2023年各地中考二次函數(shù)壓軸題匯編

第第頁2023年各地中考二次函數(shù)壓軸題匯編1.(2023·成都)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線經(jīng)過點(diǎn),與y軸交于點(diǎn),直線與拋物線交于B,C兩點(diǎn)．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;（2）若是以為腰的等腰三角形,求點(diǎn)B的坐標(biāo);（3）過點(diǎn)作y軸的垂線,交直線AB于點(diǎn)D,交直線AC于點(diǎn)E．試探究：是否存在常數(shù)m,使得始終成立？若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由．

2.(2023·福建)已知拋物線交軸于兩點(diǎn),為拋物線的頂點(diǎn),為拋物線上不與重合的相異兩點(diǎn),記中點(diǎn)為,直線的交點(diǎn)為．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;（2）若,且,求證:三點(diǎn)共線;（3）小明研究發(fā)現(xiàn):無論在拋物線上如何運(yùn)動(dòng),只要三點(diǎn)共線,中必存在面積為定值的三角形．請直接寫出其中面積為定值的三角形及其面積,不必說明理由．

3.(2023·山西)如圖,二次函數(shù)的圖象與軸的正半軸交于點(diǎn)A,經(jīng)過點(diǎn)A的直線與該函數(shù)圖象交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn)C．（1）求直線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo);（2）點(diǎn)是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)作直線軸于點(diǎn),與直線交于點(diǎn)D,設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．①當(dāng)時(shí),求的值;②當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí),連接,過點(diǎn)作軸于點(diǎn),與交于點(diǎn),連接．設(shè)四邊形的面積為,求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式,并求出S的最大值．

4.(2023·蘇州)如圖,二次函數(shù)的圖像與軸分別交于點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)的左側(cè)）,直線是對稱軸．點(diǎn)在函數(shù)圖像上,其橫坐標(biāo)大于4,連接,過點(diǎn)作,垂足為,以點(diǎn)為圓心,作半徑為的圓,與相切,切點(diǎn)為．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo);（2）若以的切線長為邊長的正方形的面積與的面積相等,且不經(jīng)過點(diǎn),求長的取值范圍．

5.(2023·天津)已知拋物線,為常數(shù),的頂點(diǎn)為,與軸相交于,兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)),與軸相交于點(diǎn),拋物線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,且,過點(diǎn)作,垂足為．（1）若．①求點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo);②當(dāng)時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo);（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為,且,當(dāng)時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo)．

6.(2023·無錫)二次函數(shù)的圖像與x軸交于點(diǎn),,與軸交于點(diǎn),過點(diǎn)的直線將分成兩部分,這兩部分是三角形或梯形,且面積相等,則的值為__________．

7.(2023·無錫)已知二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn),且經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．（1）請直接寫出,的值;（2）直線交軸于點(diǎn),點(diǎn)是二次函數(shù)圖像上位于直線下方的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)作直線的垂線,垂足為．①求的最大值;②若中有一個(gè)內(nèi)角是的兩倍,求點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

8.(2023·武漢)拋物線交軸于兩點(diǎn)（在的左邊）,交軸于點(diǎn)．（1）直接寫出三點(diǎn)的坐標(biāo);（2）如圖（1）,作直線,分別交軸,線段,拋物線于三點(diǎn),連接．若與相似,求的值;（3）如圖（2）,將拋物線平移得到拋物線,其頂點(diǎn)為原點(diǎn)．直線與拋物線交于兩點(diǎn),過的中點(diǎn)作直線（異于直線）交拋物線于兩點(diǎn),直線與直線交于點(diǎn)．問點(diǎn)是否在一條定直線上？若是,求該直線的解析式;若不是,請說明理由．

9.(2023·徐州)如圖,在平而直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)的圖象與軸分別交于點(diǎn),頂點(diǎn)為．連接,將線段繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到線段,連接．點(diǎn)分別在線段上,連接與交于點(diǎn)．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo);（2）隨著點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)．①的大小是否發(fā)生變化？請說明理由;②線段的長度是否存在最大值？若存在,求出最大值;若不存在,請說明理由;（3）當(dāng)線段的中點(diǎn)在該二次函數(shù)的因象的對稱軸上時(shí),的面積為．

