2023年特級教師“自主招生”物理培優(yōu)講義

2023年特級老師“自主招生”物理培優(yōu)講義（修改版）

自主招生物理復習與應試技巧

1.物理考題特點：

（1）綜合性高：要求考生綜合運用所學物理學問來解決實際問題，有的題可能還會綜合到

其他學科的學問。

（2）實力性強：不是靠死背學問點或記幾個解題模型就能解決問題，綜合考查考生理解實

力、推理實力、分析綜合實力、應用數(shù)學處理物理問題的實力、試驗實力等物理學科實力。

（3）隨意性大：考題并不強調(diào)學問的覆蓋面，很多內(nèi)容都沒在考題中出現(xiàn)；但有的內(nèi)容年

年考，甚至有的同一試卷中有多道題考查到同一學問點。

（4）難度逐年下降：對于參與過競賽的同學來說，可能會有肯定的優(yōu)勢。但隨著自主招生

規(guī)模的擴大，參與自主招生考試的考生越來越多，試題難度呈現(xiàn)逐年下降趨勢，多數(shù)題已經(jīng)

接近高考題的難度。

2.物理復習建議

把握機會，做好兩手打算：以自主招生考試的復習，促進高考備考復習。學問章節(jié)分布上：

熱學占的比重較大。主要緣由是熱學作為物理的一個重要的分支，對統(tǒng)計的科學方法，微觀

到宏觀的模型理解等等方面的思維訓練都特別必要。因此，北京的考生就相對吃虧。其他章

節(jié)，例如力學，電磁學，光學都有涉及，體現(xiàn)了清華體系對學問覆蓋面廣的特點。

3.自主招生物理考題特點與應試技巧：

題目的模型和方法：

（問題單一一貌視簡單

f特點：情境過程復雜一考查分析綜合能力

〔思維量大一涉及物理知識較多

I

r自找臺階一情境過程分析

、翳<順藤摸瓜一找準切入點

'技巧

I跟蹤追擊一一環(huán)扣一環(huán)

力學部分，考察了關(guān)聯(lián)加速度，質(zhì)心運動，振動等等幾個模型。值得指出的是，其中超綱

學問特別少（伯努力方程）。而且這個題也是整個卷子中唯一的競賽原題，出自俄羅斯競賽

試題。其他的像加速度關(guān)聯(lián)，質(zhì)心方法和間諧振動等都是對于高考模型的拓展。

熱學部分考察了膨脹系數(shù)和氣體模型，主要目的也是考察學生對于模型的理解和應用數(shù)

