6.2.3向量的數乘運算（原卷版）

6.2.3向量的數乘運算【考點梳理】考點一：向量的數乘運算考點二：平面向量的混合運算考點三：向量的線性運算的幾何應用考點四：三角形的心的向量表示【知識梳理】知識一向量數乘的定義實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作λa，其長度與方向規(guī)定如下：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)λa(a≠0)的方向eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(當λ>0時，與a的方向相同；,當λ<0時，與a的方向相反.))特別地，當λ＝0時，λa＝0.，當λ＝－1時，(－1)a＝－a.知識二向量數乘的運算律.(1)λ(μa)＝(λμ)a.(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.特別地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.2.向量的線性運算向量的加、減、數乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算，對于任意向量a，b，以及任意實數λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.知識三向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數λ，使b＝λa.【題型歸納】題型一：向量的數乘運算1．（2022·高一）下列計算正確的個數是（）①；②；③.A．0 B．1 C．2 D．32．（2022下·寧夏銀川·高一銀川唐徠回民中學?？计谥校┧倪呅沃校?，，則下列表示正確的是（

）A． B．C． D．3．（2021下·四川成都·高一四川省蒲江縣蒲江中學?？茧A段練習）已知，是實數，，是向量，則下列命題中正確的為（

）①；②；③若，則；④若，則．A．①④ B．①② C．①③ D．③④題型二：平面向量的混合運算4．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高一統(tǒng)考期中）在中，是的中點，在上且，記，，則（）A． B．C． D．5．（2023·高一）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．6．（2021·高一課時練習）已知O是△ABC所在平面內一點，D為BC邊中點.（1）若點O滿足，求證：；（2）已知E為AC邊中點，O在線段DE上，且滿足，△BOC的面積為2，求△ABC的面積.題型三：向量的線性運算的幾何應用7．（2023上·北京順義·高一牛欄山一中校考期中）如圖所示，在中，點是線段上靠近的三等分點，點是線段的中點，則（

）A．B．C． D．8．（2023下·福建三明·高一統(tǒng)考期末）在平行四邊形ABCD中，，，G為EF的中點，則（

）A． B． C． D．9．（2023·全國·高一隨堂練習）如圖，點D是中BC邊的中點，，.(1)試用，表示；(2)若點G是的重心，能否用，表示？(3)若點G是的重心，求.題型四：三角形的心的向量表示10．（2023·江蘇·高一專題練習）已知O是平面上的一個定點，A?B?C是平面上不共線的三點，動點P滿足，則點P的軌跡一定經過的（

）A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心11．（2022下·山東濟寧·高一統(tǒng)考期中）已知△ABC，點G、M滿足，，則(

)A． B．C． D．12．（2021下·四川自貢·高一統(tǒng)考期末）已知是所在平面內的一動點，且，則點的軌跡一定通過的（

）．A．外心 B．內心 C．重心 D．垂心【雙基達標】一、單選題13．（2024·全國·高一假期作業(yè)）已知四邊形為平行四邊形，與相交于，設，則等于（

）A． B．C． D．14．（2023下·全國·高一隨堂練習）已知平面內四個不同的點滿足，則（

）A． B． C．2 D．315．（2023下·全國·高一期中）平面上點P與不共線三點A、B、C滿足關系式：，則下列結論正確的是（

）A．在上，且 B．在上，且C．在上，且 D．點為的重心16．（2023下·重慶綦江·高一?？计谥校┗啚椋?/p>

）A． B．C． D．17．（2023·全國·高一隨堂練習）求下列未知向.(1)；(2)；(3).18．（2023下·陜西西安·高一西安市鐵一中學校考期中）如圖，已知點是的重心，若過的重心，且，，，（，），試求的最小值．【高分突破】一、單選題19．（2023下·云南·高一校聯考期末）在中，線段為邊上的中線，點滿足，記，則（

）A． B．C． D．20．（2023下·江西贛州·高一校聯考期末）在中，點滿足，則（

）A． B．C． D．21．（2023下·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期中）如圖所示，在中，，P是上的一點，若，則實數m的值為（

）．A． B． C． D．22．（2023下·江蘇鹽城·高一鹽城市第一中學校聯考期中）已知A、B、C是平面上不共線的三點，O是△ABC的重心，點P滿足，則與面積比為（

）A．5:6 B．1:4 C．2:3 D．1:223．（2023·高一課時練習）已知m、n是實數，、是向量，對于命題：①

②③若，則

④若，則其中正確命題的個數是：（

）A．1 B．2 C．3 D．424．（2023下·云南玉溪·高一云南省玉溪第一中學?？茧A段練習）在平行四邊形中，，，設，則（

）A． B． C． D．二、多選題25．（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾中學?？计谥校┤鐖D在中，AD?BE?CF分別是邊BC?CA?AB上的中線，且相交于點G，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．26．（2023下·浙江嘉興·高一?？计谥校┤鐖D，點是線段的三等分點，則下列結論正確的有（

）A． B．C． D．27．（2023下·全國·高一隨堂練習）設點M是所在平面內一點，則下列說法正確的是（

）A．若，則點M是BC的中點B．若，則點M是的重心C．若，則點M，B，C三點共線D．若，則28．（2023下·安徽蕪湖·高一安徽師范大學附屬中學校考期中）在中，，以下結論正確的是（

）A． B．C． D．29．（2023上·高一單元測試）已知，若點滿足，則下列說法正確的是（

）A．點一定在內部 B．C． D．三、填空題30．（2023下·全國·高一隨堂練習）在中，D為CB上一點，E為AD的中點，若，則．31．（2023下·河北石家莊·高一?？计谥校┰O是內部一點，且，則．32．（2023下·安徽蕪湖·高一安徽師范大學附屬中學?？计谥校┤龂鴷r期東吳的數學家趙爽為了證明勾股定理，繪制了一張勾股圓方圖（也稱趙爽弦圖），弦圖作為可分解的一種圖模型在代數與幾何，以及復雜統(tǒng)計量的分解和參數估計都有著極大的作用.現有一弦圖，為正方形，，過作的垂線交于點，線段上存在一點，使得，則.33．（2023下·天津·高一靜海一中校聯考期末）已知點是內部一點，并且滿足的面積為，的面積為，則.34．（2023·高一課時練習）下列命題：①如果非零且模不相等的向量與的方向相同或相反，那么的方向必與，之一的方向相同；②中，必有；③若，則A、B、C為一個三角形的三個頂點；④若，均為非零向量，則．其中正確命題的題號為．四、解答題35．（2022下·高一校考單元測試）如圖所示，梯形ABCD中，，且，分別是和的中點，若，，試用表示.