2022學(xué)年天津市濱海新區(qū)高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第三次月考卷附答案解析

學(xué)年天津市濱海新區(qū)高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試卷本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時(shí)120分鐘．第Ⅰ卷1至3頁(yè)，第Ⅱ卷4至6頁(yè)．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼．答卷時(shí)，考生務(wù)必將答案涂寫(xiě)在答題卡上，答在試卷上的無(wú)效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．祝各位考生考試順利！第Ⅰ卷注意事項(xiàng)：1．每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．2．本卷共9小題，每小題5分，共45分．一．選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若全集，集合，，則（

）A． B． C． D．2．若條件，條件，則p是q的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．函數(shù)的圖象大致為（

）A．B．C．D．4．自2021年1月1日起，《中華人民共和國(guó)民法典》開(kāi)始施行，為了解某市市民對(duì)《中華人民共和國(guó)民法典》的了解情況，決定發(fā)放3000份問(wèn)卷，并從中隨機(jī)抽取200份進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，已知該問(wèn)卷滿分100分，通過(guò)對(duì)隨機(jī)抽取的200份問(wèn)卷成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到了如圖所示的頻率分布直方圖，估計(jì)這3000份問(wèn)卷中成績(jī)不低于80分的份數(shù)為（

）A．840 B．720 C．600 D．5405．已知是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，若，，則的大小關(guān)系為A． B． C． D．6．已知三棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，平面，且，則該三棱錐外接球的表面積為A． B． C． D．7．設(shè)函數(shù)的最大值為，其圖象相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為，且的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則下列判斷正確的是（

