2023年江蘇省揚(yáng)州市中考數(shù)學(xué)真題 （解析版）

揚(yáng)州市2023年初中畢業(yè)、升學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題

說(shuō)明：

1.本試卷共6頁(yè)，包含選擇題（第1題~第8題，共8題）、非選擇題（第9題~第28題，共

20題）兩部分.本卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間為120分鐘.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡

一并交回.

2.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)的位置上，同時(shí)務(wù)必在試

卷的裝訂線內(nèi)將本人的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、畢業(yè)學(xué)校填寫(xiě)好，在試卷第一面的右下角寫(xiě)好座位

號(hào).

3.所有的試題都必須在專(zhuān)用的“答題卡”上作答，選擇題用2B鉛筆作答，非選擇題在指定位

置用0?5毫米的黑色筆作答.在試卷或草稿紙上答題無(wú)效.

4.如有作圖需要，請(qǐng)用2B鉛筆作答，并請(qǐng)加黑加粗，描寫(xiě)清楚.

一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分.在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰

有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將該選項(xiàng)的字母代號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上）

1.-3的絕對(duì)值是（）

A.3B.-3C.-D.±3

3

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)絕對(duì)值的概念，可得-3的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示-3的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離.進(jìn)而得到答案.

【詳解】解：-3的絕對(duì)值是3,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值的定義，正確理解絕對(duì)值的定義是解題的關(guān)鍵.

2.若（）?2a2b=2a3b,則括號(hào)內(nèi)應(yīng)填的單項(xiàng)式是（）

A.aB.2aC.abD.2ab

【答案】A

【解析】

【分析】將已知條件中的乘法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算即可解答.

23

【詳解】解：???（）?2ab=2abf

.,.（^=2a,b÷2crb=a.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式除法的應(yīng)用，弄清被除式、除式和商之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

3.空氣的成分（除去水汽、雜質(zhì)等）是：氮?dú)饧s占78%,氧氣約占21%,其他微量氣體約占1%.要反映

上述信息，宜采用的統(tǒng)計(jì)圖是（）

A.條形統(tǒng)計(jì)圖B.折線統(tǒng)計(jì)圖C.扇形統(tǒng)計(jì)圖D.頻數(shù)分布直方圖

【答案】C

【解析】

【分析】在扇形統(tǒng)計(jì)圖中將總體看做一個(gè)圓，用各個(gè)扇形表示各部分，能清楚的表示出各部分所占總體的

百分比.

【詳解】根據(jù)題意，將空氣（除去水汽、雜質(zhì)等）看做總體，用各個(gè)扇形表示空氣的成分（除去水汽、雜質(zhì)

等）中每一種成分所占空氣的百分比，由此可以選擇扇形統(tǒng)計(jì)圖

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了統(tǒng)計(jì)圖選取，扇形統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)及優(yōu)點(diǎn)，熟練掌握各種統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)及優(yōu)點(diǎn)是解題

的關(guān)鍵.

4.下列圖形中是棱錐側(cè)面展開(kāi)圖的是（）

?O√X>

【答案】D

【解析】

【分析】由棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖的特征可知答案.

【詳解】棱錐的側(cè)面是三角形.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的展開(kāi)圖,,熟記常見(jiàn)立體圖形的側(cè)面展開(kāi)圖和側(cè)面的特征是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)

鍵.

5.已知α=b=2,C=小,則氏C的大小關(guān)系是（）

A.b>a>cB.a>c>bC.a>b>cD.b>c>a

【答案】C

【解析】

【分析】由2="，√3<√4<√5.進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：；2=J?，√3<√4<6，

.*.a>b>c1

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，算術(shù)平方根.解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握.

6,函數(shù)y=-V的大致圖像是（）

X

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)自變量的取值范圍排除錯(cuò)誤選項(xiàng).

【詳解】解：函數(shù)y=二自變量X的取值范圍為XW0?

X

對(duì)于B、C,函數(shù)圖像可以取到尤=O的點(diǎn)，不符合題意；

對(duì)于D,函數(shù)圖像只有x>O的部分，沒(méi)有X<O的部分，不符合題意.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)表達(dá)式選函數(shù)圖像，解題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)表達(dá)式分析出圖像的特點(diǎn)，進(jìn)而

對(duì)錯(cuò)誤選項(xiàng)進(jìn)行排除.

