直角AABC中,ZBCA=90o,CA=CB=L

???以C為坐標(biāo)原點(diǎn)CA所在直線為X軸，CB所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，如圖：

C(O,O),A(1,O),B(O,1),AB=(-1,1),

,?'AP=入AB'

Λλ∈[O,1]

AP=Λ(-1,1),CP=(1-ΛΛ),PB=(A-IA-A).

CP?AB≥PA*PB,

λ-l÷λ≥λ~-λ+λ2-λ.

2λ2-4λ+l<0,

解得：”也≤∕≤2Σ

22

Vλ∈[0,IJ

Λλ∈[^z2∕l,I]

2

[例6]已知AB_LAC,網(wǎng)=;,AC?^t,若點(diǎn)P是AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且

AB4AC

λn貝IJPB-PC的最大值等于()

M+M,

A.13B.15C.19D.21

【答案】A

【解析】以題意，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),以A6所在的直線為R軸，AC所在的直線為y軸

建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，所以點(diǎn)P(l,4),B(l,0),C(OJ),所以

111/1

PB?PC=(y-l,^)(-l√-4)=(--l)×(-l)-4×α-4)=17-^-4r≤17-2J-×4r=

13(當(dāng)且僅當(dāng)』=4r,即/=■!■時(shí)取等號(hào))，所以PbPC的最大值為13.故選A.

t2

【題型專練】

1.已知ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABe內(nèi)一點(diǎn)，則PA?(PB+PC)的最小值是

()

34

A.—2B.—C.—D.—1

23

【答案】B

【分析】根據(jù)條件建立坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法結(jié)合向量數(shù)量積的公式進(jìn)行計(jì)算

即可.

【詳解】建立如圖所示的坐標(biāo)系，以8C中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，

貝IJA(0,6),B(-1,O),C(l,0),

設(shè)尸(x,y),則PA=(-x,遂-y),PB=(-1-x,-γ),PC=(I-X,-y),

貝IJPA.(PB+PC)=2X2-2√3y+2y2=2[x2+(y-

2.在，ABC中，滿足ABJ.AC，M是BC的中點(diǎn)，若。是線段AM上任意一點(diǎn)，且

∣AB∣=∣ΛC∣=√2,則O4?(OB+OC)的最小值為()

A.0B.-迫C.--D.2

22

【答案】C

【分析】由已知可得4ABe為等腰直角三角形，建立直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法可得向量的數(shù)

量積，進(jìn)而可得最值.

【詳解】由A8J.AC，∣A8∣=∣AC∣=√Σ,

.??ΛBC為等腰直角三角形，

以A為原點(diǎn)，AB,AC為X軸和V軸建立直角坐標(biāo)系,

如圖所示，

ΛA(0,0),B(√2,θ),C(θ,√2),

M是BC的中點(diǎn),

。是線段AM上任意一點(diǎn)，

可設(shè)O(X,x),0≤x≤~-,

:.OB={^J2-x,-x^,OC=卜x,-x+7∑),OA-{-x,-x),

.*.OB+OC—(—2x,—2x),

:.OA^OB+0C)=(-x)(√2-2x)+2x)=4x2-2>∕2x=4x---L

?Z

故當(dāng)x=q時(shí)，QA?(OB+OC)的最小值為

3.在RtAgC中/。=90。,。5=2,。4=4,尸在邊4(7的中線30上，則叱加的值可以為()

A.——B.0C.5D.-1

2

【答案】AB

【分析】根據(jù)題意，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，寫出CABP的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)

計(jì)算數(shù)量積，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可求得CP?BP的最值得選項(xiàng).

【詳解】解：依題意，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AC,8C所在的直線為X,y軸，

建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則B(0,2),DQ,0),所以直線8。的方程為y=-χ+2,

因?yàn)辄c(diǎn)尸在邊AC的中線Be上，所以可設(shè)P(r,2-r)(0<∕<2),

所以CP=(，，2-t),BP=(r,-r),

所以CPBP=產(chǎn)—“2—f)=2f2-2f=2,-g]—?,

當(dāng)/=T時(shí)，CPBP取得最小值一T，當(dāng)f=2時(shí)，CPBP取得最大值4.

4.在，ΛBC中，AB=2,AC=3√2.ZBAC=135o,M是ΛBC所在平面上的動(dòng)點(diǎn)，則

w=MA-MB+MBMC+MCMA的最小值為?