學，應用邏輯的推理實力。在這個層面上，可以說和高考的出題思路有異曲同工之妙。

電磁學部分的考察有一道簡潔的題目，一道較難的壓軸題。壓軸題目復合場中的粒子運動,

風格比較像全國一卷壓軸題和物理競賽初賽壓軸計算題的風格的雜糅。

光學部分考察的是干涉。須要同學們對于書本上的公式的背后的物理意義有肯定的思索，

才能做出答案。

方法上：

小量分析，被重點強調(diào)，兩個題目都和這個方法有關(guān)。

加速度關(guān)聯(lián)方法，題目主要是考察學生對于矢量的理解

自主招生考試的主要特點還是：高考學問框架為主，對模型和方法稍有拓展。從今年題目只

有一個競賽原題的狀況來看，考生們應當在打算自主招生的考試過程中留意：

高考訓練的模型的拓展，在平常的訓練之余，多思索一下為什么，以及用現(xiàn)有的物理數(shù)學

學問，還能再推導出些什么。要做到主動學習。這些訓練也正是高考所強調(diào)的推理實力和探

究實力。

不要拘泥于高考。尤其是北京的考生，不能因為熱學高考不考就一竅不通，為了物理學問

體系的完整性，也應當對主要模型以及主要的公式推導過程有所了解。這些內(nèi)容在將來的高

校學習過程中都是至關(guān)重要的，這也就是自主招生考試對這些學問樂此不疲的緣由。

4.中學物理中常見的運動形式

(1)勻速直線運動

(2)勻變速直線運動

(3)平拋(或類平拋)運動

(4)圓周運動

(5)簡諧運動

(6)其它困難運動及其處理方法

①分解法

②功能方法

5.正確解答物理題應遵循肯定的步驟

第一步：看懂題。所謂看懂題是指該題中所敘述的現(xiàn)象是否明白？不行能都不明白，不

懂之處是IW?哪個關(guān)鍵之處不懂？這就要集中思索“難點”，留意挖掘“隱含條件?！币B(yǎng)成

這樣一個習慣：不懂題，就不要動手解題。

若習題涉及的現(xiàn)象困難，對象很多，須用的規(guī)律較多，關(guān)系困難且隱藏，這時就應當將

習題“化整為零”，將習題化成幾個過程，就每一過程進行分析。

其次步：在看懂題的基礎(chǔ)上，就每一過程寫出該過程應遵循的規(guī)律，而后對各個過程組

成的方程組求解。

第三步：對習題的答案進行探討.探討不僅可以檢驗答案是否合理，還能使讀者獲得進

一步的相識，擴大學問面。

分析法的特點是從待求量動身，追尋待求量公式中每一個量的表達式，(當然結(jié)合題目

所給的已知量追尋)，直至求出未知量.這樣一種思維方式“目標明確”，是一種很好的方

法應當嫻熟駕馭。

綜合法，就是“集零為整”的思維方法，它是將各個局部(簡潔的部分)的關(guān)系明確以

后，將各局部綜合在一起，以得整體的解決。

綜合法的特點是從已知量入手，將各已知量聯(lián)系到的量(據(jù)題目所給條件找尋)綜合

在一起。

事實上“分析法”和“綜合法”是密不行分的，分析的目的是綜合，綜合應以分析為

基礎(chǔ)，二者相輔相成。

例：（清華高校自主招生考題）如圖所示，一磁感應強度為B的勻稱磁場，分布在半徑為R

的無限長圓柱體內(nèi)，設B=BOt（BO〉0）?現(xiàn)有一半徑也為R,電阻勻稱分布且總電阻為r的

金屬圓環(huán)，放在垂直于磁場的平面內(nèi)，金屬圓環(huán)中心在勻稱磁場的對稱軸上。長為"電阻為

r'的直導線的兩個端點a、6與金屬圓環(huán)良好連接，求此直導線中感應電流的電流強度。（設

感應電流所產(chǎn)生的磁場可以忽視）

導體棒在變更磁場中的感應電動勢的計算方法

如圖所示，B為變更的勻稱有界磁場，其半徑為R,導體棒ab的長度為L

（1）若L恰好為該圓的內(nèi)接正三角形邊長

ε=―—―=——SS為三角形的面積

ab3?z3?t

（2）若L恰好為該圓的內(nèi)接正方形邊長

工緲」又

S為正方形的面積4?r4?rS

（3）若L恰好為該圓的內(nèi)接正N邊形的邊長，則:

11AB

ΛFΔ7-ΛFΣ7Λ

S為正N邊形的面積

物系相關(guān)速度推斷法

桿或繩約束物系各點速度的相關(guān)特征是：在同一時刻必具有相同的沿桿、繩方向的分速

度；接觸物系接觸點速度的相關(guān)特點是：沿接觸面法向的分速度必定相同，沿接觸面切向的

分速度在無相對滑動時相同：線狀相交物系交叉點的速度是相交雙方沿對方切向運動分速度

的矢量和。

1如圖示，物體A置于水平面上，物體A前固定有動滑輪B,D為定滑輪，一根輕繩繞過

B、D后固定在C點，BC段水平，當以速度U拉繩頭時，物體A沿水平面運動，若繩與水

平面夾角為α,物體A運動的速度多大？

解：任何時刻繩BD段上各點有與

繩D端相同的沿繩BD段方向的分速度V

設A右移速度為匕，則相對于A,繩上B點

是以速度VV從動滑輪中抽出的，即

VBA=匕

依據(jù)運動的合成法則，在沿繩BD方向上，繩上B點速度是相對于參考系A(chǔ)的速度叭與參

V

考系A(chǔ)相對于靜止參考系速度vCOStt的合成，即U=V+vcosa得v=----------

vBAvx1+COStz

解法二位移關(guān)系

xljn=XBC+XACOSa=XA+XACOSa

動，帶動從動桿AB沿豎直方向上升，0為凸輪圓

心，P為其頂點。求當NAOP=α時，AB桿的速

度。

解：桿與凸輪在A點接觸，桿上A點的速度VA是豎直向上的，輪上A點速度%是水平向

右的，依據(jù)接觸系觸點速度相關(guān)特點，兩者沿接觸面法向的分速度相同，即

VAcost/=v0sinɑ得UA=UOtana

3AB桿的A端以勻速U運動，在運動時桿恒與一半圓周相切，半圓周的半徑為R,當桿與

水平線的交角為。時，求桿的角速度0及桿上與半圓相切點C的速度。

解：半圓靜止，故桿上C點速度的法向重量為零，C點速度沿桿方向；

桿上A點速度分解為沿桿方向匕和垂直桿方向匕，則匕是A、C沿桿共同的速度，即

VC=Vl=VCOStz

以C為基點，則七=vsinα=eAC,而AC=R?cot6得①="，/

RCOSe

4線軸沿水平面作無滑動的滾動，并且線端點A速度為V,方向水平。以絞鏈固定于B

點的木板靠在線軸上，線軸的內(nèi)外半徑為別為r和R。試確定木板的角速度①與角

8

沿C點切向的對軸心0的轉(zhuǎn)動速度vcπ和圖

與軸心相同的平動速度％的合成。則C點法向速度應是V,,=v0sin?

