2022-2023學(xué)年浙江省寧波市九校聯(lián)考高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

2022-2023學(xué)年浙江省寧波市九校聯(lián)考高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.（5分）已知復(fù)數(shù)Zq1，則Z的共輒復(fù)數(shù)的虛部為（）

l-2i

A.1B.zC.-iD.-1

2.（5分）在平面直角坐標(biāo)系X。），中，若角α以X軸的非負(fù)半軸為始邊，且終邊過點(diǎn)（4,

-3）,則cos（aT）的值為（）

A.∕?B.3C.-1D.A

5555

3.（5分）設(shè)/是一條直線，a,B是兩個不同的平面，下列說法正確的是（）

A.若/〃a,/〃β,則a〃pB.若a,β,l∕∕a,則/Lβ

C.若/La,∕lβ,則a〃0D.若a"β,l∕∕a,則/〃0

4.（5分）在《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉膈.在鱉席A-BCD

中，ABL平面BCD,BCLCD,且AB=BC=CD=I,則其內(nèi)切球表面積為（）

A.3πB.√3πC.（3-2√2）πD.（√2-1）π

5.（5分）己知等比數(shù)列｛出｝的前〃項積為7",若T7>T9>T8,則（）

A.q<0B.aι<0C.7'∣5<1<Γ∣6D.7,∣6<1<T17

6.（5分）如圖，在棱長均為2的直三棱柱ABC-AIBICI中，。是AIBI的中點(diǎn)，過B,C,

。三點(diǎn)的平面將該三棱柱截成兩部分，則頂點(diǎn)B所在部分的體積為（）

A.B.C.√3D.

366

7.（5分）在AABC中，Po是邊AB的中點(diǎn)，且對于邊AB上任意一點(diǎn)P,恒有

拜?云》晤?耳。則AABC-?定是（）

A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形

8.（5分）十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家皮埃爾?德?費(fèi)馬提出的一個著名的幾何問題：“已知一個三

角形，求作一點(diǎn)，使其與這個三角形的三個頂點(diǎn)的距離之和最小”.它的答案是：當(dāng)三角

形的三個角均小于120°時，所求的點(diǎn)為三角形的正等角中心，即該點(diǎn)與三角形的三個頂

點(diǎn)的連線兩兩成角120°；當(dāng)三角形有一內(nèi)角大于或等于120°時，所求點(diǎn)為三角形最大

內(nèi)角的頂點(diǎn).在費(fèi)馬問題中所求的點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn)，已知在aABC中，已知c=∣?兀，AC

=1,BC=I,且點(diǎn)M在AB線段上，且滿足CM=B若點(diǎn)尸為aAMC的費(fèi)馬點(diǎn)，則

......?、

PAPM+PMPC+PAPC()

A.-1B._AC.-?D.上

555

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

（多選）9.（5分）下列說法正確的是（)

A.若aHb，bIl0則aIlcb?I(ab)?C∣≤IaI∣bIICI

c.若Zl（b-c）.則ZE=Zqd?(a?b)-b=a?(b)2

（多選）10.（5分）下列說法正確的是（)

Tr

A.若f（χ）=si∏3x+2cos（3乂土丁>3>°的最小正周期為n,則3=2

B.在aABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,∣）∣∣JαA>Bn是''α>b''的充要條

C.三個不全相等的實(shí)數(shù)”，b,C依次成等差數(shù)列，則2。，2b,2?？赡艹傻炔顢?shù)列

D.ZXABC的斜二測直觀圖是邊長為2的正三角形，則AABC的面積為斯

（多選）11.（5分）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的數(shù)學(xué)著作，其中第十一卷稱軸

截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐.如圖，AB,8是直角圓錐So底面圓的兩條

不同的直徑，下列說法正確的是（）

A.存在某條直徑CzX使得AOLSQ

B.若AB=2,則三棱錐S-Aoz）體積的最大值為工

6

C.對于任意直徑CD,直線AQ與直線S3互為異面直線

D.若NABD=工，則異面直線SA與CD所成角的余弦值是返?