）A．函數(shù)在上單調(diào)遞增B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為D．要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象向右平移個(gè)單位8．已知雙曲線的一條漸近線與拋物線交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，且為等邊三角形，則雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．9．已知，函數(shù)，若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．第Ⅱ卷注意事項(xiàng)：1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫(xiě)在答題卡上．2．本卷共11小題，共105分．二．填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的給3分，全部答對(duì)的給5分．10．已知復(fù)數(shù)，則.11．已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為，則．12．已知圓的圓心在直線上，且與直線切于點(diǎn)，則圓被直線截得的弦長(zhǎng)為.13．一個(gè)口袋里有形狀一樣僅顏色不同的4個(gè)小球，其中白色球2個(gè)，黑色球2個(gè).若從中隨機(jī)取球，每次只取1個(gè)球，每次取球后都放回袋中，則事件“連續(xù)取球四次，恰好取到兩次白球”的概率為；若從中一次取2個(gè)球，只取一次，記所取球中白球可能被取到的個(gè)數(shù)為ξ，則隨機(jī)變量ξ的期望為.14．已知實(shí)數(shù)，滿足，且.則的最大值為．15．已知平行四邊形的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)，，，，其中點(diǎn)在線段上且滿足，，若點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.三．解答題：本大題共5小題，共75分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．16．在中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為，，，已知，，.（1）求的值；（2）求的值.17．已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分別是PA、PB、BC的中點(diǎn)．(1)求證：EF⊥平面PAD；(2)求平面EFG與平面ABCD所成二面角的夾角的余弦值；(3)線段PD上是否存在一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，使得直線GM與平面EFG所成角為，若存在，求線段PM的長(zhǎng)度，若不存在，說(shuō)明理由．18．設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，公比大于0，已知，，．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．19．已知橢圓，左?右頂點(diǎn)分別為P，Q，上頂點(diǎn)為K，原點(diǎn)為O，的面積為，兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，過(guò)點(diǎn)且斜率不為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求面積的最大值；(3)直線PA與直線交于點(diǎn)，試問(wèn)B，Q，三點(diǎn)是否共線？若共線，請(qǐng)證明；若不共線，請(qǐng)說(shuō)明理由．20．已知函數(shù)，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).設(shè)是的導(dǎo)函數(shù).（Ⅰ）若時(shí)，函數(shù)在處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求的值；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，求的取值范圍.1．C【分析】解一元二次不等式結(jié)合整數(shù)集的概念列舉法表示出集合，然后解一次不等式求出集合，進(jìn)而根據(jù)補(bǔ)集的概念求出，進(jìn)而根據(jù)交集的概念即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，則，因此，故選：C2．D【分析】先求解兩個(gè)不等式，根據(jù)充分條件，必要條件的定義判斷即可【詳解】由題意，條件或條件或故條件，則p是q的既不充分也不必要條件故選：D3．B【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性排除A,D,再根據(jù)，排除C即得解.【詳解】解：根據(jù)題意，，其定義域?yàn)镽，有，則函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，排除A，D，，排除C，故選：B．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)的解析式找圖象，一般先找差異，再驗(yàn)證.4．A【分析】根據(jù)頻率分布直方圖求得成績(jī)不低于80分的頻率，利用樣本估計(jì)總體，即可求解.【詳解】由頻率分布直方圖可知，成績(jī)不低于80分的頻率為，由樣本估計(jì)總體，故估計(jì)這3000份問(wèn)卷中成績(jī)不低于80分的份數(shù)為份.故選：A.5．C【詳解】是定義在上的偶函數(shù)，，，，在上是增函數(shù)，在上為減函數(shù)，則，即，故選C.6．D【分析】由于球中球心與球的小圓圓心的連線垂直于這個(gè)小圓，利用也垂直于這個(gè)小圓，即可利用球心與小圓圓心建立起直角三角形，，根據(jù)題意可求出是底面三角形的外接圓的半徑，利用計(jì)算即可，最后即可求出球的表面積．【詳解】由已知得，作下圖，連結(jié)，延長(zhǎng)至圓上交于H，過(guò)作交于，則為，所以，為斜邊的中點(diǎn)，所以，為的中位線，為小圓圓心，則為的中點(diǎn)，則，則，，則球的半徑球的表面積為答案選D.【點(diǎn)睛】本題考查計(jì)算球的表面積，關(guān)鍵在于利用進(jìn)行計(jì)算，難點(diǎn)在于構(gòu)造三要素相關(guān)的直角三角形進(jìn)行求解，難度屬于中等．7．D【解析】利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)求得，利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷A選項(xiàng)的正誤，利用正弦型函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可判斷B選項(xiàng)的正誤，利用正弦型函數(shù)的值域可判斷C選項(xiàng)的正誤，利用三角函數(shù)圖象變換可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】由題意可得，函數(shù)的最小正周期為，，所以，，由于函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則，可得，，，，所以，.對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，，所以，函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，，所以，要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象向右平移個(gè)單位，D選項(xiàng)正確.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求函數(shù)在區(qū)間上值域的一般步驟：第一步：三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，一般化成形如的形式或的形式；第二步：由的取值范圍確定的取值范圍，再確定（或)的取值范圍；第三步：求出所求函數(shù)的值域（或最值）.8．A【分析】根據(jù)題意得，設(shè)，列方程可得點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后求解得，再由，即可求出雙曲線的方程.【詳解】由題意，點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線方程為，作，由拋物線的定義可知，，又為等邊三角形，所以，所以，即點(diǎn)重合，所以，設(shè)，不妨設(shè)，則，得，所以，所以，又因?yàn)?，所以得，所以雙曲線的方程為.故選：A9．C【分析】根據(jù)題意得當(dāng)時(shí)恒成立且當(dāng)時(shí)，恒成立，再分別討論函數(shù)在各段上的最值即可求解.【詳解】解:因?yàn)殛P(guān)于的不等式恒成立,所以當(dāng)時(shí)恒成立且當(dāng)時(shí)，恒成立；所以當(dāng)時(shí)恒成立且當(dāng)時(shí)，恒成立，即當(dāng)時(shí)恒成立且當(dāng)時(shí)，恒成立；所以當(dāng)時(shí)，令，函數(shù)是開(kāi)口向下的二次函數(shù)，對(duì)稱(chēng)軸為，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故原不等式恒成立等價(jià)于，解得；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故原不等式恒成立等價(jià)于，解得；當(dāng)時(shí)，令，則，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以原不等式恒成立等價(jià)于，即.