新高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)習(xí)講義 13 等差數(shù)列（教師版含解析）

考點13等差數(shù)列

知識理解

一.等差數(shù)列的有關(guān)概念

L定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等

差數(shù)列.這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，符號表示為a?+∣-a,,=d5∈N*,d為常數(shù)

2.數(shù)列的單調(diào)性：d>0遞增數(shù)列，d=0常數(shù)數(shù)列，d〈0遞減數(shù)列

等差數(shù)列的有關(guān)公式

L通項公式：i‰="∣+(l)d="d+(αι-①=當(dāng)今0時，，斯是關(guān)于〃的一次函數(shù).

通項公式的推廣：an=a∣n+(n-m')d(n,∕n∈N*).

當(dāng)今0時，S,,是關(guān)于〃的二次函數(shù)，且沒有常數(shù)項.

三.等差數(shù)列的性質(zhì)

1.中項性質(zhì)

oJ-h

(1)數(shù)列小46成等差數(shù)列的充要條件是力=；-,其中/叫做a5的等差中項

⑵多項數(shù)列的中項性質(zhì)

j下標(biāo)和相同fm+n=p+q=2t

d≠a1o<<=><

、項數(shù)相同[am+an=ap+aq=2at

(下標(biāo)和相同fm+n=p+q=2t

d=a1<=><OV

、項數(shù)同或不同[anι+a11=ap+aq=2a尸aπl(wèi)+n

2.前n項和的性質(zhì)

(l)Srt,S2〃-S〃，S3〃一Sa”，…也成等差數(shù)歹U,公差為/d

(2)若｛如｝是等差數(shù)列，則｛｝｝也成等差數(shù)列，其首項與｛斯｝首項相同，公差是｛斯｝公差的

(3)數(shù)列項數(shù)為奇數(shù)2n-1時(Sn、Tn分別是等差數(shù)列a”、b0的前n項和)

S,=(2nT)a(2)區(qū)2=?-忖——特例>S2*∣=(2"Da11

n

-T2m-l(2m-l)bmT2n_1(2n-l)bn

考向分析

考向一等差數(shù)列基本運算

【例1】⑴（2020?廣東廣州市?高三月考）設(shè)｛α,,｝是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若%=5,4%=16，貝=

()

A.12B.35C.75D.90

（2）（2020?寧夏銀川九中高三月考）設(shè)等差數(shù)列伍〃｝的前〃項和為若〃4=4,S9=72,則mo=（）

A.20B.23C.24D.28

【答案】(I)B⑵D

4+d=5(a=2

【解析】(1)設(shè)公差為則C八”，?.?d>0,故解得〈lC，

q(q+2d)=16[d=3

.?.=2+11x3=35.故選：B.

4+3d=4

（2）設(shè)等差數(shù)列｛〃〃｝的公差為",由勿=4,S9=72,得《網(wǎng)+*=72,

a,=-8

解得《，/.a[。=q+9d=-8+36=28,故選：D.

d=4

【舉一反三】

1.（2020.四川省廣元市川師大萬達中學(xué)高三月考）等差數(shù)列｛4｝中，若％=6,4=3,則％=（）

39

A.-B.-C.2D.9

22

【答案】A

【解析】設(shè)公差為d,則d=%二&=二=—二，所以見=4+"=3-二=二.故選：A

4-22222

2.（2020?冷水江市第一中學(xué)高三期中）記S“為等差數(shù)列｛%｝的前〃項和，若S5=2S4,4+g=8,則%等

于（）

A.6B.7C.8D.10

【答案】D

￡+空d=2（4aI4x3.

【解析】設(shè)數(shù)列｛q,｝的首項為%,公差為d，則由S5=2S-4+%=8,得：；二：+VJ，即｛黑式O

解得：｛??,.?.%=%+44=-2+4x3=10.故選：D.

3.（2020?廣西玉林市?高三其他模擬）若等差數(shù)列｛”,,｝滿足s=20,鑿=8,則m=（）

A.24B.23C.17D.16

【答案】A

【解析】根據(jù)題意，Q=-&=豆型=—4,則％=3一（/=20-（-4）=24,故選：A.

