平面彎曲-梁的正應(yīng)力及正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算（建筑力學(xué)）

一、純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力第四節(jié)梁的正應(yīng)力及正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算彎曲應(yīng)力

從梁的內(nèi)力圖可知，在梁的CD段，各橫截面上只有彎矩而沒(méi)有剪力，這種情況稱(chēng)為純彎曲。在梁的AC、BD段，各橫截面上既有剪力又有彎矩，稱(chēng)為橫力彎曲。1.幾何變形方面梁的純彎曲現(xiàn)象:梁純彎曲時(shí)正應(yīng)力公式也要從幾何變形、物理關(guān)系和靜力學(xué)關(guān)系三方面考慮。１）原來(lái)為直線(xiàn)的縱向線(xiàn)都彎成了曲線(xiàn)，下面的縱向線(xiàn)都伸長(zhǎng)了，上面的縱向線(xiàn)都縮短了。２）原來(lái)為直線(xiàn)的橫向線(xiàn)仍為直線(xiàn)，只是相互傾斜了一個(gè)角度，并且仍垂直于彎曲后的梁軸線(xiàn)。３）矩形截面的上部變寬了，下部變窄了。彎曲應(yīng)力根據(jù)觀察梁的純彎曲現(xiàn)象，可以做出如下假設(shè)和推斷：（1）平面假設(shè)（2）單向受力假設(shè)產(chǎn)生純彎曲的梁，變形之前為平面的橫截面變形之后仍為平面，并且仍垂直于彎曲后的梁軸線(xiàn)。將梁看成由無(wú)數(shù)根縱向纖維組成，各纖維只產(chǎn)生軸向拉伸或壓縮變形，而互相之間沒(méi)有擠壓。彎曲應(yīng)力由變形的連續(xù)性又可推出：在伸長(zhǎng)和縮短之間必有一層纖維既不縮短也不伸長(zhǎng)，這層纖維稱(chēng)為中性層。

中性層與橫截面的交線(xiàn)稱(chēng)為中性軸。

中性軸將梁的橫截面分為受拉區(qū)和受壓區(qū)。根據(jù)平面假設(shè)可知，縱向纖維的伸長(zhǎng)和縮短是橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)的結(jié)果。彎曲應(yīng)力任一根縱向纖維的線(xiàn)應(yīng)變上式說(shuō)明：各纖維的縱向線(xiàn)應(yīng)變與它到中性層的距離成正比。距中性層最遠(yuǎn)的上下邊緣處的線(xiàn)應(yīng)變最大，而中性層的線(xiàn)應(yīng)變?yōu)榱?。ρ為中性層上的纖維的曲率半徑。)彎曲應(yīng)力2.物理關(guān)系方面對(duì)任一確定的截面，E/ρ為一常數(shù)，所以上式說(shuō)明：梁橫截面上任一點(diǎn)處的正應(yīng)力與該點(diǎn)到中性軸的距離成正比。中性軸上各點(diǎn)處正應(yīng)力為零，距中性軸最遠(yuǎn)的上、下邊緣上各點(diǎn)處正應(yīng)力最大，其他點(diǎn)的正應(yīng)力介于零到最大值之間。彎曲應(yīng)力3.靜力學(xué)關(guān)系方面由各微內(nèi)力對(duì)z軸之矩的代數(shù)和應(yīng)等于該截面上的彎矩，可導(dǎo)出

彎曲應(yīng)力純彎曲時(shí)橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式：用上式計(jì)算正應(yīng)力時(shí)，通常只將M及y的絕對(duì)值代入，求應(yīng)力的數(shù)值，而正應(yīng)力σ的正負(fù)號(hào)由彎矩M的正負(fù)號(hào)及點(diǎn)的位置來(lái)判斷。彎曲應(yīng)力正應(yīng)力公式的使用條件：（1）梁產(chǎn)生純彎曲。（2）正應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限。（3）公式對(duì)橫截面有縱向?qū)ΨQ(chēng)軸的其它形狀截面梁都適用。彎曲應(yīng)力

對(duì)于跨度與截面高度之比

l/h

大于5時(shí)，可以忽略切應(yīng)力對(duì)正應(yīng)力的影響，橫截面上的最大正應(yīng)力按純彎曲正應(yīng)力公式計(jì)算。二、橫力彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力