7.在中，NB=60°,AB=4,若，ABC是銳角三角形，則滿(mǎn)足條件的BC長(zhǎng)可以是（）

A.1B.2C.6D.8

【答案】C

【解析】

【分析】如圖，作AAELAB，則NAz）3=90°,N84E=90°,Bo=AB?cosN8=2,

AB

BE=——二=8,由JRC是銳角三角形，可得BD<BC<BE,即2<3C<8,然后作答即可.

cosZB

【詳解】解：如圖，作ADlBf>，AE±AB>

：.ZADB90°,ZBAE90°,

AB

.,.BD=ABcosΛB=2,BE=---------=8,

cosZB

,.?ABC是銳角三角形，

ΛBD<BC<BE,即2<BC<8,

滿(mǎn)足條件BC長(zhǎng)可以是6,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了余弦，銳角三角形.解題的關(guān)鍵在于確定BC的取值范圍.

,1

8.已知二次函數(shù)y=αr-2x+/（α為常數(shù)，且ɑ>0）,下列結(jié)論：

①函數(shù)圖像一定經(jīng)過(guò)第一、二、四象限；②函數(shù)圖像一定不經(jīng)過(guò)第三象限；③當(dāng)x<0時(shí)，y隨X的增大而

減??；④當(dāng)χ>0時(shí)，y隨X的增大而增大.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①②B.②③C.②D.③④

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行逐一分析即可.

1?l1

【詳解】解：???拋物線對(duì)稱(chēng)軸為一二=—二=一>0，C=->O,

2a2aa2

.?.二次函數(shù)圖象必經(jīng)過(guò)第一、二象限，

又：△=h2-4ac=4一2。，

,/ɑ>O>

4—2a<4，

當(dāng)4—2α<0時(shí)，拋物線與X軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數(shù)圖象只經(jīng)過(guò)第一、二象限，

當(dāng)0<4-2α<4時(shí)，拋物線與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，

故①錯(cuò)誤；②正確；

b-21

???拋物線對(duì)稱(chēng)軸為——=一一=—>0,。>0,

2a2aa

??.拋物線開(kāi)口向上，

.?.當(dāng)尤<，時(shí)，y隨X的增大而減小，故③正確；

a

.?.當(dāng)x>L時(shí)，y隨X的增大而增大，故④錯(cuò)誤，

a

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象與各項(xiàng)系數(shù)符號(hào)之間的關(guān)系是解題的關(guān)

鍵.

二、填空題(本大題共有10小題，每小題3分，共30分.不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直

接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上)

9.揚(yáng)州市大力推進(jìn)城市綠化發(fā)展，2022年新增城市綠地面積約2345000平方米，數(shù)據(jù)2345000用科學(xué)記數(shù)

法表示為.

【答案】2.345×IO6

【解析】

【分析】2345000用科學(xué)記數(shù)法表示成"x10"的形式，其中α=2.345,〃=6,代入可得結(jié)果.

【詳解】解:2345000的絕對(duì)值大于的表示成.X10"的形式,

*/a=2.345,"=7-1=6,

2345000表示成2.345X1,

故答案為：2.345×IO6.

【點(diǎn)睛】本題考查了科學(xué)記數(shù)法.解題的關(guān)鍵在于確定。、〃的值.

10.分解因式：xy2-Ax=.

【答案】x(y+2)(y-2)

【解析】

【分析】先提公因式再利用平方差公式分解因式即可.

【詳解】解：xy2-4x

=x(y2-4)

=x(y+2)(y-2)

故答案為：x(y+2)(y-2).

【點(diǎn)睛】本題考查利用提公因式、平方差公式分解因式等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是

解題關(guān)鍵.

11.如果一個(gè)多邊形每一個(gè)外角都是60。，那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)為.

【答案】6

【解析】

【分析】根據(jù)題意知道這個(gè)多邊形每一個(gè)外角都是60。，所以確定這是一個(gè)正多邊形，根據(jù)多邊形的外角和

等于360。，就可求出這個(gè)多邊形的邊數(shù).

【詳解】因?yàn)檫@個(gè)多邊形每一個(gè)外角都是6（）。，所以這個(gè)多邊形是一個(gè)正多邊形，

設(shè)正多邊形的邊數(shù)為〃，

根據(jù)正多邊形外角和：60白〃=360?,

得：n=6

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形外角和，熟練掌握多邊形外角和等于360。是解題的關(guān)鍵，注意正多邊形的每

一個(gè)外角都相等.

12.某種綠豆在相同條件下發(fā)芽試驗(yàn)的結(jié)果如下：

每批粒數(shù)n25IO501005001000150020003000

發(fā)芽的頻數(shù)m2494492463928139618662794

發(fā)芽的頻率%（精確到

n1.0000.8000.9000.8800.9200.9260.9280.9310.9330.931

0.001）

這種綠豆發(fā)芽的概率的估計(jì)值為（精確到0.01）.

【答案】0.93

【解析】

【分析】根據(jù)題意，用頻率估計(jì)概率即可.