64

（多選）12.（5分）己知數(shù)列｛如｝中各項都小于2,2-4加+1=/-3如,記數(shù)列｛4,,｝

"an+ln

的前〃項和為S”則以下結(jié)論正確的是（）

A.任意a?與正整數(shù)m,使得ama∣∣ι+ι≥0

B.存在m與正整數(shù)相，使得aι>Aa

C.任意非零實(shí)數(shù)αι與正整數(shù)機(jī)，都有","+ι<αm

D.若m=l,則S2022∈（1.5,4）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）杭州第19屆亞運(yùn)會會徽“潮涌”的主題圖形融合了扇面、錢塘江、錢江潮頭、

賽道、互聯(lián)網(wǎng)及太陽六大元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蘊(yùn).在中國歷史

上，歷代書畫家都喜歡在扇面上繪畫或書寫以抒情達(dá)意.一幅扇面書法作品如圖所示，

經(jīng)測量，上、下兩條弧分別是半徑為30和12的兩個同心圓上的?。ㄩL度單位為cm）,

側(cè)邊兩條線段的延長線交于同心圓的圓心，且圓心角為空.若某空間幾何體的側(cè)面展

3

開圖恰好與圖中扇面形狀、大小一致，則該幾何體的高為.

Hengzhou2022

Trcosac÷cosa∏

14.（5分）已知等差數(shù)列｛<?｝,“8=8,a-g+-,則-------------L=___.

93COSa6

15.（5分）如圖，在直三棱柱ABC-AlBICl中，BC=CCl=3,AC=4,ACLBC,動點(diǎn)、P

在BICl內(nèi)（包括邊界上），且始終滿足BPLAB?,則動點(diǎn)P的軌跡長度

是.

16.(5分)已知向量a，b的夾角為，且Z昆=3，向量C滿足

3

—?∣-1—?—?—?—?、―Ic-aOb∣τι∣∣22

c=λa+(l-λ)b(0≤λ<Cl),且a?c=b?c'τu×~∣-∣,V^∣-∣,人J*+)'一孫

IalIbI

的最大值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)定義一種運(yùn)算：(a,b)[+ac+bd?

(1)已知Z為復(fù)數(shù)，且(3,W)∣^j=7-3i,求團(tuán)；

2S1

⑵已知X,y為實(shí)數(shù)，(y+sin2x,2)卜]-(l,si∏x)^也是實(shí)數(shù)，將y

LyJ2√3i

表示為X的函數(shù)并求該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.

18.(12分)今年9月，象山將承辦第19屆杭州亞運(yùn)會帆船與沙灘排球項目比賽，屆時大

量的游客來象打卡“北緯30度最美海岸線”.其中亞帆中心所在地——松蘭山旅游度假

區(qū)每年各個月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)會發(fā)生周期性的變化.現(xiàn)假設(shè)該景區(qū)每年各個

月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)可近似地用函數(shù)/(x)=4(HACoS3(x+4)+A]來刻畫.其

中正整數(shù)X表示月份且x∈[l,12],例如X=I時表示1月份，A和％是正整數(shù)，ω>0.統(tǒng)

計發(fā)現(xiàn)，該景區(qū)每年各個月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)有以下規(guī)律：

①各年相同的月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)基本相同；

②從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)最多的8月份和最少的2月份相差約160人；

③2月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)約為40人，隨后逐月遞增直到8月份達(dá)到最多.

(1)試根據(jù)已知信息，確定一個符合條件的y=∕(x)的表達(dá)式；

(2)一般地，當(dāng)該地區(qū)從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)超過160人時，該地區(qū)就進(jìn)入了一年中

的旅游旺季，那么一年中的哪幾個月是該地區(qū)的旅游旺季？請說明理由.

19.(12分)已知數(shù)列｛a”｝的前〃項和為S",且S"=Q+4"-3.

(1)求｛所｝的通項公式;

(2)記d="22+5,數(shù)列｛d｝的前〃項和為7“，求刀”

SnSnH

20.(12分)在aABC中，內(nèi)角A,B都是銳角.

(1)若Ncf,c=2,求AABC周長的取值范圍;

(2)若si/A+si/BAsi/c,求證：sin2A+sin2B>1.