軸線為剛體且作純滾動，以水平切點為基點有一=與

R+rR

l-cosa

解得CO-----------V

R+r

5合頁構(gòu)件由三個菱形組成，其邊長之比為3：2：1,頂點A3以速度V沿水平方向向右運

動，求當構(gòu)件全部角都為直角時，頂點B2的速度02。

解：頂點B2A1桿上的一點，其速度是沿B2A1桿方向的速度V1及垂直于B2A1桿方向的

速度匕'的合成：同時作為桿B2A2上的一點，其速度又是沿B2A2桿方向的速度%及

垂直于B2A2桿方向的速度■的合成，由于兩桿互成直角的特定條件，有

/y/7

依據(jù)桿約束特征有：

%=%,Vl=KV,=—VAi,V2=—VA2

(爭)+停%)2

右?guī)缀侮P(guān)系知：

VΛI:VΛ2:VΛ3=AOA：44:AiyA3=3:5:6

6直角曲桿OBC繞。軸在平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，使套在其上的光滑小環(huán)沿固定直桿OA滑動。已知

OB=IOCtn,曲桿的角速度。=0.5Sd∕s,求夕=60。時小環(huán)M的速度。

解：由于剛性曲桿OBC以O為軸轉(zhuǎn)動，故其上與OA直桿交叉點的速度方向垂直于轉(zhuǎn)

動半徑OM,大小是U=WOM=IOCm/S。將其沿MA、MB方向分解成兩個分速度，即

得小環(huán)M的速度VM=VMA=v?tan=106CmJS

7細桿OM繞O軸以勻角速度0轉(zhuǎn)動，并推動套在桿和鋼絲AB上的小球C沿AB運

動，其中。D=d,試求小球與D點距離為X時，小環(huán)沿AB滑動的速度和沿OM滑動的速

度。

解：設小球C相對AB滑動的速度為U,相對與OM滑動的速度為h,C點處桿繞0

點轉(zhuǎn)動的速度為匕，則U=/+嶺。設OM從豎直位置轉(zhuǎn)過了。角，則有

X,COS6=/d

Sine=

√7T7√77J7

一+—人八八一乙v?ωJx~-?-d~Jr+d-)

由速度合成公式知V=-?-=---------------=----------------

cosθcosθa

v=vtanθ-ω?∣x2+d^tan

12"XJ"χ

故小球沿AB滑動的速度為M=,方向沿AB向右;

沿桿OM滑動的速度IM=WXdX，方向沿OM桿向上。

解法二：以D點為坐標原點，AB為X軸建立坐標系，則x=dtan9

兩邊對時間求導v=χ=dθsec2θ=ω^+d^

d

沿桿OM滑動的速度是分速度。求加速度用極坐標

、士心Cll1.12x√x2÷J222x（x2+d2）2

橫向加速度4=。2=2WW=H=------------------co,a=—K=-------N-------ω~

aCOSea

準靜態(tài)問題的力三角形推斷法

物體受三個力作用而平衡時，有ZE=0,三力代表的矢量構(gòu)成首尾相接的閉合三角

形，當三力變更而又維系著物體平衡時，閉合三角形存在但形態(tài)變更。

類型I三力中有一個力確定，即大小、方向不變，另一個力方向確定，這個力的大小

及第三力的大小、方向變更狀況待定。

1豎直桿AB在繩AC拉力作用下使整個裝置處于平衡態(tài)，若AC加長，使C點左移，

AB仍豎直，且處于平衡狀態(tài)，那么AC繩的拉力T和桿AB受到繩子的壓力N與原先相比

如何變更？

解：A點受三個力：AC段繩水平拉力T,水平繩的拉力F（大小不變），桿AB的支持

力N'（方向不變，總是豎直向上）。

類型II三個力中有一個力確定，即大小、方向不變，另一力大小確定，這個力的方向

及第三個力的大小、方向變更狀況待定。

小球質(zhì)量m,用一細繩懸掛。現(xiàn)用一大小恒定的外力尸（F<〃啄）漸漸將小球拉起，在

小球可能的平衡位置中，細線最大的偏角。是多少？

解：以懸掛點O為起點，作重力矢量，再以其箭頭端點O'為圓心，表示外力F大小的

線段長為半徑作一圓，第三邊即為細線的拉力。

當細線拉力與圓周相切時，偏角最大，即^?aresin?此時拉力T=y∣G2-F2

mg

方法二

設F與水平方向的夾角為°,則在水平和豎直方向上，有

TSine=FeOSe,,八G

J,消去T得cotcos￠9+sιn￠7=一(1)

