概率論與數(shù)理統(tǒng)計習(xí)題集及答案-3

概率論與數(shù)理統(tǒng)計習(xí)題集及答案－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》作業(yè)集及答案

第1章概率論得基本概念

§1、1隨機(jī)試驗及隨機(jī)事件

1、(1)一枚硬幣連丟3次,觀察正面H﹑反面T出現(xiàn)得情形、樣本空間就是:S=;

(2)一枚硬幣連丟3次,觀察出現(xiàn)正面得次數(shù)、樣本空間就是:S=;

2、(1)丟一顆骰子、A:出現(xiàn)奇數(shù)點,則A=;B:數(shù)點大于2,則B=、

(2)一枚硬幣連丟2次,A:第一次出現(xiàn)正面,則A=;

B:兩次出現(xiàn)同一面,則=;C:至少有一次出現(xiàn)正面,則C=、

§1、2隨機(jī)事件得運算

1、設(shè)A、B、C為三事件,用A、B、C得運算關(guān)系表示下列各事件:

(1)A、B、C都不發(fā)生表示為:、(2)A與B都發(fā)生,而C不發(fā)生表示為:、

(3)A與B都不發(fā)生,而C發(fā)生表示為:、(4)A、B、C中最多二個發(fā)生表示為:、

(5)A、B、C中至少二個發(fā)生表示為:、(6)A、B、C中不多于一個發(fā)生表示為:、

2、設(shè)}42:{},31:{},50:{≤(1)=?BA,(2)=AB,(3)=BA,(4)BA?=,(5)BA=。

§1、3概率得定義與性質(zhì)

1.已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?BPAPBAP,則

(1)=)(ABP,(2)()(BAP)=,(3))(BAP?=、

2、已知,3.0)(,7.0)(==ABPAP則)(BAP=、

§1、4古典概型

1、某班有30個同學(xué),其中8個女同學(xué),隨機(jī)地選10個,求:(1)正好有2個女同學(xué)得概率,

(2)最多有2個女同學(xué)得概率,(3)至少有2個女同學(xué)得概率、

2、將3個不同得球隨機(jī)地投入到4個盒子中,求有三個盒子各一球得概率、

§1、5條件概率與乘法公式

1.丟甲、乙兩顆均勻得骰子,已知點數(shù)之與為7,則其中一顆為1得概率就是。

2、已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===BAPABPAP則=?)(BAP?！?、6全概率公式

1.有10個簽,其中2個“中”,第一人隨機(jī)地抽一個簽,不放回,第二人再隨機(jī)地抽一個簽,

說明兩人抽“中‘得概率相同。

2.第一盒中有4個紅球6個白球,第二盒中有5個紅球5個白球,隨機(jī)地取一盒,從中隨機(jī)

地取一個球,求取到紅球得概率。

§1、7貝葉斯公式

1．某廠產(chǎn)品有70%不需要調(diào)試即可出廠,另30%需經(jīng)過調(diào)試,調(diào)試后有80%能出廠,求(1)該廠

產(chǎn)品能出廠得概率,(2)任取一出廠產(chǎn)品,求未經(jīng)調(diào)試得概率。

2．將兩信息分別編碼為A與B傳遞出去,接收站收到時,A被誤收作B得概率為0、02,

B被誤收作A得概率為0、01,信息A與信息B傳遞得頻繁程度為3:2,若接收站收到得信息就是A,問原發(fā)信息就是A得概率就是多少？

§1、8隨機(jī)事件得獨立性

1、電路如圖,其中A,B,C,D為開關(guān)。設(shè)各開關(guān)閉合與否相互獨立,且每一開關(guān)閉合得概率均為p,求L與R為通路(用T表示)得概率。AB

LR

CD

3.甲,乙,丙三人向同一目標(biāo)各射擊一次,命中率分別為0、4,0、5與0、6,就是否命中,相

互獨立,求下列概率:(1)恰好命中一次,(2)至少命中一次。

第1章作業(yè)答案

§1、11:(1)},,,,,,,{TTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHHS=;