OQ

【答案】-y

【解析】以A為原點(diǎn)，AC所在直線為X軸，建系，如圖所示，根據(jù)題意，可得A、B、C坐

標(biāo)，設(shè)”(x,y),可得M4.用B,MC的坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積公式，可得W的表達(dá)式，即可求得答案.

【詳解】以A為原點(diǎn)，AC所在直線為X軸，建立坐標(biāo)系，如圖所示：

因?yàn)锳8=2,AC=3√2-NBAC=I35。，

所以A(0,0),β(-√2,√2),C(3√2,0),設(shè)M(x,y),

則MA=(-x,-y),MB=(-√Σ-X,√Σ->■),MC=(3√2-x,-y),

w=MAMB+MB-MC+MC-MA=x(^+x)+y(y->∕2)+

所以

(5/2^+X)(X-3Λ∕^^)+y(_y-Λ∕2*)÷x(x-3yf2y÷y~

28

=3X2-4√2x+3/-2√2y-6=3(x-+3(γ-

3

當(dāng)X=2呢,y=也^時(shí),W有最小值，且為-多，

333

5.如圖，在AABC中，已知AB=2,AC=4,A=60。.若。為BC邊上的任意一點(diǎn)，M為線

段AO的中點(diǎn)，則(M8+MCAAo的最大值是.

【答案】7

【分析】根據(jù)余弦定理求得ABIBC,以8為原點(diǎn)，BC所在直線為X軸，建立如圖所示的

平面直角坐標(biāo)系，求得點(diǎn)坐標(biāo)，向量坐標(biāo)，運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則計(jì)算

(MB+MC)AD,再利用：次函數(shù)的最值，求得答案.

【詳解】由余弦定理得Be?=AB?+AC2-2AC?ABcosA=4+16-2χ4χ2χL=12,

2

AC2=AB2+BC2,:.ABlBC,

所以以B為原點(diǎn)，BC所在直線為X軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則

3(0,0),C(2√3,0),Λ(0,2),O(2x,0),M(Λ,1),0≤x<√3,,

MB+MC=(2^-2x,-2),AD=(2x,-2),

(MB+ΛfC)?ΛD=2x(2√3-2x)+4=-4x2+4√3x+4=-4X-用+7,,

當(dāng)X=*時(shí)，(MB+MC)?AQ的最大值，最大值是7.

6.已知4B?4C=0,M是BC的中點(diǎn)

(1)若kq=2∣AC∣,求向量AB-AC與向量AB+AC的夾角的余弦值；

(2)若O是線段AM上的任意一點(diǎn)，且,耳=2,4=2,求OA?OB+OC?OA的最小值.

【答案】⑴]3;

【分析】(1)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出數(shù)據(jù)，寫出向量AB-AC與向量A8+AC的坐標(biāo)，代入

夾角公式，計(jì)算得答案；

(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)。的坐標(biāo)，寫出各個(gè)向量的坐標(biāo)，代入O4?O8+OC?OA計(jì)算得關(guān)于X的目標(biāo)函

數(shù)，結(jié)合X的取值范圍，求得最小值.

(1)

因?yàn)?B?AC=0,所以AB/4C,

以A為原點(diǎn)，AB所在直線為X軸，AC所在直線為V軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示.

令∣AC∣=",則C(0,α),B(24,0),所以A8-AC=(2α,-α),A8+AC=(%α),

設(shè)向量48-A(j與向量AB+A。的夾角為。，

(AB-4C)?(AB+AC)4/-"J

所以COSe=

∣AB-AC∣?∣AB+AC∣√5α?√5a5

(2)

因?yàn)閗q=2∣4C∣=2,所以C(0,1),B(2,0),M(Iq

設(shè)Of,xe[0,l].

所以，QA?OB+OCQ

=OA?(OB+OC)=2OAOM

當(dāng)且僅當(dāng)X=J時(shí)，OA?O8+OC?OA取得最小值

2o

題型三：四邊形建坐標(biāo)系求向量最值問題

【例1】如圖，在四邊形ABCD中，NB=60",AB=3,BC=6,且

.3

AD=λBC,ADAB=——，則實(shí)數(shù)/1的值為，若M,N是線段BC上的動(dòng)點(diǎn),

2

且IMNI=1,則DMDN的最小值為.