21.(12分)已知邊長為6的菱形ABCDNABC=*，把AABC沿著AC翻折至4A8ιC

的位置，構(gòu)成三棱錐Bi-ACD,且而=?DB卜CF=>?-CD,EFX??-

232

(1)證明:AC±B1D;

(2)求二面角B?-AC-D的大?。?/p>

(3)求EF與平面ABlC所成角的正弦值.

22.(12分)已知數(shù)列｛劭｝中，αι=l,當(dāng)〃22時，其前八項和S滿足：?2=,(s,,-1),

IJnω

bbb

且為r0,數(shù)列｛晟｝滿足：對任意"6N*有一L—??+…LH?=(n-l).2nH+2?

sIs2sn

(1)求證：數(shù)列｛」_｝是等差數(shù)列；

Sn

(2)求數(shù)列｛加｝的通項公式；

(3)設(shè)。是數(shù)列｛2n-l的前〃項和,求證：TnVL

b2n-bn6

2022-2023學(xué)年浙江省寧波市九校聯(lián)考高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.（5分）已知復(fù)數(shù)2上呈，則Z的共加復(fù)數(shù)的虛部為（）

l-2i

A.1B.zC.-zD.-1

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合共規(guī)復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，即可求解.

【解答】解:_l+3i=(l+3i)(l+2i)=_1+z?

z-l-2i(l-2i)(l+2i)

則W=-I-i，其虛部為-L

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查共軌復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.（5分）在平面直角坐標(biāo)系XO），中，若角α以X軸的非負(fù)半軸為始邊，且終邊過點(diǎn)（4,

-3）,則cos（aT）的值為（）

A..J.B.3C.-AD.4

5555

【分析】由三角函數(shù)定義及誘導(dǎo)公式直接可得.

【解答】解：由三角函數(shù)定義有Sina=衛(wèi)，

5

所以COS（Q=Sina=衛(wèi).

25

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查三角函數(shù)定義及誘導(dǎo)公式，屬基礎(chǔ)題.

3.（5分）設(shè)/是一條直線，a,0是兩個不同的平面，下列說法正確的是（）

A.若/〃a,/〃β,則a〃BB.若aJ_B，l∕∕a,則UB

C.若/J_a,∕lβ,則a〃BD.若a〃0,l∕∕a,則/〃β

【分析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面間的位置關(guān)系逐一分析四個選

項得答案.

【解答】解：若/〃a,/〃仇則a〃0或a與B相交，故A錯誤；

若。_1_0,l∕∕a,則∕u0或/〃0或/與β相交，故8錯誤；

若/La,∕±β,則a〃β,故C正確；

若a“β,l∕∕a,則/〃β或/u0,故。錯誤.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面間位置關(guān)系的判定，考

查空間想象能力與思維能力，是基礎(chǔ)題.

4.(5分)在《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臃.在鱉腌A-BCD

中，A8_L平面BCD,BCVCD,且AB=BC=CD=1,則其內(nèi)切球表面積為()

A.3πB.√3KC.(3-2√2)KD.(√2-1)Jl

【分析】利用體積相等，找到球的半徑即可.

【解答】解：因?yàn)樗拿骟wABe。四個面都為直角三角形,

ABl5PffiBCD,BCLCD,所以ABj_2￡>,ABVBC,BCLCD,ACVCD,

設(shè)四面體ABCD內(nèi)切球的球心為0,半徑為r,

則VABCD=VeHABC+vOABD+V0-ACD+VO-BCD=^r(s?ABC+s?ABD+s?ACD+s?BCD)'

所以*3?P..,因?yàn)樗拿骟wABCD的表面積為

sABCD

SABCD=S2kABC+^?ABD+ΛACD+^ΛBCD=,

又因?yàn)樗拿骟w的體積%KD=LχLχ1×1×1」，

326

A2

所以“3Vg”=返二工所以內(nèi)切球表面積s=4兀r=(3-2√2)∏?

sADSD2

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查內(nèi)切球問題，屬于中檔題.