5-25-2^

4.（2020?梅河口市第五中學(xué)高三月考）已知數(shù)列｛4｝是公差不為0的等差數(shù)列，其前幾項和為S“，若

α∣+%+g?=O,則旨=（）

7d6

11

A.3B.-C.-3D.—

33

【答案】D

【解析】設(shè)數(shù)列｛4｝是公差為。，（〃。0）,首項為外,因為“+%+與=0

7×(7-l)

所以

7q+?d所以3q+9"=0,所以4=-3d

αl+αl+6JH------------/----------=0

a5_ai+4eZJl

所以W-6一行”—故選：D

a'十2

考向二等差數(shù)列中項性質(zhì)

【例2】（1）（2020.全國高三其他模擬）1,3的等差中項是（）

A.1B.2C.3D.4

⑵（2020?福建高三學(xué)業(yè)考試）在等差數(shù)列｛q｝中，若%=%?4=2.則/=（）

A.-1B.0C.1D.6

（3）（2020?貴州貴陽一中高三月考）已知等差數(shù)列｛《,｝的前〃項和為S“，%=5,則§5=（）

A.5B.25C.35D.50

【答案】（1）B（2）B（3）B

【解析】設(shè)1和3的等差中項為X,貝也+3=2x,解得x=2,故選：B.

⑵等差數(shù)列｛4,,｝中，2%=4+4，則4=2x2—4=0故選：B

（3）由題意可知，｛%｝為等差數(shù)列，所以其=蟲押=等％=吟9=25故選：B

【舉一反三】

1.（2020?上海市七寶中學(xué)高三期中）已知數(shù)列｛q,｝為等差數(shù)列，且6=1,%=-25,則%=.

【答案】-12

【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)，得為=；（4+的）=一12.故答案為：—12.

2.（2020?貴溪市實驗中學(xué)高三月考）在等差數(shù)列｛《,｝中，若%+%+4o+α∣∣=2020,則6+2%+%=

【答案】2020

【解析】由等差中項的性質(zhì)可得%+4+4o+%=4%=2020,可得%=505,

因此，％+2/+%=4%=2020.故答案為：2020.

3.（2020?天津經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)第一中學(xué)高三期中）設(shè)等差數(shù)列｛α,,｝的前〃項之和為S“，已知EO=Io0,則

%+%=（）

A.12B.20C.40D.100

【答案】B

【解析】Ro=IOq+45。=1。0,2a∣+91=20,，/+%=2〃]+91=20.故選：B.

4.（2020.靜寧縣第一中學(xué)高三月考）已知正項等差數(shù)列&｝的前〃項和為S,,eN*）,%+%=4，則SU

的值為（）

A.11B.12C.20D.22

【答案】D

【解析】因為%+%=M，數(shù)列｛凡｝是正項等差數(shù)列，所以2&=4，解得必=2或0（舍去），

則SU=IMPIJ=Ila6=22,故選：D.

5.（2020?全國高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛〃“｝滿足%=?！?2且”2+%+4=9,則l0g3（%+3+%）=

)

11

A.-3B.3C.—D.一

33

【答案】B

【解析】；an+i=all+2an+l-a,,=2,.'.數(shù)列｛4｝是以2為公差的等差數(shù)列，

.?a5+a7+ag=(02+3t∕)+(a4+3J)+(a6+3J)=(α2+a4+aβ^+9d,

-

-：a2+a4+ab=9,..α5+α7+a9=9+9×2=27,.?.Iog3(a5+α7+β9)=Iog327=3,故選：B.

考向三等差數(shù)列前n項和性質(zhì)

【例】⑴?廣東高三月考)已知等差數(shù)列的前〃項為則的值為()

3(2020｛4｝S“，S2I,=6,S3n=12,S,

A.2B.0C.3D.4

(2).(2020.石嘴山市第三中學(xué)高三期中)兩等差數(shù)列｛%｝,｛超｝的前〃項和分別為S,,,若今=景I，

則魯=()

偽

33172931

A.WB.蕓C.一D.??