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：C【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題，分段函數(shù)，考查分類(lèi)討論思想，運(yùn)算求解能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)恒成立且當(dāng)時(shí)，恒成立.10．【解析】結(jié)合復(fù)數(shù)的乘除法法則求出，進(jìn)而可求出模.【詳解】解：，則.故答案為:11．2【分析】在二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式中，令的冪指數(shù)等于，求出的值，即可求得常數(shù)項(xiàng)，再根據(jù)常數(shù)項(xiàng)等于求得實(shí)數(shù)的值．【詳解】二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的通項(xiàng)公式為，令，求得，可得常數(shù)項(xiàng)為，，故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．12．【分析】設(shè)圓心坐標(biāo)為，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，直線與直線垂直，可求得的值，進(jìn)而可求得圓的方程，求出圓心到直線的距離，利用勾股定理可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，由圓的幾何性質(zhì)可得，直線的斜率為，則，解得，則圓心為，圓的半徑為，所以，圓的方程為，圓心到直線的距離為，因此，所求弦長(zhǎng)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓的弦長(zhǎng)的常用求法（1）幾何法：求圓的半徑為，弦心距為，弦長(zhǎng)為，則；（2）代數(shù)方法：運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長(zhǎng)公式.13．1【分析】求出每一次取到白球的概率，再列式即可求出連續(xù)取球四次，恰好取到兩次白球的概率；可得隨機(jī)變量的可能取值為0，1，2，求出取2不同值的概率，即可求出數(shù)學(xué)期望.【詳解】由題可得每一次取到白球的概率為，連續(xù)取球四次，恰好取到兩次白球的概率為，隨機(jī)變量的可能取值為0，1，2，則，，，.故答案為:;1.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:求離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望時(shí)，應(yīng)首先分析出變量的可能取值，然后求出每次取值下的概率，結(jié)合數(shù)學(xué)期望公式即可求解.14．9【分析】將已知等式變形為，對(duì)等式兩邊同乘，構(gòu)造關(guān)于所求式子的不等式，進(jìn)行求解即可.【詳解】由，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)成立，令，則有，解得，故的最大值為.故答案為9.【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，利用基本不等式將已知等式進(jìn)行不等化是解決此類(lèi)題常用的方法，屬于難題.15．【解析】根據(jù)題意，利用余弦定理求出，，根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算即可得出，，得出，即可求出；由于點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，可設(shè)，則，由平面向量的三角形加法法則得出，，結(jié)合條件且根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算，求得，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出的最小值.【詳解】解：在平行四邊形中，，，，則在中，由余弦定理得：，即，，，則，在中，由余弦定理得：，即，，，，，而，即，，解得：，；由于點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，可設(shè)，則，，，即，，即，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查平面向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力.16．（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理，化邊為角的正弦，得到，求出，再用余弦定理求出的值；（2）由第一問(wèn)先求，再求，，進(jìn)而求出.【詳解】（1）∵∴由正弦定理：可得：，其中，∵∴，即∵∴∵，∴由余弦定理可得：∵∴（2）由余弦定理可得：；∴∵∴∴17．(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)不存在，理由見(jiàn)解析【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理證明AB⊥平面PAD，即可證明結(jié)論；（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出平面EFG的法向量，由向量的夾角公式求解即可；（3）設(shè)，利用向量的線性運(yùn)算求出的坐標(biāo)，然后利用向量的夾角公式列出方程，求解即可得到答案．【詳解】（1）因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊥AD，AB?平面ABCD，所以AB⊥平面PAD，又E、F分別是PA、PB的中點(diǎn)，則，故EF⊥平面PAD；（2）取AD的中點(diǎn)O，連接PO，連接OG，則，因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，PO⊥AD，PO?平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，故以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則O（0，0，0），A（0，-2，0），B（4，-2，0），C（4，2，0），，所以，設(shè)平面EFG的法相向量為，則，即，令z=1，則，故，又平面ABCD的法向量為，所以，所以平面EFG與平面ABCD所成二面角的夾角的余弦值為；（3）設(shè)，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)橹本€GM與平面EFG所成角為，故，化簡(jiǎn)可得2t2-3t+3=0，故方程無(wú)解，所以在線段PD上不存在一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，使得直線GM與平面EFG所成角為．18．(1)，(2)【分析】（1）列出公差和公比的方程組求解；（2）利用裂項(xiàng)相消和錯(cuò)位相減分組求和即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，依題意，得，解得或（舍去）故，，所以，的通項(xiàng)公式為，的通項(xiàng)公式為；（2）設(shè)前n項(xiàng)和為，設(shè)的前n項(xiàng)和為，所以，兩式相減可得：

所以．19．(1)(2)(3)共線，證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)條件列a,b,c關(guān)系式求解；（2）設(shè)直線方程，與橢圓聯(lián)立，得面積表達(dá)式，換元利用對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性求最值；（3）設(shè)直線方程為：，求出，通過(guò)證明求解.【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為由題意可得：，解得，，，所以橢圓方程為．（2）設(shè)直線的方程為，，，由，整理得，易知,，，令()，則，設(shè)，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)易知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，知，即當(dāng)，即時(shí)，面積取到最大值．（3）易知橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為，，直線方程為：，它與直線交于點(diǎn)，則，由于，都存在，且，故,于是B，Q，N三點(diǎn)共線．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓位置關(guān)系，第三問(wèn)證明三點(diǎn)共線注意斜率的應(yīng)用及韋達(dá)定理的代入計(jì)算.20．（Ⅰ）1；（Ⅱ）答案見(jiàn)解析；（Ⅲ）.【分析】（I）時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得切線斜率，切點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解切線的方程，進(jìn)而求解得值；（II）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)在單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為，分類(lèi)討論，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）由得：，得，由已知，設(shè)為在區(qū)間內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)，則由可知在區(qū)間上至少有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，得到在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，在區(qū)間內(nèi)也存