5.(5分)己知等比數(shù)列｛如｝的前〃項積為7?,若Γ7>T9>T8,則()

A.q<0B.a↑<0C.T15<1<Γ16D.Ti6<l<Ti7

【分析】直接利用等比數(shù)列的性質(zhì)判斷A、B、C、。的結(jié)論.

【解答】解：因?yàn)榈缺葦?shù)列｛以｝的前〃項積為力”

若T7>T9>T8,

故1>4849,U9>?,?8<1；

所以ajq8>],所以小>0,O<g<l;

8

所以T16=aι?a2?...?aι5?a16=(a8a9)<l，

τ_aa_=a17>1

T17=a1?a2"...i6"i79'

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的理解能力和計算能力,

屬于基礎(chǔ)題.

6.(5分)如圖，在棱長均為2的直三棱柱ABC-AiBiCi中，。是AiBi的中點(diǎn)，過B,C,

。三點(diǎn)的平面將該三棱柱截成兩部分，則頂點(diǎn)與所在部分的體積為()

A.ZV?B..5V?C.√3D.7心..

366

【分析】取AlcI的中點(diǎn)E,連接Z)E,CE,則易得過8,C,。三點(diǎn)的平面截該三棱柱的

截面為梯形8CEQ,從而可得所求體積為：丫_輅,一M_V-玷公，再

，二棱柱ABC-AIB：C：V二棱臺AIDE-ABC

根據(jù)柱體的體積公式及臺體的體積公式，計算即可得解.

【解答】解：如圖，取4。的中點(diǎn)E,連接DE,CE,又。是AIBl的中點(diǎn)，

J.DE∕∕B?C?,J≡LDf=AfiiQ,

2

又BlCI〃BC,且BICI=BC,

J.DE//BC,且DE=工BC,

2

.?.過8,C,。三點(diǎn)的平面截該三棱柱的截面為梯形BCEr),

二所求體積為：V三棱柱ABC-A凡C：-V三棱臺A：DE-ABC

y×2×2×2y-×2

y×?×1×l×2y-4?×2×2×^^+

×2

=溫斗唔

66

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查幾何體的體積的求解，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

7.（5分）在aABC中，PO是邊AB的中點(diǎn)，且對于邊AB上任意一點(diǎn)P,恒有

拜?衣》晤?耳。則AABC一定是（）

A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形

【分析】根據(jù)題意建立合適的直角坐標(biāo)系，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得關(guān)于X的二

次不等式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求.

【解答】解：以43所在直線為X軸，以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,

設(shè)AB=4,

則A(-2,O),B(.2,0),C(α,b),P(0,0),Po(x,0),

所以說=(2-X,0),PC=(a-X'b),p^β=(2,0),(小b),

因?yàn)楹阌邪?正〉POW?P()&則(2-x)(α-χ)N(2a,

整理得x2-(α+2)x20恒成立，

故4=(α+2)2≤0,即α=-2,此時BAJ_AC,

所以NA=90°,

所以aABC為直角三角形.

故選:A.

【點(diǎn)評】本題主要考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示在三角形形狀判斷中的應(yīng)用，屬于

中檔題.

8.（5分）十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家皮埃爾?德?費(fèi)馬提出的一個著名的幾何問題：”已知一個三

角形，求作一點(diǎn)，使其與這個三角形的三個頂點(diǎn)的距離之和最小”.它的答案是：當(dāng)三角

形的三個角均小于120°時，所求的點(diǎn)為三角形的正等角中心，即該點(diǎn)與三角形的三個頂

點(diǎn)的連線兩兩成角120°：當(dāng)三角形有一內(nèi)角大于或等于120°時，所求點(diǎn)為三角形最大

內(nèi)角的頂點(diǎn).在費(fèi)馬問題中所求的點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn)，已知在aABC中，已知‘=|_兀，AC

=1,BC=2,且點(diǎn)M在AB線段上，且滿足CM=B若點(diǎn)尸為AAMC的費(fèi)馬點(diǎn)，則

PAPM+PM?PC+PA?PC=(

A.-IB.-J.C.-ΛD.上

555

【分析】由余弦定理可得AB,再由正弦定理可得SinB,進(jìn)而求得CoSB,設(shè)CM=8M=x,

由余弦定理可得CM,進(jìn)而求出AAMC的面積，根據(jù)定義可得戶為三角形的正等角中心,

再由等面積法可得I談∣?∣而1+1而1I元1+1近∣.I正I=殳，再由平面向量的數(shù)

5

量積公式得解.