46224043

(3)(2021?天津紅橋區(qū)?高三期末)設(shè)S■是等差數(shù)列｛%｝的前〃項和，若M=J,則)

a3V

59

A.-B.一

95

C.??D,1

25

(4).(2021.海南省)已知S,,是等差數(shù)列｛凡｝前幾項和，生=-8,a6=-2,當(dāng)S,,取得最小值時〃=().

A.2B.14C.7D.6或7

(5)Q020?湖北武漢市?高三期末)若S,是等差數(shù)列｛凡｝的前〃項和，其首項4>0,a99+aloo>O,

099?tz100<0,則使S,,>0成立的最大自然數(shù)〃是()

A.198B.199C.200D.201

(6)(2020?新疆高三二模)在等差數(shù)列｛4｝中，4=-2018,其前n項和為Srl,若是■—需=2，則?20=

A.-4040B.-2020C.2020D.4040

【答案】(1)A(2)C(3)D(4)D(5)A(6)C

【解析】⑴因為S,,,S2ll-Sn,S3“-S2”成等差數(shù)列，故有2(6-S,J=S,,+(12-6),

解得R1=2.故選：A.

13、

y(zflι+α∣3)

2?二=S132×13+329

(2)數(shù)列｛為｝,｛〃｝是等差數(shù)列，7

噫=2?J^4+%一刀^3×13+1~40

*4+仿3)

故選：C.

9(α∣+<?)

z、SQ?9a95

(3)因為｛4｝為等差數(shù)列，所以U=不7'=蕓5=三'G=1L故選：D

2

(4)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,,；%=-8,a6=-2,.?0∣÷2d=-8,ai+5d=-2,

聯(lián)立解得：q=-12,d=2,，=-12+2(〃-1)=2幾—14,

令你=2"-14≤0,解得〃≤7.當(dāng)5〃取得最小值時〃=6或7.故選：D.

(5)?〃99,。100<。,,?%9和"100異號；

4>0,陽+q00>0,/.tz99>OM]00<O,

有等差數(shù)列的性質(zhì)可知，等差數(shù)列｛〃〃｝的公差d<0,

當(dāng)〃≤99,"∈N*時，?！ā?；當(dāng)"≥100,"∈N*時，?！?lt;0；

_(4+%98)X198_+"∣oo)x198(R)XI99=19950,

乂d198=2=2>U'"199

由等差數(shù)列的前〃項和的性質(zhì)可知，使前〃項和S“>0成立的最大自然數(shù)〃是198.故選：A.

S

(6)設(shè)等差數(shù)列｛α,,｝的前"項和為S“=An2+Bn,則-?=An+B,

n

所以1每4是等差數(shù)列.因為&一&=2,

InJ1210

所以[履)的公差為1，又叢=5=一2018,

I?J1?

所以用

是以-2018為首項,1為公差的等差數(shù)列,

所以三加=—2018+2019x1=1,所以S2020=2020故選：C

2020

【舉一反三】

1.（2020?全國高三專題練習(xí)）等差數(shù)列｛%｝的前m（m∈N+）項和為30,前2/%項和為100,則前3〃z項和

為（）

A.130B.170C.210D.260

【答案】C

【解析】V｛an｝為等差數(shù)列，.?.S,,,,S2m-Sm,S3m-S2m成等差數(shù)列，

即30,70,Ssni-IOO成等差數(shù)列，.?.30+S?,,,—100=70x2,解得§3”,=210.故選：C.

2.（2020.重慶高三其他模擬）等差數(shù)列｛α,,｝的前九項和為S“，已知S3=12,S6=51,則Sg的值等于（）

A.66B.90C.117D.127

【答案】C

【解析】等差數(shù)列｛%｝的前幾項和為S,,,由題意可得S3,$6-S3,St）-S6成等差數(shù)列，

故2（5,-Si）=S3+⑸一品），代入數(shù)據(jù)可得2（51-12）=12+（§9-51）,解得S9=117故選C

3.（2。2。?全國高三專題練習(xí)）等差數(shù)列3｝與｛加的前〃項和分別為S“和若、黑，則髀于（）

3738

A.—B.

