數(shù)值積分-補(bǔ)充知識(shí)1

數(shù)值微積分Newton-Cotes

型求積公式復(fù)化求積公式Gauss型求積公式數(shù)值微分引言

求函數(shù)在給定區(qū)間上的定積分，在高等數(shù)學(xué)教程中已給出了許多有效的方法。但在實(shí)際問(wèn)題中，往往僅給出函數(shù)在一些離散點(diǎn)的值，它的解析表達(dá)式?jīng)]有明顯的給出；或者，雖然給出解析表達(dá)式，但卻很難求得其原函數(shù)。

這時(shí)，我們就需要利用函數(shù)在這些節(jié)點(diǎn)上的信息求出函數(shù)積分的近似值，由此，導(dǎo)出了數(shù)值積分的概念和方法。關(guān)于積分如果已知f(x)=F’(x),則根據(jù)牛頓-萊布尼茲公式可以得到：但是，在計(jì)算中會(huì)遇到以下情況：都不宜直接用Newton-Leibniz公式計(jì)算。這時(shí)可以考慮近似求解。1）.原函數(shù)無(wú)法求出，如：2）.y=f(x)由離散數(shù)據(jù)給出(xi,yi),i=0,1,…,n3）.F(x)可以求出，但太復(fù)雜，如采用近似解法或數(shù)值解法的思想是先找出被積函數(shù)f(x)

的近似函數(shù)p(x)

,即：則可以得到：下面我們將給出兩種計(jì)算方法：1）.等距節(jié)點(diǎn)的牛頓-柯特斯型求積公式。2）.非等距節(jié)點(diǎn)的高斯型求積公式?！?.Newton-Cotes型求積公式則可以構(gòu)造出n次Lagrange插值多項(xiàng)式：

相應(yīng)的函數(shù)值為：yk=f(xk),k=0,1,2,…,n對(duì)于定積分將區(qū)間[a,b]n等分,節(jié)點(diǎn)為：對(duì)f(x)=Ln(x)+Rn(x)兩端在[a,b]上積分,得到:令：忽略Rn[f]便可以得到積分的近似表達(dá)式：誤差為：為了給出具體計(jì)算公式，令則由xi=a+ih,xk=a+kh得到從而誤差由：及x=a+th,xk=a+kh得到令：則得定積分的近似計(jì)算公式：這時(shí):我們稱此公式為Newton-Cotes型求積公式。其誤差為：下面再總結(jié)一下Newton-Cotes型求積公式的推理過(guò)程。針對(duì)等距分點(diǎn)處的函數(shù)值：對(duì)于積分得到：由變換：得到對(duì)f(x)=Ln(x)+Rn(x)兩端在[a,b]上積分,得到:從而得到Newton-Cotes型求積公式：

在具體計(jì)算時(shí)，可以取定n=1，2，3，4。此時(shí)，還有專用名稱稱呼，分別為梯形公式、拋物線公式、Cotes公式等，下面給出具體的計(jì)算格式。一、梯形公式(n=1)由系數(shù)得到于是即：關(guān)于誤差可由得到設(shè)f(x)∈C2[a,b],則由積分中值定理得:于是，得到梯形求積公式及其誤差為為了估計(jì)誤差限，設(shè)則得到二、拋物線(辛普森-Simpson)公式（n=2）由系數(shù)得到得到即設(shè)f(x)∈C4[a,b],則可得拋物型公式的誤差為若記則有拋物線(simpson)求積公式及誤差為拋物線公式梯形公式Cotes求積公式例4.1用梯形公式，Simpson公式和Cotes公式求積分解:利用梯形公式利用Simpson公式得利用Cotes公式得而原積分為相對(duì)而言，Cotes求積公式精度最高，梯形求積公式精度最低。2.N點(diǎn)等距節(jié)點(diǎn)的積分公式及其誤差式怎么表示？3.如何由上式給出梯形公式、拋物線公式及其誤差？

4.練習(xí)：分別用梯形、拋物型公式計(jì)算下列積分并估計(jì)誤差限。數(shù)值微分

用函數(shù)y=f(x)的離散數(shù)據(jù)近似的求出函數(shù)在節(jié)點(diǎn)處的微分值，稱作數(shù)值微分。

一、Taylor展開(kāi)法為求出y=f(x)在某點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)值f’(x),可以利用函數(shù)在此點(diǎn)以及前后兩點(diǎn)的函數(shù)值:

通過(guò)Taylor展式進(jìn)行近似計(jì)算。(xi,yi

),i=0,1,2,…,n這時(shí)得到這樣可以得到一階向前差商數(shù)值微分公式

誤差為這樣可以得到一階向后差商數(shù)值微分公式由誤差也為O(h)再由Taylor展示得到一階中心差商數(shù)值微分公式

誤差為二階中心差商數(shù)值微分公式為誤差為

例4-12對(duì)于函數(shù)y=f(x)在如下點(diǎn)的函數(shù)值

xi-0.100.1yi0.904810.1052試分別用一階向前、向后、中心差商公式計(jì)算,

解：三種公式計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)值分別為

用二階中心差商公式計(jì)算.

用二階中心差分公式計(jì)算上表數(shù)據(jù)表示的是由函數(shù)f(x)=ex

給出,其準(zhǔn)確值為：

可見(jiàn)，用一階中心差商公式求一階導(dǎo)數(shù)更準(zhǔn)確一些。

下面再看另一種求導(dǎo)數(shù)的方法。二、插值法求微商兩邊關(guān)于x求導(dǎo)數(shù)，得到

用函數(shù)y=f(x)的離散數(shù)據(jù)先求出n次Lagrange插值多項(xiàng)式將節(jié)點(diǎn)xk帶入，并由：于是，便可以得到函數(shù)在節(jié)點(diǎn)處一階導(dǎo)數(shù)的近似值誤差為得到由及對(duì)于可知可知當(dāng)分點(diǎn)越多時(shí)，用如下公式求數(shù)值微商越精確對(duì)于插值型數(shù)值微商公式根據(jù)插值節(jié)點(diǎn)的不同，可以給出不同的計(jì)算公式：1.一階兩點(diǎn)微商公式(n=1)由及得到于是我們稱為一階兩點(diǎn)微商公式,誤差為O(h).2.一階三點(diǎn)微商公式(n=2)由得到誤差均為3.二階三點(diǎn)微商公式(n=2

)由得到誤差分別為總結(jié)一下，兩點(diǎn)、三點(diǎn)數(shù)值微商公式：一階兩點(diǎn)微商公式一階三點(diǎn)微商公式二階三點(diǎn)微商公式

例4-13對(duì)于函數(shù)y=f(x)在如下點(diǎn)的函數(shù)值

試分別用兩點(diǎn)、三點(diǎn)數(shù)值微分公式計(jì)算x=2.7處函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)值。解：h=0.2時(shí)

xi2.52.62.72.82.9yi12.182513