2024年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷(理科)(全國卷ⅰ)

第1頁〔共1頁〕2024年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷〔理科〕〔全國卷Ⅰ〕一、選擇題〔共12小題，每題4分，總分值48分〕1．〔4分〕α是第四象限角，，那么sinα=〔〕A． B． C． D．2．〔4分〕設(shè)a是實數(shù)，且是實數(shù)，那么a=〔〕A． B．1 C． D．23．〔4分〕向量，，那么與〔〕A．垂直 B．不垂直也不平行C．平行且同向 D．平行且反向4．〔4分〕雙曲線的離心率為2，焦點是〔﹣4，0〕，〔4，0〕，那么雙曲線方程為〔〕A． B． C． D．5．〔4分〕設(shè)a，b∈R，集合{1，a+b，a}={0，，b}，那么b﹣a=〔〕A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣26．〔4分〕下面給出的四個點中，到直線x﹣y+1=0的距離為，且位于表示的平面區(qū)域內(nèi)的點是〔〕A．〔1，1〕 B．〔﹣1，1〕 C．〔﹣1，﹣1〕 D．〔1，﹣1〕7．〔4分〕如圖，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，那么異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為〔〕A． B． C． D．8．〔4分〕設(shè)a＞1，函數(shù)f〔x〕=logax在區(qū)間[a，2a]上的最大值與最小值之差為，那么a=〔〕A． B．2 C． D．49．〔4分〕f〔x〕，g〔x〕是定義在R上的函數(shù)，h〔x〕=f〔x〕+g〔x〕，那么“f〔x〕，g〔x〕均為偶函數(shù)〞是“h〔x〕為偶函數(shù)〞的〔〕A．充要條件 B．充分而不必要的條件C．必要而不充分的條件 D．既不充分也不必要的條件10．〔4分〕的展開式中，常數(shù)項為15，那么n=〔〕A．3 B．4 C．5 D．611．〔4分〕拋物線y2=4x的焦點為F，準線為l，經(jīng)過F且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的局部相交于點A，AK⊥l，垂足為K，那么△AKF的面積是〔〕A．4 B． C． D．812．〔4分〕函數(shù)f〔x〕=cos2x﹣2cos2的一個單調(diào)增區(qū)間是〔〕A． B． C． D．二、填空題〔共4小題，每題5分，總分值20分〕13．〔5分〕從班委會5名成員中選出3名，分別擔任班級學習委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔任文娛委員，那么不同的選法共有種．〔用數(shù)字作答〕14．〔5分〕函數(shù)y=f〔x〕的圖象與函數(shù)y=log3x〔x＞0〕的圖象關(guān)于直線y=x對稱，那么f〔x〕=．15．〔5分〕等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S1，2S2，3S3成等差數(shù)列，那么{an}的公比為．16．〔5分〕一個等腰直角三角形的三個頂點分別在正三棱柱的三條側(cè)棱上，正三棱柱的底面邊長為2，那么該三角形的斜邊長為．三、解答題〔共6小題，總分值82分〕17．〔12分〕設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=2bsinA〔Ⅰ〕求B的大?。弧并颉城骳osA+sinC的取值范圍．18．〔12分〕某商場經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客采用的付款期數(shù)ξ的分布列為ξ12345P0.40.20.20.10.1商場經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤為200元；分2期或3期付款，其利潤為250元；分4期或5期付款，其利潤為300元，η表示經(jīng)銷一件該商品的利潤．〔Ⅰ〕求事件A：“購置該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款〞的概率P〔A〕；〔Ⅱ〕求η的分布列及期望Eη．19．〔14分〕四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC⊥底面ABCD，∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SA=SB=．