6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算（原卷版）

6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：向量的數(shù)乘運(yùn)算考點(diǎn)二：平面向量的混合運(yùn)算考點(diǎn)三：向量的線性運(yùn)算的幾何應(yīng)用考點(diǎn)四：三角形的心的向量表示【知識(shí)梳理】知識(shí)一向量數(shù)乘的定義實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa，其長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)λa(a≠0)的方向eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(當(dāng)λ>0時(shí)，與a的方向相同；,當(dāng)λ<0時(shí)，與a的方向相反.))特別地，當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0.，當(dāng)λ＝－1時(shí)，(－1)a＝－a.知識(shí)二向量數(shù)乘的運(yùn)算律.(1)λ(μa)＝(λμ)a.(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.特別地，(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.2.向量的線性運(yùn)算向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，對(duì)于任意向量a，b，以及任意實(shí)數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.知識(shí)三向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.【題型歸納】題型一：向量的數(shù)乘運(yùn)算1．（2022·高一）下列計(jì)算正確的個(gè)數(shù)是（）①；②；③.A．0 B．1 C．2 D．32．（2022下·寧夏銀川·高一銀川唐徠回民中學(xué)?？计谥校┧倪呅沃校?，則下列表示正確的是（

）A． B．C． D．3．（2021下·四川成都·高一四川省蒲江縣蒲江中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，是實(shí)數(shù)，，是向量，則下列命題中正確的為（

）①；②；③若，則；④若，則．A．①④ B．①② C．①③ D．③④題型二：平面向量的混合運(yùn)算4．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高一統(tǒng)考期中）在中，是的中點(diǎn)，在上且，記，，則（）A． B．C． D．5．（2023·高一）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．6．（2021·高一課時(shí)練習(xí)）已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，D為BC邊中點(diǎn).（1）若點(diǎn)O滿足，求證：；（2）已知E為AC邊中點(diǎn)，O在線段DE上，且滿足，△BOC的面積為2，求△ABC的面積.題型三：向量的線性運(yùn)算的幾何應(yīng)用7．（2023上·北京順義·高一牛欄山一中?？计谥校┤鐖D所示，在中，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則（

）A．B．C． D．8．（2023下·福建三明·高一統(tǒng)考期末）在平行四邊形ABCD中，，，G為EF的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．9．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）如圖，點(diǎn)D是中BC邊的中點(diǎn)，，.(1)試用，表示；(2)若點(diǎn)G是的重心，能否用，表示？(3)若點(diǎn)G是的重心，求.題型四：三角形的心的向量表示10．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知O是平面上的一個(gè)定點(diǎn)，A?B?C是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心11．（2022下·山東濟(jì)寧·高一統(tǒng)考期中）已知△ABC，點(diǎn)G、M滿足，，則(

)A． B．C． D．12．（2021下·四川自貢·高一統(tǒng)考期末）已知是所在平面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，且，則點(diǎn)的軌跡一定通過的（

）．A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題13．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知四邊形為平行四邊形，與相交于，設(shè)，則等于（

）A． B．C． D．14．（2023下·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）已知平面內(nèi)四個(gè)不同的點(diǎn)滿足，則（

）A． B． C．2 D．315．（2023下·全國(guó)·高一期中）平面上點(diǎn)P與不共線三點(diǎn)A、B、C滿足關(guān)系式：，則下列結(jié)論正確的是（

）A．在上，且 B．在上，且C．在上，且 D．點(diǎn)為的重心16．（2023下·重慶綦江·高一?？计谥校┗?jiǎn)為（

）A． B．C． D．17．（2023·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）求下列未知向.(1)；(2)；(3).18．（2023下·陜西西安·高一西安市鐵一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知點(diǎn)是的重心，若過的重心，且，，，（，），試求的最小值．【高分突破】一、單選題19．（2023下·云南·高一校聯(lián)考期末）在中，線段為邊上的中線，點(diǎn)滿足，記，則（

）A． B．C． D．20．（2023下·江西贛州·高一校聯(lián)考期末）在中，點(diǎn)滿足，則（

）A． B．C． D．21．（2023下·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期中）如圖所示，在中，，P是上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)m的值為（

）．A． B． C． D．22．（2023下·江蘇鹽城·高一鹽城市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，O是△ABC的重心，點(diǎn)P滿足，則與面積比為（

）A．5:6 B．1:4 C．2:3 D．1:223．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知m、n是實(shí)數(shù)，、是向量，對(duì)于命題：①

②③若，則

④若，則其中正確命題的個(gè)數(shù)是：（

）A．1 B．2 C．3 D．424．（2023下·云南玉溪·高一云南省玉溪第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平行四邊形中，，，設(shè)，則（

）A． B． C． D．二、多選題25．（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾中學(xué)?？计谥校┤鐖D在中，AD?BE?CF分別是邊BC?CA?AB上的中線，且相交于點(diǎn)G，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．26．（2023下·浙江嘉興·高一?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．27．（2023下·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）設(shè)點(diǎn)M是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)B．若，則點(diǎn)M是的重心C．若，則點(diǎn)M，B，C三點(diǎn)共線D．若，則28．（2023下·安徽蕪湖·高一安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┰谥?，，以下結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．29．（2023上·高一單元測(cè)試）已知，若點(diǎn)滿足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．點(diǎn)一定在內(nèi)部 B．C． D．三、填空題30．（2023下·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）在中，D為CB上一點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，若，則．31．（2023下·河北石家莊·高一?？计谥校┰O(shè)是內(nèi)部一點(diǎn)，且，則．32．（2023下·安徽蕪湖·高一安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）三國(guó)時(shí)期東吳的數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，繪制了一張勾股圓方圖（也稱趙爽弦圖），弦圖作為可分解的一種圖模型在代數(shù)與幾何，以及復(fù)雜統(tǒng)計(jì)量的分解和參數(shù)估計(jì)都有著極大的作用.現(xiàn)有一弦圖，為正方形，，過作的垂線交于點(diǎn)，線段上存在一點(diǎn)，使得，則.33．（2023下·天津·高一靜海一中校聯(lián)考期末）已知點(diǎn)是內(nèi)部一點(diǎn)，并且滿足的面積為，的面積為，則.34．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列命題：①如果非零且模不相等的向量與的方向相同或相反，那么的方向必與，之一的方向相同；②中，必有；③若，則A、B、C為一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)；④若，均為非零向量，則．其中正確命題的題號(hào)為．四、解答題35．（2022下·高一?？紗卧獪y(cè)試）如圖所示，梯形ABCD中，，且，分別是和的中點(diǎn)，若，，試用表示.