不等式的證明以及應(yīng)用

PAGEII不等式的證明以及應(yīng)用目錄TOC\o"1-2"\h\u21589摘要 231926abstract 362771引言 4321092基本不等式的證明與應(yīng)用 5442.1基本不等式的定義 551852.2基本不等式的證明 5125372.3基本不等式的應(yīng)用 715623均值不等式的證明與應(yīng)用 987793.1均值不等式的定義 9252543.2均值不等式的證明 10275823.3均值不等式的應(yīng)用 1259354排序不等式的證明與應(yīng)用 1343854.1排序不等式的定義 13320464.2排序不等式的證明 14325864.3排序不等式的應(yīng)用 14272295柯西不等式的證明與應(yīng)用 16185285.1柯西不等式的定義 16139025.2柯西不等式的證明 17254895.3柯西不等式的應(yīng)用 1925186結(jié)束語(yǔ) 224937參考文獻(xiàn) 2311990致謝 24

摘要在數(shù)學(xué)中,不等式的證明與應(yīng)用是重點(diǎn)考察內(nèi)容，貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。其中的幾個(gè)重要不等式，如基本不等式、均值不等式、排序不等式和柯西不等式，均可實(shí)現(xiàn)推導(dǎo)證明與應(yīng)用。本文主要就以上幾個(gè)重要不等式歸納推理出證明過(guò)程，并結(jié)合近幾年數(shù)學(xué)中的不等式問(wèn)題進(jìn)行應(yīng)用，對(duì)不同類(lèi)型的問(wèn)題提供了一些解題方法.關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué);重要不等式;證明與應(yīng)用.

1引言在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，重要不等式在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中發(fā)揮著非常重要的作用，備受數(shù)學(xué)命題專(zhuān)家的青睞，同時(shí)也是一線數(shù)學(xué)教師的重要研究?jī)?nèi)容,因此，要認(rèn)真分析高中數(shù)學(xué)中重要不等式的相關(guān)情況，運(yùn)用合適的解題策略讓中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作得到很好地落實(shí)。研究重要不等式，首先要研究其證明方法和幾何意義，掌握其幾何意義能夠更好的幫助學(xué)生理解重要不等式；為更好的應(yīng)用重要不等式解決問(wèn)題，需掌握其證明方法，重要不等式的證明方法形式多樣，可通過(guò)綜合法、參數(shù)配方法、比較法、、數(shù)學(xué)歸納法、配方法等多種不同的方法證明不等式。其次，重要不等式是數(shù)學(xué)所學(xué)不等式知識(shí)點(diǎn)中的一個(gè)重要組成部分，是研究數(shù)學(xué)和其他交叉學(xué)科的重要工具。事實(shí)上,對(duì)不等式的研究由來(lái)已久,最開(kāi)始不等式并不是一門(mén)學(xué)科,只是數(shù)學(xué)家在他們研究領(lǐng)域使用的引理,或者是證明和研究所得到的副產(chǎn)品而已.自不等式成為一門(mén)系統(tǒng)的學(xué)科后,不等式的研究開(kāi)始逐步變得多樣化、系統(tǒng)化.在國(guó)外,1961年貝肯巴赫和別爾曼的《不等式》,1970年密特利諾維奇的《解析不等式》這兩本書(shū)都對(duì)當(dāng)時(shí)的不等式研究成果進(jìn)行了總結(jié);國(guó)內(nèi),1989年匡繼昌的《常用不等式》一書(shū)是由中國(guó)人自己編撰的第一部關(guān)于不等式的著作,并第一次大量的收錄了中國(guó)數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)的新的不等式.除此之外,在1981發(fā)表的一篇論文中,胡克教授提出了一種全新的不等式,現(xiàn)在稱(chēng)之為胡克(HK)不等式.關(guān)于不等式的理論研究至今仍在繼續(xù),從未停歇.研究不等式得到的一些成果不僅限于數(shù)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用,也可用于解決生活中的一些問(wèn)題,從這些問(wèn)題中我們可以看出不等式的有用性以及研究它的重要意義.本文通過(guò)證明重要不等式、應(yīng)用重要不等式解決問(wèn)題，提高學(xué)生的思維能力和培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力，本文對(duì)重要不等式的證明與解題應(yīng)用進(jìn)行概括研究.