2728

C.史40

D.

2930

【答案】A

a+a

a

ιq+《3-γ(ln)S∣3_3×13-237

【解析】=萬?故迄A.

b-2b?b+“3Tli-2x13+1

1f}?(?l+?)

,、ci14?1Q

4.（2020.湖南懷化市.高三期中）設(shè)S,,是等差數(shù)列｛4｝的前"項和，若/=A，則T=（)

%~?-?

【答案】A

13（al+<a∣3）

【解析】由題意，棗=打2—_12x11_2故選：?

S77（4+%）Ja4713

2

5.（2021.河北承德）在等差數(shù)列｛6,｝中，公差d<（）,S“為｛α,,｝的前〃項和，且S5=S7,則當(dāng)〃為何值時，

S“達到最大值.（）

A.8B.7C.6D.5

【答案】C

【解析】因為在等差數(shù)列｛凡｝中，S5=S1,所以4+%=S?-Ss=0,

又公差d<0,所以4>四，故。6>°，%<°，

所以數(shù)列｛q｝的前6項為正數(shù)，從第7項開始為負數(shù)；

因此，當(dāng)"=6時，S,達到最大值.故選C

6.（2020.全國高三其他模擬）等差數(shù)列｛a,,｝的前〃項和為S“，其中生=∣,54=14,則當(dāng)S“取得最大值

時〃的值為（）

A.4或5B.3或4C.4D.3

【答案】C

+2d=*L=12

【解析】設(shè)｛%｝公差為d，由題意知~2,解得《4一2,

4q+6d=14[d=-2

15

由等差數(shù)列前〃項和公式，知S〃=—/9+一〃，

2

對稱軸為〃=?,所以當(dāng)〃=4時;S〃最大.故選：C

4

7.（2020?全國高三專題練習(xí)）在等差數(shù)列｛%｝中，S,,為其前〃項和.若S2020=2020,且簫—*=2000,

則％等于（）

A.-2021B.-2020C.-2019D.-2018

【答案】D

【解析】V｛all｝是等差數(shù)列，Sn為其前n項和，設(shè)公差為d,S11=nal+^(n-?)d,

S11(八dSn+.S11d

n'v72/7+1n2

所以數(shù)列［每4是以卬為首項以@為公差的等差數(shù)列，

I?2

則??-?^=q+(2020-l)?,-al+(20-l)?y=IoO(W=2000,解得d=2.

又?.?S2o2o=2θ2θ,.?.??=^^=1=4+(2O2O-l)χ2,.?.q=-2018.故選：D

202020201v72

考向四等差數(shù)列定義運用

【例4-1］(2021?吉林長春市?高三二模節(jié)選)已知數(shù)列｛a,,｝的通項公式為4=2〃-11.,求證：數(shù)列｛4｝是

等差數(shù)列；

【答案】見解析

【解析】；4=2〃-11,.??4+∣-4=2(A+1)-11—2"+ll=2("∈N*),???數(shù)列｛為｝為等差數(shù)列.

【例4-2】(2021?青海西寧市節(jié)選)已知數(shù)列｛4｝滿足Oi=2,an=2，*+2”(〃≥2),證明：數(shù)列為等

差數(shù)列，并求｛4｝的通項公式；

π

【答案】an=n-2

【解析】%=2%+2",兩邊同時除以2"，可得：墨=畀+1

?.?*一窘=1，又$=1，二數(shù)列［梟是以I為首項，1為公差的等差數(shù)列；

n

3=1+(〃—I)Xl=〃，/.at=n*2.

