高中數(shù)學培優(yōu)講義練習（人教A版2019選擇性必修一）專題1.6空間向量基本定理-重難點題型檢測

專題1.6空間向量基本定理重難點題型檢測參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2021秋?重慶月考）已知{a→，b→A．a(chǎn)→?c→ B．a(chǎn)→+c→【解題思路】根據(jù)空間向量的一組基底是：任意兩個不共線，且不為零向量，三個向量不共面，即可判斷出結(jié)論．【解答過程】解：由m→=a→?b→，n→=b→所以得a→?c→與故a→?c→不能與故選：A．2．（3分）（2021秋?朝陽區(qū)校級期末）已知空間向量a→，b→，①若a→與b→共線，b→與c→共線，則②若a→，b→，③若a→，b→，c→不共面，那么對任意一個空間向量p→，存在唯一有序?qū)崝?shù)組（x，y，④若a→，b→不共線，向量c→=λa→+μb→（λ，A．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】舉反例，判斷①；根據(jù)共面向量的定義判斷②；利用空間向量基本定理判斷③④．【解答過程】解：對于①，若a→與b→共線，b→與c→共線，則當b→=0對于②，共面向量的定義是平行于同一平面的向量，∴a→，b→，c→對于③，由空間向量基本定理可知：若a→，b→，c→不共面，那么對任意一個空間向量p→，存在唯一有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），使得④若a→，b→不共線，向量則c→，a→，故選：B．3．（3分）（2022春?涪城區(qū)校級期中）已知O，A，B，C為空間四點，且向量OA→，OB→，A．OA→，OB→，OCB．O，A，B，C中至少有三點共線 C．OA→+OB→D．O，A，B，C四點共面【解題思路】根據(jù)空間向量基本定理即可判斷．【解答過程】解：由于向量OA→，OB所以O，A，B，C四點共面，故選：D．4．（3分）（2022春?雅安期末）設P﹣ABC是正三棱錐，G是△ABC的重心，D是PG上的一點，且PD→=DG→，若PD→=xPAA．(56，13，23) B．【解題思路】G是△ABC的重心，可得AG→=13AB→+13AC→=13（PB→?PA→）+13（PC→【解答過程】解：因為P﹣ABC是正三棱錐，G是△ABC的重心，所以AG→=13AB→+13因為D是PG上的一點，且PD→=DG因為PG→所以PD→=1=1因為PD→=xPA→+yPB→+z故選：B．5．（3分）（2021春?瑤海區(qū)月考）已知A，B，C三點不共線，O是平面ABC外任意一點，若由OP→=15OA→+23OB→+λA．215 B．23 C．?215【解題思路】利用向量共線定理與平面向量基本定理即可得出．【解答過程】解：因為A，B，C三點不共線，O為平面ABC外一點，若由向量OP→=15OA→+23OB→∴三點P，A，C共線，∴15+23故選：A．6．（3分）（2021秋?三明期末）在四面體O﹣ABC中，設OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，OE→A．38a→+14b→+14c【解題思路】利用空間向量的線性運算法則求解．【解答過程】解：畫出圖形，如圖所示，則OP=12×12=3故選：A．7．（3分）（2021秋?福州期末）如圖，M為OA的中點，以{OA→，OC→，OD→}A．(12，?1，0) B．(12【解題思路】利用空間向量的線性運算，空間向量基本定理求解即可．【解答過程】解：∵M為OA的中點，∴DM→∵DM→∴x=12，y＝0，z＝﹣故選：B．8．（3分）（2022春?廣東月考）在三棱錐A﹣BCD中，P為△BCD內(nèi)一點，若S△PBC＝1，S△PCD＝2，S△PBD＝3，則AP→A．13AB→+1C．13AB→+【解題思路】延長PB至B1，使得PB1＝2PB，延長PC至C1，使得PC1＝3PC，連接DB1，B1C1，C1D，由題意得出S△PB1C1=S△PC1D=S△PB1D【解答過程】解：三棱錐A﹣BCD中，P為△BCD內(nèi)一點，如圖所示：延長PB至B1，使得PB1＝2PB，延長PC至C1，使得PC1＝3PC，連接DB1，B1C1，C1D，因為S△PBC＝1，S△PCD＝2，S△PBD＝3，所以S△所以P為△B1C1D的重心，所以PD→即PD→+2PB→所以（AD→?AP→）+2（AB→?AP所以AP→故選：C．二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2021秋?