【詳解】解：由圖表可知，綠豆發(fā)芽的概率的估計(jì)值0.93,

故答案為：0.93.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率估計(jì)概率.解題的關(guān)鍵在于明確：大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)

固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概

率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率.

13.關(guān)于X的一元二次方程?√+2χ+）l=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則％的取值范圍是.

【答案】ZL

【解析】

【分析】由方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根可得出關(guān)于k的一元一次不等式，解不等式即可得出結(jié)論.

【詳解】?.?關(guān)于X的一元二次方程χ2+2x+k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

.?.Δ=22-4×l×k>0,

解得：k<l,

故答案為k<l.

【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式以及解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是得出關(guān)于k的一元一次不等式.熟

知“在一元二次方程aχ2+bx+c=0(a∕0)中，若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則4=6?-4ac>0”是

解答本題的關(guān)鍵.

14.用半徑為24cm,面積為120兀cn√的扇形紙片，圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為

_______cm.

【答案】5

【解析】

【分析】應(yīng)為圓錐側(cè)面母線的長(zhǎng)就是側(cè)面展開(kāi)扇形的半徑，利用圓錐側(cè)面面積公式：S=P鬃I,就可以求

出圓錐的底面圓的半徑.

【詳解】解：設(shè)圓錐底面圓的半徑為r,/=24,

由扇形的面積:S=π?r?l=↑20π,

得：r=5

故答案為：5

【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐側(cè)面面積的相關(guān)計(jì)算，熟練掌握?qǐng)A錐側(cè)面面積的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵，注意用

扇形圍成的圓錐，扇形的半徑就是圓錐的母線.

15.某氣球內(nèi)充滿(mǎn)了一定質(zhì)量氣體，在溫度不變的條件下，氣球內(nèi)氣體的壓強(qiáng)P(Pa)是氣球體積

V(m3)的反比例函數(shù)，且當(dāng)V=3π?時(shí)，P=80()0Pa.當(dāng)氣球內(nèi)的氣體壓強(qiáng)大于4000OPa時(shí)，氣球?qū)?/p>

3

爆炸，為確保氣球不爆炸，氣球的體積應(yīng)不小于m?

【答案】0.6

【解析】

【分析】待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：設(shè)p=K,

V

??“=3r∏3時(shí)，P=8000Pa,

.?.%=pV=24000,

.240∞

??P二—

Vλ=24000>0,

.?.V>0時(shí)，P隨著V的增大而減小，

當(dāng)〃=4000OPa時(shí)，y=o.6m3，

；?當(dāng)VZ0,6m3時(shí)，PW4∞00Pa,

即：為確保氣球不爆炸，氣球的體積應(yīng)不小于OSn?;

故答案為：0.6.

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正確的求出反比例函數(shù)的解析式，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)

行求解，是解題的關(guān)鍵.

16.我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理時(shí)創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱(chēng)之為“趙爽弦圖”，它是由

4個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成.如圖，直角三角形的直角邊長(zhǎng)為“、b,斜邊長(zhǎng)為c,若

b-a=4,c=20,則每個(gè)直角三角形的面積為.

【答案】96

【解析】

【分析】由題意知，a2+b2=c2,由人一α=4,C=20,可得"+(α+4p=202,計(jì)算求出滿(mǎn)足要求的

a,然后求〃，根據(jù)每個(gè)直角三角形的面積為，計(jì)算求解即可.

2

222

【詳解】解：由題意知,a+b=c,

Vb-a=4,c=20,

.?,a2+(α+4)2=202,

解得α=12,α=-16(舍去)，

?*?b=?6,

.?.每個(gè)直角三角形的面積為L(zhǎng)ab=96,

2

故答案為：96.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理.解題的關(guān)鍵在于對(duì)勾股定理的熟練掌握與靈活運(yùn)用.

17.如圖，二ABC中，NA=90°,A8=8,AC=15,以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交

BA、BC于點(diǎn)M、N,再分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于」MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)E,作射線

2

【解析】

【分析】利用角平分線的性質(zhì)構(gòu)造輔助線，將一ABC的面積分解成AABD的面積和ABCD面積和，轉(zhuǎn)化

成以AO為未知數(shù)的方程求出AO.

【詳解】如圖：過(guò)點(diǎn)。作止±BC于點(diǎn)F，

?BFD2CFD9()?,

由題意得：BD平分NABC,

ZA=90。，

AD=DF,BC=√AB2+AC2=√82+152=17，

=-AB?AC為815=60,

ABC22

s∕A?tiB?^C=S∕?niAjHn+sIJtan,ic=2-AD?AB2-DF?BC60,

.---ADlAB-DFlBC-AD?(ABBC]=60,

222['

????AD?(ABBC)=25?gAO60,

24

.?.A。=——；

5

24

故答案為：y.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、角平分線的性質(zhì)、直角三角形面積，重點(diǎn)掌握勾股定理的運(yùn)用，直角三角

形的面積轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵.