2基本不等式的證明與應(yīng)用基本不等式在中學(xué)是一個(gè)必考的知識(shí)點(diǎn),不僅能夠證明許多重要不等式，而且在不等式的解題過(guò)程中有著廣泛的應(yīng)用，如：比較數(shù)大小、求最值、解決實(shí)際問(wèn)題等等.基本不等式的證明在課本中有過(guò)介紹，老師往往從平面幾何視角中的弦圖法、不等式視角中的綜合法與換元法進(jìn)行證明，這里將從其他幾個(gè)視角給出基本不等式的證明及其應(yīng)用，加深對(duì)基本不等式的理解，提高利用不等式解決問(wèn)題的能力.2.1基本不等式的定義任意兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).設(shè)為正數(shù)，則有以下不等式成立：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.2.2基本不等式的證明(1)不等式視角證法1利用柯西不等式根據(jù)柯西不等式，可知:所以，即證法2利用排序不等式根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)，則，由排序不等式，得，即可證基本不等式(2)向量視角證法3利用向量數(shù)量積設(shè)根據(jù)得即可證基本不等式(3)三角函數(shù)視角證法4利用三角函數(shù)在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)則.因?yàn)榧醇纯勺C基本不等式2.3基本不等式的應(yīng)用基本不等式結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)約，形式優(yōu)美，是高中數(shù)學(xué)的重要考點(diǎn)．一正、二定、三相等，是基本不等式在應(yīng)用時(shí)需要依次滿足的條件，三者缺一不可.基本不等式在應(yīng)用過(guò)程中常與其它知識(shí)點(diǎn)交匯[3].作為高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，其解決方法一般從這些知識(shí)點(diǎn)出發(fā)，構(gòu)建變量與變量之間的等量關(guān)系，最后選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼猓?1)在不等式中的應(yīng)用例1(2020年高考天津卷理科題14)已知，，且，則的最小值為[3].解析因?yàn)?，，且則由基本不等式當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，結(jié)合，得或時(shí)取等號(hào).點(diǎn)評(píng)本題考查基本不等式的應(yīng)用，利用常數(shù)代換法是解決本題的關(guān)鍵[3]。(2)在平面向量中的應(yīng)用例2(2015年高考天津卷理科題14)在等腰梯形中，已知，2，，，動(dòng)點(diǎn)和分別在線段和上，且，則的最小值為．解析因?yàn)榈茫ǎ┯忠驗(yàn)樗裕ǎǎ└鶕?jù)題意，，則有當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).點(diǎn)評(píng)本題考查平面向量的基本定理和數(shù)量積運(yùn)算，考察基本不等式的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是利用未知數(shù)的關(guān)系，最后通過(guò)基本不等式得出最小值[3].(3)在三角函數(shù)中的應(yīng)用例3(2020年高考全國(guó)卷理科題21)已知函數(shù)(1)討論在區(qū)間()的單調(diào)性；(2)證明：；(3)設(shè)明：.解析(1)略；(3)略；(2)構(gòu)建函數(shù)化簡(jiǎn)得由基本不等式得：故有.點(diǎn)評(píng)本題考察三角函數(shù)的運(yùn)算，考察基本不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵在于構(gòu)造.小結(jié)從上述例子可以看出，在基本不等式應(yīng)用解題過(guò)程中要注意以下兩方面:一方面是注意基本不等式成立的條件;另一方面是合理構(gòu)造基本不等式中的和或積[3].3均值不等式的證明與應(yīng)用均值不等式是證明其他不等式的重要方法，擁有不可代替的重要地位，而運(yùn)用均值不等式的原理來(lái)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的重要方法，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題上均值不等式的許多性質(zhì)起到了非常重要的作用，本文著重研究了均值不等式定義證明及其在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.3.1均值不等式的定義調(diào)和平均數(shù)不超過(guò)幾何平均數(shù)，幾何平均數(shù)不超過(guò)算術(shù)平均數(shù)，算術(shù)平均數(shù)不超過(guò)平方平均數(shù)[2].