10.(2023·杭州)設(shè)二次函數(shù),（,是實(shí)數(shù)）．已知函數(shù)值和自變量的部分對應(yīng)取值如下表所示:…0123……11…（1）若,求二次函數(shù)的表達(dá)式;（2）寫出一個(gè)符合條件的的取值范圍,使得隨的增大而減?。?）若在m,n,p這三個(gè)實(shí)數(shù)中,只有一個(gè)是正數(shù),求的取值范圍．

11.(2023·金華)如圖,直線與軸,軸分別交于點(diǎn),拋物線的頂點(diǎn)在直線上,與軸的交點(diǎn)為,其中點(diǎn)的坐標(biāo)為．直線與直線相交于點(diǎn)．（1）如圖2,若拋物線經(jīng)過原點(diǎn)．①求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;②求的值．（2）連接與能否相等？若能,求符合條件的點(diǎn)的橫坐標(biāo);若不能,試說明理由．

12.(2023·黃岡)已知拋物線與x軸交于兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn),點(diǎn)P為第一象限拋物線上的點(diǎn),連接．（1）直接寫出結(jié)果;_____,_____,點(diǎn)A的坐標(biāo)為_____,______;（2）如圖1,當(dāng)時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);（3）如圖2,點(diǎn)D在y軸負(fù)半軸上,,點(diǎn)Q為拋物線上一點(diǎn),,點(diǎn)E,F分別為的邊上的動(dòng)點(diǎn),,記的最小值為m．①求m的值;②設(shè)的面積為S,若,請直接寫出k的取值范圍．

13.(2023·荊州)已知:關(guān)于的函數(shù)．（1）若函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn),且,則的值是___________;（2）如圖,若函數(shù)的圖象為拋物線,與軸有兩個(gè)公共點(diǎn),,并與動(dòng)直線交于點(diǎn),連接,,,,其中交軸于點(diǎn),交于點(diǎn)．設(shè)的面積為,的面積為．①當(dāng)點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)時(shí),求的面積;②探究直線在運(yùn)動(dòng)過程中,是否存在最大值？若存在,求出這個(gè)最大值;若不存在,說明理由．

14.(2023·十堰)已知拋物線過點(diǎn)和點(diǎn),與軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式;（2）如圖1,連接,點(diǎn)在線段上（與點(diǎn)不重合）,點(diǎn)是的中點(diǎn),連接,過點(diǎn)作交于點(diǎn),連接,當(dāng)面積是面積的3倍時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo);（3）如圖2,點(diǎn)是拋物線上對稱軸右側(cè)的點(diǎn),是軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn),若線段上存在點(diǎn)（與點(diǎn)不重合）,使得,求的取值范圍．

15.(2023·隨州)如圖1,平面直角坐標(biāo)系中,拋物線過點(diǎn),和,連接,點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn),交軸于點(diǎn)．（1）直接寫出拋物線和直線的解析式;（2）如圖2,連接,當(dāng)為等腰三角形時(shí),求的值;（3）當(dāng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中,在軸上是否存在點(diǎn),使得以,,為頂點(diǎn)三角形與以,,為頂點(diǎn)的三角形相似（其中點(diǎn)與點(diǎn)相對應(yīng)）,若存在,直接寫出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由．

16.(2023·內(nèi)江)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與x軸交于,兩點(diǎn)．與y軸交于點(diǎn)．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;（2）若點(diǎn)P是直線下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作x軸的平行線交于點(diǎn)K,過點(diǎn)P作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)D,求與的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)M,使得是以為一條直角邊的直角三角形:若存在,請求出點(diǎn)M的坐標(biāo),若不存在,請說明理由．

17.(2023·樂山)已知是拋物（b為常數(shù)）上的兩點(diǎn),當(dāng)時(shí),總有（1）求b的值;（2）將拋物線平移后得到拋物線．探究下列問題:①若拋物線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn),求m的取值范圍;②設(shè)拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)E,外接圓的圓心為點(diǎn)F,如果對拋物線上的任意一點(diǎn)P,在拋物線上總存在一點(diǎn)Q,使得點(diǎn)P,Q的縱坐標(biāo)相等．求長的取值范圍．