18.如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E、尸分別在邊4）、BCk,將正方形沿著EF翻折，點(diǎn)B

恰好落在CO邊上的點(diǎn)8'處，如果四邊形A6FE與四邊形EFC。的面積比為3：5,那么線段尸C的長(zhǎng)為

3

【答案】I

【解析】

【分析】連接85',過(guò)點(diǎn)F作FHlAl）于點(diǎn)H,設(shè)b=x,則。"=x,則3/=l-x,根據(jù)已知條

件，分別表示出人￡,￡：〃,〃。，證明二￡”/名..3'08（人5人），得出E"=B'C=：—2x,在RtB'FC

中，B'F-^B'C2+CF2,勾股定理建立方程，解方程即可求解.

［詳解］解：如圖所示，連接BB'，過(guò)點(diǎn)/作FHIA。于點(diǎn)H,

?；正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,四邊形ABEE與四邊形瓦Co的面積比為3：5,

**'S四邊形ABFE=WXl=W，

設(shè)b=x,則。"=尤，則5F=l-x

13

?,?S四邊形AME=T(AE+BF^×AB=—

，O

即g(AE+l—x)xl_3

^8

.,.AE=x--

4

.?.DE=I-AE=--x,

4

.,.EH=ED-HD=--x-x=--2x,

44

Y折疊，

.??BB'A.EF，

：.Nl+N2=ZBGE=90。，

?/Z2+Z3=90o,

.,.NI=N3,

又FH=BC=1,/EHF=/C

"EHF"B'CB(ASA),

.?.EH=B'C^--2x

4

在RtBlFC中,B'F2=B'C2+CF2

2

3

解得：X=-，

8

3

故答案為：-.

O

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知

識(shí)是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（本大題共有10小題，共96分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必

要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

19.計(jì)算：

,o

(1)(2-^∫-√i2+tan60i

a-b

(2)÷(b-a).

a+b

【答案】(1)l-√3

(2)一——

a+b

【解

【分析】（I）先算零指數(shù)暴，算術(shù)平方根，特殊角的三角函數(shù)值，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可;

（2）除法變乘法，再進(jìn)行計(jì)算即可.

【小問(wèn)1詳解】

解：原式=1-2石+石

IY；

【小問(wèn)2詳解】

a-b-1

原式=-----------

a+ha-b

1

a+b

【點(diǎn)睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，分式的除法運(yùn)算.熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則，熟記特殊

角的三角函數(shù)值，是解題的關(guān)鍵.

2（x-1）+1〉—3,

20.解不等式組Jl+χ并把它的解集在數(shù)軸上表示出來(lái).

%-l≤------,

3

【答案】一l<x≤2,數(shù)軸表示見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不

到確定不等式組的解集.

2(x-l)+l>-3①

【詳解】解:

x-l≤1±Ξ②

解不等式①得x>-l?,

解不等式②，得：x<2,

把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來(lái):

-I--θ----1---------?--1----?----1-k

-2-1012345

則不等式組的解集為：

一1<%≤2.

【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式的解集，正確求出每一個(gè)不等式解集是

基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.

21.某校為了普及環(huán)保知識(shí)，從七、八兩個(gè)年級(jí)中各選出10名學(xué)生參加環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽（滿(mǎn)分100分），并

對(duì)成績(jī)進(jìn)行整理分析，得到如下信息:

(1)填空："？=,〃=

（2）七、八年級(jí)參賽學(xué)生成績(jī)的方差分別記為S：、S；,請(qǐng)判斷S：(填“〉”“<”或

"="）；

（3）從平均數(shù)和中位數(shù)的角度分析哪個(gè)年級(jí)參賽學(xué)生的成績(jī)較好.

【答案】⑴80,86

（2）>

（3）見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（I）找到七年級(jí)學(xué)生的10個(gè)數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的即為〃?的值，將八年級(jí)的10個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行排序,

第5和第6個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)即為W的值；

（2）根據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖得到七年級(jí)的數(shù)據(jù)波動(dòng)較大，根據(jù)方差的意義，進(jìn)行判斷即可；

（3）利用平均數(shù)和中位數(shù)作決策即可.

小問(wèn)1詳解】

解：七年級(jí)的10個(gè)數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的是：80,

〃？=80；

將八年級(jí)的10個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行排序：76,77,85,85,85,87,87,88,88,97；

.?.〃=g(85+87)=86；

故答案為：80,86；

【小問(wèn)2詳解】

由折線統(tǒng)計(jì)圖可知：七年級(jí)的成績(jī)波動(dòng)程度較大，

方差越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定，

.?.S；>S；；

故答案為：>.

