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文檔簡介
2021-2022學(xué)年湖南省長沙市長沙縣高二(下)期末數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有
一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.(5分)對變量X,y有觀測數(shù)據(jù)(Xi,9)Q=I,2,…,10),得散點(diǎn)圖(1);對變量",
V,有觀測數(shù)據(jù)(劭,力)(i=l,2,…,10),得散點(diǎn)圖(2),由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷
(
>:
3060r
「
2550r??
20??40r?
.?
15?30"r二
150二
J-I-10rI-
。215X.
34O—3
(I)Q)
A.變量X與y正相關(guān),〃與U正相關(guān)
B.變量X與y正相關(guān),〃與V負(fù)相關(guān)
C.變量X與y負(fù)相關(guān),”與U正相關(guān)
D.變量X與y負(fù)相關(guān),〃與U負(fù)相關(guān)
2.(5分)從數(shù)字1,2,3,4中,取出3個(gè)數(shù)字(允許重復(fù)),組成三位數(shù),各位數(shù)字之和
等于6,這樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為()
A.7B.9C.10D.13
3.(5分)設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如表所示,且EX=1.6,則〃-〃等于()
XOI23
P0.1ab0.1
A.0.2B.OJC.-0.2D.-0.4
4.(5分)已知函數(shù)/'(久)=9—4出工,在下列區(qū)間中,包含/(x)零點(diǎn)的區(qū)間是()
A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)
5.(5分)已知直線。在平面β上,則“直線此心是“直線LLβ”的()條件.
A.充分非必要B.必要非充分
C.充要D.非充分非必要
TC1
6.(5分)設(shè)Sin(-+θ)=?,則Sin2。=()
43
7.(5分)設(shè)向量N=(√3,1),b=(?,-3),且自,則向量聯(lián)一力與友的夾角為()
A.30°B.60oC.I20oD.150°
11
8.(5分)已知”,6為正實(shí)數(shù),函數(shù)y=2αα'+6的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,1),則/+1的最小值
為()
A.3+2√2B.3-2√2C.4D.2
二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分,在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合
題目要求.全部選對的得5分,有選錯(cuò)的得0分,部分選對的得2分.
(多選)9.(5分)在aABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且”=2、b=3、C
=4,下面說法錯(cuò)誤的是()
A.sinA:sinB:sinC=2:3:4
B.ZsABC是銳角三角形
C.AABC的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍
1
D.AABC內(nèi)切圓半徑為一
2
(多選)10.(5分)下列命題正確的是()
A.若向量噌b滿足;=一36則2b為平行向量
B.已知平面內(nèi)的一組基底3,a2,則向量3+屆,A-g也能作為一組基底
C.模等于1個(gè)單位長度的向量是單位向量,所有單位向量均相等
TTOTT
D.若△力BC是等邊三角形,則V4B,8C>=竽
(多選)11.(5分)如圖是一個(gè)正方體的平面展開圖,則在該正方體中()
A.BM與E。平行B.A尸與CN垂直
C.CN與BE是異面直線D.CN與8M成60°角
(多選)12.(5分)已知X,y∈R且4x-4yVy5-則()
A.x<yB./3Vy-3
C.Ig(y-χ)>0D.(i)y<3-x
三、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.
13.(5分)某高校甲、乙、丙、丁四個(gè)專業(yè)分別有150、150、400、300名學(xué)生,為了解學(xué)
生的就業(yè)傾向,用分層抽樣的方法從該校這四個(gè)專業(yè)共抽取40名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,應(yīng)在丙
專業(yè)抽取的學(xué)生人數(shù)為.
14.(5分)己知(1+2%)”的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為81,則〃=.
15.(5分)在一次期末考試中某學(xué)校高三全部學(xué)生的數(shù)學(xué)成績X服從正態(tài)分布N(μ,。2),
若P(X>90)=0.5,且P(XNllO)=0.2,則P(70≤X≤90)=.
16.(5分)若tan(2x—≤1,則X的取值范圍為:.
O
四、解答題:本大題共6小題,共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.(10分)在二項(xiàng)式(義-x)"的展開式中,若展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于46,
求展開式的三次項(xiàng).
18.(12分)在北京冬奧會(huì)期間,某項(xiàng)比賽中有7名志愿者,其中女志愿者3名,男志愿者
4名.
(1)從中選2名志愿者代表,必須有女志愿者代表的不同的選法有多少種?
(2)從中選4人分別從事四個(gè)不同崗位的服務(wù),每個(gè)崗位一人,且男志愿者甲與女志愿
者乙至少有1人在內(nèi),有多少種不同的安排方法?