18.(2023·東營)如圖,拋物線過點(diǎn),,矩形的邊在線段上（點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)）,點(diǎn)C,D在拋物線上,設(shè),當(dāng)時(shí),．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;（2）當(dāng)t為何值時(shí),矩形的周長有最大值？最大值是多少？（3）保持時(shí)的矩形不動(dòng),向右平移拋物線,當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個(gè)交點(diǎn)G,H,且直線平分矩形的面積時(shí),求拋物線平移的距離．

19.(2023·濟(jì)寧)如圖,直線交軸于點(diǎn),交軸于點(diǎn),對稱軸為的拋物線經(jīng)過兩點(diǎn),交軸負(fù)半軸于點(diǎn)．為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn),作軸的垂線,垂足為,直線交軸于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式;（2）若,當(dāng)為何值時(shí),四邊形是平行四邊形？（3）若,設(shè)直線交直線于點(diǎn),是否存在這樣的值,使？若存在,求出此時(shí)的值;若不存在,請說明理由．

20.(2023·日照)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),拋物線交y軸于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作x軸的平行線交該拋物線于點(diǎn)D．（1）求點(diǎn)C,D的坐標(biāo);（2）當(dāng)時(shí),如圖1,該拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）,點(diǎn)P為直線上方拋物線上一點(diǎn),將直線沿直線翻折,交x軸于點(diǎn),求點(diǎn)P的坐標(biāo);（3）坐標(biāo)平面內(nèi)有兩點(diǎn),以線段為邊向上作正方形．①若,求正方形的邊與拋物線的所有交點(diǎn)坐標(biāo);②當(dāng)正方形的邊與該拋物線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn),且這兩個(gè)交點(diǎn)到x軸的距離之差為時(shí),求a的值．

21.(2023·煙臺)如圖,拋物線與軸交于兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn)．拋物線的對稱軸與經(jīng)過點(diǎn)的直線交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn)．（1）求直線及拋物線的表達(dá)式;（2）在拋物線上是否存在點(diǎn),使得是以為直角邊的直角三角形?若存在,求出所有點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;（3）以點(diǎn)為圓心,畫半徑為2的圓,點(diǎn)為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),請求出的最小值．

22.(2023·邵陽)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn),且與直線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)）,點(diǎn)為直線上的一動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．（1）求拋物線的解析式．（2）過點(diǎn)作軸的垂線,與拋物線交于點(diǎn)．若,求面積的最大值．（3）拋物線與軸交于點(diǎn),點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系上一點(diǎn),若以為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,請求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．

23.(2023·湘潭)如圖,二次函數(shù)的圖象與軸交于,兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),其中,．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式;（2）在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn),使得？若存在,請求出點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請說明理由;（3）點(diǎn)是對稱軸上一點(diǎn),且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,當(dāng)是銳角三角形時(shí),求的取值范圍．

24.(2023·株洲)已知二次函數(shù)．（1）若,且該二次函數(shù)的圖像過點(diǎn),求的值;（2）如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,該二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn),且,點(diǎn)D在上且在第二象限內(nèi),點(diǎn)在軸正半軸上.連接,且線段交軸正半軸于點(diǎn),．①求證:．②當(dāng)點(diǎn)在線段上,且．的半徑長為線段的長度的倍,若,求的值．