【小問(wèn)3詳解】

七年級(jí)和八年級(jí)的平均成績(jī)相同，但是七年級(jí)的中位數(shù)比八年級(jí)的大，所以七年級(jí)參賽學(xué)生的成績(jī)較好.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)據(jù)的分析.熟練掌握眾數(shù)，中位數(shù)的確定方法，利用中位數(shù)作決策，是解題的關(guān)鍵.

22.揚(yáng)州是個(gè)好地方，有著豐富的旅游資源.某天甲、乙兩人來(lái)?yè)P(yáng)州旅游，兩人分別從A,B,C三個(gè)景

點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)景點(diǎn)游覽.

(1)甲選擇A景點(diǎn)的概率為;

(2)請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法，求甲、乙兩人中至少有一人選擇。景點(diǎn)的概率.

【答案】(1)-

53

2√?

9-

【分析】(1)利用概率計(jì)算公式求解即可；

(2)利用樹(shù)狀圖或列表的方法，分析甲、乙至少一人選擇C的基本事件的個(gè)數(shù)，除以總的基本事件個(gè)數(shù)即

可.

【小問(wèn)1詳解】

解：共有3個(gè)景點(diǎn)可供選擇，且選擇每種景點(diǎn)是隨機(jī)的，

甲選擇A景點(diǎn)的概率為

3

【小問(wèn)2詳解】

解：根據(jù)題意，列表如下:

ABC

A(AA)(AB)(A,C)

B(BM)(B,B)(B,C)

C(C,A)(CB)(GC)

由表格可知，共有9種等可能的結(jié)果，其中甲、乙至少有一人選擇C景點(diǎn)共有5種等可能的結(jié)果，

，甲、乙至少有一人選擇。景點(diǎn)的概率為°.

9

【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單的概率計(jì)算，樹(shù)狀圖法或列表法求解概率，熟練掌握相關(guān)計(jì)算方法是解題的關(guān)

鍵.

23.甲、乙兩名學(xué)生到離校2.4km的“人民公園''參加志愿者活動(dòng)，甲同學(xué)步行，乙同學(xué)騎自行車(chē)，騎自行

車(chē)速度是步行速度的4倍，甲出發(fā)30min后乙同學(xué)出發(fā)，兩名同學(xué)同時(shí)到達(dá)，求乙同學(xué)騎自行車(chē)的速度.

【答案】14.4km/h

【解析】

【分析】根據(jù)甲、乙同學(xué)步行和騎自行車(chē)的速度之間的數(shù)量關(guān)系設(shè)未知數(shù)，再根據(jù)所走時(shí)間之間的數(shù)量關(guān)系

列方程即可.

【詳解】解：設(shè)甲同學(xué)步行的速度為Xkm∕h,則乙同學(xué)騎自行車(chē)速度為4xkm/h,

3Omin='h,由題意得，

2

2.42.4_1

X4x2

解得X=3.6,

經(jīng)檢驗(yàn)，％=3.6是分式方程的解，也符合實(shí)際.

?-?4x=3.6x4=14.4,

答：乙同學(xué)騎自行車(chē)的速度為14.4km/h.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，解決問(wèn)題時(shí)需注意時(shí)間單位的統(tǒng)一，同時(shí)解分式方程需檢驗(yàn).

24.如圖，點(diǎn)E、F、G、//分別是YABCZ）各邊的中點(diǎn)，連接AF、CE相交于點(diǎn)“，連接AG、CH相交

于點(diǎn)N.

H

AD

BFC

(1)求證：四邊形AMCN是平行四邊形；

(2)若CaV的面積為4,求YABeD的面積.

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)12

【解析】

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，線段的中點(diǎn)平分線段，推出四邊形AECG,四邊形AEcH均為平行

四邊形，進(jìn)而得到：AM/∕CN,AN//CM,即可得證；

CSANHHN1SFMC1

(2)連接"G,AC,?,推出丁皿=為a=1”=3,進(jìn)而得到

AANC52?λmc2

SANH+S.FMC=](SANCAMC)=ISamcn=2,求出

SAFCH=S_ANH+S.FMC+SAMCN=2+4=6,再根據(jù)SABa)=2S—⑦，即可得解?

【小問(wèn)1詳解】

證明：VYABCD.

