高中數(shù)學(xué)《三角函數(shù)》詳解 公式 精題(附講解)

高中數(shù)學(xué)《三角函數(shù)》詳解公式精題(附講解)高中數(shù)學(xué)《三角函數(shù)》詳解+公式+精題(附講解)引言三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本重要內(nèi)容之一,三角函數(shù)的定義及性質(zhì)有許多獨(dú)特的表現(xiàn),是高考中對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能進(jìn)行考查的一個(gè)內(nèi)容。其考查內(nèi)容包括:三角函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì),同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式、兩角和與差的正弦、余弦、正切。兩倍角的正弦、余弦、正切。、正弦定理、余弦定理,解斜三角形、反正弦、反余弦、反正切函數(shù)。要求掌握三角函數(shù)的定義,圖象和性質(zhì),同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,誘導(dǎo)公式,會(huì)用“五點(diǎn)法”作正余弦函數(shù)及的簡(jiǎn)圖;掌握基本三角變換公式進(jìn)行求值、化簡(jiǎn)、證明。了解反三角函數(shù)的概念,會(huì)由已知三角函數(shù)值求角并能用反三角函數(shù)符號(hào)表示。由于新教材刪去了半角公式,和差化積,積化和差公式等內(nèi)容,近年的高考基本上圍繞三角函數(shù)的圖象和三角函數(shù)的性質(zhì),以及簡(jiǎn)單的三角變換來進(jìn)行考查,目的是考查考生對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本運(yùn)算能力掌握情況。2.近年來高考對(duì)三角部分的考查多集中在三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),重視對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)和技能的考查。每年有2?3道選擇題或填空題,或1?2道選擇、填空題和1道解答題?？偟姆种禐?5分左右,占全卷總分的約10左右。(1)關(guān)于三角函數(shù)的圖象立足于正弦余弦的圖象,重點(diǎn)是函數(shù)的圖象與ysinx的圖象關(guān)系。根據(jù)圖象求函數(shù)的表達(dá)式,以及三角函數(shù)圖象的對(duì)稱性。如2000年第(5)題、(17)題的第二問。(2)求值題這類問題在選擇題、填空題、解答題中出現(xiàn)較多,主要是考查三角的恒等變換。如2002年(15)題。(3)關(guān)于三角函數(shù)的定義域、值域和最值問題(4)關(guān)于三角函數(shù)的性質(zhì)(包括奇偶性、單調(diào)性、周期性)。一般要先對(duì)已知的函數(shù)式變形,化為一角一函數(shù)處理。如2001年(7)題。(5)關(guān)于反三角函數(shù),2000?2002年已連續(xù)三年不出現(xiàn)。(6)三角與其他知識(shí)的結(jié)合(如1999年第18題復(fù)數(shù)與三角結(jié)合)今后有關(guān)三角函數(shù)仍將以選擇題、填空題和解答題三種題型出現(xiàn),難度不會(huì)太大,會(huì)控制在中等偏易的程度;三角函數(shù)如果在解答題出現(xiàn)的話,應(yīng)放在前兩題的位置,放在第一題的可能性最大,難度不會(huì)太大。二、復(fù)習(xí)策略1、近幾年的高考已經(jīng)堅(jiān)決拋棄對(duì)復(fù)雜三角變換及特殊技巧的考查,重點(diǎn)已轉(zhuǎn)移到對(duì)基礎(chǔ)和基本技能的考查上。所以復(fù)習(xí)中用好教材、打好基礎(chǔ)猶為重要。(1)一定要掌握好三角函數(shù)的圖象,特別是的圖象的五點(diǎn)法作圖及平移、伸縮作圖。