(2)}3,2,

1,0{=S2:(1)}6,5,4,3{}5,3,1{==BA;

(2){=A正正,正反{},=B正正,反反{},=C正正,正反,反正}。

§1、21:(1)ABC;(2)CAB;(3)CBA;(4)CBA??;(5)BCACAB??;

(6)CBCABA??或CBACBACBACBA+++;

2:(1)}41:{(4)10:{≤≤=?xxBA或}52≤≤x;(5)}41:{§1、31:(1))(ABP=0、3,(2))(BAP=0、2,(3))(BAP?=0、7、2:)(BAP)=0、4、

§1、4

1:(1)103082228/CCC,(2)(103082228922181022/CCCCCC）（++,(3)1-(1030922181022/CCCC）+、

2:3

344/P、

§1、51:、2/6;2:1/4。

§1、61:設(shè)A表示第一人“中”,則P(A)=2/10

設(shè)B表示第二人“中”,則P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)

=10

29210891102=?+?兩人抽“中‘得概率相同,與先后次序無關(guān)。

2:隨機(jī)地取一盒,則每一盒取到得概率都就是0、5,所求概率為:

p=0、5×0、4+0、5×0、5=0、45

§1、71:(1)94%(2)70/94;2:0、993;

§1、8、1:用A,B,C,D表示開關(guān)閉合,于就是T=AB∪CD,

從而,由概率得性質(zhì)及A,B,C,D得相互獨立性

P(T)=P(AB)+P(CD)-P(ABCD)

=P(A)P(B)+P(C)P(D)–P(A)P(B)P(C)P(D)

424222ppppp-=-+=

2:(1)0、4(1-0、5)(1-0、6)+(1-0、4)0、5(1-0、6)+(1-0、4)(1-0、5)0、6=0、38;

(2)1-(1-0、4)(1-0、5)(1-0、6)=0、88、

第2章隨機(jī)變量及其分布

§2、1隨機(jī)變量得概念,離散型隨機(jī)變量

1一盒中有編號為1,2,3,4,5得五個球,從中隨機(jī)地取3個,用X表示取出得3個球中得最大號碼、,試寫出X得分布律、

2某射手有5發(fā)子彈,每次命中率就是0、4,一次接一次地射擊,直到命中為止或子彈用盡為止,用X表示射擊得次數(shù),試寫出X得分布律。

§2、210-分布與泊松分布

1某程控交換機(jī)在一分鐘內(nèi)接到用戶得呼叫次數(shù)X就是服從λ=4得泊松分布,求

(1)每分鐘恰有1次呼叫得概率;(2)每分鐘只少有1次呼叫得概率;

(3)每分鐘最多有1次呼叫得概率;

2設(shè)隨機(jī)變量X有分布律:X2

3,Y～π(X),試求:

p0、40、6

(1)P(X=2,Y≤2);(2)P(Y≤2);(3)已知Y≤2,求X=2得概率。

§2、3貝努里分布

1一辦公室內(nèi)有5臺計算機(jī),調(diào)查表明在任一時刻每臺計算機(jī)被使用得概率為0、6,計算機(jī)

就是否被使用相互獨立,問在同一時刻

(1)恰有2臺計算機(jī)被使用得概率就是多少？

(2)至少有3臺計算機(jī)被使用得概率就是多少？

(3)至多有3臺計算機(jī)被使用得概率就是多少？

(4)至少有1臺計算機(jī)被使用得概率就是多少？

2設(shè)每次射擊命中率為0、2,問至少必須進(jìn)行多少次獨立射擊,才能使至少擊中一次得概率不小于0、9？

§2、4隨機(jī)變量得分布函數(shù)

1設(shè)隨機(jī)變量X得分布函數(shù)就是:F(x)=??

???≥（1）求P(X≤0);P()10≤

2設(shè)隨機(jī)變量X得分布函數(shù)就是:F(x)=?????≤>+0001xxxAx,求(1)常數(shù)A,(2)P()21≤§2、5連續(xù)型隨機(jī)變量

1設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X得密度函數(shù)為:?