TCOSe+Fsing=mgF

de

把?？闯?的函數(shù)，兩邊對0求導，一esc?θcosφ------COteSine+cos。=O

dφ

d@

令一二0,得COteSine—CoSe=0,=>cot^=cot￠9,=6=φ

dφ

代入（1）得e=arcsin￡,T=√G2-F2

mg

類型III三力中有一個力大小和方向確定，另二力方向變更有依據(jù)，推斷二力大小變

更狀況。

例子繩子一端固定在桿上C點，另一端通過滑輪用力拉住，一重物掛在桿BC上，桿

可繞B點轉(zhuǎn)動，桿、繩質(zhì)量及摩擦不計，重物處于靜止。若將繩漸漸放下，則繩子的拉力

和桿的壓力怎么變更？

解：C點在隨意位置時表示三力關(guān)系的矢量三角形與表示位置關(guān)系的某幾何三角形一

一對應，且相像。由圖可以看出，隨著繩子漸漸放下，幾何邊AC變長，AB、BC不變，則

拉力增大，桿BC對結(jié)點C支持力不變，即桿所受的壓力不變。

靜力學問題解法

一巧用矢量圖解

問題1將合力F分解為G和K兩個分力,若已知F的大小及￡和K的夾角e，且。為

鈍角，則當匕、B大小相等時，它們的大小為；當K有最大值時，

F2大小為.

解：F「工大小相等時，對應的力矢量關(guān)系圖為等腰三角形，表示耳和外的線段為

ΘF

腰，底角為一，故”和居的大小相等為E=居=---------。

2'2cos（σ∕2）

當表示片（巴）的線段處于直徑位置時，即表示相應的力有最大值，且三力關(guān)系矢量三

角行呈直角三角形，這時鳥（《）大小為尸?cotOr—θ）=-Fcotθ

問題2放在水平面上的質(zhì)量為機的物體，在水平恒力￡作用下，剛好做勻速直線運動。

若再給物體加一個恒力工，且使K=居（指大?。?，要使物體按原方向做勻速直線運動，

力工應當沿什么方向？此時地面對物體的作用力大小如何？

解：地面作用力=支持力+滑動摩擦力，摩擦角為tarΓ∣4/NlF

居可以是與豎直成tar√〃斜向后上拉，也可以是與豎直成tan-∣〃斜向前下推。

二巧取探討對象

原則：盡量取“整體”，“化內(nèi)為外”時或方程數(shù)不足時取“部分”。

問題一個底面粗糙質(zhì)量為M的劈放在粗糙的水平面上，劈的斜面光滑且與水平面

成30°夾角，用一端固定的輕繩系一質(zhì)量為加的小球，輕繩與斜面的夾角為30°。當劈靜止

時，繩中拉力的大小為；若地面對劈的最大靜摩擦力等于地面對劈

的支持力的％倍，為使整個系統(tǒng)靜止，左值不能小于。

解：取小球和劈構(gòu)成的整體為探討對象，受三個力：地面的支持力尸，與豎直方向成

e=tan-M角，輕繩的拉力耳和重力(M+m)g,構(gòu)成閉合三角形，由正弦定理得

{M+ni)g_FT(1)

sin(3Oo+θ}Sine

再以小球為探討對象，受三個力：重力〃2g,輕繩的拉力耳和斜面支持力冗，構(gòu)成矢量三

m

角形，底角為30°,得耳二_J=Bmg(2)

2cos3003

rn

把(2)式代入(1)式得Cote=2M+〃?石,而e=tan-%,=k=M

m6M+3m

問題一長L、質(zhì)量勻稱為M的鏈條套在一表面光滑，頂角為α的圓錐上，當鏈條在

圓錐面上靜止時，鏈條中的張力是多少？

r)ττ

解：取鏈條微元出?來探討，它所對的圓心角△/?=——>0,微元受到的力有：

Yl

重力Amg=鹿；兩邊鏈條的張力K?,它們大小相等，方向各沿。力點切線，合力為

n

?z?A/9?∕□

F；圓錐面支持力Ev。因為AS很小，sin—F^2Fτ-,鏈條平衡，有

aAθMaMga

F=?∕∏βcot—,?F=—cot—,F=----cot—

2’τ2〃2r'2萬2

三巧解匯交力系平衡

問題光滑半球殼直徑為。，與一光滑豎直墻面相切，一根勻稱直棒AB與水平成60°角

靠墻靜止，求棒長。

解：棒受三個力：重力G,墻面支持力巳，球殼支持力七，三力互成角度，作用點不

同。但使桿靜止，相當于共點力。三力交于一點D。設FB作用線與水平夾角為6,

L/2L∕2?sin60t,

在ΔβCD中運用正弦定理得θ=tan12-?∕3

sin(90°-6)-sin("60°)