〔Ⅰ〕證明：SA⊥BC；〔Ⅱ〕求直線SD與平面SBC所成角的大?。?0．〔14分〕設(shè)函數(shù)f〔x〕=ex﹣e﹣x〔Ⅰ〕證明：f〔x〕的導(dǎo)數(shù)f′〔x〕≥2；〔Ⅱ〕假設(shè)對所有x≥0都有f〔x〕≥ax，求a的取值范圍．21．〔14分〕橢圓的左右焦點分別為F1、F2，過F1的直線交橢圓于B、D兩點，過F2的直線交橢圓于A、C兩點，且AC⊥BD，垂足為P〔Ⅰ〕設(shè)P點的坐標為〔x0，y0〕，證明：；〔Ⅱ〕求四邊形ABCD的面積的最小值．22．〔16分〕數(shù)列{an}中，a1=2，，n=1，2，3，…〔Ⅰ〕求{an}的通項公式；〔Ⅱ〕假設(shè)數(shù)列{bn}中，b1=2，，n=1，2，3，…，證明：，n=1，2，3，…

2024年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷〔理科〕〔全國卷Ⅰ〕參考答案與試題解析一、選擇題〔共12小題，每題4分，總分值48分〕1．〔4分〕〔2024?全國卷Ⅰ〕α是第四象限角，，那么sinα=〔〕A． B． C． D．【分析】根據(jù)tanα=，sin2α+cos2α=1，即可得答案．【解答】解：∵α是第四象限角，=，sin2α+cos2α=1，∴sinα=﹣．應(yīng)選D．2．〔4分〕〔2024?全國卷Ⅰ〕設(shè)a是實數(shù)，且是實數(shù)，那么a=〔〕A． B．1 C． D．2【分析】復(fù)數(shù)分母實數(shù)化，化簡為a+bi〔a、b∈R〕的形式，虛部等于0，可求得結(jié)果．【解答】解．設(shè)a是實數(shù)，=是實數(shù)，那么a=1，應(yīng)選B．3．〔4分〕〔2024?全國卷Ⅰ〕向量，，那么與〔〕A．垂直 B．不垂直也不平行C．平行且同向 D．平行且反向【分析】根據(jù)向量平行垂直坐標公式運算即得．【解答】解：∵向量，，得，∴⊥，應(yīng)選A．4．〔4分〕〔2024?全國卷Ⅰ〕雙曲線的離心率為2，焦點是〔﹣4，0〕，〔4，0〕，那么雙曲線方程為〔〕A． B． C． D．【分析】根據(jù)焦點坐標求得c，再根據(jù)離心率求得a，最后根據(jù)b=求得b，雙曲線方程可得．【解答】解．雙曲線的離心率為2，焦點是〔﹣4，0〕，〔4，0〕，那么c=4，a=2，b2=12，雙曲線方程為，應(yīng)選A．5．〔4分〕〔2024?全國卷Ⅰ〕設(shè)a，b∈R，集合{1，a+b，a}={0，，b}，那么b﹣a=〔〕A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】根據(jù)題意，集合，注意到后面集合中有元素0，由集合相等的意義，結(jié)合集合中元素的特征，可得a+b=0，進而分析可得a、b的值，計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，集合，又∵a≠0，∴a+b=0，即a=﹣b，∴，b=1；故a=﹣1，b=1，那么b﹣a=2，應(yīng)選C．6．〔4分〕〔2024?全國卷Ⅰ〕下面給出的四個點中，到直線x﹣y+1=0的距離為，且位于表示的平面區(qū)域內(nèi)的點是〔〕A．〔1，1〕 B．〔﹣1，1〕 C．〔﹣1，﹣1〕 D．〔1，﹣1〕【分析】要找出到直線x﹣y+1=0的距離為，且位于表示的平面區(qū)域內(nèi)的點，我們可以將答案中的四個點逐一代入驗證，不難得到結(jié)論．【解答】解．給出的四個點中，〔1，1〕，〔﹣1，1〕，〔﹣1，﹣1〕三點到直線x﹣y+1=0的距離都為，但∵，僅有〔﹣1，﹣1〕點位于表示的平面區(qū)域內(nèi)應(yīng)選C7．〔4分〕〔2024?全國卷Ⅰ〕如圖，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，那么異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為〔〕A． B． C． D．【分析】先通過平移將兩條異面直線平移到同一個起點B，得到的銳角∠A1BC1就是異面直線所成的角，在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可．【解答】解．如圖，連接BC1，A1C1，∠A1BC1是異面直線A1B與AD1所成的角，設(shè)AB=a，AA1=2a，∴A1B=C1B=a，A1C1=a，∠A1BC1的余弦值為，應(yīng)選D．8．〔4分〕〔2024?全國卷Ⅰ〕設(shè)a＞1，函數(shù)f〔x〕=logax在區(qū)間[a，2a]上的最大值與最小值之差為，那么a=〔〕A． B．