19.(12分)已知a,b,c分別為銳角三角形ABC三個(gè)內(nèi)角4,B,C的對邊,且次C=2asinC.
(1)求A;
(2)若Q=√7,b=2,求c;
(3)若CoSB二求Sin(23-A)的值.
20.(12分)某公司為招聘新員工設(shè)計(jì)了一個(gè)面試方案:應(yīng)聘者從6道備選題中一次性隨機(jī)
抽取3道題,按照題目要求獨(dú)立完成.規(guī)定:至少正確完成其中2道題便可通過.已知6
道備選題中應(yīng)聘者甲有4道題能正確完成,2道題不能完成;應(yīng)聘者乙每題正確完成的概
率都是右且每題正確完成與否互不影響.
(1)求甲恰好正確完成兩個(gè)面試題的概率;
(II)求乙正確完成面試題數(shù)η的分布列及其期望.
21.(12分)很多人都愛好抖音,為了調(diào)查手機(jī)用戶每天使用抖音的時(shí)間,某通訊公司在一
廣場隨機(jī)采訪男性,女性用戶各50名,將男性,女性平均每天使用抖音的時(shí)間(單位,
h)分成5組:(0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10]分別加以統(tǒng)計(jì),得到如圖所示
的頻率分布直方圖.
頻率
W
2468IO時(shí)間/h
男性女性
(1)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)男性平均每天使用抖音的時(shí)間;(同一組中的數(shù)據(jù)用該組
區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)
(2)若每天玩抖音超過4〃的用戶稱為“抖音控”,否則稱為“非抖音控”,完成如下列
聯(lián)表,判斷是否有95%的把握認(rèn)為是否是“抖音控”與性別有關(guān).
抖音控非抖音控總計(jì)
男性
女性
總計(jì)
附表:
P(x2≥?)0.150.100.050.0250.010
k2.0722.7063.8415.0246.635
2
(參考公式:Z2=(α+b)及?謂?C)S+d),其中“="+Hc+d?)
22.(12分)己知函數(shù)f(X)=1ogα(α”-1)(。>0,且α≠l).
(1)當(dāng)Q=;時(shí),求函數(shù)f(x)的定義域;
(2)當(dāng)。>1時(shí),求關(guān)于X的不等式/CO</(1)的解集;
(3)當(dāng)〃=2時(shí),若不等式/(%)-Zog2(l+2")>m對任意實(shí)數(shù)x∈[l,3]恒成立,求實(shí)數(shù)
m的取值范圍.
2021?2022學(xué)年湖南省長沙市長沙縣高二(下)期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有
一項(xiàng)是符合題目要求的.
I.(5分)對變量X,y有觀測數(shù)據(jù)(的,9)(z=l,2,10),得散點(diǎn)圖(1);對變量〃,
V,有觀測數(shù)據(jù)(的,vz)Ci=If2,10),得散點(diǎn)圖(2),由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷
()
>4
30-60
25-50
20-.?40
15■30
10-20
10
5-
161X41234567”
(1)(2)
A.變量X與y正相關(guān),“與V正相關(guān)
B.變量X與y正相關(guān),"與V負(fù)相關(guān)
C.變量X與y負(fù)相關(guān),"與V正相關(guān)
D.變量X與y負(fù)相關(guān),〃與U負(fù)相關(guān)
【解答】解:由題圖1可知,),隨X的增大而減小,各點(diǎn)整體呈下降趨勢,*與y負(fù)相關(guān),
由題圖2可知,“隨V的增大而增大,各點(diǎn)整體呈上升趨勢,“與V正相關(guān).
故選:C.
2.(5分)從數(shù)字1,2,3,4中,取出3個(gè)數(shù)字(允許重復(fù)),組成三位數(shù),各位數(shù)字之和
等于6,這樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為()
A.7B.9C.10D.13
【解答】解:從1,2,3,4中,隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù)字(允許重復(fù)),
其中各位數(shù)字之和等于6的三位數(shù)可分為以下情形:
①由1,1,4三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù):114,141,411共3個(gè);
②由1,2,3三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù):123,132,213,231,312,321共6個(gè);
③由2,2,2三個(gè)數(shù)字可以組成1個(gè)三位數(shù),即222.
,共有3+6+1=10個(gè),
故選:C.
3.(5分)設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如表所示,且EX=1.6,則6-α等于()
X0123
P0.1ab0.1
A.0.2B.0.1C.-0.2D.-0.4
【解答】解:由題意得:
Q+b+0.2=1
E(X)=α÷26+3×0,1=1.6
0≤α≤1'
{0≤h≤l
解得α=0.3,6=0.5,
:?b-α=0.2.
