2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納與達(dá)標(biāo)檢測第60講n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)及二項(xiàng)分布（講）（原卷版）

第60講n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)及二項(xiàng)分布思維導(dǎo)圖知識梳理1．條件概率及其性質(zhì)(1)對于任何兩個(gè)事件A和B，在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號P(B|A)來表示，其公式為P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)(P(A)>0)．在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的個(gè)數(shù)，則P(B|A)＝eq\f(nAB,nA).(2)條件概率具有的性質(zhì)①0≤P(B|A)≤1；②如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．2．相互獨(dú)立事件(1)對于事件A，B，若事件A的發(fā)生與事件B的發(fā)生互不影響，則稱事件A，B是相互獨(dú)立事件．(2)若A與B相互獨(dú)立，則P(B|A)＝P(B)．P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B)．(3)若A與B相互獨(dú)立，則A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與B，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)也都相互獨(dú)立．(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，則A與B相互獨(dú)立．3．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是指在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行的，各次之間相互獨(dú)立的一種試驗(yàn)，在這種試驗(yàn)中每一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，即要么發(fā)生，要么不發(fā)生，且任何一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的．(2)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)．設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，則P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記為X～B(n，p)，并稱p為成功概率．題型歸納題型1條件概率【例11】(1)(2019·長沙市統(tǒng)一模擬考試)已知一種元件的使用壽命超過1年的概率為0.8，超過2年的概率為0.6，若一個(gè)這種元件使用到1年時(shí)還未損壞，則這個(gè)元件使用壽命超過2年的概率為()A．0.75 B．0.6C．0.52 D．0.48(2)(2020·合肥模擬)將三顆骰子各擲一次，記事件A為“三個(gè)點(diǎn)數(shù)都不同”，B為“至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)”，則條件概率P(A|B)＝__________，P(B|A)＝________.【跟蹤訓(xùn)練11】(2019·石家莊摸底)某種電路開關(guān)閉合后會出現(xiàn)紅燈或綠燈閃爍，已知開關(guān)第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為eq\f(1,2)，兩次閉合后都出現(xiàn)紅燈的概率為eq\f(1,5)，則開關(guān)在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的條件下第二次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為________．【跟蹤訓(xùn)練12】現(xiàn)有3道理科題和2道文科題共5道題，若不放回地一次抽取2道題，則在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率為________．【名師指導(dǎo)】條件概率的3種求法定義法先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)求P(B|A)基本事件法借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)縮樣法縮小樣本空間的方法，就是去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解，它能化繁為簡題型2相互獨(dú)立事件的概率【例21】(2019·全國卷Ⅱ)11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10∶10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束．甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立．在某局雙方10∶10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束．(1)求P(X＝2)；(2)求事件“X＝4且甲獲勝”的概率．【跟蹤訓(xùn)練21】從甲地到乙地要經(jīng)過3個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4).(1)設(shè)X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列；(2)若有2輛車獨(dú)立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率．【名師指導(dǎo)】利用相互獨(dú)立事件求復(fù)雜事件概率的解題思路(1)將待求復(fù)雜事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥簡單事件的和．(2)將彼此互斥簡單事件中的簡單事件，轉(zhuǎn)化為幾個(gè)已知(易求)概率的相互獨(dú)立事件的積事件．(3)代入概率的積公式求解．題型3獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布【例31】(2019·天津高考)設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為eq\f(2,3).假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立．(1)用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)設(shè)M為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件M發(fā)生的概率．【跟蹤訓(xùn)練31】(2019·江西省五校協(xié)作體試題)食品安全問題越來越受到人們的重視，某超市在某種蔬菜進(jìn)貨前，要求食品安檢部門對每箱蔬菜進(jìn)行三輪各項(xiàng)指標(biāo)的綜合檢測，只有三輪檢測都合格，蔬菜才能在該超市銷售．已知每箱這種蔬菜第一輪檢測不合格的概率為eq\f(1,7)，第二輪檢測不合格的概率為eq\f(1,8)，第三輪檢測合格的概率為eq\f(8,9)，每輪檢測只有合格與不合格兩種情況，且各輪檢測是否合格相互之間沒有影響．(1)求每箱這種蔬菜不能在該超市銷售的概率；(2)如果這種蔬菜能在該超市銷售，則每箱可獲利400元，如果不能在該超市銷售，則每箱虧損200元，現(xiàn)有4箱這種蔬菜，求這4箱蔬菜總收益的分布列．【跟蹤訓(xùn)練32】(2019·河北省九校第二次聯(lián)考)已知某種植物種子每粒成功發(fā)芽的概率都為eq\f(1,3)，某植物研究所分三個(gè)小組分別獨(dú)立進(jìn)行該種子的發(fā)芽試驗(yàn)，每次試驗(yàn)種一粒種子，每次試驗(yàn)結(jié)果相互獨(dú)立．假定某次試驗(yàn)種子發(fā)芽則稱該次試驗(yàn)是成功的，如果種子沒有發(fā)芽，則稱該次試驗(yàn)是失敗的．(1)第一小組做了四次試驗(yàn)，求該小組恰有兩次失敗的概率；(2)第二小組做了四次試驗(yàn)，設(shè)試驗(yàn)成功與失敗的次數(shù)的差的絕對值為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)第三小組進(jìn)行試驗(yàn)，到成功了四次為止，在第四次成功之前共有三次失敗的前提下，求恰有兩次連續(xù)失敗的概率．【名師指導(dǎo)】