【解析】

AD=ΛBCADHBC,ZBAD=180-NB=120，

ABAD=ΛBCAB=λ?βc??網(wǎng)CoSI20

=Λ×6×3×-?>l=—9A=—?,

I2)2

解得a=!，

O

以點(diǎn)5為坐標(biāo)原點(diǎn)，JBC所在直線為X軸建立如下圖所示的平面宜角坐標(biāo)系x5y,

BC=G,.?.C(6,0),

?.[Aβ∣=3,NABC=60°A的坐標(biāo)為A

；又?.?AD=-BCMW,設(shè)M(X,0),則N(X+1,0)(其中0≤χ≤5),

6

(53⑸33⑻

DM=,DN

IX2——2,-----J---X——2,-----2---J

OM?ON=1—|)(x—+=x2-4x+y=(x-2)2+^

所以，當(dāng)X=2時(shí)，Z)M?ON取得最小值：■.

【例2】如圖，四邊形ABCD滿足：AB=I,AD=瓜BD=BC=2,ZC*.若點(diǎn)M為線段

8。上的動(dòng)點(diǎn)，則AMCM的最小值為()

【答案】B

【分析】由題設(shè)有A。IA8、AB//DC,以A為原點(diǎn)，AB為X軸，4。為)，軸構(gòu)建直角坐標(biāo)

系，則C(2,壬)，設(shè)M(x,y),利用向量數(shù)量枳的坐標(biāo)表示、結(jié)合：次函數(shù)的性質(zhì)求最小值.

JT

【詳解】由題意知：AB2+AD2=BD2有Af>1A8FLN4B。=],ABHDC,

以A為原點(diǎn)，A8為X軸，Ao為)，軸構(gòu)建直角坐標(biāo)系，

設(shè)點(diǎn)歷(?”)，且滿足y=JJ-JIr,點(diǎn)C(2,JJ),

/.AM-CM=x(x-2)+y(y-√3)=4x2-5x,其中O≤x≤l,

當(dāng)X=?時(shí)，A"?CM的最小值為一工，

o1o

【例3】已知點(diǎn)尸是邊長(zhǎng)為2的菱形ABC。內(nèi)的一點(diǎn)(包含邊界)，且/840=120。，AP?AB的

取值范圍是()

A.[—2,4]B.(—2,4)C.[—2,2]D.(—2,2)

【答案】A

【解析】如圖建系，可求得A,B,CO的坐標(biāo)，設(shè)P(x,y),則可得APMB的表達(dá)式，根據(jù)X的

范圍，即可求得答案.

【詳解】如圖,建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0),B(2Q),C(l,6),5-1,6).

設(shè)Pay),!)l∣J-l≤x≤2,故AP?48=(x,y)?(2,0)=2x∈[-2,4],

即AP?A8的取值范圍是-2,4].

【例4】如圖所示，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E從。點(diǎn)出發(fā)，按字母順序D→A→B→C

沿線段D4,AB,BC運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，在此過程中麗.而的最大值是()

口

BC

A.0B.?C.1D.-1

【答案】A

【分析】以8為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，表示出C、。、E點(diǎn)坐標(biāo)，然后分類討論E

在線段D4,AB,8C時(shí)，并結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)公式求z?.(?的最大值即可求解.

【詳解】以8C、8A所在直線為X軸、y軸，建立坐標(biāo)系如圖：

可得4(0,1),B(0,0),C(l,0),0(1,1),

①當(dāng)E在D4上，設(shè)E(x∣,l),其中OWXl≤1,

此時(shí)DE=(Xl-1,0)，CD=(0,1)>

故Z?C?=O:

②當(dāng)E在AB上，設(shè)E(O,y),O≤yl≤l,

此時(shí)Z?=(Ty-I)'Cb=(0,1)

DECD=yi-i<O

此時(shí)DE-CD最大值為。；

③當(dāng)E在BC上，設(shè)E(∕,0),其中O≤%W1,

Z?=(x2-1,-1),Cb=(0,1)，

此時(shí)z??ch>=τ,

綜上所述，z?.c?的最大值是0?

【例5】如下圖，在平面四邊形ABC力中，ABlBC,ADlCD,乙BCD=%,

CB=CD=26.若點(diǎn)M為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，則AM.QM的最小值為()

【答案】B

【分析】以8點(diǎn)為原點(diǎn)，以BA,BC所在的直線為X和y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)M(OM),

得至UAM?OW=(α-*)2+qi,即可求解.