梅州期末）若{aA．b→+c→，b→，b→?c→ B．a(chǎn)→，a→+b→，a→?【解題思路】利用共面向量定理直接求解．【解答過程】解：{a對于A，(b→+c→)+(b→?c→)=對于B，（a→+b→）+（a→?b→）=2a對于C，a→+b→，a→對于D，（a→+b→+c→）=a→故選：ABD．10．（4分）（2022春?連云港期中）給出下列命題，其中正確的有（）A．空間任意三個向量都可以作為一組基底 B．已知向量a→∥b→，則aC．A，B，M，N是空間四點，若BA→，BM→，BN→不能構(gòu)成空間的一組基底，則A，B，M，D．已知{a→，b→【解題思路】根據(jù)空間向量基底是三個不共面的向量，對選項中的命題真假性判斷即可．【解答過程】解：對于A，空間中只有不共面的三個向量可以作為一組基底，所以選項A錯誤；對于B，由向量a→∥b→，則a→對于C，若BA→，BM→，BN→不能構(gòu)成空間的一組基底，則BA→，BM→，BN→是共面向量，所以A，B，對于D，因為{a→，b→，c→}是空間向量的一組基底，所以a→、即m→=a→+故選：BCD．11．（4分）（2021秋?柯橋區(qū)校級期中）有下列四個命題，其中真命題的是（）A．若p→=xa→+yb→，則B．若p→與a→、b→C．若MP→=xMA→+yMB→，則P、D．若P、M、A、B共面，則MP【解題思路】由空間向量基本定理直接求解．【解答過程】解：若p→=xa→+yb→，則p若p→與a→、b→共面，但如果a→與b→共線，則p→就不一定能用同理，D也是錯誤的；若MP→=xMA→+yMB→，則MP→，MA→，MB→三向量在同一平面內(nèi)，所以故選：AC．12．（4分）（2021秋?錦州期末）已知空間向量i→A．向量i→+jB．{i→C．向量i→+j→+D．向量i→+j【解題思路】利用向量的模的性質(zhì)將i→+j→+k→的模轉(zhuǎn)化為數(shù)量積求解，即可判斷選項A，利用不共面的向量作為基底判斷選項B，利用兩個向量夾角的余弦公式進行求解，即可判斷選項C【解答過程】解：對于選項A，因為空間向量i→所以|i→|=|則|i所以向量i→+j故選項A錯誤；對于選項B，因為空間向量i→所以i→，j→，所以i→+j則{i故選項B正確；對于選項C，設i→+j→+則cosα=(所以向量i→+j→+故選項C正確；對于選項D，因為|i同理可得|k則cos＜所以向量i→+j→與則向量i→+j故選項D錯誤．故選：BC．三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2022春?岳麓區(qū)校級期末）已知{a→，b→，c→}是空間的一個單位正交基底，向量p→=a→+2b→+3c→，{a→+b→，a→?b→，c→}是空間的另一個基底，用基底{a→+b→【解題思路】設p→=x（a→+b→）+y（【解答過程】解：設p→=x（a→+b→）+y（則p→=（x+y）a→+（x﹣y）∵p→=a→+∴x+y=1x?y=2z=3，∴∴p→=32（a→+b→故答案為：32（a→+b→）?114．（4分）（2021秋?孝感期中）如圖所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分別是A1B和B1C1上的點，且BM＝3A1M，C1N＝2B1N．設MN→=xAA→1+yAB→+zAC→(x【解題思路】把三個向量AB→，A【解答過程】解：由題意三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M、N分別是A1B、B1C1上的點，且BM＝3A1M，C1N＝2B1N，則MN=1=?=5∵MN→∴x+y+z=512故答案為：1．15．（4分）（2021秋?開平區(qū)校級月考）如圖所示，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→，M是A1D1的中點，點N是CA1上的點，且CN：NA1＝1：4【解題思路】連接MN，利用空間向量基本定理和空間向量的線性運算，化簡求解即可．【解答過程】解：連接MN，在△A1MN中，MN→因為M為A1D1的中點，所以MA因為點N是CA1上的點，且CN：NA1＝1：4，所以A1故MN→故答案為：4516．（4分）（2021秋?吳興區(qū)校級期中）有下列四個命題：①已知A，B，C，D是空間任意四點，則AB→+②若兩個非零向量AB→與CD→滿足AB→+CD③分別表示空間向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個向量不是共面向量；④對于空間的任意一點O和不共線的三點A，B，C，若OP→=xOA→+yOB→+zOC→（x，y，z∈R），則P其中正確命題有②．