(2)熟知三角函數(shù)的基本性質(zhì)、切實(shí)掌握判定三角函數(shù)奇偶性、確定單調(diào)區(qū)間及求周期的方法。(3)熟練掌握三角變換的基本公式,弄清公式的推導(dǎo)關(guān)系和互相聯(lián)系,把基本公式記準(zhǔn)用熟。*******************************************************************************《三角函數(shù)公式大全》銳角三角函數(shù)公式sinα∠α的對(duì)邊/斜邊cosα∠α的鄰邊/斜邊tanα∠α的對(duì)邊/∠α的鄰邊cotα∠α的鄰邊/∠α的對(duì)邊倍角公式Sin2A2SinA?CosACos2ACosA^2-SinA^21-2SinA^22CosA^2-1tan2A(2tanA)/(1-tanA^2)(注:SinA^2是sinA的平方sin2(A))三倍角公式sin3α4sinα?sinπ/3+αsinπ/3-αcos3α4cosα?cosπ/3+αcosπ/3-αtan3atana?tanπ/3+a?tanπ/3-a三倍角公式推導(dǎo)sin3asin2a+asin2acosa+cos2asina輔助角公式Asinα+BcosαA^2+B^2^1/2sinα+t,其中sintB/A^2+B^2^1/2costA/A^2+B^2^1/2tantB/AAsinα+BcosαA^2+B^2^1/2cosα-t,tantA/B降冪公式sin^2α1-cos2α/2versin2α/2cos^2α1+cos2α/2covers2α/2tan^2α1-cos2α/1+cos2α推導(dǎo)公式tanα+cotα2/sin2αtanα-cotα-2cot2α1+cos2α2cos^2α1-cos2α2sin^2α1+sinαsinα/2+cosα/2^22sina1-sin²a+1-2sin²asina3sina-4sin³acos3acos2a+acos2acosa-sin2asina2cos²a-1cosa-21-sin²acosa4cos³a-3cosasin3a3sina-4sin³a4sina3/4-sin²a4sina[√3/2²-sin²a]4sinasin²60°-sin²a4sinasin60°+sinasin60°-sina4sina*2sin[60+a/2]cos[60°-a/2]*2sin[60°-a/2]cos[60°-a/2]4sinasin60°+asin60°-acos3a4cos³a-3cosa4cosacos²a-3/44cosa[cos²a-√3/2²]4cosacos²a-cos²30°4cosacosa+cos30°cosa-cos30°4cosa*2cos[a+30°/2]cos[a-30°/2]*-2sin[a+30°/2]sin[a-30°/2]-4cosasina+30°sina-30°-4cosasin[90°-60°-a]sin[-90°+60°+a]-4cosacos60°-a[-cos60°+a]4cosacos60°-acos60°+a上述兩式相比可得tan3atanatan60°-atan60°+a半角公式tanA/21-cosA/sinAsinA/1+cosA;cotA/2sinA/1-cosA1+cosA/sinA.sin^2a/21-cosa/2cos^2a/21+cosa/2tana/21-cosa/sinasina/1+cosa三角和sinα+β+γsinα?cosβ?cosγ+cosα?sinβ?cosγ+cosα?cosβ?sinγ-sinα?sinβ?sinγcosα+β+γcosα?cosβ?cosγ-cosα?sinβ?sinγ-sinα?cosβ?sinγ-sinα?sinβ?cosγtanα+β+γtanα+tanβ+tanγ-tanα?tanβ?tanγ/1-tanα?tanβ-tanβ?tanγ-tanγ?tanα兩角和差cosα+βcosα?cosβ-sinα?sinβcosα-βcosα?cosβ+sinα?sinβsinα±βsinα?cosβ±cosα?sinβtanα+βtanα+tanβ/1-tanα?tanβtanα-βtanα-tanβ/1+tanα?tanβ和差化積sinθ+sinφ2sin[θ+φ/2]cos[θ-φ/2]sinθ-sinφ2cos[θ+φ/2]sin[θ-φ/2]cosθ+cosφ2cos[θ+φ/2]cos[θ-φ/2]cosθ-cosφ-2sin[θ+φ/2]sin[θ-φ/2]tanA+tanBsinA+B/cosAcosBtanA+B1-tanAtanBtanA-tanBsinA-B/cosAcosBtanA-B1+tanAtanB積化和差sinαsinβ[cosα-β-cosα+β]/2cosαcosβ[cosα+β+cosα-β]/2sinαcosβ[sinα+β+sinα-β]/2cosαsinβ[sinα+β-sinα-β]/2誘導(dǎo)公式sin-α-sinαcos-αcosαtan?a-tanαsinπ/2-αcosαcosπ/2-αsinαsinπ/2+αcosαcosπ/2+α-sinαsinπ-αsinαcosπ-α-cosαsinπ+α-sinαcosπ+α-cosαtanAsinA/cosAtan(π/2+α)=-cotαtan(π/2-α)=cotαtan(π-α)=-tanαtan(π+α)=tanα誘導(dǎo)公式記背訣竅:奇變偶不變,符號(hào)看象限萬能公式sinα2tanα/2)/[1+tan^α/2]cosα[1-tan^α/2]/1+tan^α/2]tanα2tanα/2/[1-tan^α/2]其它公式1sinα^2+cosα^2121+tanα^2secα^231+cotα^2cscα^2證明下面兩式,只需將一式,左右同除sinα^2,第二個(gè)除cosα^2即可4對(duì)于任意非直角三角形,總有tanA+tanB+tanCtanAtanBtanC證:A+Bπ-CtanA+Btanπ-CtanA+tanB/1-tanAtanBtanπ-tanC/1+tanπtanC整理可得tanA+tanB+tanCtanAtanBtanC得證同樣可以得證,當(dāng)x+y+znπn∈Z時(shí),該關(guān)系式也成立由tanA+tanB+tanCtanAtanBtanC可得出以下結(jié)論5cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC16cotA/2+cotB/2+cotC/2cotA/2cotB/2cotC/27cosA)^2+cosB)^2+cosC)^21-2cosAcosBcosC8(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^22+2cosAcosBcosC9sinα+sinα+2π/n+sinα+2π*2/n+sinα+2π*3/n+……+sin[α+2π*n-1/n]0cosα+cosα+2π/n+cosα+2π*2/n+cosα+2π*3/n+……+cos[α+2π*n-1/n]0以及sin^2α+sin^2α-2π/3+sin^2α+2π/33/2tanAtanBtanA+B+tanA+tanB-tanA+B0********************************************************************三角函數(shù)專題復(fù)習(xí):(1)求函數(shù)的初相的問題(2)函數(shù)的圖象及應(yīng)用(3)三角函數(shù)的最值問題(4)角的拆拼在求值中的應(yīng)用[教學(xué)目的]通過對(duì)四個(gè)三角函數(shù)中的熱點(diǎn)問題的專題研究,引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)三角函數(shù)中的主要知識(shí)點(diǎn)和重點(diǎn)題型的解題方法,深層挖掘三角函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系,盡量使學(xué)生對(duì)三角函數(shù)知識(shí)的掌握融會(huì)貫通。[教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)]上述四個(gè)專題中涉及的核心思想[知識(shí)分析](一)求函數(shù)的初相的問題在三角函數(shù)問題中,我們經(jīng)常遇到求函數(shù)的初相的問題,這一類問題是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn),又是高考中的熱點(diǎn),現(xiàn)在我們將相關(guān)題型進(jìn)行歸納,幫助同學(xué)們復(fù)習(xí)相關(guān)知識(shí):1、由圖象求此類問題,解題的關(guān)鍵是從圖象特征入手,尋找解題的突破口。