2023年各地中考二次函數(shù)壓軸題匯編詳解1.(2023·成都)【答案】（1）（2）點(diǎn)B的坐標(biāo)為或或（3）存在,m的值為2或【小問1詳解】解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)∴,解得∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為;【小問2詳解】解：設(shè)根據(jù)題意,是以為腰的等腰三角形,有兩種情況：當(dāng)時(shí),點(diǎn)B和點(diǎn)P關(guān)于y軸對稱∵,∴;當(dāng)時(shí),則∴整理,得解得,當(dāng)時(shí),,則當(dāng)時(shí),,則綜上,滿足題意的點(diǎn)B的坐標(biāo)為或或;【小問3詳解】解：存在常數(shù)m,使得．根據(jù)題意,畫出圖形如下圖設(shè)拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為,由得∴,;設(shè)直線的表達(dá)式為則,解得∴直線的表達(dá)式為令,由得∴同理,可得直線的表達(dá)式為,則過E作軸于Q,過D作軸于N則,,,若,則∴∴∴∴則整理,得即將,代入,得即,則或解得,綜上,存在常數(shù)m,使得,m的值為2或．2.(2023·福建)【答案】（1）（2）見解析（3）的面積為定值,其面積為2【小問1詳解】解:因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過點(diǎn)所以解得所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為;【小問2詳解】解:設(shè)直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為因?yàn)闉橹悬c(diǎn),所以．又因?yàn)?所以,解得所以直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為．因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上,所以解得,或．又因?yàn)?所以所以．因?yàn)?即滿足直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式,所以點(diǎn)在直線上,即三點(diǎn)共線;【小問3詳解】解:的面積為定值,其面積為2．理由如下:（考生不必寫出下列理由）如圖1,當(dāng)分別運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的位置時(shí),與分別關(guān)于直線對稱,此時(shí)仍有三點(diǎn)共線．設(shè)與的交點(diǎn)為,則關(guān)于直線對稱,即軸．此時(shí),與不平行,且不平分線段,故,到直線的距離不相等,即在此情形下與的面積不相等,所以的面積不為定值．如圖2,當(dāng)分別運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的位置,且保持三點(diǎn)共線．此時(shí)與的交點(diǎn)到直線的距離小于到直線的距離,所以的面積小于的面積,故的面積不為定值．又因?yàn)橹写嬖诿娣e為定值的三角形,故的面積為定值．在（2）的條件下,直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為,直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為,求得,此時(shí)的面積為2．3.(2023·山西)【答案】（1）,點(diǎn)的坐標(biāo)為（2）①2或3或;②,S的最大值為【小問1詳解】解:由得,當(dāng)時(shí),．解得．∵點(diǎn)A在軸正半軸上∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為將兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入得解得∴直線的函數(shù)表達(dá)式為．將代入,得．∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為;【小問2詳解】①解:點(diǎn)在第一象限內(nèi)二次函數(shù)的圖象上,且軸于點(diǎn),與直線交于點(diǎn),其橫坐標(biāo)為．∴點(diǎn)的坐標(biāo)分別為∴．∵點(diǎn)的坐標(biāo)為∴．∵∴．如圖,當(dāng)點(diǎn)在直線上方時(shí),．∵∴．解得如圖2,當(dāng)點(diǎn)在直線下方時(shí),．∵∴．解得∵∴．綜上所述,的值為2或3或;②解:如圖3,由（1）得,．∵軸于點(diǎn),交于點(diǎn),點(diǎn)B的坐標(biāo)為∴．∵點(diǎn)在直線上方∴．∵軸于點(diǎn)∴∴,∴∴∴∴∴∴四邊形為平行四邊形．∵軸∴四邊形為矩形∴即∵∴當(dāng)時(shí),S的最大值為．4.(2023·蘇州)【答案】（1）（2）或或【小問1詳解】解:令,則有:,解得:或∴．【小問2詳解】解:∵拋物線過∴拋物線的對稱軸為設(shè)∵∴如圖:連接,則∴∴切線為邊長的正方形的面積為過點(diǎn)P作軸,垂足為H,則:∴∵∴假設(shè)過點(diǎn),則有以下兩種情況:①如圖1:當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方,即∴,解得:或∵∴;②如圖2:當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方,即∴,解得:∵∴;綜上,或．∴當(dāng)不經(jīng)過點(diǎn)時(shí),或或．5.(2023·天津)【答案】（1）①點(diǎn)的坐標(biāo)為;點(diǎn)的坐標(biāo)為;②點(diǎn)的坐標(biāo)為（2）【小問1詳解】解:①由,得拋物線的解析式為．∵∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．當(dāng)時(shí),．解得．又點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．②過點(diǎn)作軸于點(diǎn),與直線相交于點(diǎn)．∵點(diǎn),點(diǎn)∴．可得中,．∴中,．∵拋物線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,其中∴設(shè)點(diǎn),點(diǎn)．得．即點(diǎn)．∴．中,可得．∴．又得．即．解得(舍)．∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．【小問2詳解】∵點(diǎn)在拋物線上,其中∴．得．∴拋物線的解析式為．得點(diǎn),其中．∵∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,對稱軸為直線．過點(diǎn)作于點(diǎn),則,點(diǎn)．由,得．于是．∴．即．解得(舍)．同(Ⅰ),過點(diǎn)作軸于點(diǎn),與直線相交于點(diǎn)則點(diǎn),點(diǎn),點(diǎn)．∵∴．即．解得(舍)．∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．6.(2023·無錫)【答案】或或【詳解】解:由,令,解得:,令,解得:∴,,設(shè)直線解析式為∴,解得:∴直線解析式為,當(dāng)時(shí),,則直線與y軸交于∵∴∴點(diǎn)必在內(nèi)部．(1)當(dāng)分成兩個(gè)三角形時(shí),直線必過三角形一個(gè)頂點(diǎn),平分面積,必為中線設(shè)直線的解析式為∴解得:則直線的解析式為①如圖1,直線過中點(diǎn)中點(diǎn)坐標(biāo)為,代入直線求得,不成立;②如圖2,直線過中點(diǎn),直線解析式為,中點(diǎn)坐標(biāo)為,待入直線求得;③如圖3,直線過中點(diǎn),中點(diǎn)坐標(biāo)為直線與軸平行,必不成立;(2)當(dāng)分成三角形和梯形時(shí),過點(diǎn)的直線必與一邊平行,所以必有型相似,因?yàn)槠椒置娣e,所以相似比為．④如圖4,直線∴∴∴解得;⑤如圖5,直線,,則∴,又∴∵∴不成立;⑥如圖6,直線,同理可得∴,,∴,解得;綜上所述,或或．7.(2023·無錫)【答案】（1）,（2）①;②2或【小問1詳解】∵二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn),且經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)∴,解得:∴,,;【小問2詳解】①如圖1,過點(diǎn)作軸平行線分別交,于,．∵當(dāng)時(shí),∴∴,∴∴．∵,∴∴∴∴．∵設(shè)直線的解析式為∴解得:.直線解析式為．設(shè)當(dāng)時(shí),取得最大值為的最大值為．②如圖2,已知,令,則在上取點(diǎn),使得∴設(shè),則則解得∴,即．如圖3構(gòu)造,且軸,相似比為又∵設(shè),則．分類討論:ⅰ當(dāng)時(shí),則∴與的相似比為∴,∴代入拋物線求得,（舍）．∴點(diǎn)橫坐標(biāo)為．ⅱ當(dāng)時(shí),則∴相似比為∴,∴代入拋物線求得,（舍）．∴點(diǎn)橫坐標(biāo)為．綜上所示,點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2或．8.(2023·武漢)【答案】（1）（2）的值為2或（3）點(diǎn)在定直線上【小問1詳解】∵拋物線解析式為∴當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),解得:,∴,,.