故選:A.
4.(5分)已知函數(shù)/(X)=2-1。比刈在下列區(qū)間中,包含/(x)零點(diǎn)的區(qū)間是()
A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)
【解答】解:f(1)=6-log2∣=6>0,/(2)=3-log22=2>0,/(3)=2-log23>0,
3
f(4)=^-2<0,
j2
:.f(3)f(4)<0,
.?.函數(shù)/(x)在(3,4)內(nèi)存在零點(diǎn).
故選:D.
5.(5分)已知直線a在平面β上,則“直線/_L/'是"直線/_L0”的()條件.
A.充分非必要B.必要非充分
C.充要D.非充分非必要
【解答】解:直線α在平面β上,
則“直線此優(yōu)'成立時(shí),"直線Uβ”不一定成立;
“直線/Lβ"=>"直線
.?.直線“在平面β上,則"直線L/'是"直線Lβ”的必要非充分條件.
故選:B.
711
6.(5分)設(shè)Sin(―+θ)=亍,則sin2θ=()
7117
----C--
A.9B.99D.9
Tl71Tl/71
【解答】解:?sin(―+θ)=sin-cosθ+cos-sinθ=-?-(sinθ+cosθ)=?,
444Z?
?7
兩邊平方得:1+2SineCOSe=可即2sinθcosθ=—
7
則sin2e=2sinθcosB=-g.
故選:A.
7.(5分)設(shè)向量展=(√3,1),e=(x,-3),且或_Lb,則向量3-b與之的夾角為()
A.30oB.60oC.120oD.150°
【解答】解:向量Q=(V3,1),b=(x,-3),且a_Lb,
Λ√3χ-3=0,
解得X=√3,
.?a-b=(√3,1)-(√3,-3)=(0,4),
TT→TTT
Λ∣α—b?=4,∣Q∣=2,(Q—b)?Q=4,
設(shè)向量I-Z與之的夾角為。,
.?.cosO=??4_1
4×2=2J
∣α-b∣∣α∣
V0o≤θ≤180o,
.?.θ=60o.
故選:B.
11
8.(5分)已知小6為正實(shí)數(shù),函數(shù)y=2o∕+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,1),則一+二的最小值
”ab
為()
A.3+2√2B.3-2√2C.4D.2
【解答】解::函數(shù)y=2α/+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)(O,1),
.??=2a?e0+h,BP2a+h=1(a>0,ft>0).
1111??b2QL-.r-
:.-+-=(-+-)?1=(-+-)<2a+b)=(2+l+-+5≡)23+2√Σ(T當(dāng)且僅當(dāng)6=√∑α=
abababQb
√2-I時(shí)取到“=”).
故選:A.
二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分,在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合
題目要求.全部選對的得5分,有選錯(cuò)的得0分,部分選對的得2分.
(多選)9.(5分)在AABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且a=2、b=3,C
=4,下面說法錯(cuò)誤的是(
A.sinA:sinB:sinC=2:3:4
B.ZiABC是銳角三角形
C.AABC的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍
D.BC內(nèi)切圓半徑為工
2
【解答】解:因?yàn)棣?2,b=3,c=4,
ΛsinA:SinB:SinC=a:b:c=2:3:4,故A正確;
可得C為最大邊,C為最大角,
由余弦定理可得cosC=的新=昔卦=-∣O'
可得C為鈍角,即AABC的形狀是鈍角三角形.故8錯(cuò)誤;
對于c,由CoSA=四塞包=巧Ia=5
71*71
由COSZ4=2COS2A-1=2X(-)2-1=??≠-?=cosC,故2A≠C,故C錯(cuò)誤;
8324
_1?.回.1入.1OYaD回_3回
rLhUCOSC——~79??SinC——-3,??3cAABC—?z7/?SinC—與SXZ2X3x-τ~—3,
44NN44
設(shè)AABC內(nèi)切圓半徑為r,.弓(a+%+c)?r=SA∕4BC,,r=丹旦故。錯(cuò)誤;
故選:BCD.
