2023-2024屆新高考一輪復(fù)習(xí)湘教版 1-3 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì) 學(xué)案

第三節(jié)等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

【課標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)】梳理等式的性質(zhì)，理解不等式的概念，掌握不等式的性質(zhì).

必備知識(shí)?夯實(shí)雙基

知識(shí)梳理

1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法

a—b>O=a____b，

(1)作差法(a-b=0=ab,(a,b∈R)

,.a—b<0<=>ab.

(>1=ab,

J=1<≠>ab,(α∈R,?>0)

；VI=a______b.

{b

2.不等式的基本性質(zhì)

性質(zhì)________________性質(zhì)內(nèi)容________________

對(duì)稱性a>h=________

傳遞性一

a>bfb>c=________

可加性a>h=________

a>b

c>OJQ------------

可乘性

汗——

同向可加性女——

同向同正可乘性a>b>O)=

c>d>θ?

可乘方性a>b>0n____(∏∈N,〃22)

可開方性a>b>0=>Vθ>Vb(n∈N,n≥2)

［常用結(jié)論］

1.若心匕>0,ιn>0,∣H∣J≥<-

aa+m

2.若6>α>0,，">0,貝里>處巴

aa+m

夯實(shí)雙基

1.思考辨析(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)兩個(gè)實(shí)數(shù)4,6之間，有且只有4>b,a=b,α<?三種關(guān)系中的一種.()

(2)一個(gè)不等式的兩邊同加上或同乘以同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)方向不變.()

(3)若;>1,則”>A()

b

(4)α>b>0,c>r∕>O=>^>^.()

ɑC

2.(教材改編)設(shè)M=2α(α-2),N=(α+l)(α—3),則有()

A.M>NB.M》N

C.M<ND.MKN

3.(教材改編)設(shè)α=√5+2√Σ?≈2+√7,則α,人大小關(guān)系為

4.(易錯(cuò))若”>Z>O,c<d<O,則一定有()

AabcCabC

A.--->0B.——不0

cdcd

5.（易錯(cuò)）已知一l<α<2,-3<b<5,則〃一6的取值范圍是

關(guān)鍵能力?題型突破

題型一不等式的性質(zhì)

例1[2023?L東日照模擬]若α,b,c為實(shí)數(shù)，且“<b,c>0,則下列不等關(guān)系一定成立的

是（）

A.a+c<b+cB.?ej

ab

C.ac>bcD.b-a>c

題后師說

判斷不等式是否成立，可利用不等式的性質(zhì)逐個(gè)推斷，但在做題時(shí)往往采用特值法，取

特值時(shí)，一定要緊扣條件，有時(shí)還要取兩組以上的特值.

鞏固訓(xùn)練1

若a>b,則下列不等式一定成立的是（）

A.i<iB.√a>√b

ab

C.cι2>b2D.a-c>b~c

題型二比較兩個(gè)數(shù)（式）的大小

例2（1）已知\kθ,則下列不等式正確的是（）

ab

A.ac2>hc2B.a?a?<h?h?

C.a-->b-^?D.Ina2>lnb2

ab

（2）已知a>b>O,比較”"廿與al,bu的大小.

題后師說

比較大小的常用方法

鞏固訓(xùn)練2

(1)已知b<a<O,則下列不等式一定成立的是()

A.?e?B.bci<ac4

ba

C.→-D.-+b<^-+a

a+caab

(2)右。=.，b=—,c=—,貝∣J(

345)

A.a<b<cB.c<h<a

C.c<cι<bD.b<a<c

題型三不等式性質(zhì)的綜合應(yīng)用

例3(1)已知α>b>c,2a+b+c=0,則￡的取值范圍是()

a

A.-3<-<-l

a

B.-1<^<-?

a3

C.-2<^<?~1

a

D.-1<-<-?

a2

(2)已知一l<x+y<4,24-)Y3,則3x+2y的取值范圍為

題后師說

利用不等式性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍應(yīng)注意兩點(diǎn)

鞏固訓(xùn)練3

(1)已知一1VXVy<3,則x-y的取值范圍為.

(2)已知3<a<8,4<?<9,則:的取值范圍是.