即:設(shè)均大于零，其中，調(diào)和平均數(shù)：幾何平均數(shù)：算術(shù)平均數(shù)：平方平均值：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.3.2均值不等式的證明關(guān)于均值不等式的證明方法有很多，數(shù)學(xué)歸納法(第一數(shù)學(xué)歸納法或反向歸納法)、拉格朗日乘數(shù)法、排序不等式法、柯西不等式法等等[2]，都可以證明均值不等式，在這里采用排序不等式法的證明方法：簡(jiǎn)單介紹一下排序不等式及其推論：逆序和不超過(guò)亂序和，亂序和不超過(guò)同序和.即：其中有兩個(gè)有序組數(shù)及，是的任意排列，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立[6].推論1：若對(duì)于有，則，等號(hào)成立的條件是，推論2：若對(duì)于，且，則.等號(hào)成立的充要條件是.1)證明調(diào)和幾何平均不等式：即：等價(jià)于又因?yàn)橛赏普?知(1)式成立，故成立，等號(hào)成立的充要條件是(2)證明幾何算術(shù)平均不等式：即：等價(jià)于又因?yàn)橛赏普?知(2)成立，故成立，等號(hào)成立的充要條件是.(3)證明算術(shù)平方平均不等式：即：令且，則所以從而等號(hào)成立的條件是，即由此，即可證，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.3.3均值不等式的應(yīng)用(1)用均值不等式求極限（1）用均值不等式求極限.例1求極限.[4]解析由幾何算術(shù)平均不等式，有從而有由兩邊夾原則，可得(2)用均值不等式求最值例2已知，求.解析因?yàn)樗杂删挡坏仁剑傻卯?dāng)且僅當(dāng)即或時(shí)，的最小值為1(3)用均值不等式比較大小試判斷之間的大小關(guān)系.即即4排序不等式的證明與應(yīng)用4.1排序不等式的定義設(shè)有兩組有序?qū)崝?shù)組，則有下列不等式成立：其中是自然數(shù)的任一排列，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立[8].4.2排序不等式的證明首先，令顯然又因?yàn)樗杂兴酝砑纯勺C排序不等式，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立4.3排序不等式的應(yīng)用(1)用排序不等式證明不等式例1已知，證明：故原不等式即可證.例2已知且滿足，證明：解析不妨設(shè)，則由排序不等式得同理兩式相加得所以由于.所以故原不等式即可證[8].(2)用排序不等式解三角問(wèn)題例3在中，為三邊長(zhǎng)，證明：解析不妨設(shè)，則所以同樣所以所以故原不等式即可證[9].5柯西不等式的證明與應(yīng)用5.1柯西不等式的定義(1)柯西不等式的一般形式對(duì)于，則有下列不等式成立：可簡(jiǎn)化寫(xiě)成：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.(2)柯西不等式的特殊形式形式1二維形式：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.形式2三維形式：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.形式3向量形式：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.5.2柯西不等式的證明(1)利用均值不等式因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)和有：所以有將上述不等式從到相加，可得選取使得則有因?yàn)榧纯勺C柯西不等式當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立[5](2)利用排序不等式令且，記.由排序不等式有即于是從而即可證柯西不等式當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即等號(hào)成立[7].5.3柯西不等式的應(yīng)用柯西-施瓦茨不等式的應(yīng)用常體現(xiàn)在數(shù)學(xué)中，它是新課程標(biāo)準(zhǔn)教科書(shū)的選修課內(nèi)容，是教學(xué)中的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，通常被稱(chēng)為柯西不等式，其形式的多樣性決定其應(yīng)用的廣泛.