【解答】解:因?yàn)镃=^兀，AC=I,BC=2,

所以由余弦定理可得ABWAC2+CB2-2ACCBCoSC=√7>

ιy√3

IxT√21

由正弦定理可得一即SinB=ACSinC

sinBsinCAB√7?14,

又8為銳角,

設(shè)CM=8M=x,則CM1CB1+BM1-2CBBMcosC,

即2彳上2IOV7

即X=4+x--—X，

解得X上卓，即BMqAB，

DO

所以AMAB金2，

OD

則SAAMC4SAABC4×∣×1×2×4?

6328

又。二

cSNAKW2祟；AC?亭:>O,

2AM-CM…附7、，2√7

2×-5-X^

則NAMC為銳角，

所以AAMC的三個內(nèi)角均小于120°,

則P為三角形的正等角中心，

所以

SAAMCVIPAlTPMlSirT^-VIPM∣?∣PC∣Sin+；∣PA∣?∣PC∣sin3y-

~(∣PAI-∣PMI+∣PMI-∣PCI+∣PA∣?∣PC∣)=?'

所以同|?回1+西I?國|+|而H正14，

D

所以PAPM+PMPC+PAPC

IPAIaIPMIcos?+IPMI?IPCICoSQ+∣PA∣?∣PC∣cos?

=-y(IPAI-Ira∣+∣≡I-∣PC∣+∣PA∣?∣PC|)

=Iy6-3

255

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查正余弦定理的運(yùn)用，考查平面向量的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力,

屬于中檔題.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分.

(多選)9.(5分)下列說法正確的是()

A.若a"b，b"c，則a"cb?∣(ab)?c∣≤∣a∣∣b∣∣c∣

c.若；IG二)，貝W?EQAD,α?b)?b=ι?(b)2

【分析】根據(jù)平面向量的基本概念，對選項中的命題真假性判斷即可.

【解答】解：對于A,當(dāng)芯=3時，滿足Z//E，b//o不能得出Z”3,選項4錯誤；

對于B,∣C?K)3=∣(∣Z∣E∣cos<Z,b>ld)∣≤IaIIbIId.當(dāng)且僅當(dāng)；與％共線時取“=”，

所以選項B正確；

對于C,ζ1(b-c)W-a?(b-C)=0,即ZE=Z?Z選項C正確；

對于O,(W?E)?E是數(shù)乘向量，與E共線的向量，Z?(K)?也是數(shù)乘向量，與之共線的向

量，所以等式不成立，選項。錯誤.

故選：BC.

【點(diǎn)評】本題考查了平面向量的基本概念與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

(多選)10.(5分)下列說法正確的是()

A.若f(χ)=sin3χ+2cos(3乂止去)，3>°的最小正周期為π,則3=2

B.在AABC中，角4,B,C的對邊分別為小b,c,則“A>B"是"a>b"的充要條

件

C.三個不全相等的實(shí)數(shù)”,從C依次成等差數(shù)列，則2“，2b,2?？赡艹傻炔顢?shù)列

D.AABC的斜二測直觀圖是邊長為2的正三角形，則AABC的面積為2?0

【分析】根據(jù)題意，分別對選項中的命題真假性判斷即可.

【解答】解：對于A,/(?)=sinωx+2cos(ωx+-2L)=(1-5/3)sinωx+c0s3χ=√5-2√3sin

3

(αrr+φ),其中tanφ=——?--=-°,

1√32

若/(龍)的最小正周期為π,則ω==2L=2,選項A正確；

π

對于8,ZiABC中，A>B得出”>b,充分性成立，4>6也能得出A>B,必要性成立，

是充要條件，選項B正確；

對于C,若2。，2b,2。成等差數(shù)列，則2?2萬=2。+2。，所以2=2。"+2。"，所以α-6=c

→=0,即α=b=c,所以選項C錯誤；

對于D,?ABC的斜二測直觀圖是邊長為2的正三角形，貝IJA4BC的面積為2近S直觀圖

=2√2×^-×22=2√6>選項。正確.