橫力彎曲：梁的橫截面上既有彎矩又有剪力。此時(shí)，橫截面是不僅有正應(yīng)力，而且有切應(yīng)力。

梁在純彎曲時(shí)所作的平面假設(shè)和各縱向纖維間無(wú)擠壓的假設(shè)不再成立。彎曲應(yīng)力

例10-12簡(jiǎn)支梁受均布荷載q作用，試完成：(1)求距左端為１m的C截面上a、b、c三點(diǎn)的正應(yīng)力。(2)作出C截面上正應(yīng)力沿截面高度的分布圖。

解

（1）求指定截面上指定點(diǎn)的應(yīng)力先求出支座反力彎曲應(yīng)力C截面的彎矩MC=5.25×1－3.5×1×0.5=3.5kN·m作梁的彎矩圖如圖示?？缰薪孛鎻澗刈畲?，其值為彎曲應(yīng)力

計(jì)算C截面上a、b、c三點(diǎn)的正應(yīng)力：

矩形截面對(duì)中性軸z的慣性矩彎曲應(yīng)力(2)作C截面上正應(yīng)力沿截面高度的分布圖。彎曲應(yīng)力三、梁的正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算1.梁的最大正應(yīng)力對(duì)于等截面直梁，彎矩最大的截面就是危險(xiǎn)截面，而危險(xiǎn)截面上距中性軸最遠(yuǎn)的上邊緣或下邊緣處各點(diǎn)即為危險(xiǎn)點(diǎn)。令：式中WZ稱(chēng)為抗彎截面系數(shù)，僅與截面的幾何形狀及尺寸有關(guān)。單位：m3或mm3。工程中常用簡(jiǎn)單截面的慣性矩和抗彎截面系數(shù)見(jiàn)表10-8。彎曲應(yīng)力

對(duì)于各種型鋼的慣性矩和抗彎截面系數(shù)可從書(shū)后“附錄”型鋼表中查出。彎曲應(yīng)力

對(duì)于中性軸不是截面對(duì)稱(chēng)軸的梁，例如T型截面的等直梁。全梁的σtmax

或σcmax不一定發(fā)生在|Mmax|截面處，需對(duì)最大正彎矩和最大負(fù)彎矩處的σtmax和σcmax分別計(jì)算。

在最大正彎矩截面上，梁的下邊緣產(chǎn)生最大拉應(yīng)力，上邊緣產(chǎn)生最大壓應(yīng)力，其值為彎曲應(yīng)力2.梁的正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算

對(duì)于抗拉和抗壓能力相同的塑性材料（如低碳鋼），由于，所以其正應(yīng)力強(qiáng)度條件為

對(duì)于抗拉和抗壓能力不同的脆性材料（如鑄鐵），由于，所以其正應(yīng)力強(qiáng)度條件為彎曲應(yīng)力3.梁的正應(yīng)力強(qiáng)度在工程中的應(yīng)用(1)正應(yīng)力強(qiáng)度校核(2)設(shè)計(jì)截面(3)確定許用荷載彎曲應(yīng)力

例10-13圖示簡(jiǎn)支梁選用木材制成，其橫截面為矩形b×h=140mm×210mm，梁的跨度l=4m，荷載FP=6kN，q=2kN/m，材料的彎曲許用應(yīng)力[σ]=11MPa，試校核該梁的正應(yīng)力強(qiáng)度。解（1）求梁在圖示荷載作用下的最大彎矩。求支座反力，由對(duì)稱(chēng)性可得FBy=FAy=7kN

再作梁的彎矩圖，如圖示。

從圖可知：跨中截面上彎矩最大，其值為Mmax=10kN·m

。彎曲應(yīng)力

(2)計(jì)算截面的幾何參數(shù)。(3)校核梁的正應(yīng)力強(qiáng)度。該梁滿(mǎn)足正應(yīng)力強(qiáng)度要求。彎曲應(yīng)力例10-16T形截面外伸梁如圖，已知：荷載FP1=40kN，F(xiàn)P2=15kN，材料的彎曲許用應(yīng)力分別為[σt]=45MPa，[σc]=175MPa，截面對(duì)中性軸的慣性矩Iz=5.73×10-6m4，下邊緣到中性軸的距離y1=72mm，上邊緣到中性軸的距離y2=38mm，其它尺寸如圖。試校核該梁的強(qiáng)度。解（1）求梁在圖示荷載作用下的最大彎矩。彎曲應(yīng)力B截面上彎矩取得最大負(fù)值，MB==3kN·m；=4.5kN·m。C截面上彎矩取得最大正值，M