2 C． D．4【分析】因為a＞1，函數(shù)f〔x〕=logax是單調(diào)遞增函數(shù)，最大值與最小值之分別為loga2a、logaa=1，所以loga2a﹣logaa=，即可得答案．【解答】解．∵a＞1，∴函數(shù)f〔x〕=logax在區(qū)間[a，2a]上的最大值與最小值之分別為loga2a，logaa，∴l(xiāng)oga2a﹣logaa=，∴，a=4，應(yīng)選D9．〔4分〕〔2024?上?！砯〔x〕，g〔x〕是定義在R上的函數(shù)，h〔x〕=f〔x〕+g〔x〕，那么“f〔x〕，g〔x〕均為偶函數(shù)〞是“h〔x〕為偶函數(shù)〞的〔〕A．充要條件 B．充分而不必要的條件C．必要而不充分的條件 D．既不充分也不必要的條件【分析】此題主要是抽象函數(shù)奇偶性的判斷，只能根據(jù)定義，而要否認奇偶性，一般用特值．【解答】解．假設(shè)“f〔x〕，g〔x〕均為偶函數(shù)〞，那么有f〔﹣x〕=f〔x〕，g〔﹣x〕=g〔x〕，∴h〔﹣x〕=f〔﹣x〕+g〔﹣x〕=f〔x〕+g〔x〕=h〔x〕，∴“h〔x〕為偶函數(shù)〞，而反之取f〔x〕=x2+x，g〔x〕=2﹣x，h〔x〕=x2+2是偶函數(shù)，而f〔x〕，g〔x〕均不是偶函數(shù)〞，應(yīng)選B10．〔4分〕〔2024?全國卷Ⅰ〕的展開式中，常數(shù)項為15，那么n=〔〕A．3 B．4 C．5 D．6【分析】利用二項展開式的通項公式求出第r+1項，令x的指數(shù)為0求出常數(shù)項，據(jù)n的特點求出n的值．【解答】解：的展開式中，常數(shù)項為15，那么，所以n可以被3整除，當n=3時，C31=3≠15，當n=6時，C62=15，應(yīng)選項為D11．〔4分〕〔2024?全國卷Ⅰ〕拋物線y2=4x的焦點為F，準線為l，經(jīng)過F且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的局部相交于點A，AK⊥l，垂足為K，那么△AKF的面積是〔〕A．4 B． C． D．8【分析】先根據(jù)拋物線方程求出焦點坐標和準線方程，進而可得到過F且斜率為的直線方程然后與拋物線聯(lián)立可求得A的坐標，再由AK⊥l，垂足為K，可求得K的坐標，根據(jù)三角形面積公式可得到答案．【解答】解：∵拋物線y2=4x的焦點F〔1，0〕，準線為l：x=﹣1，經(jīng)過F且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的局部相交于點A〔3，2〕，AK⊥l，垂足為K〔﹣1，2〕，∴△AKF的面積是4應(yīng)選C．12．〔4分〕〔2024?全國卷Ⅰ〕函數(shù)f〔x〕=cos2x﹣2cos2的一個單調(diào)增區(qū)間是〔〕A． B． C． D．【分析】化簡函數(shù)為關(guān)于cosx的二次函數(shù)，然后換元，分別求出單調(diào)區(qū)間判定選項的正誤．【解答】解．函數(shù)=cos2x﹣cosx﹣1，原函數(shù)看作g〔t〕=t2﹣t﹣1，t=cosx，對于g〔t〕=t2﹣t﹣1，當時，g〔t〕為減函數(shù)，當時，g〔t〕為增函數(shù)，當時，t=cosx減函數(shù)，且，∴原函數(shù)此時是單調(diào)增，應(yīng)選A二、填空題〔共4小題，每題5分，總分值20分〕13．〔5分〕〔2024?全國卷Ⅰ〕從班委會5名成員中選出3名，分別擔任班級學習委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔任文娛委員，那么不同的選法共有36種．〔用數(shù)字作答〕【分析】由題意知此題是一個有約束條件的排列組合問題，先從除甲與乙之外的其余3人中選出1人擔任文娛委員，再從4人中選2人擔任學習委員和體育委員，寫出即可．【解答】解．從班委會5名成員中選出3名，分別擔任班級學習委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔任文娛委員，∵先從其余3人中選出1人擔任文娛委員，再從4人中選2人擔任學習委員和體育委員，∴不同的選法共有C31?A42=3×4×3=36種．14．〔5分〕〔2024?全國卷Ⅰ〕函數(shù)y=f〔x〕的圖象與函數(shù)y=log3x〔x＞0〕的圖象關(guān)于直線y=x對稱，那么f〔x〕=3x〔x∈R〕．【分析】由題意推出f〔x〕與函數(shù)y=log3x〔x＞0〕互為反函數(shù)，求解即可．【解答】解．