4

故選：ABD.

【點(diǎn)評】本題考查了命題真假性判斷問題，也考查了推理與判斷能力，是中檔題.

（多選）11.（5分）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的數(shù)學(xué)著作，其中第十一卷稱軸

截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐.如圖，AB,C。是直角圓錐SO底面圓的兩條

不同的直徑，下列說法正確的是（）

A.存在某條直徑CQ,使得ADLSO

B.若48=2,則三棱錐S-Ao。體積的最大值為工

6

C.對于任意直徑C。，直線AO與直線SB互為異面直線

D.若NABD=三，則異面直線SA與Co所成角的余弦值是亞

64

【分析】對4選項，根據(jù)三垂線定理，即可判斷；

對8選項，當(dāng)Ao_L。。時，三角形AOD的面積取得最大值，從而得此時三棱錐S-A0。

體積取得最大值，再計算即可求解與判斷；

對C選項，根據(jù)異面直線的判定定理，即可判斷；

對。選項，根據(jù)向量法，向量夾角公式，即可求解與判斷.

【解答】解：對A選項，YS。在底面的射影為8,而CD與AD夾角始終為銳角，

AO與4。不垂直，；.根據(jù)三垂線定理可知Ao與SZ）不垂直，；.A選項錯誤；

對B選項，若4B=2,則三棱錐S-40。的高為So=1,

當(dāng)AOLDO時?，三角形A。。的面積取得最大值為∕χ1×I=X

此時三棱錐S-AOD體積取得最大值為工×A×1=工，,B選項正確;

326

對C選項，?.?A8,CD是直角圓錐S。底面圓的兩條不同的直徑,

???根據(jù)異面直線的判定定理可知:

對于任意直徑CD，直線AO與直線SB互為異面直線，.?.C選項正確;

對。選項，若NABD=看，則NA04=g,設(shè)圓錐的底面圓半徑為r,

.,.SA-OD=(OA-OS)'OD=OA-OD-OS-OD

2_

r×r×co^y-θ??-又易知I豆I=IODI=r,

2

r

SA*0D

?'?cos<SA,OD>=Γ=&

ISAIIODI√2r×r4

異面直線SA與CZ)所成角的余弦值是亞，；.O選項正確.

4

故選：BCD.

【點(diǎn)評】本題考查線線垂直的判斷，三棱錐的體積的最值的求解，異面直線的判定定理,

向量法求解異面直線所成角，三垂線定理的應(yīng)用，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

(多選)12.(5分)已知數(shù)列｛斯｝中各項都小于2,2-4w,,ι=2-3ω,,記數(shù)列｛珈｝

an+l+an

的前幾項和為S?,則以下結(jié)論正確的是()

A.任意a↑與正整數(shù)m,使得amamλ-?20

B.存在m與正整數(shù)相，使得a,>3

am+l4jtl

C.任意非零實(shí)數(shù)a?與正整數(shù)m,都有am+[<aιn

D.若41=1,則S2022∈(1.5,4)

(a-3)/

【分析】由題意，根據(jù)遞推公式得到aLa=--------------二，進(jìn)而即可判斷選項A；令/

“n+Idnan+l-4

(X)=∕-4x,得到f(a11+ι)>fc∣a∕結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可得到對于任意正

整數(shù)”，都有a<3，從而判斷選項B；對m=0,OValV2,m<0這三種情況進(jìn)

an+l、4n

行分析，即可判斷選項C;結(jié)合選項A和選項C即可判斷選項。.