??(3)用二種方法計算P(-0、52設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量0≥x得分布函數(shù)為:F(x)=??

???≥(1)求X得密度函數(shù))(xf,畫出)(xf得圖形,(2)并用二種方法計算P(X>0、5)、§2、6均勻分布與指數(shù)分布

1設(shè)隨機(jī)變量K在區(qū)間(0,5)上服從均勻分布,求方程42

x+4Kx+K+2=0

有實根得概率。

2假設(shè)打一次電話所用時間(單位:分)X服從2.0=α得指數(shù)分布,如某人正好在您前面走進(jìn)電話亭,試求您等待:(1)超過10分鐘得概率;(2)10分鐘到20分鐘得概率?！?、7正態(tài)分布

1隨機(jī)變量X～N(3,4),(1)求P(22),P(X>3);

(2)確定c,使得P(X>c)=P(X2某產(chǎn)品得質(zhì)量指標(biāo)X服從正態(tài)分布,μ=160,若要求P(120§2、8

1設(shè)隨機(jī)變量X得分布律為;、3

Y=2X–1,求隨機(jī)變量得分布律。

2設(shè)隨機(jī)變量X得密度函數(shù)為:?

??3、設(shè)隨機(jī)變量X服從(0,1)上得均勻分布,XYln2-=,求隨機(jī)變量Y得密度函數(shù)。

第2章作業(yè)答案

§2、11:2:6×0、6×0§2、21:(1)P(X=1)=P(X≥1)–P(X≥2)=0、981684–0、908422=0、073262,

(2)P(X≥1)=0、981684,

(3)P(X≤1)=1-P(X≥2)=1–0、908422=0、091578。

2:(1)由乘法公式:

P(X=2,Y≤2)=P(X=2)P(Y≤2|X=2)=0、4×(22222---++eee)=22-e

(2)由全概率公式:P(Y≤2)=P(X=2)P(Y≤2|X=2)+P(X=3)P(Y≤2|X=3)

=0、4×52-e+0、6×

3217-e=0、27067+0、25391=0、52458(3)由貝葉斯公式:P(X=2|Y≤2)=516.052458

.027067.0)2()2,2(==≤≤=YPYXP§2、31:設(shè)X表示在同一時刻被使用得臺數(shù),則X～B(5,0、6),

(1)P(X=2)=32254.06.0C(2)P(X≥3)=544523356.04.06.04.06.0++CC

(3)P(X≤3)=1-54456.04.06.0-C(4)P(X≥1)=1-54.0

2:至少必須進(jìn)行11次獨立射擊、

§2、41:(1)P(X≤0)=0、5;P()10≤(2)X得分布律為:

5

2:(1)A=1,(2)P()21≤§2、51:(1)2=k,(2)??

???≥xxxxxF;(3)P(-0、5120)(5.0005.05

.05.0=+=???--xdxdxdxxf;或=F(0,5)–F(-0、5)=4

1041=-。2:(1)?

??XP§2、61:3/52:422)2()1(----eee

§2、71:0、5;(2)c=3,2:σ≤31、25?！?、81:3

2:?????=-00021)(2/yyeyfyY;

第3章多維隨機(jī)變量

§3、1二維離散型隨機(jī)變量

1.設(shè)盒子中有2個紅球,2個白球,1個黑球,從中隨機(jī)地取3個,用X表示取到得紅球個數(shù),用Y表示取到得白球個數(shù),寫出(X,Y)得聯(lián)合分布律及邊緣分布律。

2.設(shè)二維隨機(jī)變量),(YX得聯(lián)合分布律為試根椐下列條件分別求a與b得值;

(1)6.0)1(==XP;(2)5.0)2|1(===YXP;(3)設(shè))(xF就是Y得分布函數(shù),5.0)5.1(=F?！?、2二維連續(xù)型隨機(jī)變量

1.)(YX、得聯(lián)合密度函數(shù)為:?