Λ?cos60n-a∕2

又COSe=

~a∏

問題在墻角處有一根質(zhì)量為根的勻稱繩，一端懸于天花板上的A點，另一端懸于豎直墻壁

上的B點，平衡后最低點為C,測得繩長AC=2C3,且繩B點旁邊的切線與豎直成

。角，則繩在最低點C處的張力和在A處的張力各多大？

解：繩上各部分張力各不同，張力是“內(nèi)力”，要“化內(nèi)為外”。取BC段為探討對象，受三

個力：重力：AC段拉力乙，方向水平向左（因為C點為最低點）；B端受到的拉力心，

方向與豎直成a角。三力匯交，合力為零，由矢量三角形得耳=等tana

取AC段為探討對象，受三個力：重力；C端拉力耳，A端拉力工。由力三角行得

5=.+（誓）=等標二

質(zhì)點運動學

運動的合成與分解

當物體實際發(fā)生的運動較困難時，可將其等效為同時參與幾個簡潔的運動,前者稱為合運動,

后者稱為物體實際運動的分運動。遵循如下原理：

獨立性原理構(gòu)成一個合運動的幾個分運動是彼此獨立、互不相干的，物體的隨意一個分運

動，都按其自身規(guī)律進行，不會因有其它分運動的存在而發(fā)生變更。

等時性原理合運動是同一物體在同一時間內(nèi)同時完成幾個分運動的結(jié)果，對同一物體同時

參與幾個運動進行合成才有意義。

矢量性原理描述運動狀態(tài)的位移、速度、加速度等物理量都是矢量，對運動進行合成與分

解時應按矢量法則即平行四邊形法則作相應物理量的運算。

拋體運動

平拋運動一質(zhì)點只在重力作用下，且具有水平方向的初速度的運動

1.

gr

位移：水平方向χ=v0t豎直方向y^2

222

合位移S=J（v0t）+（-gt）方向α=arctan里（α為位移與水平?方向夾角）

V22v0

速度：水平方向vx=v0豎直方向v?=gt

合速度v=dv1+g2Γ方向β=arctan—（4為位移與水平?方向夾角）

VO

加速度直角坐標系%=O,ay=g

2

v

自然坐標系an=gcos<2=.^°.aτ=gsin2=,8

軌跡y--^-x2

2詔

斜拋運動一質(zhì)點只在重力作用下，且初速度與水平方向成肯定夾角的運動

1,

位移：水平方向%=v0cosa/豎直方向y=v0sinat-—gt^

速度：水平方向vx=V0COSez豎直方向v?=v0sina-gt

2

加速度直角坐標系ax-0,a=g軌跡y=-xtanα-----—X

2v0cosa

幾個特征量

2vsina

飛行時間t=O射高HJSln-a射程H="s"-

g2g2g

圓周運動一軌跡是圓的運動

勻速圓周運動一在任何相等時間內(nèi)通過的圓弧長度都相等的圓周運動

各量之間關(guān)系

S2πrΦ2πv2

V--=-----=2τTrj,ω----~?=2πf；a---ω2r,?=O

ttttnr

非勻速圓周運動一線速度的大小在不斷變更的圓周運動，其角速度方向不變，大小在不斷變

_V2..?v

更。ajl=aj+a,a?=—,a-Iim——

τrτno?Z

剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動

剛體一在外力作用下，大小、形態(tài)等都保持不變的物體；或組成物體的全部質(zhì)點之間的距離

始終保持不變。

剛體的平動一剛體內(nèi)所作的任始終線始終保持和自身平行。特點是：隨意兩點A和B其軌

跡相像，且VA=VH剛體的平動可用剛體內(nèi)任一質(zhì)點的運動來代替。

剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動一剛體繞某一固定軸的轉(zhuǎn)動。特點是：剛體上的各點都在與轉(zhuǎn)軸垂直的平