例1.如圖1所示函數(shù)的圖象,由圖可知()圖1ABCD解:由已知,易得A=2函數(shù)圖象過(0,1)和,再考慮到故選C。?例2.(2005年福建)函數(shù)的部分圖象如圖2所示,則()圖2A?BC?D解:由圖象知∵點(diǎn)(3,0)是在函數(shù)的單調(diào)遞減的那段曲線上。因此∴令,得,故選C。2、由奇偶性求例3.(2003全國(guó))已知函數(shù)是R上的偶函數(shù),其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),求的值。解:由是偶函數(shù),得即所以對(duì)任意x都成立,且,由,解得3、由最值求例4.函數(shù)以2為最小正周期,且能在x2時(shí)取得最大值,則的一個(gè)值是(?)A?BC?D解:∵當(dāng)時(shí)取得最大值,即當(dāng)時(shí),,故選A。四、由對(duì)稱性求例5.(2005全國(guó))設(shè)函數(shù),圖象的一條對(duì)稱軸是直線,求。解:因?yàn)槭呛瘮?shù)的圖象的對(duì)稱軸,所以二函數(shù)的圖象及應(yīng)用下面我們談一談函數(shù)的圖象在日常生產(chǎn)、生活中的幾個(gè)應(yīng)用。1、顯示水深例6.(2004?湖北)設(shè)是某港口水的深度y(米)關(guān)于時(shí)間t(時(shí))的函數(shù),其中。下表是該港口某一天從0時(shí)到24時(shí)記錄的時(shí)間t與水深y的關(guān)系:t 0 3 6 9 12 15 18 21 24y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1經(jīng)長(zhǎng)期觀測(cè),函數(shù)的圖象可以近似地看成函數(shù)的圖象。下面的函數(shù)中,最能近似地表示表中數(shù)據(jù)間對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)是()ABC解:由已知數(shù)據(jù),易得的周期為T=12由已知易得振幅A=3又t=0時(shí),y=12,∴k=12∴令得故2、確定電流最值例7.如圖3表示電流I與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式:I在同一周期內(nèi)的圖象。(1)根據(jù)圖象寫出I的解析式;(2)為了使I中t在任意-段秒的時(shí)間內(nèi)電流I能同時(shí)取得最大值和最小值,那么正整數(shù)的最小值是多少?圖3解:(1)由圖知A=300,,由得(2)問題等價(jià)于,即,∴正整數(shù)的最小值為314。3、顯示最大溫差例8.(2002?全國(guó))如圖4某地一天從6時(shí)到14時(shí)的溫度變化曲線近似地滿足函數(shù)(1)求這段時(shí)間的最大溫差(2)寫出這段曲線的函數(shù)解析式。圖4解:(l)由圖4知這段時(shí)間的最大溫差是30-10=20(℃)(2)在圖4中,從6時(shí)到14時(shí)的圖象是函數(shù)的半個(gè)周期的圖象,解得由圖4知這時(shí)將代入上式,可取綜上所述,所求解析式為:4、研究商品的價(jià)格變化例9.以一年為一個(gè)周期調(diào)查某商品出廠價(jià)格及該商品在商店銷售價(jià)格時(shí)發(fā)現(xiàn):該商品的出廠價(jià)格是在6元基礎(chǔ)上按月份隨正弦曲線波動(dòng)的,已知3月份出廠價(jià)格最高為8元,7月份出廠價(jià)格最低為4元;而商品在商店內(nèi)的銷售價(jià)格是在8元基礎(chǔ)上按月份也是隨正弦曲線波動(dòng)的,并已知5月份銷售價(jià)最高為10元,9月份銷售價(jià)最低為6元,假設(shè)某商店每月購(gòu)進(jìn)這種商品m件,且當(dāng)月能售完,請(qǐng)估計(jì)哪個(gè)月盈利最大?并說明理由。