【方法總結(jié)】

等差數(shù)列的判定與證明方法

方法解讀適合題型

對于數(shù)列｛斯｝,即一如T（〃》2,"∈N*）為同一常數(shù)臺｛斯｝是等差數(shù)

定義法

列解答題中的

證明問題

等差中項法2斯-1=。"+飆-2（〃23,N*）成立0｛?。堑炔顢?shù)列

通項公法前”a,,=pn+q（p,q為常數(shù)）對任意的正整數(shù)n都成立O｛α,,｝是等差數(shù)

選擇、填空

項和列

題中的判定

驗證S=A"2+B”（A,B為常數(shù)）對任意的正整數(shù)”都成立O｛a,,｝是

項和公式法問題

等差數(shù)列

【舉一反三】

1（2020?全國高三月考節(jié)選）已知數(shù)列｛4,,｝滿足4=2,=α.+2"+25∈N*）,判斷數(shù)列｛4—2"｝是否

為等差數(shù)列，并說明理由；

【答案】是等差數(shù)列；詳見解析

n+

【解析】設(shè)bn=an-2",則bn+l=an+l-2',

則%-b“=（an+l-2m）-（%-2"）=απ+,-4一2",=（aπ+2"+2）-α,,—2"=2（〃WN）

所以，數(shù)列｛4一2"｝是首項為0,公差d=2的等差數(shù)列.

2.（2021?山西運城市?高三期中）己知數(shù)列｛4｝中，4/,=2,%=24+2",設(shè)"=墨，求證：數(shù)列也｝是

等差數(shù)列；

【答案】證明見解析

【解析】證明：當(dāng)〃N2時，”―2|=2—3=上網(wǎng)叢=Zl=1，

4=1,所以｛〃｝是以1為首項，；為公差的等差數(shù)列：

3.（2021山東高考模擬解析）已知數(shù)列｛4｝滿足4=l,α,,+∣=q,-2"+2?判斷數(shù)列｛4+2"｝是否為等差數(shù)

列，并說明理由;

【答案】見解析

n

【解析】???α,,+∣=an-2+2,.?(an+i+2'用)一(。"+2")=2,

???數(shù)列｛%+2"｝為公差為2的等差數(shù)列

4.(2020?江西豐城九中高三期中節(jié)選)數(shù)列｛4｝滿足q=l,"qι+∣=5+l)α,,+"("+l),"eN'證明：數(shù)

L

列1^｝是等差數(shù)列；

【答案】證明見解析；

【解析】；na“+]=(〃+1)%+〃(〃+1),.?.???L=/+ι,.?.__5=1,

n+1nπ+ln

數(shù)列是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列；

5.(2020.湖北武漢市?華中師大一附中節(jié)選)在數(shù)列｛%｝,??｝中，all=bn+n+?,bn=-a,lΛ,證明:

數(shù)列｛q+32｝是等差數(shù)列；

【答案】證明見解析

【解析】證明：由題意，將d=一?！?1代入%=2+〃+1,

可得=-%+l+"+l,即2%=〃+2,

n+2.〃+2n

an=-y->??b,,=-a+l1=---+1=

n2

〃+23〃1

?*?a∏+3%=-—=?-n?

?；%+3如一(4+3〃)=1-(〃+1)--1,

???數(shù)列｛q+3d｝是以-1為公差的等差數(shù)列.

強化練習(xí)

單選題

1.（2020?黑龍江大慶實驗中學(xué)高三期中）在等差數(shù)列｛4｝中，首項q=0,公差d≠0,S“是其前〃項和,

若%=,則A=（）

A.15B.16C.17D.18

【答案】B

6x5

【解析】由％=$6得4+（攵—l）d=6α∣+寸d,將4=0代入得（左一l）d=15d,

因為d≠0,所以左一1=15,得左=16.故選：B

S

2.（2020.河南開封市.高三一模）記S“為等差數(shù)列｛%｝的前〃項和，a,≠0,a4+a6=0,則學(xué)=（）

991039

A.——B.—C.—D.一

1010922

【答案】B

,?Sf-6a,+15J9

【解析】在等差數(shù)列｛q｝中，a4+a6=0,所以“=一4",所以?==而，故選：B

3.（2020?全國高三其他模擬）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前八項和為S“，且2%-q∣=4,則S5=（）