面內(nèi)做圓周運動，但半徑可不相等，各點角速度都相同，因而某一時刻剛體上全部各點的角

度夕，角速度。，角加速度夕都相同（υ=Iim-,￡=limA絲

Δ∕→OAfΔ∕→OZ

勻加速轉(zhuǎn)動，夕為常量

2

ω-ω^+βt,φ=φ0+ω0t+^βt,ω~-cυ^=2β{φ-φ^

可）為初始角速度，%為初始角度。

22

繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體上某點有v=ωR,aτ-βR,an-ωr=v/r

R是點到軸的距離。

問題在離水平面高度為Zz的岸邊，有人用繩子拉船靠岸，若人收繩的速率恒為”,試求

船在離岸邊S距離處時的速度與加速度的大小各為多少？

解：沿繩方向“收短”的分速度匕,和垂直于繩方向的轉(zhuǎn)動分速度斗合成實際速度V,

ChHV√∕ι2+s2

由幾何關(guān)系易得…'I%。。?”而八嬴0?=丁一%

在4時間內(nèi)，船頭從A點移動到A點，繩繞滑輪轉(zhuǎn)過一小角度AG→0,速度增量

C--O-S----"1AZJ

Ag//?△，Z?

?v=v0(----------------------)Z=-------=---------tanθ

sin(^-Δ^)sin6vtv0cosθ

加速度

?v=V∩(----------------------)C

9(。一

1.?v1.sin(6-A0)sin。1.%cos，Sine-SinA6)

4fθNAeTo(anQAeTo卜tanθ△夕sin(6—A6)?sin夕

%cos6

cos叱")?sin”

-2

[.就COSe片（〃）3二V沛

=Iim-.........---------2---------=1—cot3θ

AeTohtanθ-sin(6,-Δ^)?sin”hSS3

問題質(zhì)點從O點由靜止起先沿半徑為R的圓周作速率均為增大的運動，到達A點時質(zhì)點

的加速度與速度方向夾角為α，質(zhì)點通過的弧S所對的圓心角為夕，試確定e與夕的關(guān)系。

分析：質(zhì)點作變速圓周運動，加速度分為切向加速度和法向加速度勺，前者反映質(zhì)點

速率變更快慢，后者反映質(zhì)點速度方向變更快慢。

解：在A點時4=—,%=卷，而片=（αj）2,S=即其中f是質(zhì)點運動到A點

tR

的時間，聯(lián)立有％=%匚，空=笑=純=2/?,而%=tana所以tanα=2Q

Ralt~RRa,

曲線運動的軌跡是曲線，在數(shù)學上，曲率描述曲線（連續(xù)曲線）彎曲程度，曲線上某

Na

點的曲率定義為K=Iim—,Aa為弧長?s兩端切線方向變更角度。圓上各點曲率相同:

K=上一=L,對曲線上各點，對應地有半徑R=L的圓，叫曲率圓，曲率圓圓心

RkaRK

叫曲率中心。圓是曲率中心到處相同的曲線，一般曲線各點曲率不盡相同。

問題用運動分解方法求平拋物線上某點的曲率半徑。

解：設質(zhì)點做平拋運動，則

1.

位移：水平方向X=vQt豎直方向y^-gt

速度：水平方向Vx=V0豎直方向vv=gt

合速度v=q%+2gy

設平拋軌跡上隨意一點P速度為V,與水平成。角，曲率半徑為p,則向心加速度為

2

gcosθ=V/p,而cosθ-v0∕J￡+2gy

：（］與）

則有夕=(詔+2gy)∕g%=V+y2∕g

J*+2gy%

問題從傾角為。的斜坡頂端以初速度%水平拋出一小球，不及空氣阻力，若斜坡足夠長,

則小球拋出后離開斜坡的最大距離是多少？

解：以小球拋出點為原點，沿斜坡向下為X軸，垂直斜坡向上為〉軸建立坐標系，則小球沿

y軸方向的分運動是初速度為匕.=%sin。，加速度為%=-gcos6的勻變速直線運動，小

球勻減速地沿y軸遠離斜面，當速度減為零時，與斜面距離最大，而后又勻加速地返回斜面,

小球與斜面的距離只需考察垂直于斜面方向的分運動。

離開斜面上升過程的最大位移H=!%s∣n”.