解:由條件可得出廠價(jià)格函數(shù)為銷售價(jià)格函數(shù)為則利潤(rùn)函數(shù)為所以,當(dāng)時(shí),即6月份盈利最大。(三)三角函數(shù)的最值問題1、型函數(shù)解決此類問題的關(guān)鍵是把正、余弦函數(shù)轉(zhuǎn)化為只有一種三角函數(shù),即化為,其中角所在象限由點(diǎn)(a,b)所在象限確定,且例10.當(dāng)時(shí),函數(shù)的()A.最大值是l,最小值是-1B.最大值是l,最小值是C.最大值是2,最小值是-2D.最大值是2,最小值是-1解:解析式可化為時(shí),時(shí),故選D2、型函數(shù)策略:先降次、整理,再化為形如型來解。例11.求的最小值,并求出函數(shù)y取最小值時(shí)點(diǎn)x的集合。解:當(dāng)時(shí),y取最小值時(shí),使y取得最小值的x的集合為3、型函數(shù)此類函數(shù)的特點(diǎn)是一個(gè)分式,分子、分母分別會(huì)有正、余弦的一次式。可先轉(zhuǎn)化為型,再利用三角函數(shù)的有界性來求三角函數(shù)的最大值和最小值。例12.求函數(shù)的最大值和最小值。解:去分母整理得即解之得故4、同時(shí)出現(xiàn)型函數(shù)此類函數(shù)的特點(diǎn)是含有或經(jīng)過化簡(jiǎn)整理后出現(xiàn)與式子,處理方法是應(yīng)用進(jìn)行轉(zhuǎn)化,變成二次函數(shù)的問題。例13.函數(shù)的最大值為______________解法一:令則所以由二次函數(shù)的圖象知,當(dāng)時(shí),解法二:令,則由,得于是有∴當(dāng)時(shí),由以上的幾種形式可以歸納解三角函數(shù)最值問題的基礎(chǔ)方法:一是應(yīng)用正弦、余弦函數(shù)的有界性來求;二是利用二次函數(shù)閉區(qū)間內(nèi)求最大、最小值的方法來解決;以后還可以利用重要的不等式公式或利用數(shù)形結(jié)合的方法來解決。(四)角的拆拼在求值中的應(yīng)用例14.已知α、β為銳角,,則y與x的函數(shù)關(guān)系是()ABCD對(duì)此題,不少同學(xué)采取的求解思路是:根據(jù)已知條件求出cosα、sinβ的值后,再將sinα,cosβ,cosα,sinβ的值同時(shí)代入的展開式中,從中解出y來,思路直接。但運(yùn)算量非常大,不可取,而如果利用“湊”的思想,注意到(這就是“湊”),也就是用已知的角來表示目標(biāo)角(因?yàn)?,繼而求出y與x的函數(shù)關(guān)系式,而x的范圍可由y=cosB>0來確定。解:∵α為銳角,且又α、β為銳角,且于是由,即易得,故選A。?例15.已知,且,求的值。分析:觀察條件和結(jié)論中角的種類差異,可配湊角,這樣就可以將已知角與待求角聯(lián)系在一起,實(shí)現(xiàn)了由未知角向已知角的轉(zhuǎn)化。解:又,故?【練習(xí)】?已知,求。提示:配湊角:,可通過求出和的差的余弦來求,較簡(jiǎn)便。解:又同學(xué)們不難看到,上面的例題中我們分別利用了;;等“湊”角的技巧。此外根據(jù)題目的不同,還常用的“湊”的技巧有:,,,及,今后解題時(shí)要多關(guān)注“配湊”的思想方法?！灸M試題】一、選擇題(每小題5分,共60分)1.使的意義的m的值為()ABC?D.或2.函數(shù)的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是()?AB?C?D?3.若是夾角為60°的兩個(gè)單位向量,則的夾角為()?A.30°B.60°C.120°?D.150°4.已知ΔABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn)P,若,則點(diǎn)P與ΔABC的位置關(guān)系是()A.P在AC邊上B.P在AB邊上或其延長(zhǎng)線上C.P在ΔABC外部D.P在ΔABC內(nèi)部5.若,且,則等于()?ABCD?6.若,則的值等于()?A?B?C?D?7.在ΔABC中,,則ΔABC是()A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.不能確定形狀8.已知,且,,則的值為()