.?.AB〃CD,AD〃BC,AB=CD,AD=BC,

:點(diǎn)E、/、G、”分別是YABCo各邊的中點(diǎn)，

.?.AE-AB-CDCG,AE//CG,

22

四邊形AECG為平行四邊形，

同理可得：四邊形AbCH為平行四邊形，

.?.AM/∕CN,AN//CM,

.?.四邊形AMCN是平行四邊形；

【小問(wèn)2詳解】

解：連接"G,AC,￡7"

H

AD

/W

BFC

?.?H,G為AZ>,C。的中點(diǎn)，

.?.HG//AC,HG^-AC,

2

：-HNG^CNA,

.HNHG1

.>-----=-----=-，

CNAC2

,SANH=HN=I

??sANCCN2,

qI

同理可得：Tk=弓

3ΛMCL

??SANH+SFMC=I(Sanc+SAMC)=AMCN=2，

?,?SAFCH=SANH+SFMC+SAMCN=2+4=6,

?.?AH=-AD,

2

???QOABCD一-2乙9UAFCH--1??

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握

平行四邊形的性質(zhì)，以及三角形的中位線定理，證明三角形相似，是解題的關(guān)鍵.

25.如圖，在ABC中，NAc6=90。，點(diǎn)。是AB上一點(diǎn)，且/8CO=」NA,點(diǎn)。在BC上，以點(diǎn)0

2

為圓心的圓經(jīng)過(guò)C、。兩點(diǎn).

(1)試判斷直線AB與LO的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由;

3

(2)若SinB=W,OO的半徑為3,求AC的長(zhǎng).

【答案】(1)直線AB與］。相切，理由見(jiàn)解析

(2)6

【解析】

【分析】(1)連接0。，根據(jù)圓周角定理，得到ABOD=2ABCD=ZA,進(jìn)而得到

NB+NA=∕B+N6QD=90°,即可得出Ag與；。相切；

(2)解直角三角形QjD3,求出OB的長(zhǎng)，進(jìn)而求出BC的長(zhǎng)，再解直角三角形Aa5,求出AC的長(zhǎng)即可.

【小問(wèn)1詳解】

解：直線AB與LO相切，理由如下：

連接。。，則：∕BOD=2∕BCD,

VZBCD=-ZA,即：2NBCD=ZA,

2

.?.NBOD=ZA,

?：ZACB=90°,

.?.ZB+ZBOD=NB+ZA=90。,

.,.ZODB=90°,

：.ODA.AB,

?.?OD為C。的半徑，

；?直線AB與］。相切；

【小問(wèn)2詳解】

3

解：?.?NOD8=90°,SinB=。的半徑為3,

.?.OD=OC=3,sinB=-=-,

OB5

.*.OB=5，

???BC=OB+OC=8,

???NAcB=90。，

?.AAC3

..sinn=----=—,

AB5

設(shè)：AC=3x,AB=5x,

則：BC=^AB1-AC2=4x=8-

.*.x=2,

.*.AC=3x=6.

【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定，解直角三角形.熟練掌握切線的判定方法，正弦的定義，是解題的關(guān)鍵.

26.近年來(lái)，市民交通安全意識(shí)逐步增強(qiáng)，頭盔需求量增大.某商店購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種頭盔，已知購(gòu)買(mǎi)甲種

頭盔20只，乙種頭盔30只，共花費(fèi)2920元，甲種頭盔的單價(jià)比乙種頭盔的單價(jià)高11元.

（1）甲、乙兩種頭盔的單價(jià)各是多少元？

（2）商店決定再次購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種頭盔共40只，正好趕上廠家進(jìn)行促銷(xiāo)活動(dòng)，促銷(xiāo)方式如下：甲種頭盔

按單價(jià)的八折出售，乙種頭盔每只降價(jià)6元出售.如果此次購(gòu)買(mǎi)甲種頭盔的數(shù)量不低于乙種頭盔數(shù)量的一

半，那么應(yīng)購(gòu)買(mǎi)多少只甲種頭盔，使此次購(gòu)買(mǎi)頭盔的總費(fèi)用最?。孔钚≠M(fèi)用是多少元？

【答案】（1）甲、乙兩種頭盔的單價(jià)各是65元，54元.

（2）購(gòu)14只甲種頭盔，此次購(gòu)買(mǎi)頭盔的總費(fèi)用最小,最小費(fèi)用為1976元.

【解析】

【分析】（I）設(shè)購(gòu)買(mǎi)乙種頭盔的單價(jià)為X元，則甲種頭盔的單價(jià)為（x+ll）元，根據(jù)題意，得

20（x+11）+30X=2920,求解;

（2）設(shè)購(gòu)機(jī)只甲種頭盔，此次購(gòu)買(mǎi)頭盔的總費(fèi)用最小,設(shè)總費(fèi)用為明則相？!（40m）,解得

2

∕n≥13-,故最小整數(shù)解為加=14,W=4m+1920,根據(jù)一次函數(shù)增減性，求得最小值=

3

4?141920=1976.