(多選)10.(5分)下列命題正確的是()
A.若向量Zb滿足熱=-3b,則2b為平行向量
B.已知平面內(nèi)的一組基底3,苴,則向量3+扇,A-g也能作為一組基底
C.模等于1個(gè)單位長度的向量是單位向量,所有單位向量均相等
TT7TT
D.若AABC是等邊三角形,則V4B,BO=
【解答】解:對于A,若向量:,1滿足展=-31根據(jù)向量平行的充要條件,滿足倍數(shù)
關(guān)系,則Zd一定平行,故A正確;
對于B,因?yàn)?,1為平面內(nèi)的一組基底,所以丁居為非零向量,且不共線,所以向量
后+三,3-扇為一組非零且不共線向量,可以作為一組基底,故8正確;
對于C,向量有大小與方向,單位向量大小相等,方向不一定相同,所以單位向量不一
定相等,故C錯(cuò)誤;
TT777
AB=BB',所以/82C=V4B,BC>==γ,故。正確.
故選:ABD.
(多選)11.(5分)如圖是一個(gè)正方體的平面展開圖,則在該正方體中()
A.BM與ED平行B.A尸與CN垂直
C.CNqBE是異面直線D.CN與BM成60°角
【解答】解:把平面展開圖還原原幾何體如圖:
由正方體的性質(zhì)可知,與ED異面且垂直,故A錯(cuò)誤;
易得EB〃CN,XEBLAF,所以AElCN,故B正確.
CN與BE平行,故C錯(cuò)誤;
連接BE,則BE//CN,ZEBM為CN與BM所成角,連接EM,可知48EM為正三角形,
則NEBM=60°,故。正確.
故選:BD.
(多選)12.(5分)己知X,y∈R且4x-4yVj-則()
A.x<yB.%3Vy-3
C.Ig(y-χ)>0D.(^)y<3-x
【解答】解:根據(jù)題意,4x-4yVy3-/=4(x-y)+(x3-y3)Von(X-y)(4÷Λ2+xy+y2)
<0,
又由4+/+盯+J=(X+,)2+斗+4>o,必有冗-yVO,即x<y,則A正確;
對于8,當(dāng)x=0、y=-l時(shí),/沒有意義,8錯(cuò)誤;
對于C,當(dāng)y=2,x=l時(shí),y-x=1時(shí),Ig(y-%)=0,C錯(cuò)誤;
對于。,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),當(dāng)x<y時(shí),有(3y<3r,。正確;
故選:AD.
三、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分.
13.(5分)某高校甲、乙、丙、丁四個(gè)專業(yè)分別有150、150、400、300名學(xué)生,為了解學(xué)
生的就業(yè)傾向,用分層抽樣的方法從該校這四個(gè)專業(yè)共抽取40名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,應(yīng)在丙
專業(yè)抽取的學(xué)生人數(shù)為16.
【解答】解:???高校甲、乙、丙、丁四個(gè)專業(yè)分別有150、150、400、300名學(xué)生
,本校共有學(xué)生150+150+400+300=1000,
???用分層抽樣的方法從該校這四個(gè)專業(yè)共抽取40名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查
401
???每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是-=—,
IOOO25
T丙專業(yè)有400人,
二要抽取400X克=16
故答案為:16
14.(5分)已知(l+2r)”的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為81,則n=4.
【解答]解:令x=l得各項(xiàng)系數(shù)和為(1+2)"=3"=81,
得n=4,
故答案為:4.
15.(5分)在一次期末考試中某學(xué)校高三全部學(xué)生的數(shù)學(xué)成績X服從正態(tài)分布N(p,。2),
若P(X>90)=0.5,且P(XNllO)=0.2,則P(70≤X≤90)=0.3.
【解答】解:由P(XN90)=0.5,知μ=90,
因?yàn)槭?X為110)=0.2,所以P(90WXVIlo)=0.5-0.2=03,
由對稱性知,P(70≤X≤90)=P(90≤X<110)=0.3.
故答案為:0.3.
τrknπkn5兀
16.(5分)若tan(2x—?匕則尤的取值范圍為:(二一一,二+二|,kEz.
t>262Z2T
【解答】解:由Ian(2Λ-5)≤1,可得內(nèi)r—3V2x—[≤Zm+],?∈Z>
OZOzF
,、…kππbSTr,,?—IkTTTrkτι5ττ
求得TT一:≤x≤方π-+/,??x的取值氾圍為(:一二,—+—]>?∈Z,
26乙乙什26224
,,,kττTrkTr5π
故答案為:(:-一二,—+—J,Z∈Z.
26224
四、解答題:本大題共6小題,共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.(10分)在二項(xiàng)式(克-“廣的展開式中,若展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于46,
求展開式的三次項(xiàng).