2gcosσ

TT

若小球初速度為％,方向與水平成α角(-6＜。＜彳)，則小球沿斜面方向的分運動是初

速度為匕=%cos(6±α)、加速度為“＜=gsin。的勻加速度運動：對于確定的速度，小球

落回斜面的時間l=2?%c°s(6±α),取決于初速度；而在斜面上的落點與拋出點的距離即

geosg

小球在f時間內(nèi)的位移應為S==t=■竺αsm'±α),與％的平方成正比。

CoSegCOS'θ

總結(jié)：探討斜面上的拋體運動問題，合理分解運動，正確推斷運動性質(zhì)和列出方程；

留意由斜面傾角制約著的分運動與合運動間的幾何關(guān)系。

物體的平衡及其平衡種類

力學中幾種常見力

重力：由于地球的吸引而使物體收到的力。大?。篏=mg；方向：豎直向下。

彈力：彈簧彈力F=kx彈簧的串聯(lián)-=-+—+

kktk2

彈簧的并聯(lián)k=kι+k+

摩擦力：動摩擦因素M與靜摩擦因素從摩擦角4=tan①

推斷物體不發(fā)生滑動的條件：全反力F'與N的夾角α=arctan?<Φ

N

靜摩擦力方向與相對運動趨勢方向相反，滑動摩擦力方向與相對運動方向相反。

物體的平衡

共點力作用下物體的平衡

和外力為零<∑工=0若是三力平衡問題，此三力不平行必共點且必共面。

∑Λ?=o,

有固定轉(zhuǎn)軸物體的平衡一力矩的代數(shù)和為零。

一般物體的平衡

ΣFO

X-

ΣF=o

和外力為零，以過某點的軸為轉(zhuǎn)動軸的合力矩也為零。Uy

ΣM?-o

留意：全部外力對某一點的力矩的代數(shù)和為零時，則對任一點的力矩的代數(shù)和都等于零。

平衡的種類

不穩(wěn)定平衡一物體在平衡位置受到擾動偏離平衡位置后不再回到平衡位置

穩(wěn)定平衡一物體在平衡位置受到擾動偏離平衡位置后會回到平衡位置

隨遇平衡-物體在平衡位置受到擾動偏離平衡位置后，假如和外力仍為零，而能接著保

持平衡狀態(tài)。

穩(wěn)度一物體穩(wěn)定的程度。破壞一個平衡須要的能量越多，穩(wěn)度越高。一般與重心高度

和支持面大小有關(guān)，重心越低，支持面越大越穩(wěn)定。

保守體系平衡位置穩(wěn)定性的拉格朗日定理：假如在某一位置，保守體系的勢能有嚴格

的微小值，則此位置是體系的穩(wěn)定平衡位置。

dvd2v

自由度為1時，竽=0,—^>0

dqaq

22

?VnδVn

—V>0,—τ>0

8V?V,、

自由度為2時,，，—，，—II

221

聞M?V2?V?V

<0

?qλ?q2dq；dq；

假如勢能在平衡位置取極大值，則是不穩(wěn)定平衡；勢能是常數(shù)則是隨遇平衡

問題桿長∕=α+8,質(zhì)心在C點，桿的A、B兩端分別支于相互垂直的兩個光滑斜

面上而處于平衡。試問在圖示位置此桿是什么平衡？試證明之。

解：桿AB受三個不共點力作用下平衡，三力的作用點相交與O點，O點與桿AB的質(zhì)心

b_(?+/7)sin￠?OCOSa

C的連線是豎直的。在ABOC中有()=>tan6?=----------

sinaSin(OO+900-a)QSina

此偏心桿是不穩(wěn)定平衡。

證明質(zhì)心C的位置以y表示，則

y=(6?+b)cosφ?sina-bsin(6z-φ)=acosφ?sma^-bcosasinφ

/7.?------?----?-QSinaOeOSa.