【小問(wèn)1詳解】

解:設(shè)購(gòu)買(mǎi)乙種頭盔的單價(jià)為X元，則甲種頭盔的單價(jià)為（X+11）元，根據(jù)題意，得

20（Λ+11）+30X=2920

解得，X=54,

x+11=65,

答：甲、乙兩種頭盔的單價(jià)各是65元，54元.

【小問(wèn)2詳解】

解：設(shè)購(gòu)m只甲種頭盔，此次購(gòu)買(mǎi)頭盔的總費(fèi)用最小，設(shè)總費(fèi)用為w,

則相？!(40m),解得加≥13^,故最小整數(shù)解為優(yōu)=14,

23

W-0.8?65m(54-6)(40-m)=4m+1920,

V4>O,則W隨機(jī)的增大而增大，

.?.m=14時(shí)，W取最小值，最小值=4χl4+1920=1976?

答：購(gòu)14只甲種頭盔，此次購(gòu)買(mǎi)頭盔的總費(fèi)用最小,最小費(fèi)用為1976元.

【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，一次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用；根

據(jù)題意列出函數(shù)解析式，確定自變量取值范圍是解題的關(guān)鍵.

27.【問(wèn)題情境】

在綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，李老師讓同桌兩位同學(xué)用相同的兩塊含30。的三角板開(kāi)展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，兩塊三角

板分別記作.ADB和?A,D,C,ZADB=ZAD'C=90o,NB=NC=30。，設(shè)AB=2.

【操作探究】

如圖1,先將.A06和A'。'C的邊AD、AD重合，再將LA,。'C繞著點(diǎn)A按颯町W方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角

為α(0°≤α≤360°),旋轉(zhuǎn)過(guò)程中.AC應(yīng)保持不動(dòng)，連接BC?

Z(H)

(1)當(dāng)α=60。時(shí)，BC=；當(dāng)BC=2&時(shí)，?=°；

(2)當(dāng)α=90。時(shí)，畫(huà)出圖形，并求兩塊三角板重疊部分圖形的面積；

(3)如圖2,取BC的中點(diǎn)F,將.A。C繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為.

【答案】(1)2；30或210

(2)畫(huà)圖見(jiàn)解析；1(3)2π

【解析】

【分析】(1)當(dāng)α=60。時(shí)，AC與AD重合，證明-ABC為等邊三角形，得出3C=AB=2;當(dāng)

8C=2jΣ時(shí)，根據(jù)勾股定理逆定理得出NB4C=90°,兩種情況討論：當(dāng)AC在AB下方時(shí)，當(dāng)AC在

AB匕^時(shí)，分別畫(huà)出圖形，求出結(jié)果即可；

(2)證明四邊形ADED是正方形，得出AD=DE=DE=1，求出BE=BD-DE=6一1，得出

EF=BE×tanZABD=(-?]×-=l--，求出。G=AOXtanNDAG=Ix走=且，根據(jù)

\/3333

S四邊物IGEF=SABD-SBEF-SADG求出兩塊三角板重疊部分圖形的面積即可;

(3)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得出AbIBC,即NAF8=90°,確定將,.A'θ'C繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)

F在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，求出圓的周長(zhǎng)即可.

【小問(wèn)1詳解】

解：?.?.ADB和_A'。'。中ZAZ)B=ZA'D'C=90o,ZB=ZC=30°,

.?.ZBAD=ZCA'D'=90°-30°=60°,

.?.當(dāng)α=60°時(shí)，AC與AO重合，如圖所示：連接8C,

?.?A6=AC=2,Nfi4C=60°,

??..4BC為等邊三角形，

.?.5C=AB=2；

當(dāng)8C=2jΣ時(shí)，

?ZAB'+AC2=22+22=8=(2國(guó)=BC2,

；?當(dāng)BC=2立時(shí)，ABC為直角三角形，ABAC=90°，

：.ABJ.AC,

?：ZDAC=ZBAC-NBAD=90°一60°=30°,

.?,此時(shí)α=ZDAD'=NoVy-ZDAC=60o-30o=30°；

當(dāng)AC在AB上方時(shí)，如圖所示：

?.?ADAB=ZjD'AC=60°，

：.此時(shí)α=NZMB+ZA4C+Zf>'AC=210°；

綜上分析可知，當(dāng)BC=2√Σ時(shí)，α=30°或210°；

故答案為：2；30或210.

【小問(wèn)2詳解】

解：當(dāng)α=90°時(shí)，如圖所示：

???AB=AC=2,

.?.AD=AD1=-AB=I,

2

?'?BD=CD'=V22-I2=y/3'

?/ZDAD'=a=90。，

又,/ZADB=ZADrC=90°,

???四邊形AOEDr是矩形，

：AD=AD'，

四邊形ADED'是正方形，

：.AD=DE=IyE=X.