A.15B.20C.25D.30

【答案】B

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d，則由己知可得2Q+&/）-（q+10d）=q+2d=4,

5×4

所以$5=5%"!—-—Q=5（弓+2d）=5x4=20故選：B

4.（2020?甘肅省永昌縣第一高級中學(xué)高三月考）已知數(shù)列｛α,J為等差數(shù)列，4+4=28,%+%=43,則

4o=（）

A.29B.38C.40D.58

【答案】A

【解析】因為｛α,J為等差數(shù)列，所以4+4=24=28,

，。4=14.由％+%=%+aW=43,得?10=29,故選：A.

5.（2020?沙坪壩區(qū)?重慶一中高三）正項等差數(shù)列｛4｝的前〃和為S11,已知4+4-W+8=（），則Sg=（）

A.35B.36C.45D.54

【答案】B

【解析】由題意，可得。2+%=2。5,所以《2-2%-8=0,解得的=-2或4=4,

O

因為4>0,所以%=一2舍去，只有%=4符合題意，所以Sg=5（卬+%）=9%=9x4=36.

故選：B.

112

6.（2020?河北邯鄲市?高三月考）已知X,y均為正數(shù)，且一，六，一成等差數(shù)列，則χ+y的最小值為（）

X2y

A.4B.3C.2√2D.3+2√2

【答案】D

[2']2、2x

【解析】解析：由題一+—=1,.?.χ+y=（χ+y）-+-=3+-^+1≥3+2jΣ（當(dāng)且僅當(dāng)

y=J5x,x=JΣ+1,y=2+JΣ時等號成立）.故選：D

7.（2020.寧夏高三其他模擬）S“為等差數(shù)列｛%｝的前W項和，若幾=0,則4=（）.

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【解析】因為'J"，+"'）=15；2%=154=0,所以6=0,故選：B.

8.（2020.湖北黃岡市.黃岡中學(xué)高三）已知數(shù)列｛4,,｝為等差數(shù)列，S“為其前〃項和，4+%一%=3,則邑=

（）

A.42B.21C.7D.3

【答案】B

【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得4+%一%=4+/一%=3,λ5=Zr?L=7X3=21.

22

故選：B.

9.（2020?山西高三月考）設(shè)等差數(shù)列｛a,,｝的前〃項和為S“，且S9=27,則4+4+4=（）

A.9B.6C.3D.0

【答案】A

【解析】因為Sg=9%=27,所以為=3,從而出+4+%=4+/+%=3%=9.故選：A.

10.（2020?舒蘭市實驗中學(xué)校高三學(xué)業(yè)考試）在等差數(shù)列｛α,J中，已知4+6=26,則該數(shù)列前11項和SU=

（）

A.58B.88C.143D.176

【答案】C

【解析】因為｛α,,｝是等差數(shù)列，所以%+4=24=26,%=13,

SUJI（a；%）=ιι4=11x13=143.故選：C.

11.（2020.河南高三月考）S,,是等差數(shù)列｛α,,｝的前〃項和，若S7=21.則%+%+%=（）

A.9B.12C.15D.18

【答案】A

【解析】由等差數(shù)列前”項和公式得S7=（6+；）X7=21,即%+%=6

又由等差數(shù)列性質(zhì)知：%+%=2%，即％=3二%+%+%=3%=9?故選：A.

12.（2020.黃梅國際育才高級中學(xué)高三期中）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S,,,若%+佝=16,則S∣5=

（）

A.60B.120C.160D.240

【答案】B

【解析】因為%+/=16,所以由等差數(shù)列的性質(zhì)得%+/=2%=16,解得[=8,

所以S∣5=%）=]56=15x8=120.故選：B

13.（2020?河北張家口市?高三月考）已知等差數(shù)列｛??｝的前〃項和為S“，且q+%）+%=9，則幾=（）

A.51B.57C.54D.72

【答案】B

【解析】即％=幾=匍故選:

.??+al7=2β,0.?.3ΛIO=9,3.?.19）=19=19X3=57B

14.（2020?湖南衡陽市八中高三月考）在等差數(shù)列｛%｝中，3（%+處）+2（仆+4+43）=24,則此數(shù)列前

13項的和是（）

A.13B.26C.52D.56

【答案】B

+α+a3α

【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得%+%=2。4，?+β9+al3=α7∣olj=ιo>

因為3（6+。5）+2（/+/+%）=24,可得3x2%+2χ3qf）=24,即α4+α∣0=4,

故數(shù)列的前13項之和SH=1（3+4J==他+電）==26故選：B.