【解題思路】對4個命題分別進行判斷，即可得出結(jié)論．【解答過程】解：①已知A，B，C，D是空間任意四點，則AB→②若兩個非零向量AB→與CD→滿足AB→+CD③分別表示空間向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個向量可以是共面向量，不正確；④對于空間的任意一點O和不共線的三點A，B，C，若OP→=xOA→+yOB→+zOC→（x，y，z∈R），僅當x+y+z＝1時成立，則P故答案為②．四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2021秋?大安市校級月考）如圖，在四面體OABC中，設OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，G為△ACB的重心，以【解題思路】利用重心的性質(zhì)和向量的三角形法則即可得出．【解答過程】解：由G為△ACB的重心可知E為AC的中點，所以BE→=12（BA→+BC→）=12[（OA→?OB→）+（OC→?OB→OG→=OB→+BG→=b18．（6分）（2021秋?樂清市校級月考）如圖，棱長為1的正四面體（四個面都是正三角形）OABC，M是棱BC的中點，點N在線段OM上，點P在線段AN上，且MN=12ON（1）用向量OA→，OB→，OC→（2）求|OP【解題思路】（1）利用向量運算法則直接求解．（2）利用向量運算法則，求出OP→=14OA→+14OB→【解答過程】解：（1）AN→∴AN→（2）OP=1∴OP→∴|OP→|2=116（OA→+OB→+OC∴|OP19．（8分）（2021秋?美蘭區(qū)校級月考）如圖所示，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在BB1和DD1上，且BE=13BB1，DF=2（1）證明：A、E、C1、F四點共面．（2）若EF→=xAB→+yAD→+zAA【解題思路】（1）由AB∥C1D1，AB＝C1D1，BE∥D1F，BE＝D1F，且平面ABE∥平面C1D1F，∠ABE＝∠C1D1F，知△ABE≌△C1D1F，進而AE＝C1F，同理AF＝C1E，故AEC1F為平行四邊形，由此能夠證明A、E、C1、F四點共面．（2）結(jié)合圖形和向量的加法和減法運算進行求解．【解答過程】證明：∵平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，BE=13BB1，DF=2∴AB∥C1D1，AB＝C1D1，BE∥D1F，BE＝D1F，且平面ABE∥平面C1D1F，∠ABE＝∠C1D1F，∴△ABE≌△C1D1F，∴AE＝C1F，同理AF＝C1E，故AEC1F為平行四邊形，∴A、E、C1、F四點共面．（2）解：如圖所示：EF→=EB1→+B即x＝﹣1，y＝1，z=1∴x+y+z=120．（8分）（2021秋?樂山期中）如圖，在平行六面體ABCD﹣A'B'C'D'中，AB＝4，AD＝3，AA'＝5，∠BAD＝90°，∠BAA'＝∠DAA'＝60°，且點F為BC'與B'C的交點，點E在線段AC'上，有AE＝2EC'．（1）求AC'的長；（2）將EF→用基向量AB→，AD→，AA'→來進行表示．設EF→=xAB→【解題思路】（1）AC'（2）EF→【解答過程】解：（1）AC'AC'=42∴AC'（2）EF=1=1∴x=121．（8分）已知正三棱錐P﹣ABC的側(cè)棱長為2，過其底面中心O作動平面α交線段PC于點S，分別交PA，PB的延長線于點M，N，求1PS【解題思路】解：分別用基底{PA→，PB→，PC→}和{PM→，PN→，PS→【解答過程】解：∵△ABC是等邊三角形，∴O是△ABC的重心，延長AO交BC于點D，則D為BC的中點，∴AD→=1故PO→=PA→+AO→=PA設PA→=xPM→，PB→=yPN則PO→=13xPM→∵O，M，N，S四點共面，∴13x+13y+13z＝1，即x+y又x=PAPM=2PM，y∴2（1PS+1∴1PS22．（8分）（2021秋?平邑縣校級月考）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，點G為△ABC的重心，點M在PG上，且PM＝3MG，過點M任意作一個平面分別交線段PA，PB，PC于點D，E，F(xiàn)，若PD→=mPA→，PE→=nPB