【詳解】以8點(diǎn)為原點(diǎn)，以54所在的直線為X軸，以BC所在的直線為V軸，建立平面直角

坐標(biāo)系，如圖所示，過點(diǎn)。作。P,X軸，過點(diǎn)。作。QLy軸，

因?yàn)锳B1BC,AD1CD,NBCD=y?CB=CD=2√3.則ZBAD=?,

所以8(0,0),A(2,0),C((),2√J),0(3,Λ^),

設(shè)"(0,α),則AM=(-2,α),OM=(-3,α-G),

所以AMgM=6+<≈(Ω-√3)=(Λ--)2+—>—.

244

Oi

所以AM??DM的最小值為

4

V

【題型專練】

1.正方形AB8邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)尸在線段AC上運(yùn)動(dòng)，則4P?(PB+P0的取值范圍為

【答案】一*

_4_

ui?/Uirιιuκ\

【分析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，求出各點(diǎn)及AP(PB+尸。)的

坐標(biāo)，代入所求表達(dá)式，化簡(jiǎn)后可求得取值范圍.

【詳解】以AB,AC為X,＞軸建立直角坐標(biāo)系則，

A(0,0),β(l,0),C(l,l),0(0,1),

設(shè)P(x,力(0≤x41),則

AP=(x9x),PB=(1-x,-x),PD=(-x,l-?),

,AP?(PB+PD)=2x(1-2x)

=-4(X-+^-(O≤x≤l)?

???當(dāng)X=L時(shí)，函數(shù)有最大值為!，

44

當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)有最小值為-2,

.?.AP?(P8+P0的取值范圍是-2,；.

2.已知直角梯形ABC。中，AD/∕BC,Z4ZX7=90o,AD=2,BC=I,尸是腰Z5C上的動(dòng)

點(diǎn)，則卜A+3網(wǎng)的最小值為.

【答案】5

【分析】以D4,OC為χ,y軸的正方向建立直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)表示求模長(zhǎng)的最小值.

由題：以。AoC為χ,y軸的正方向建立直角坐標(biāo)系，如圖所示:

設(shè)C(0,α),P(0,6),3(lM),A(2,0),0≤h≤α.

則Λ4+3PB=(2,-b)+3(l,α-4=(5,3α-4))

?PA+3PB?=125+(3”4力＞5,當(dāng)b=與取得最小值.

3.如圖，已知正方形ABC。的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，求:

⑴OE?CB的值；

⑵。E?OC的最大值.

【答案】(1)1,(2)1

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解.

(1)

解：建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系：

貝Ij0(0,0),C(0,1),B(Ll),i5E(l,x),(0<Λ<l),

所以DE=(I㈤,CB=(I,O),

所以DE?CB=lxl+xxθ=l;

(2)

因?yàn)镈E=(I.x),OC=(0,1),

所以DE。=1x0+XXl=x,

因?yàn)镺≤x≤l,

所以Z)E?Z)C的最大值是1.

4.如圖，瓦廣分別是矩形ABCO的邊CO和BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AB=2,AD=1.

（1）若E,F都是中點(diǎn)，求EF?AC.

（2）若E,F都是中點(diǎn)，N是線段EF上的任意一點(diǎn)，求4V?NB的最大值.

（3）若ZE4F=45。，求AbAF的最小值.

31

【答案】（1）-；（2）-；（3）4√2-4.

【分析】（1）構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，寫出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求EF?AC.

（2）設(shè)N（X,y）,由EN=/IE戶求N關(guān)于兀的坐標(biāo)，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及二次函數(shù)

的性質(zhì)求AN?A店的最大值.

/?

（3）設(shè)/BAP=。，則04￡=45。一。，可得AF?AE=--------------------.再應(yīng)用輔助角公

COSeCOS（45°—8）

式、三角恒等變換及余弦函數(shù)的性質(zhì)求4E?AF的最小值.

y

(1)以點(diǎn)4為原點(diǎn)建系，得E(1,1),F(2,g),C(2,l),E尸=(1,一；).AC=(2,1),

3

???EFAC=，

2

(2)由(1)知，?N(x,y),EN=AEF=Λ(l,-?)=(λ,-λ)=(x-l,y-?),

：.N(?+λ,?--λ),Q<λ<?,AN=(2+1,-9+1),NB=(-∕l+l,g∕l-l),

21

',∣Λ=-e[OJ]?,AMNB最大值不

(3)設(shè)ZR4F=e,則∠2ME=45t5-6,

2]√2

A/?AE=|A川AqCOS45。=

cosθcos(45。一θ)2

____________y/2____________________42________

cosθ'(~CoSθ+qsin。)(cos2夕+sin夕cosθ)

=_______?_______=_________?________>___-__=4?χ∕2-4

1+cos2θsin20J?ι—J?1,

---+^―在sin(26+45。)+L—+?