??2.)(YX、得聯(lián)合密度函數(shù)為:???0,10),(xyxkxyyxf求(1)常數(shù)k;(2)P(X+Y§3、3邊緣密度函數(shù)

1.設(shè)(X,Y)得聯(lián)合密度函數(shù)如下,分別求X與Y得邊緣密度函數(shù)。

+∞),(222π

2、設(shè)(X,Y)得聯(lián)合密度函數(shù)如下,分別求X與Y得邊緣密度函數(shù)。

???其00),(xyeyxfx

§3、4隨機(jī)變量得獨立性

1.(X,Y)得聯(lián)合分布律如下,

試根椐下列條件分別求a與b得值;(1)3/1)1(==YP;(2)5.0)2|1(==>YXP;(3)已知X與Y相互獨立。

2.(X,Y)得聯(lián)合密度函數(shù)如下,求常數(shù)c,并討論X與Y就是否相互獨立？

???10,10),(2yxcxyyxf第3

§3、1(1)a=0、1b=0、3

(2)a=0、2b=0、2

(3)a=0、3b=0、1

§3、21:(1)k=1;(2)P(X§3、31:+∞+∞-xxdyyxxfX)1(2)1)(1(1)(2222ππ;+∞1)(1(1

)(2222ππ;2:???≤>=-000)(xxxexfx

X;???≤>=-000)(yyeyfyY;

§3、41:(1)a=1/6b=7/18;(2)a=4/9b=1/9;(3)a=1/3,b=2/9。

2:c=6,X與Y相互獨立。

第4章隨機(jī)變量得數(shù)字特征

§4、1數(shù)學(xué)期望

1.盒中有5個球,其中2個紅球,隨機(jī)地取3個,用X表示取到得紅球得個數(shù),則EX就是:

(A)1;(B)1、2;(C)1、5;(D)2、

2.設(shè)X有密度函數(shù):??

???=083)(2xxf他其42≤≤x,求)1(),12(),(2XEXEXE-,并求X大于數(shù)學(xué)期望)(XE得概率。

3.設(shè)二維隨機(jī)變量),(YX得聯(lián)合分布律為

已知65.0)(=XYE,

則a與b得值就是:、2

(A)a=0、1,b=0、3;(B)a=0、3,b=0、1;(C)a=0、2,b=0、2;(D)a=0、15,b=0、25。

4.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)得聯(lián)合密度函數(shù)如下:求)1(,,+XYEEYEX。

?

??1.設(shè)X有分布律:X0123則)32(2

+-XXE就是:

p0、10、20、30、4

(A)1;(B)2;(C)3;(D)4、2.設(shè)),(YX有?????145),(2yxyyxf,試驗證)()()(YEXEXYE=,但X與Y不

相互獨立。

§4、3方差

1．丟一顆均勻得骰子,用X表示點數(shù),求DXEX,、

2．X有密度函數(shù):?

??+=04/)1()(xxf他其20≤≤x,求D(X)、§4、4常見得幾種隨機(jī)變量得期望與方差

1．設(shè))2(~πX,)6.0,3(~BY,相互獨立,則)2(),2(YXDYXE--得值分別就是:

（A）-1、6與4、88;(B)-1與4;(C)1、6與4、88;(D)1、6與-4、88、

2、設(shè))3,4(~),,(~NYbaUX,X與Y有相同得期望與方差,求ba,得值。(A)0與8;(B)1與7;(C)2與6;(D)3與5、

§4、6獨立性與不相關(guān)性矩

1.下列結(jié)論不正確得就是()

(A)X與Y相互獨立,則X與Y不相關(guān);

(B)X與Y相關(guān),則X與Y不相互獨立;

(C))()()(YEXEXYE=,則X與Y相互獨立;

(D))()(),(yfxfyxfYX=,則X與Y不相關(guān);

2.若0),(=YXCOV,則不正確得就是()

(A))()()(YEXEXYE=;(B))()()(YEXEYXE+=+;

(C))()()(YDXDXYD=;(D))()()(YDXDYXD+=+;

3.(YX,)有聯(lián)合分布律如下,試分析X與Y得相關(guān)性與獨立性。

4.)()()(YEXEXYE=就是X與Y不相關(guān)得()