13222

15.（2020?湖北高三月考）設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,,,且是等差數(shù)列，若%=3%，貝IJIl=（）

95527

A.-B.-C.-D.—

5935

【答案】C

【解析】因為是等差數(shù)列，設(shè)的公差為d,+=：+（〃—I）d,即s,=w∣+“（〃一I）d,

所以=Sn—Sn_｝=naλ+/z（zi-l）d-[〃一l）q+（〃-2）（〃一l）d]=q+（∕2-l）x2d,

即an=aj+（〃-l）x2dan+i-an=aλ+n×2d-?ax+（"-l）x2d]=2d

所以｛可｝是等差數(shù)列,

16.(2020?福建省平和第一中學(xué)高三期中)已知等差數(shù)列｛4｝的前九項和為S“，03+G15=α6+7,則S23=

()

A.121B.161C.141D.151

【答案】B

【解析】因為。3+。15=。6+7，所以《5=。6-。3+7，所以《5=31+7,所以。]5—34=7,即42=7

所以S23=23%=161故選：B

17.(2020?云南高三期中(理))已知等差數(shù)列｛q,｝的前〃項和為S“，且％=5,%=3,則S9=()

A.36B.18C.IOD.8

【答案】A

【解析】因為在等差數(shù)列｛4｝中，a3=5,a-,=3,所以/+%=4+氏=8,所以Sg=外"；"')=36,

故選：A

18.(2020.河津中學(xué)高三月考)在等差數(shù)列｛4,,｝中，q=2,S7=35,則即)=()

A.5B.8C.11D.14

【答案】C

【解析】S7=^^^=^φ^=35,，。4=5.：｛4｝為等差數(shù)列，q=2,%=5,%=8,%o=ll.

故選：C.

SS

19.(2020.全國高三月考)已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，若*6，則*=()

1781410

A.—B.-C.—D.—

7333

【答案】D

【解析】己知等差數(shù)列｛4｝的前項和為s“，.?.S3,S6-S3,S9-S6,%-Sg構(gòu)成等差數(shù)列，

所以2?(S6—S3)=&+(S9—S6),且薩=6,化簡解得S6=3S3?

33

S10

又2?(S9?Λ)=(S6-S3)+(兀一品)，i=峪，從而行=§.

故選：D

21.(2020?河北衡水市?衡水中學(xué)高三)兩個等差數(shù)列的前“項和之比為竺19,則它們的第7項之比為()

2〃一1

【答案】B

【解析】設(shè)兩個等差數(shù)列分別為｛α,,｝,｛〃,｝,它們的前〃項和分別為S“，Tn,

5153∏

-X

S115/7+10O13?,$75c

則-=—---->l=--=-rA--------=-=—=3.故選：B.

Tn2〃-1兀

?13?4?XI325

2

S

22.（2020?四川高三一模）設(shè)等差數(shù)列｛α,,｝的前"項和為S,,且々#0,若。5=3①，則寸9=（）

d5

95527

A.-B.-C.-D.—

5935

【答案】D

q+%X0

^=------=等，又%=3,.?.苓=￡X3=|,故選：D.