二BE=BD-DE=Rl,

/o/-?

.*.EF=BExtanZABD=-η×~=?---

"：ZDAG=ZDAD'-ZCAD'=900-60o=30o,

??DG-AD×tanNDAG=IX—=—

33

—×1×>^—X

22

即兩塊三角板重疊部分圖形的面積為1.

【小問(wèn)3詳解】

解：?.?AB=AC,/為BC的中點(diǎn)，

AFIBC,

，ZAfB=90°，

；?將A'。'。繞著點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)尸在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng),

,/AB=I

.?.點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為2〃.

故答案為：2萬(wàn).

》（力）

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，確

定圓的條件，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是畫(huà)出相應(yīng)的圖形，數(shù)形結(jié)合,

并注意分類(lèi)討論.

28.在平面直角坐標(biāo)系XOy中，已知點(diǎn)A在y軸正半軸上.

圖1圖2

（1）如果四個(gè)點(diǎn)（0,0）、（0,2）、（1,1）、（一1,1）中恰有三個(gè)點(diǎn)在二次函數(shù)）=以2S為常數(shù)，且α≠0）的圖

象上.

①“=：

②如圖1,已知菱形ABCf）的頂點(diǎn)8、C、。在該二次函數(shù)的圖象上，且A。J,y軸，求菱形的邊長(zhǎng)；

③如圖2,已知正方形ABCD的頂點(diǎn)B、。在該二次函數(shù)的圖象上，點(diǎn)8、。在），軸的同側(cè)，且點(diǎn)B在點(diǎn)

D的左側(cè)，設(shè)點(diǎn)8、。的橫坐標(biāo)分別為〃八〃，試探究〃一加是否為定值.如果是，求出這個(gè)值；如果不

是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）已知正方形ABCo的頂點(diǎn)B、。在二次函數(shù)y=α?（”為常數(shù)，且ɑ>0）的圖象上，點(diǎn)B在點(diǎn)。

的左側(cè)，設(shè)點(diǎn)B、。的橫坐標(biāo)分別為“、〃，直接寫(xiě)出機(jī)、〃滿(mǎn)足的等量關(guān)系式.

【答案】（1）①1：②2叵；③是，值為1

3

(2)Z)=I或加+〃=0

【解析】

【分析】（1）①當(dāng)龍=0,J=O,可知（0,2）不在二次函數(shù)圖象上，將（1,1）代入y=0√,求解“值即

可；②由①知，二次函數(shù)解析式為y=f,設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為P,則AO=p,D（p,p2?由菱形的性質(zhì)

得，BC=p,BC//AD,則BCLy軸，C與七,根據(jù)CD?=AO?,即

(24J

、2(2、2

2_P_

p/+P=P1,計(jì)算求出滿(mǎn)足要求的解即可；③如圖2,連接4。、BD交點(diǎn)、為E，過(guò)8

\乙./

作"N_Ly軸于M,過(guò)C作CN上MN于■N,由正方形的性質(zhì)可知，E為AC、B。的中點(diǎn)，

AB=BC,ZABC=90°,則ZAaW=ZBCTV,證明（AAS）,則AM=BN,

BM=CN,由題意知，B(m,m2),D(n,n2),m>0,〃>(),則E,三彳L,M(O,m2),

設(shè)A(O,q),則C("2+”,∕τ?+“2-q),N^m+n,m^yAM=q-m2,BN=n,BM-m,

CN=n2-q,則《-〃，=〃，m=n2-q,即/一加一/??=〃，計(jì)算求解即可1；

(2)由題意知，分①當(dāng)Ao在y軸右側(cè)時(shí)，②當(dāng)B、。在y軸左側(cè)時(shí)，③當(dāng)8在y軸左側(cè)，。在y軸右側(cè)

時(shí)，三種情況求解；①當(dāng)A。在y軸右側(cè)時(shí)，y=ax2,同理(1)③，AM=BN,BM=CN,由題意

,...(rn+nm2+∏2)>(,.

知，D^n,an^j,m>0,n>0,則E——------,M^0,am^J,設(shè)A(0,4),

\/

則C(m+”,α(M+〃2)-4),N(m+AM=q-am2,BN=n,BM-m,

CN=an2-q,則q-麗？=〃，機(jī)=ɑ/-<∕,B∣Jani-m-am2=n)解得α(〃一利)=1；②當(dāng)氏。在

J軸左側(cè)時(shí)，求解過(guò)程同(2)①；③當(dāng)B在y軸左側(cè)，。在y軸右側(cè)時(shí)，且