222222

當(dāng)且僅當(dāng)28+45。=90。時(shí)6=22.5。，等號(hào)成立，故等.求最小值是4√Σ-4?

5.如圖，在梯形ABeD中，ABHCD,AB=5,4)=4,8=2,ZZMB=60°,

（1）AD-DC=.

（2）P是48上的動(dòng)點(diǎn)，則尸C?P￡）的最小值為

【答案】411

【分析】(1)根據(jù)圖形，應(yīng)用數(shù)量積的定義求ADDd即可.

(2)令PA=/IBA且0W2W1,將尸C?轉(zhuǎn)化為(PA+AO+OC)?(PA+AO),結(jié)合數(shù)量積的

運(yùn)算律得到關(guān)于/1的函數(shù)，即可求最小值.

【詳解】(1)由題設(shè)知：AD?OC=|ADU。ClCoS60。=4X2X'=4.

2

(2)若「A=BBAILoW2Wl,

PD=PA+ADPC=PD+DC=PA+AD+DC

?-22

??PCPD=(PA+AD+DC)?(PA+AD)=PA+ADPA+DC?PA+PA?AD+AD+DC?AD'

PCPD=25Λ2-30Λ+20-25(Λ-∣)2+ll,

故當(dāng)2=?∣時(shí)，Pe.尸。的最小值為11.

題型四：多邊形建坐標(biāo)系求向量最值問題

【例1】如圖，正八邊形ABeDEFGH中,若AE=ZlAC+〃AF(%〃eR),則4+〃的值為

【答案】√2

【分析】以BF所在的直線分別為"V軸建立平面直角坐標(biāo)系，正八邊形的中心。即為

坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)4C交丁軸與Af點(diǎn)，由正八邊形的性質(zhì)可得ACLy軸，?4OM、5/OC為等腰直

角三角形，設(shè)0。=2,求出尸、A、C、E點(diǎn)坐標(biāo)及AE、A尸、AC坐標(biāo)，根據(jù)

AE=∕AC+∕MF的坐標(biāo)運(yùn)算可得答案.

標(biāo)原點(diǎn),設(shè)AC交y軸與M點(diǎn)，ZAoB=ACOB=NAoH=NEoD=45

ZABC=180-45=135，所以ZR4C=22.5,

ZH4C=ZHAB-ZCAB=135-22.5=112.5，所以ZHAC+ZAHO=180,

即ACj.y軸，AQM、MoC為等腰直角三角形，

設(shè)Oz)=2,OD=OF=OE=OA=OC=2,F(0,2),

所以AM=QΛ√=MC=應(yīng)，所以《-五,-夜)，C(>∕Σ,-Λ∕Σ),C與E關(guān)于X軸對(duì)'稱,

所以E(√Σ,√Σ),

AE=(2√2,2√2),AF=(√2,2+√2),ΛC=(2√2,θ),

由4￡=24?+〃4/得(2&,20)=/1(2應(yīng),0)+“(虛,2+夜)，

2√2=2γ^Λ+√2χ/Λ=2-√2

BP-2√2=(2^),解得

A+χy=2√2-2

所以2+4=2√Σ-2+2-√Σ=Λ^^,

【例2】設(shè)點(diǎn)尸在單位圓的內(nèi)接正八邊形AA4的邊A4上，則尸Ai+e√++PA；的取

值范圍是.

【答案】112+2√2,16]

【分析】根據(jù)正八邊形的結(jié)構(gòu)特征，分別以圓心為原點(diǎn)，44所在直線為X軸，AA所在直

線為N軸建立平面直角坐標(biāo)系，即可求出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)尸(χ,y),再根據(jù)平面向量模的坐

標(biāo)計(jì)算公式即可得到PA；+PA；++PAs=8(X2+∕)+8,然后利用COS22.5≤∣OP∣≤1即可解

出.

【詳解】以圓心為原點(diǎn)，44所在直線為X軸，AiA所在直線為y軸建立.平面直角坐標(biāo)系,

如圖所示:

(變電]

,A(0,-1),4,A(TO),

I2，2J7

+PAs=8(X2+∕)+8,

因?yàn)?522.5￡。產(chǎn)區(qū)1,所以上號(hào)色≤∕+y2≤],故PA；+PA；++尸區(qū)的取值范圍是

[12+2√2,16].

