微積分（第五版）課件：多元函數微積分

1二重積分特點：平頂.曲頂柱體體積=？特點：曲頂.1、背景：曲頂柱體的體積(一)二重積分的基本概念柱體體積=底面積

╳高2步驟如下：S:z=f(x,y)任意分割曲頂柱體的底，分割x0z

yD

i并取典型小區(qū)域，近似以平代曲3S:z=f(x,y)x0z

yD

i步驟如下：任意分割曲頂柱體的底，分割并取典型小區(qū)域，近似以平代曲求和4S:z=f(x,y)x0z

yD

i步驟如下：任意分割曲頂柱體的底，分割并取典型小區(qū)域，近似以平代曲求和5S:z=f(x,y)x0z

yD

i步驟如下：分割近似求和極限6x0z

yV.步驟如下：分割近似求和極限曲頂柱體的體積72、二重積分的定義8積分區(qū)域積分和被積函數積分變量被積表達式面積元素即9在直角坐標系下用平行于坐標軸的直線網來劃分區(qū)域D，故二重積分可寫為D則面積元素為103、二重積分的性質下面假定f(x,y),g(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù),A為D的面積。

性質2線性性質

這里A為D的面積。性質111性質4性質3區(qū)域可加性

推論1推論212性質5估值性質證所以于是13性質6(二重積分的中值定理)證由性質5知,即得證。14(二)在直角坐標系下二重積分的計算dxyoc如果積分區(qū)域為D：150xz

ycdDz=f(x,y)x=

(y)x=

(y)y160xz

ycdDz=f(x,y)x=

(y)x=

(y)y問題：Q(y)是什么圖形？是曲邊梯形!170xz

yx=(y)ycdDz=f(x,y)x=

(y)18一般記為dxyoc19積分區(qū)域為：一般地，——先對y后對x的二次積分abxyo后積的投影先積的穿線20如果積分區(qū)域為：——先對x

后對y的二次積分后積的投影先積的穿線dxyoc21將化為累次積分,其中

D

由直線圍成。解法1先畫出積分區(qū)域D，將D

向y

軸投影，先x后y,例1xyo22xyo解法2先y后x,

將D

向x

軸投影,23計算其中

D

由直線解

先畫出積分區(qū)域D，先y后x,將D

向x

軸投影，例2圍成。24解例3先求兩曲線的交點先對

y

積分，25解例426解例5先x后y,兩曲線的交點27解例5兩曲線的交點選擇積分次序的原則：

若選擇先y后x,(1)積分容易；(2)盡量少分塊或不分塊.麻煩。28練習解29練習解30練習或解用極坐標，31練習解三直線交點分別為32練習解33解練習34

改變積分的次序.例6解積分區(qū)域為將D

向y

軸投影,改寫為35解設則例7改變下面積分的次序:36設將D

向y

軸投影,37例8交換積分次序,解38練習證交換積分次序，39y

=

x練習解交換積分次序，40利用對稱性簡化二重積分的計算設積分區(qū)域D關于y

軸對稱，(1)若f(x,y)關于

x是奇函數，則有(2)若f(x,y)關于

x

是偶函數，則有其中是D的右半區(qū)域。yxox-x41設積分區(qū)域D關于x軸對稱，(1)若f(x,y)關于

y

是奇函數，則有(2)若f(x,y)關于

y

是偶函數，則有其中是D的上半區(qū)域。yxo注意：不僅要考慮區(qū)域的對稱性，還要考慮函數的奇偶性。利用對稱性簡化二重積分的計算42例9計算二重積分解oxy區(qū)域D分別對稱于x軸和y軸，43(三)在極坐標系下二重積分的計算1.極坐標系的概念在平面內取一個定點O，叫做極點；xO引一條射線Ox，叫做極軸；再選定一個長度單位和角度單位及它的正方向（通常取逆時針方向），這樣就建立了一個極坐標系。442.極坐標系內一點的極坐標的規(guī)定對于平面上任意一點P，xOPr用r表示線段OP的長度，用

表示從Ox到OP

的角度,r

稱為點P的極徑，

稱為點P的極角，有序數對(

r

,

)就稱為點P的極坐標。注意：r表示點P到極點O的距離；

的方向：從Ox

(極軸)為始邊，OP

為終邊。

453.極坐標系與直角坐標系的轉換xOPr

把直角坐標系的原點作為極點;x軸的正半軸作為極軸;取相同的單位長度直角坐標與極坐標的轉換關系為：

xy464.曲線的極坐標方程用來表示曲線上點的極坐標r、

兩個變數之間關系的方程稱為曲線的極坐標方程.直角坐標方程化為極坐標方程的方法：47xyoxyo例10

將下列直角坐標方程化為極坐標方程：48xyo4950oo5152例11解它表示圓心為(0,1)，半徑為1的圓.方程兩邊同乘以r，得534.在極坐標系下計算二重積分在下述兩種情況下,往往利用極坐標來計算二重積分：

1)當積分區(qū)域D為圓域、環(huán)域或扇形域等時,D的邊界用極坐標表示較為簡單；

2)被積函數具有等形式時,用極坐標積分較為容易.

xyoxyo54所以面積元素為55二重積分化為極坐標下二次積分的公式區(qū)域特征如圖AO56解例12在極坐標系下,xyo57解練習xyo用極坐標做比較方便，58解例13在極坐標系下,xyo59xyo60解例14xy261例15解xyo62例16解直接做麻煩,化為極坐標,63例17解64習題課習題課65例1解66例2解67例3解6869解目標函數約束條件例470令71例5解72例6解先去掉絕對值符號，如圖73xyy=xox+y=π/2解例7xyo解例875例9解76解