【解答】解：對于選項4因?yàn)锧2「4a=a2-3a，

an+l^an+l1anJan

所以(<7/7+1-4)Cln+1=(a,ι-3)Clm

整理得加+]=凡3)a??,

a∏+l-4

/_□\2

所以ana,,+?=-^_‰0,故選項A正確；

an+l^4

對于選項B：不妨設(shè)/(x)=x2-4x,

2

因?yàn)镴+ι-4an+ι=a,4(*an)>an)-4(?a??)`

^f(an+1)>f({an)-

而/(X)=2x-4—2(χ-2),

當(dāng)x<2時，/(x)<0,/(X)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>2時，/(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

所以對于任意正整數(shù)"，都有a<<-a'故選項B錯誤；

an-l4n

對于選項C由A可知所有〃〃同號，

①當(dāng)m=0時，對于任意正整數(shù)%都有Z=0；

②當(dāng)OValV2時，OVV2,狗2-4an+?=a^-3a∏>a^-4an,

an+lnn

所以/(4〃+1)>f(a〃),

又函數(shù)/(x)在(-8,2)上單調(diào)遞減，

所以對于任意正整數(shù)〃，都有如+1V呢；

③當(dāng)mVO時，/-4。〃+1=。2--4〃〃，

αn+lnn

所以F(Ow+1)Vf(a〃),

又函數(shù)/(x)在(-8,2)上單調(diào)遞減，

所以對于任意正整數(shù)小都有故選項C正確；

對于選項。：因?yàn)閷τ谌我庹麛?shù)〃，都有a,<-a，

Λ∏-1^Ξ4n

ni

當(dāng)m=l時,an≤(旦)',

4

1/3x2022

2022qI-(T)o

所以S2022Wy(W)-I=-------?--------=4[l-(A)2022]<4,

?14144

4

因?yàn)楫?dāng)41=1時，OVsWl,

又/-4〃2+2=0,

a2

解得02=2-&>工，

2

所以S2022>S2>3,

2

則S2022∈(1,5,4),故選項。正確；

故選：AD.

【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的遞推式，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)杭州第19屆亞運(yùn)會會徽“潮涌”的主題圖形融合了扇面、錢塘江、錢江潮頭、

賽道、互聯(lián)網(wǎng)及太陽六大元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蘊(yùn).在中國歷史

上，歷代書畫家都喜歡在扇面上繪畫或書寫以抒情達(dá)意.一幅扇面書法作品如圖所示，

經(jīng)測量，上、下兩條弧分別是半徑為30和12的兩個同心圓上的弧(長度單位為cm),

側(cè)邊兩條線段的延長線交于同心圓的圓心，且圓心角為空.若某空間幾何體的側(cè)面展

3

開圖恰好與圖中扇面形狀、大小一致，則該幾何體的高為12√2.

H8∩9zhou2022

【分析】扇子是由圓臺側(cè)面展開所得，根據(jù)圓臺是由大圓錐用平行于底面的平面截去一

個小圓錐，即可求圓臺的高.

【解答】解：設(shè)一個圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為30,圓心角為”的扇形，

3

設(shè)該圓錐的底面半徑為r,所以如r=2Lχ30,可得r=10,

3

因此該圓錐的r?為h—yj30^-10^=2Ch/2,

故側(cè)面展開圖是半徑為12,圓心角為”的扇形的圓錐的

3

高為??h-∣?×20√2=8V2)

SUD

因此若某幾何體的側(cè)面展開圖恰好與圖中扇面形狀、大小一致，

則該幾何體的高為20λ歷-8√2=12√2?

故答案為：12Λ∕5.

【點(diǎn)評】本題主要考查旋轉(zhuǎn)體，圓錐的結(jié)構(gòu)特征，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

TrCOSac：+CoSa7

14.(5分)已知等差數(shù)列{?！▆,￠/8=8,a-g√-,則--------------

93CoSa6

【分析】由已知先求出等差數(shù)列的公差，然后結(jié)合和差角公式進(jìn)行化簡即可求解.

【解答】解:等差數(shù)列伍〃},制=8,a9=8^

所以公差d=a9-〃8=二三，

,兀SK

,CoSaR+cosacos^aβ―o^^?^+cosacos-y-

則_____?_______L7=_________2_________6

COSa6COSa6cosa6

故答案為：1?

【點(diǎn)評】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，還考查了和差角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

15.(5分)如圖，在直三棱柱ABC-AiBiCi中，BC=CCi=3,AC=4,AClBC,動點(diǎn)P

在44BlCl內(nèi)(包括邊界上)，且始終滿足BPLABi,則動點(diǎn)尸的軌跡長度是_22_.