【解答】解:???展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于46,
ΛCθ÷C?+C2=46,Λ?-90=0,
;?〃=9或〃=-10(舍去),
?(?-x)n=?-X)9的展開式的通項(xiàng)公式為:
TM=^?)9^k(-x)k=璘4)ZC1
令2k-9=3,則3=6,
展開式的三次項(xiàng)為球(如(-D6√=^χ3.
18.(12分)在北京冬奧會(huì)期間,某項(xiàng)比賽中有7名志愿者,其中女志愿者3名,男志愿者
4名.
(1)從中選2名志愿者代表,必須有女志愿者代表的不同的選法有多少種?
(2)從中選4人分別從事四個(gè)不同崗位的服務(wù),每個(gè)崗位一人,且男志愿者甲與女志愿
者乙至少有1人在內(nèi),有多少種不同的安排方法?
【解答】解:(1)根據(jù)題意,從7人中選2名志愿者代表,有C界中選法,
從中選2名志愿者代表,沒有女志愿者的選法有盤=6種,
所以從中選2名志愿者代表,必須有女志愿者的不同選法共有爵-以=21-6=15(種)
答:必須有女志愿者的不同選法有15種.
(2)根據(jù)題意,分3種情況討論:
第一類男志愿者甲在內(nèi)女志愿者乙不在內(nèi),有盤題=240種.
第二類女志愿者乙在內(nèi)男志愿者甲不在內(nèi),有牖*=240種;
第三類男志愿者甲、女志愿者乙都在內(nèi),有量朗=240種;
由分類計(jì)數(shù)原理得/V=240+240+240=720種;
共有720種不同選法.
19.(12分)己知a,b,c分別為銳角三角形ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對邊,且√5c=2asinC.
(1)求A;
(2)若a=√7,b=2,求c;
(3)若COSB=求Sin(28-A)的值.
【解答】解:(1)因?yàn)椤蘜?=2asinC,則由正弦定理可得:
V3sinC=2sinAsinC,sinC≠0,所以SirIA=卓,又因?yàn)锳e(0,—),
22
所以A=*
(2)由余弦定理可得:02=?2+c2-2bccosA,則7=4+c2-2c,/.c2-2c-3=0,
「?解得(C-3)(c+?)=0>解得c=3或c=-1(舍去);
22rl
(3)因?yàn)镃OsB=所以cos2B=2×(-)2-1=-?,又2B∈(0,π),所以sin2B=
339
竽,
一,TrTr4√51I√24Js÷x∕3
所以sin(28-A)=Sin2Bcos—-cos2Bsin-=-----×——(―ɑ)×-?-=—?.
3392921q8
20.(12分)某公司為招聘新員工設(shè)計(jì)了一個(gè)面試方案:應(yīng)聘者從6道備選題中一次性隨機(jī)
抽取3道題,按照題目要求獨(dú)立完成.規(guī)定:至少正確完成其中2道題便可通過.已知6
道備選題中應(yīng)聘者甲有4道題能正確完成,2道題不能完成;應(yīng)聘者乙每題正確完成的概
率都是白,且每題正確完成與否互不影響.
3
(I)求甲恰好正確完成兩個(gè)面試題的概率;
(II)求乙正確完成面試題數(shù)η的分布列及其期望.
21
【解答】解:(I)甲恰好完成兩道題的概率Pl=曄=|,
C6
(II)設(shè)乙正確完成面試的題數(shù)為η,則η取值分別為0,1,2,3,
P(η=0)=蕓’P(η=l)=CJx&)2xR捺,P(η=2)=或χ(gXg=券,P
5=3)=(|)3=?,
考生乙正確完成題數(shù)η的分布列為:
η0123
P16128
27272727
E(Tl)=OX2y+lx2γ+2X?y+3X=2.
21.(12分)很多人都愛好抖音,為了調(diào)查手機(jī)用戶每天使用抖音的時(shí)間,某通訊公司在一
廣場隨機(jī)采訪男性,女性用戶各50名,將男性,女性平均每天使用抖音的時(shí)間(單位,
h)分成5組:(0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10]分別加以統(tǒng)計(jì),得到如圖所示
的頻率分布直方圖.
男性女性
(1)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)男性平均每天使用抖音的時(shí)間;(同一組中的數(shù)據(jù)用該組
區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)
(2)若每天玩抖音超過4/7的用戶稱為“抖音控”,否則稱為“非抖音控”,完成如下列
聯(lián)表,判斷是否有95%的把握認(rèn)為是否是“抖音控”與性別有關(guān).
抖音控非抖音控總計(jì)
男性
女性
總計(jì)
附表:
P(x2≥?)0.150.100.050.0250.010
k2.072
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