函數(shù)y=f〔x〕的圖象與函數(shù)y=log3x〔x＞0〕的圖象關(guān)于直線y=x對稱，那么f〔x〕與函數(shù)y=log3x〔x＞0〕互為反函數(shù)，f〔x〕=3x〔x∈R〕故答案為：3x〔x∈R〕15．〔5分〕〔2024?全國卷Ⅰ〕等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S1，2S2，3S3成等差數(shù)列，那么{an}的公比為．【分析】先根據(jù)等差中項可知4S2=S1+3S3，利用等比數(shù)列的求和公式用a1和q分別表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．【解答】解：∵等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S1，2S2，3S3成等差數(shù)列，∴an=a1qn﹣1，又4S2=S1+3S3，即4〔a1+a1q〕=a1+3〔a1+a1q+a1q2〕，解．故答案為16．〔5分〕〔2024?全國卷Ⅰ〕一個等腰直角三角形的三個頂點分別在正三棱柱的三條側(cè)棱上，正三棱柱的底面邊長為2，那么該三角形的斜邊長為2．【分析】由于正三棱柱的底面ABC為等邊三角形，我們把一個等腰直角三角形DEF的三個頂點分別在正三棱柱的三條側(cè)棱上，結(jié)合圖形的對稱性可得，該三角形的斜邊EF上的中線DG的長等于底面三角形的高，從而得出等腰直角三角形DEF的中線長，最后得到該三角形的斜邊長即可．【解答】解：一個等腰直角三角形DEF的三個頂點分別在正三棱柱的三條側(cè)棱上，∠EDF=90°，正三棱柱的底面邊長為AB=2，那么該三角形的斜邊EF上的中線DG=，∴斜邊EF的長為2．故答案為：2．三、解答題〔共6小題，總分值82分〕17．〔12分〕〔2024?全國卷Ⅰ〕設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=2bsinA〔Ⅰ〕求B的大小；〔Ⅱ〕求cosA+sinC的取值范圍．【分析】〔1〕先利用正弦定理求得sinB的值，進而求得B．〔2〕把〔1〕中求得B代入cosA+sinC中利用兩角和公式化簡整理，進而根據(jù)A的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)求得cosA+sinC的取值范圍．【解答】解：〔Ⅰ〕由a=2bsinA，根據(jù)正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由△ABC為銳角三角形得．〔Ⅱ〕===．由△ABC為銳角三角形知，0＜A＜，0＜﹣A＜，∴＜A＜，，所以．由此有＜，所以，cosA+sinC的取值范圍為〔，〕．18．〔12分〕〔2024?全國卷Ⅰ〕某商場經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客采用的付款期數(shù)ξ的分布列為ξ12345P0.40.20.20.10.1商場經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤為200元；分2期或3期付款，其利潤為250元；分4期或5期付款，其利潤為300元，η表示經(jīng)銷一件該商品的利潤．〔Ⅰ〕求事件A：“購置該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款〞的概率P〔A〕；〔Ⅱ〕求η的分布列及期望Eη．【分析】〔Ⅰ〕由題意知購置該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款的對立事件是購置該商品的3位顧客中無人采用1期付款，根據(jù)對立事件的概率公式得到結(jié)果．〔2〕根據(jù)顧客采用的付款期數(shù)ξ的分布列對應(yīng)于η的可能取值為200元，250元，300元．得到變量對應(yīng)的事件的概率，寫出變量的分布列和期望．【解答】解：〔Ⅰ〕由題意知購置該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款的對立事件是購置該商品的3位顧客中無人采用1期付款，設(shè)A表示事件“購置該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款〞．知表示事件“購置該商品的3位顧客中無人采用1期付款〞，∴．〔Ⅱ〕根據(jù)顧客采用的付款期數(shù)ξ的分布列對應(yīng)于η的可能取值為200元，250元，300元．