【小問2詳解】解:是直線與拋物線的交點(diǎn)①如圖,若時(shí)∴∴解得,（舍去）或．②如圖,若時(shí)．過作軸于點(diǎn)．∴∴∴∴,∴解得,（舍去）或．綜上,符合題意的的值為2或．【小問3詳解】解:∵將拋物線平移得到拋物線,其頂點(diǎn)為原點(diǎn)∴∵直線的解析式為∴聯(lián)立直線與解析式得:解得:（舍去）,∴∵是的中點(diǎn)∴∴設(shè),直線的解析式為則解得,∴直線的解析式為∵直線經(jīng)過點(diǎn)∴.同理,直線的解析式為;直線的解析式為．聯(lián)立,得解得:∵直線與相交于點(diǎn)設(shè)點(diǎn)在直線上,則①整理得,比較系數(shù)得:解得:∴當(dāng)時(shí),無論為何值時(shí),等式①恒成立．∴點(diǎn)在定直線上．9.(2023·徐州)【答案】（1）,（2）①的大小不變,理由見解析;②線段的長度存在最大值為（3）【小問1詳解】解:∵∴頂點(diǎn)為令,解得或∴;【小問2詳解】解:①的大小不變,理由如下:在上取點(diǎn),使得,連接∵∴拋物線對稱軸為,即∵將線段繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到線段∴,∴是等邊三角形∴,∵,,,∴,,∴∴是等邊三角形,∴∵,∴是等邊三角形∴,∴,∵∴∵∴∴∴∴又∴是等邊三角形∴,即的大小不變;②∵∴當(dāng)最小時(shí),的長最大,即當(dāng)時(shí),的長最大∵是等邊三角形∴∴∴∴∴∴,即線段的長度存在最大值為;【小問3詳解】解:設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn),連接,過點(diǎn)作于點(diǎn)∵∴四邊形是菱形∴∵,∴∴,∵的中點(diǎn)為點(diǎn)∴∴∴∵∴,∵的中點(diǎn)為點(diǎn),是等邊三角形∴∴∴∴∴∴即∴∴∴∴故答案為.10.(2023·杭州)【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí),則時(shí),隨的增大而減小;當(dāng)時(shí),則時(shí),隨的增大而減小（3）【小問1詳解】解:把,代入,得:,解得:∴．【小問2詳解】解:∵,在圖象上∴拋物線的對稱軸為直線∴當(dāng)時(shí),則時(shí),隨的增大而減小當(dāng)時(shí),則時(shí),隨的增大而減小【小問3詳解】解:把代入,得∴∴把代入得:把代入得:把代入得:∴∵m,n,p這三個(gè)實(shí)數(shù)中,只有一個(gè)是正數(shù)∴,解得:.11.(2023·金華)【答案】（1）①;②（2）能,或或或【小問1詳解】解:①∵∴頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1．∴當(dāng)時(shí),∴點(diǎn)的坐標(biāo)是．設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為,把代入得解得．∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為即．②如圖1,過點(diǎn)作于點(diǎn)．設(shè)直線為,把代入,得解得∴直線為同理,直線為．由解得∴∴．∵∴．【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則點(diǎn)的坐標(biāo)為．①如圖,當(dāng)時(shí),存在．記,則．∵為的外角∴∵∴∴∴．過點(diǎn)作軸于點(diǎn),則在中,∴,解得．∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6．12.(2023·黃岡)【答案】（1）,2,,（2）（3）,.【小問1詳解】解:∵拋物線經(jīng)過點(diǎn),∴,解得:∴拋物線解析式為:∵拋物線與x軸交于A,兩點(diǎn)∴時(shí),,解得:,∴∴,在中,故答案為:,2,,;【小問2詳解】解:過點(diǎn)C作軸,交于點(diǎn)D,過點(diǎn)P作軸,交y軸于點(diǎn)E∵,,∴由（1）可得,,即∴∵∴∵軸,軸∴,∴又∵∴∴設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為則,∴,解得:（舍）,∴點(diǎn)P坐標(biāo)為．【小問3詳解】解:①如圖2,作,且使,連接．∵,∴∵,∴∴∴∴Q,F,H共線時(shí),的值最?。饔邳c(diǎn)G∵,∴∵∴∴．設(shè),則∴,解得或（舍去）∴∴∴,∴;②如圖3,作軸,交于點(diǎn)T,待定系數(shù)法可求解析式為設(shè),則∴∴∴∴．13.(2023·荊州)【答案】（1）0或2或（2）①6,②存在,【小問1詳解】解:函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)函數(shù)為一次函數(shù)時(shí),．