巧妙應(yīng)用柯西不等式可以將許多繁瑣復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，常常用于證明相關(guān)數(shù)學(xué)命題和求解有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題，比如求最值，證明恒等式以及解方程組，要想在題目中運(yùn)用它，關(guān)鍵要按照問(wèn)題的已知并根據(jù)已有的形式巧妙構(gòu)造出兩組數(shù)，下面選取典型例題簡(jiǎn)要談?wù)勊跀?shù)學(xué)中的應(yīng)用.5.3.1用于求最值例1已知,求的最值.解析由柯西不等式可得:即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.因?yàn)?,所以 ,即故的最大值是,最小值是,技巧分析：在這類(lèi)問(wèn)題中，需要根據(jù)題目相應(yīng)的條件求最值，表面上看與條件聯(lián)系不大，但通過(guò)仔細(xì)觀察分析所給式子的特點(diǎn)，可以看到題目中的代數(shù)式 ,它可以拆分成，并且可以改寫(xiě)成，這樣就湊出了柯西不等式的結(jié)構(gòu)，轉(zhuǎn)化成了可以應(yīng)用柯西不等式的形式，再結(jié)合柯西不等式的二維形式是 ，以此來(lái)達(dá)到解題的目的.5.3.2用于證明恒等式例2已知,求證:.解析由柯西不等式,得當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，上式取等號(hào)，所以,,于是證得.技巧分析：在這類(lèi)問(wèn)題中，已知和要證的式子都是恒等式，要證明這類(lèi)問(wèn)題，首先要能感受出、，以此為切入點(diǎn)，根據(jù)柯西不等式的二維形式的變形 ，合理選用所代表的特定部分，直接使用柯西不等式，并利用取等號(hào)的充要條件來(lái)實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo).5.3.3用于求解方程組例3在實(shí)數(shù)集內(nèi)解方程組解析由柯西不等式得，，又，所以有通過(guò)觀察不等式只有等號(hào)成立,再根據(jù)柯西不等式等號(hào)成立的條件,有 ，與原方程聯(lián)立有計(jì)算得解為技巧分析：在這類(lèi)問(wèn)題中，題目是兩個(gè)方程，要求解3個(gè)未知數(shù)，它本是不定方程組，其特點(diǎn)是解往往有無(wú)窮多個(gè)，不能唯一確定，根據(jù)題意求實(shí)數(shù)，方程只有有限組解，屬于技巧方程.首先,這里的柯西不等式將用于將方程轉(zhuǎn)化為不等式，根據(jù)方程的特點(diǎn)，不等式也可以轉(zhuǎn)化為方程，這是一個(gè)非常重要的步驟.然后，根據(jù)柯西不等式的取等號(hào)條件，得到一個(gè)新的方程，并將其與原方程組中的一個(gè)簡(jiǎn)明方程相結(jié)合，形成一個(gè)新的方程組,這個(gè)新的方程組與方程組具有相同的解，并且新方程組簡(jiǎn)單且容易解出.還有一類(lèi)題目涉及到與解析幾何知識(shí)相關(guān)，正常解題需要用到解析幾何相關(guān)知識(shí)，相對(duì)步驟繁雜，但對(duì)有一部分題目如果能夠靈活借助柯西不等式進(jìn)行處理會(huì)在原步驟基礎(chǔ)上簡(jiǎn)單不少，最終問(wèn)題解決往往呈現(xiàn)的是幾步代數(shù)推理.綜上可以看到通過(guò)恰當(dāng)?shù)呐錅?，巧妙?yīng)用柯西不等式解決某些初等數(shù)學(xué)問(wèn)題是很便利的，但是大多數(shù)學(xué)題目是有差異的，因此要準(zhǔn)確識(shí)別這些差異，抓住問(wèn)題的個(gè)性化特征，多進(jìn)行歸納思考來(lái)優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，此時(shí)可以通過(guò)巧拆常數(shù)、重新安排某些項(xiàng)的次序達(dá)到利用柯西不等式結(jié)構(gòu)的目的，在差異中尋找共性，最終找到解決問(wèn)題的通用方法

6結(jié)束語(yǔ)本文列舉的幾個(gè)重要不等式是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)，包含的內(nèi)容較多，高考中出現(xiàn)的題型及解題技巧也是多種多樣[8-10],所以對(duì)該部分知識(shí)進(jìn)行學(xué)習(xí)的時(shí)候也是有一定的難度.通過(guò)以上的研究可以得到，熟知重要不等式的證明方法與應(yīng)用方向?qū)忸}有極大的幫助，選擇合適的重要不等式，掌握其運(yùn)算技巧，從而就能找出解題的突破口.

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