得到變量對應(yīng)的事件的概率P〔η=200〕=P〔ξ=1〕=0.4，P〔η=250〕=P〔ξ=2〕+P〔ξ=3〕=0.2+0.2=0.4，P〔η=300〕=1﹣P〔η=200〕﹣P〔η=250〕=1﹣0.4﹣0.4=0.2．∴η的分布列為η200250300P0.40.40.2∴Eη=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240〔元〕．19．〔14分〕〔2024?全國卷Ⅰ〕四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC⊥底面ABCD，∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SA=SB=．〔Ⅰ〕證明：SA⊥BC；〔Ⅱ〕求直線SD與平面SBC所成角的大?。痉治觥拷夥ㄒ唬骸?〕作SO⊥BC，垂足為O，連接AO，說明SO⊥底面ABCD．利用三垂線定理，得SA⊥BC．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知SA⊥BC，設(shè)AD∥BC，連接SE．說明∠ESD為直線SD與平面SBC所成的角，通過，求出直線SD與平面SBC所成的角為．解法二：〔Ⅰ〕作SO⊥BC，垂足為O，連接AO，以O(shè)為坐標原點，OA為x軸正向，建立直角坐標系O﹣xyz，通過證明，推出SA⊥BC．〔Ⅱ〕.與的夾角記為α，SD與平面ABC所成的角記為β，因為為平面SBC的法向量，利用α與β互余．通過，，推出直線SD與平面SBC所成的角為．【解答】解法一：〔1〕作SO⊥BC，垂足為O，連接AO，由側(cè)面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD．因為SA=SB，所以AO=BO，又∠ABC=45°，故△AOB為等腰直角三角形，AO⊥BO，由三垂線定理，得SA⊥BC．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知SA⊥BC，依題設(shè)AD∥BC，故SA⊥AD，由，，．又，作DE⊥BC，垂足為E，那么DE⊥平面SBC，連接SE．∠ESD為直線SD與平面SBC所成的角．所以，直線SD與平面SBC所成的角為．解法二：〔Ⅰ〕作SO⊥BC，垂足為O，連接AO，由側(cè)面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．因為SA=SB，所以AO=BO．又∠ABC=45°，△AOB為等腰直角三角形，AO⊥OB．如圖，以O(shè)為坐標原點，OA為x軸正向，建立直角坐標系O﹣xyz，因為，，又，所以，，．S〔0，0，1〕，，，，所以SA⊥BC．〔Ⅱ〕，.與的夾角記為α，SD與平面ABC所成的角記為β，因為為平面SBC的法向量，所以α與β互余．，，所以，直線SD與平面SBC所成的角為．20．〔14分〕〔2024?全國卷Ⅰ〕設(shè)函數(shù)f〔x〕=ex﹣e﹣x〔Ⅰ〕證明：f〔x〕的導(dǎo)數(shù)f′〔x〕≥2；〔Ⅱ〕假設(shè)對所有x≥0都有f〔x〕≥ax，求a的取值范圍．【分析】〔Ⅰ〕先求出f〔x〕的導(dǎo)函數(shù)，利用a+b≥2當且僅當a=b時取等號．得到f'〔x〕≥2；〔Ⅱ〕把不等式變形令g〔x〕=f〔x〕﹣ax并求出導(dǎo)函數(shù)令其=0得到駐點，在x≥0上求出a的取值范圍即可．【解答】解：〔Ⅰ〕f〔x〕的導(dǎo)數(shù)f'〔x〕=ex+e﹣x．由于，故f'〔x〕≥2．〔當且僅當x=0時，等號成立〕．〔Ⅱ〕令g〔x〕=f〔x〕﹣ax，那么g'〔x〕=f'〔x〕﹣a=ex+e﹣x﹣a，〔ⅰ〕假設(shè)a≤2，當x＞0時，g'〔x〕=ex+e﹣x﹣a＞2﹣a≥0，故g〔x〕在〔0，+∞〕上為增函數(shù)，所以，x≥0時，g〔x〕≥g〔0〕，即f〔x〕≥ax．〔ⅱ〕假設(shè)a＞2，方程g'〔x〕=0的正根為，此時，假設(shè)x∈〔0，x1〕，那么g'〔x〕＜0，故g〔x〕在該區(qū)間為減函數(shù)．所以，x∈〔0，x1〕時，g〔x〕＜g〔0〕=0，即f〔x〕＜ax，與題設(shè)f〔x〕≥ax相矛盾．綜上，滿足條件的a的取值范圍是〔﹣∞，2]．21．〔14分〕〔2024?全國卷Ⅰ〕橢圓的左右焦點分別為F1、F2，過F1的直線交橢圓于B、D兩點，過F2的直線交橢圓于A、C兩點，且AC⊥BD，垂足為P〔Ⅰ〕設(shè)P點的坐標為〔x0，y0〕，證明：；〔Ⅱ〕求四邊形ABCD的面積的最小值．【分析】〔Ⅰ〕橢圓的半焦距，由AC⊥BD知點P在以線段F1F2為直徑的圓上，故x02+y02=1，由此可以證出．〔Ⅱ〕設(shè)BD的方程為y=k〔x+1〕，代入橢圓方程，并化簡得〔