當(dāng)函數(shù)為二次函數(shù)時(shí)若函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn),即與軸,軸分別只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)．當(dāng)函數(shù)為二次函數(shù)時(shí),函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn),即其中一點(diǎn)經(jīng)過原點(diǎn)綜上所述,或0．故答案為:0或2或．【小問2詳解】解:①如圖所示,設(shè)直線與交于點(diǎn),直線與交于點(diǎn)．依題意得:,解得:.拋物線的解析式為:．點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)時(shí),,,由,得直線的解析式為在直線上,且在直線上,則的橫坐標(biāo)等于的橫坐標(biāo),,．故答案為:6．②存在最大值,理由如下:如圖,設(shè)直線交軸于．由①得:,,,,,,即.,,當(dāng)時(shí),有最大值,最大值為．故答案為:．14.(2023·十堰)【答案】（1）（2）（3）【小問1詳解】解:∵拋物線過點(diǎn)和點(diǎn)∴解得:∴拋物線解析式為;【小問2詳解】∵拋物線與軸交于點(diǎn)當(dāng)時(shí),∴,則∵∴,∵點(diǎn)是的中點(diǎn),則∴設(shè)直線的解析式為∵點(diǎn)和點(diǎn)∴解得:.∴直線的解析式為設(shè)如圖所示,過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn),則,則的坐標(biāo)為∴,∴∴是等腰直角三角形設(shè),則∵∴∵∴∴∴∴即∵∴即∴∴∴又∴是等腰直角三角形∴的面積為∵的面積為當(dāng)面積是面積的3倍時(shí)即即.在中,∴∴,解得:或（舍去）.∴;【小問3詳解】∵又∴∴∴設(shè)交軸于點(diǎn),過點(diǎn)作軸于點(diǎn)∵∴∵∴設(shè),則在中,∴解得:∴設(shè)直線的解析式為∴∴∴直線的解析式為聯(lián)立解得:或∴∴∵設(shè),則∴整理得:∵在線段上（與點(diǎn)不重合）∴∴∴當(dāng)時(shí),取得的最大值為∴．15.(2023·隨州)【答案】（1）拋物線:;直線:（2）或或（3）,或,或,.【小問1詳解】解:拋物線過點(diǎn),拋物線的表達(dá)式為將點(diǎn)代入上式,得．拋物線的表達(dá)式為,即．設(shè)直線的表達(dá)式為將點(diǎn),代入上式得解得．直線的表達(dá)式為．【小問2詳解】解:點(diǎn)在直線上,且點(diǎn)的坐標(biāo)為．,．當(dāng)為等腰三角形時(shí)①若,則即解得．②若,則即解得或（舍去）．③若,則即解得（舍去）或．綜上,或或．【小問3詳解】解:點(diǎn)與點(diǎn)相對應(yīng)或．①若點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)則,,．當(dāng),即時(shí)直線的表達(dá)式為,解得或（舍去）．,即．,即解得．,．當(dāng),即時(shí),,即解得（舍去）或（舍去）．②若點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)則,．當(dāng),即時(shí)直線的表達(dá)式為,解得或（舍去）,即解得．,．當(dāng),即時(shí),．,即解得或（舍去）．,．綜上,,或,或,．16.(2023·內(nèi)江)【答案】（1）（2）存在,的最大值為,（3）或.【小問1詳解】解:由題意得:解得:拋物線的解析式為．【小問2詳解】解:設(shè)直線的解析式為,則有:解得:直線的解析式為;設(shè)（）解得:當(dāng)時(shí),的最大值為．故的最大值為,．【小問3詳解】解:存在.如圖,過作交拋物線的對稱軸于,過作交拋物線的對稱軸于,連接∵拋物線的對稱軸為直線設(shè)解得:;設(shè)直線的解析式為,則有:解得直線解析式為,且經(jīng)過直線解析式為當(dāng)時(shí),;綜上所述:存在,的坐標(biāo)為或．17.(2023·樂山)【答案】（1）0（2）①②.【小問1詳解】解:由題可知:時(shí),總有．則∴∴總成立,且;【小問2詳解】①注意到拋物線最大值和開口大小不變,m只影響圖象左右平移下面考慮滿足題意的兩種臨界情形:（i）當(dāng)拋物線過點(diǎn)時(shí),如圖所示此時(shí),,解得或（舍）．（ii）當(dāng)拋物線過點(diǎn)時(shí),如圖所示此時(shí),解得或（舍）綜上,②同①考慮滿足題意的兩種臨界情形:（i）當(dāng)拋物線過點(diǎn)時(shí),如圖所示,此時(shí),,解得或（舍）．（ii）當(dāng)拋物線過點(diǎn)時(shí),如圖所示此時(shí),,解得或0（舍）．