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求解P的軌跡，然后求解動點(diǎn)P的軌跡長度.

【解答】解：在直三棱柱ABC-481Cl中，BC=Cel=3,AC=4,AClBC,建立如圖

所示的坐標(biāo)系，

由題意可知A(4,0,0),B(0,3,0),C(0,0,0),BI(0,3,3),設(shè)P(x,y,3),

則而=(x，y-3,3),(-4,3,3),BPlABi,

可得：-4x+3y-9+9=0,BP4x-3y=0.

直線AIBI的方程：3x+4y=12,(''+'V露，可得X=因，y=?,

I4x-3y=02525

所以。(?θ,48),

2525

動點(diǎn)P的軌跡為線段CiO,長度為：/(毀)2+盧)2=3SS=J2.

V2525255

【點(diǎn)評】本題考查軌跡方程的求法，空間向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查分析問題解決問題

的能力，是中檔題.

16.(5分)已知向量W，E的夾角為:，且Z昆=3，向量7滿足

—?—?—?—?

—?-?-?__(—1-?―?—?C-aObRItl22

c=λa+(l-λ)b(O<λ<l)-且a?c=b?c'記y=-^T'則x+y-孫

IalIbI

的最大值為27.

—8—

【分析】設(shè)示=Z,而=KOC=C1由共線向量定理可知C在線段AB上，據(jù)投影的計

算方法，結(jié)合三角恒等變換可推出/+y2-孫=3RI2,再利用等面積法將問題轉(zhuǎn)化為

AB的最小值，再結(jié)合余弦定理和基本不等式即可求得.

【解答】解：設(shè)丞=；,OB=b-OC=C)

va?b=IaIIbIcos^~=3,??

e

?.?向量^?足3=濡+(16)E(O<λ<ι).

，C在線段AB上,

設(shè)NAoC=α,則NBoC=《--a，

c-a「

則X=-≡^-=lCICOSa,

a

3PI2

孫

π

c?eos2a+1cICOS(?-ɑ)

2

2ina)-cosɑ-(?eosɑ-+??sinɑ.)]

一cI

→∣22

cCoS2a卷COS2a+*SinaCoSaSina

ycos2aSinaCoSa)

=1172,

4

π

在AABO中，由余弦定理有:∣AB∣2=∣I一I∣2+∣rb∣12-2Iallbl

C。百

∣^aP+IbP-l?I∣bIIallb∣-∣allbl=Iallb1=6,

???IABI>√6,當(dāng)且僅當(dāng)IaI=IbI時等號成立,

a?c=b,c,'(a—b)?c=0>?β?BAJ_OC?

11冗

Λ≡?0AB?∣AB∣×∣OC∣=y∣OA∣×IoBlsirry

fiχ√l

?2∕3√3-3√2即口73最

11

-OCΠABΓ<^~即舊《二，

22∣∣∣2∣3(3√2、2_27

Λx+y-^=c≤×--2-)^T

4

故答案為：ZL

8

【點(diǎn)評】本題考查平面向量的投影和數(shù)量積，還考查了解三角形的相關(guān)知識，屬于中檔

題.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)定義一種運(yùn)算：(a,b)[j=ac+bd?

(1)已知Z為復(fù)數(shù)，且(3,W)∣"j=7-3V求團(tuán)

(2)己知X,y為實(shí)數(shù)，(y+sin2x,2)?-(1,Sin2X)'r—也是實(shí)數(shù)，將y

,y.2√3i

表示為X的函數(shù)并求該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.

【分析】根據(jù)新概念，將兩個式子整理出來，結(jié)合復(fù)數(shù)運(yùn)算及三角恒等變換，即可求解.

【解答】解：(1)設(shè)z=α+bi,由題意可得，

(3,z)[z]=3z+4z=3(α+bi)+4(a-bi)

4

=Ia-hi=^l-3i,故α=l,b=3,

所以IzI=JTU;

(2)由題意可得，

原式=2y-sinx+(y+sin2x-2i是實(shí)數(shù)，

所以y+sin2x-2Λ∕3SI∏2-V=0>

即y=-sin2x+2Vssin2X

—y/3(1^cos2x)