D

第三節(jié)等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

必備知識(shí)?夯實(shí)雙基

知識(shí)梳理

I.>=<>=<

2.b<aa>ca+c>b+cac>bcac<bca+c>b+dac>bda">b"

夯實(shí)雙基

1.答案：(I)J(2)×(3)×(4)√

2.解析：因?yàn)镸—N=2a(a—2)—(a+l)(a—3)=a2—2a+3=(a—1)2+2>0,所以M>

N.故選A.

答案：A

3.解析：a2=ll+4√6,?2=ll+4√7,

Λa2-?2=4(√6-√7)<0,

a<b.

答案:a<b

4.解析：A.對(duì)a>b>O,當(dāng)c=-a,d=--∕?時(shí)，

有CCdCO,此時(shí)

--7=-1-(-1)=0,故A錯(cuò)誤；

cα

B.同A,故B錯(cuò)誤；

a

-

daCaC

-==>

b--i-

C.由“>?>0,可得》1,由c<d<O,可得>1,-bdbd

bdC

由于臺(tái)。，故j4C錯(cuò)誤;

D.由C選項(xiàng)的解析可知D正確.

故選D.

答案：D

5.解析：?.?-3<X5,

?,.—5<—h<3,

—6<a—b<5.

答案：（一6,5）

關(guān)鍵能力?題型突破

例1解析：對(duì)于A選項(xiàng)，由不等式的基本性質(zhì)知，不等式的兩邊都加上（或減去）同一

個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，不等號(hào)方向不變，則α<b=q+c<b+c,A選項(xiàng)正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，由不等式的基本性質(zhì)知，不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等

號(hào)方向改變，若。=—2,b=—l,則》，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，由不等式的基本性質(zhì)知，不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等

號(hào)方向不變，c>0,0<a<b=>ac<bc9C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)棣?gt;0,c>0,所以無法判斷匕一。與C的大小，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

答案：A

鞏固訓(xùn)練1解析：若4=0或6=0,（無意義，.?.A錯(cuò)誤；

若m?<0,√a>VB無意義，，B錯(cuò)誤；

22

若O>a>h9貝IJa<b,ΛC錯(cuò)誤；

a>b,貝Uα-c>6-c,,D正確.

故選D.

答案：D

例2解析：（1）對(duì)于A：i<i<0=>?<6[<0,當(dāng)C=O時(shí)，QC2=A2=O,選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

ab

對(duì)于B：h<a<0=>b2>a2=>a?a?-b?h?=-^a2-（-b2）=h2-a2>0,即a?a?>h?h?,選項(xiàng)B錯(cuò)誤;

對(duì)于C：構(gòu)造函數(shù)兀V）=X—%顯然函數(shù)7U）在區(qū)間（一8,0）上單調(diào)遞增,從q<o%S）勺（α）,

即6—；<〃一二，選項(xiàng)C正確；

ba

對(duì)于D：?<β<0=>α2<?2=>lna2<lnb2,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選C.

又4>b>O,故：>1,a-b>Q,

D

Xα?α>0,.?aabh>ahba.

答案：（I）C（2）見解析

鞏固訓(xùn)練2解析：（1）對(duì)于A,由X“<0,令b=-1,a=-?,貝畤=-1,-=—2,一

2ba

1>-2,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,當(dāng)C=O時(shí)，bc4=ac4,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,當(dāng)C=O時(shí)，空=B,故C錯(cuò)誤；

a+ca

對(duì)于D,,+b-((+")=：-(+〃—-a=(b-O)(I+2)，

因?yàn)閔<a<0,所以ah>0fh-a<0,

所以(b—o)(l+2)<0?

即:+8—(：+a)<0,

所以;+Xg+α,故D正確?

故選D.

(2)方法一對(duì)于函數(shù)y=火X)=等，y=?,易知當(dāng)x>e時(shí)，函數(shù)兀V)單調(diào)遞減.因?yàn)?/p>

e<3<4<5,所以負(fù)3)/4)/5),即c<X4

方法二易知4,b,C都是正數(shù)，

P=含=陪<1，所以〃以；

a4In3In81

b51n4In1024

-=-----=-------->1l,

C4In5In625

所以h>c9即c<?<〃.故選B.

答案：(I)D(2)B

例3解析：(l)34>b>c,2α+?+c=0,

.*.a>0,c<0,

:?b=12a—C9且〃>0,c<0,

Va>b>ci

——2Q——CV〃,即3〃>——C9

解得￡>一3,

a

將人=—2a—c