【題型專練】

1.已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDE廠內(nèi)的一點(diǎn)，則AP乂8的取值范用是（）

A.(—2,6)B.(-6,2)

C.(-2,4)D.(Y,6)

【答案】A

【解析】

AB的模為2,根據(jù)正六邊形的特征,可以得到AP在AB方向」：的投影的取值范圍是（-1,3）,

結(jié)合向量數(shù)量積的定義式，可知AP?AB等于AB的模與AP在AB方向上的投影的乘積，

所以APAB的取值范圍是（一2,6），

題型五：建坐標(biāo)系設(shè)三角函數(shù)求向量最值問題

【例1】（多選題）如圖，直角ABC的斜邊8C長(zhǎng)為2,ZC=30°,且點(diǎn)瓦C分別在X軸

正半軸和y軸正半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)A在線段BC的右上方則（）

A.ICM+OCI有最大值也有最小值B.OA.OC有最大值無最小值

C.∣0A+8C∣有最小值無最大值D.OA?BC無最大值也無最小值

【答案】BD

【分析】設(shè)NOC8=e,則ZAfir=α+30,(0<0<90),所以3(2Sina,0),C(0,2COSa),

A(GSin(α+30),sin(α+30)),BC=(-2sine,2cosα).由∣0A+OC『化簡(jiǎn)為

5+4sin(2α+30)根據(jù)ɑ的范圍可判斷A；由。4。C化簡(jiǎn)為sin(2α+30)+g根據(jù)。的范圍可

判斷B；由∣QA+BC『化簡(jiǎn)為4+2√Jsin(20+6())根據(jù)α的范圍可判斷C；山OA?BC化筒為

l-4siι√α根據(jù)α的范圍可判斷D.

【詳解】由題意NBCA=30,∣8q=2,NA=90,所以IACI=G,∣A卻=1,設(shè)NoCB=a，

則NABO的補(bǔ)角即AB與X軸正半軸的夾角43x=α+30,(0<α<90),

所以A(GSin(α+30),sin(α+30)),8(2Sina,0),C(0,2CoSa),BC=(-2sina,2cosa),

所以04+OC=(?^sin(ɑ+30),sin(α+30)+2cosa),

∣OA+OC∣=(后sin(α+30))+(sin(α+30)+2cosa)

=4sin2(α+30)+4cos2ɑ÷4sin(α+30)cosα

=5+4sin(2a+30),

由于O<α<90，所以30<2α+30<210,

當(dāng)20+30=90得α=30時(shí)，sin(2α+30)取最大值為I,無最小值，

∣OA+OC『有最大值為4+5=9,無最小值，

故IOA+OCl有最大值3無最小值，即A錯(cuò)誤；

所以O(shè)A-OC=2cosasin(α+30)=sin(2α+30)+工，

2

由于O<α<90，所以30<2a+30<210，

當(dāng)2a+30=90得a=30時(shí):sin（2α+30）取最大值為1，無最小值,

113

sin(2α+3。)+大的最大值為1+;=7，無最小值，

222

故OAoC有最大值I無最小值，故B正確；

∣OA+BC∣=(bsin(α+30)-2sinα)+(sin(a+30)+2cosaj

=3sin2(α+30)+4sin?a-4Gsin(α+30)sinα+sin2(α+30)+4cos2α+4sin(α+30)cosa

=4sin2(a+30)÷4-4>∕3sin(a+30)sina+4sin(α+30)cosα

=4÷2>∕3sin(2α+60),

由于O<α<90，所以60<2α÷60<240，

當(dāng)2α+60=90得α=15°時(shí)，sin(2α+60)取最大值1,無最小值，

此時(shí)IoA+BC『有最大值4+2√L無最小值，

即IoA+BC∣有最大值1+百無最小值，故C錯(cuò)誤；

OABC=-2>∕3sinasin(a+30)+2COSaSin(α+30)

=-2Gsin/3sina+，cosa+2COSal且Sina+，COSa

I22)122)

=-3sin2a-y∕3s?nacosa+?∕3cosasina+cos2α=-3sin2cr+cos2a

=l-4sin2a，

由于O<α<90，所以O(shè)VSinaV1,

所以-3<1-441?0<1,