=>JaSlrra+Zrcos-0r?[,,、二—cos。+/^=Sln0]π

?∣crsin2a+b1cos2a?∣a2sin2a+b1cos2a

/2?2i_22z.-?bC0SOL

=√t7sm^^σ+?cos6zcos(69-tan----------)λ

QSina

即y=Jα2sin2α+02cos2&cos(0-^?),顯見，當夕=外時，桿質(zhì)心C的高度有最大值

y=y∣a2sin2a+b2cos2a,桿的位置稍有偏離，質(zhì)心高度就降低，故屬于不穩(wěn)定平衡。

飛檐問題：建立屋頂邊緣時，用長度為L的長方形磚塊，一塊壓著下面一塊并伸出磚

長的,，假如不用水泥粘緊，則最多可以堆幾層同樣的病剛好不翻到？這樣的幾層磚最多可

8

使屋緣“飛”出多長？

I[α

解：一塊磚的重心在七處，疊放一塊磚后，由于伸出七,兩磚總長二乙，共同重心在

288

總長一半。設有〃塊相同的磚疊放，每塊均伸出自，則總長為L+(〃-1)人，而總重心在總

88

長度的中間。平衡條件：〃塊磚所受總重力作用線不能超出最底下那塊磚與壁的支持面，即

最上面第1塊磚要平衡，其重力作用線不能超出其下第2塊磚的邊緣，故第1塊磚伸

出的最大長度為七;第1、2兩塊磚合起來總長度為重心在中間，即第2塊磚伸出七。

224

設第3塊磚的伸出量為X,由力矩平衡知，2G?x=G?(工—x),=X=L

26

第“塊磚伸出量的通項公式：X=—

nIn

“七級飛檐”最多能飛出的長度：

,,111111、L363

S=(IH----1—I-----1—I------1—)—=-------Z>=l.29643L

2345672280

例子靜止的圓錐體豎直放置，頂角為α,質(zhì)量為加且分布勻稱的鏈條環(huán)水平地放置在圓錐

體上，忽視鏈條與圓錐體之間的摩察力。求鏈條之間的張力。

解：猜一猜：張力可能與什么量有關(guān)？(鏈條的重量和圓錐體頂角)任取連環(huán)中一小段A/為

探討對象，受力：重力?mg向下，支持力N垂直圓錐面，張力T與鏈條環(huán)相切

a

在豎直方向Xmg=NSin,(1)

在水平面內(nèi)設△/對連環(huán)中心的張角為A°,則有2Tsin絲=NCOS4,而Sin竺。竺

2222

Za/八KAmklmbφ?mm/田縣八人、,一、

故的T△0=NCoS-(2)而△〃?=-----=-----,=>---=——(質(zhì)量勻稱分布)(3)

22πR2π?φ2兀

mg

聯(lián)立(1)、(2)和(3)得

21tan(α∕2)

140

T

120

100

80

a

從圖可以看出，張力隨圓錐頂角減小。α=》時，圓錐面變成平面，張力為零。

例子勻稱桿AB長/,重%,A端與粗造的豎直墻接觸，B端用不行伸長的繩懸掛于豎

直墻的C點，桿呈水平狀態(tài)，繩與桿的夾角為6

試問：(1)為了使桿達到靜力平衡，桿A端與豎直墻之間的摩察系數(shù)應滿意什么條件？

(2)若在桿上懸掛另一重量為VV=也的重物，為了使桿仍維持平衡，所需摩察系數(shù)

2

的最小值與懸點的位置有何關(guān)系？

解：受力狀況如圖示

()豎直方向/+TsinO-%=0,水平方向N-TcosO=O

對B點的合力矩為零力—gv√=0

由上述三式求得/=叢，N=也Cote靜摩擦力/必需滿意∕≤篇X=〃N,

故摩擦系數(shù)應滿意〃≥tan。

(2)設在離A點〃處懸掛重物W=也，則仍平衡時有

2

豎直方向f+TSinθ-(wo+w)=O,水平方向N—Tcos6?=0

對B點的合力矩為零力=gH√+(/—d)W

解出f=—-+vv(l——),N=(——+—w)cotθ

靜摩擦力/必需滿意/≤∕zN,即

?+Wfl-y)≤〃(3VV)COte

求之得〃≥±4tan6

l+d

摩擦系數(shù)的最小值與懸點的位置關(guān)系〃min=2'l一-d-tan

l+d

匕式表明，懸點在A點時，J=O,4min=2tan6;懸點在中點時，d=l∕2,

“min=(3/5)tan6；懸點在B點時,d=l,χzmin=(1/2)tan

例子五根質(zhì)量分布勻稱、質(zhì)量和長度完全相同的細桿,用光滑較鏈相互聯(lián)結(jié)并懸掛起來。

試求平衡時由細桿組成的五邊形的五個頂點。

A5小3

5Mg2Mg

2

1TT

4"mg&_/mg

T3T1

J-^g2wS

解：因左右兩側(cè)對稱，只需求出例和夕2,五邊形的五個頂角就都知道了，即上頂角為2例，

兩個側(cè)頂角為080°+(%-例)1，兩個下頂角為(90°-φ2)

設每根桿的質(zhì)量為相，長度為/。桿1和桿2受力狀況如圖示。每根桿水平和豎直方向合力

都為零,合力矩也應為零，有

I3

對桿1,取上端為參考點77CoSel-mg?—sin?9l+—mglsinφt

取上端為參考點77CoS%=??sin￠>+?mglsinφ

對桿2,22

桿1和桿2關(guān)聯(lián)的幾何條件/sin0+/Sine2=一

上述三式得tan仍=2tan(p`和sinφx+sin。2=:

222

tan=2tanφx=?>sin￠>2(l+3sin^1)=4sin^l

sin+sin%=—sinφ2=—(l-sin^1)

222

K?W(l-4sin^1+4sin^l)(l+3sin^1)=16sin?9l

令X=Sin的，上述方程變?yōu)?(x)=12x4-12x3-9x2-4x+1=O

多項式/(x)=12/一12/一9/一4χ+1的圖像為

用數(shù)值解，的到四個解，

%,=-0.378175-z0.404664,x2=-0.378175+/0.404664

X3=0.17139