綜上如圖,由圓的性質(zhì)可知,點(diǎn)E,F在線段的垂直平分線上．令,解得設(shè),即．,即.18.(2023·東營)【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí),矩形的周長有最大值,最大值為（3）4【小問1詳解】解:設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．∵當(dāng)時(shí),∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為．將點(diǎn)C坐標(biāo)代入表達(dá)式,得解得．∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．【小問2詳解】解:由拋物線的對稱性得:∴．當(dāng)時(shí),．∴矩形的周長為．∵∴當(dāng)時(shí),矩形的周長有最大值,最大值為．【小問3詳解】解:連接,相交于點(diǎn)P,連接,取的中點(diǎn)Q,連接．∵直線平分矩形的面積∴直線過點(diǎn)P．由平移的性質(zhì)可知,四邊形是平行四邊形∴．∵四邊形是矩形∴P是的中點(diǎn)．∴．當(dāng)時(shí),點(diǎn)A的坐標(biāo)為∴．∴拋物線平移的距離是4．19.(2023·濟(jì)寧)【答案】（1）（2）（3）存在,【小問1詳解】解:在直線中,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),∴點(diǎn),點(diǎn)設(shè)拋物線的解析式為把點(diǎn),點(diǎn)代入可得解得∴拋物線的解析式為;【小問2詳解】解:由題意,∴當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí),∴∴,設(shè)直線的解析式為把代入可得解得∴直線的解析式為又∵過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn),且拋物線對稱軸為∴∴解得（不合題意,舍去）,;【小問3詳解】解:存在,理由如下:∵∴點(diǎn)E為線段的中點(diǎn)∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為∵點(diǎn)E在直線上∴把代入中,可得解得（不合題意,舍去）,．20.(2023·日照)【答案】（1）,（2）（3）①,,;②.【小問1詳解】解:在中,當(dāng)時(shí),∴∵拋物線解析式為∴拋物線對稱軸為直線∵過點(diǎn)C作x軸的平行線交該拋物線于點(diǎn)D∴C,D關(guān)于拋物線對稱軸對稱∴;【小問2詳解】解:當(dāng)時(shí),拋物線解析式為當(dāng),即,解得或∴;如圖,設(shè)上與點(diǎn)M關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為由軸對稱的性質(zhì)可得∴解得:,即∴∴解得或（舍去）∴∴設(shè)直線的解析式為∴∴∴直線的解析式為聯(lián)立解得或∴;【小問3詳解】解:①當(dāng)時(shí),拋物線解析式為,∴∴,當(dāng)時(shí),∴拋物線恰好經(jīng)過;∵拋物線對稱軸為直線由對稱性可知拋物線經(jīng)過∴點(diǎn)時(shí)拋物線與正方形的一個(gè)交點(diǎn)又∵點(diǎn)F與點(diǎn)D重合∴拋物線也經(jīng)過點(diǎn);綜上所述,正方形的邊與拋物線的所有交點(diǎn)坐標(biāo)為,,;②如圖3-1所示,當(dāng)拋物線與分別交于T,D∵當(dāng)正方形的邊與該拋物線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn),且這兩個(gè)交點(diǎn)到x軸的距離之差為∴點(diǎn)T的縱坐標(biāo)為∴∴解得（舍去）或;如圖3-2所示,當(dāng)拋物線與分別交于T,S∵當(dāng)正方形的邊與拋物線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn),且這兩個(gè)交點(diǎn)到x軸的距離之差為∴解得（舍去,因?yàn)榇藭r(shí)點(diǎn)F在點(diǎn)D下方）如圖3-3所示,當(dāng)拋物線與分別交于T,S∵當(dāng)正方形的邊與拋物線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn),且這兩個(gè)交點(diǎn)到x軸的距離之差為∴∴∴解得或（舍去）;當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),∴不符合題意;綜上所述,．21.(2023·煙臺)【答案】（1）直線的解析式為;拋物線解析式為（2）存在,點(diǎn)M的坐標(biāo)為或或（3）【小問1詳解】解:∵拋物線的對稱軸,∴將代入直線,得解得∴直線的解析式為;