【解析】依題意，

as

S50+%*55%3555

2

23.（2020?廣東肇慶市?高三月考）等差數(shù)列｛q｝中，%=11，S”是數(shù)列｛風(fēng)｝的前〃項和，則（

A.α∣+%6=lB.$6是｛"｝中的最大項

C.Stj是｛S,｝中的最小項D.I?∣<∣09∣

【答案】A

【解析】在等差數(shù)列｛%｝中，%=11，%2=-10，

所以4="'?%=—3,an=a5+（n-5）d=一3〃+26,

A.因為%+42=4+。忖=1，故正確；

B.因為q=8>0,%=5>0,所以$6不是｛S,｝中的最大項，故錯誤;

C.因為d<0,所以S9不是｛S,,｝中的最小項，故錯誤；

D.因為聞=2>0,聞=1,所以同>同，故錯誤;

故選：A

24.（2020?西藏拉薩市?拉薩那曲第二高級中學(xué)）在數(shù)列｛4｝中，G=1，4+1-4=2,則％∣=（）

A.101B.100C.99D.98

【答案】A

【解析】al=l,。,用一為=2,.?.數(shù)列｛4｝是首項為1,公差d=2的等差數(shù)列,

tZj∣=ciy+（51-l）d=101.故選：A.

二、多選題

25.（2020?遼寧高三期中）記S“為等差數(shù)列｛4｝的前〃項和.已知S4=0,%=5，則（）

2

A.an=2n-5B.an=3n-10C.S11=n-4nD.

【答案】AC

【解析】設(shè)首項為4,公差為d,

al+4d=5

由S4=O,%=5，可得Q4x3，解得4=-3,d=2,

4?,+-----d=0

I2

.?.αn=-3+2（π-l）=2n-5,.?.*=土土="—4〃.故選：AC.

2

26.（2020?河北滄州市?高三期中）已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S,,公差為優(yōu)且%=5,%=3,則（）

A.d——B.d-C.Sg=18D.S<>=36

22

【答案】BD

【解析】因為q+%=%+%=5+3=8,所以S9=9（"；“9）=*=36.

因為4=5,%=3,所以公差d=五二幺=一」.故選：BD

7-32

27.（2020.全國高三其他模擬）已知遞減的等差數(shù)列｛4｝的前N項和為S“，S5=S1,則（）

A.α6>0B.S$最大

C.S13>0D.S11>0

【答案】ABD

【解析】因為S5=S7，所以S7??S5=O,即4+%=O,

因為數(shù)列｛α,｝遞減，所以4>%，則4>0，%<0,故A正確;

所以$6最大，故B正確；

所以、=（"'+；）XK=I3/<0,故C錯誤；

所以SU=區(qū)號3I=Ila6>0,故D正確.

故選：ABD.

28.(202。全國高三專題練習(xí))等差數(shù)列｛α,,｝中，若S6<S7且S7>S8,則下面結(jié)論正確的是()

A.aι>0B.S9<S6C.。7最大D.(SI)MaV=S7

【答案】ABD

【解析】根據(jù)題意，等差數(shù)列｛飆｝中，若S6<S7且S7>S8,

則G=Sl-S6>0,<28=S8-S7<0,

則有d=α8-sV0,

對于A,必有a?-as-7d>0,A正確；

對于B,S?>-S6=a7+α8+a9=348<0,必有S9VS6,B正確；

對于C,等差數(shù)列｛z｝中，d<0,數(shù)列｛〃“｝為遞減數(shù)列，故G最大，C錯誤；

對于。，數(shù)列｛斯｝為遞減等差數(shù)列，aι>O,?8<0,故必有(S,)"WX=S7,。正確；

故選：ABD

29.(2020?全國高三專題練習(xí))等差數(shù)列｛q｝的前〃項和為S“，若/<0，ato>O,則下列結(jié)論正確的是

()

A.S10>S9B.S17<0C.S∣8>S]9D.S19>0

【答案】ABD

【解析】根據(jù)題意可知數(shù)列為遞增數(shù)列，?<0,a,o>O,

;?前9項的和最小，故A正確；

=審=17%<0,故B正確；

SJi生產(chǎn)=1%〉0,故。正確；

Vα∣9>0,

S]8=S∣9-%，

.?.S18<S19,故。不正確.

故選：ABD.

30.（2020?河北張家口市?高三月考）在等差數(shù)列｛4｝中，公差