(A)必要條件;(B)充分條件:(C)充要條件;(D)既不必要,也不充分。

5、)()()(YEXEXYE=就是X與Y相互獨立得()

（A）必要條件;(B)充分條件:(C)充要條件;(D)既不必要,也不充分。

6、設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)有聯(lián)合密度函數(shù)如下:試驗證X與Y不相關(guān),但不獨立。

???14/21),(22yxyxyxf

第4章作業(yè)答案

§4、11:B;2:3/2,2,3/4,37/64;3:D;4:2/3,4/3,17/9;

§4、21:D;

§4、31:7/2,35/12;2:11/36;

§4、41:A;2:B;

§4、51:0、2,0、355;2:－1/144,－1/11;

§4、61:C;2:C;3:X與Y不相關(guān),但X與Y不相互獨立;4:C;5:A;

第5章極限定理

*§5、1大數(shù)定理

§5、2中心極限定理

1．一批元件得壽命(以小時計)服從參數(shù)為0、004得指數(shù)分布,現(xiàn)有元件30只,一只在用,其

余29只備用,當(dāng)使用得一只損壞時,立即換上備用件,利用中心極限定理求30只元件至少能使用一年(8760小時)得近似概率。

2．某一隨機(jī)試驗,“成功”得概率為0、04,獨立重復(fù)100次,由泊松定理與中心極限定理分

別求最多“成功”6次得概率得近似值。

第5章作業(yè)答案

§5、22:0、1788;3:0、889,0、841;

第6章數(shù)理統(tǒng)計基礎(chǔ)

§6、1數(shù)理統(tǒng)計中得幾個概念

1．有n=10得樣本;1、2,1、4,1、9,2、0,1、5,1、5,1、6,1、4,1、8,1、4,則樣本均值X=,樣本均方差=S,樣本方差=2

S。

2.設(shè)總體方差為2b有樣本nXXX,,,21Λ,樣本均值為X,則=),(1XXCov?！?、2數(shù)理統(tǒng)計中常用得三個分布

1、查有關(guān)得附表,下列分位點得值:9.0Z=,)5(21.0χ=,)10(9.0t=。

2.設(shè)nXXX,,,21Λ就是總體)(2mχ得樣本,求)(),(XDXE。

§6、3一個正態(tài)總體得三個統(tǒng)計量得分布

1.設(shè)總體),(~2

σμNX,樣本nXXX,,,21Λ,樣本均值X,樣本方差2S,則~/n

Xσμ

-,~/nSXμ-,∑=-niiXX122)(1σ～,∑=-niiX122)(1

μσ～,

第6章作業(yè)答案

§6、11.0646.0,254.0,57.12===ssx;2、nbXXCov/),(21=;

§6、21.-1、29,9、236,-1、3722;2.nmXDmXE/2)(,

)(==;§6、31、)(),1(),1(),1,0(22nnntNχχ--;

第7章參數(shù)估計

§7、1矩估計法與順序統(tǒng)計量法

1.設(shè)總體X得密度函數(shù)為:?????≤≤=-他其0

10)(1xxxfθθ,有樣本nXXX,,,21Λ,求未知

參數(shù)θ得矩估計。

2、每分鐘通過某橋量得汽車輛數(shù))(~λπX,為估計λ得值,在實地隨機(jī)地調(diào)查了20次,每次1分鐘,結(jié)果如下:次數(shù):23456

量數(shù):95374

試求λ得一階矩估計與二階矩估計?！?、2極大似然估計

1.設(shè)總體X得密度函數(shù)為:?????≤≤+=他其0

10)1()(xxxfθθ,有樣本nXXX,,,21Λ,求未

知參數(shù)θ得極大似然估計?！?、3估計量得評價標(biāo)準(zhǔn)

1.設(shè)總體X服從區(qū)間)1,(a上得均勻分布,有樣本nXXX,,,21Λ,證明=a?12-X就是a得無偏估計。

2.設(shè)總體X～)(λπ,有樣本nXXX,,,21Λ,證明2)1(SaXa-+就是參數(shù)λ得無偏