高一數(shù)學人教A版必修1學案1-1-3第1課時并集交集

1．1.3集合的基本運算第1課時并集、交集[目標]1.理解兩個集合的并集和交集的定義，明確數(shù)學中的“或”“且”的含義；2.能借助于Venn圖或數(shù)軸求兩個集合的交集和并集，培養(yǎng)直觀想象和數(shù)學運算兩大核心素養(yǎng)；3.能利用交集、并集的性質(zhì)解決有關(guān)參數(shù)問題，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)．[重點]兩集合并集、交集的概念及運算．[難點]兩個集合并集、交集運算的應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合思想的滲透.知識點一并集[填一填]1．并集的定義文字語言表述為：由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做A與B的并集，記作A∪B，讀作A并B.符號語言表示為：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．圖形語言(韋恩圖)表示為如圖所示的陰影部分．2．并集的運算性質(zhì)(1)A∪B＝B∪A；(2)A∪A＝A；(3)A∪?＝A；(4)A∪B?A，A∪B?B；(5)A?B?A∪B＝B.[答一答]1．“或”的數(shù)學內(nèi)涵是什么？提示：“x∈A，或x∈B”包括了三種情況：①x∈A，但x?B；②x∈B，但x?A；③x∈A，且x∈B.2．A∪B的元素等于A的元素的個數(shù)與B的元素的個數(shù)的和嗎？提示：不一定，用Venn圖表示A∪B如下：當A與B有相同的元素時，根據(jù)集合元素的互異性，重復的元素在并集中只能出現(xiàn)一次，如上圖②③④中，A∪B的元素個數(shù)都小于A與B的元素個數(shù)的和．知識點二交集[填一填]1．交集的定義文字語言表述為：由所有屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A與B的交集，記作A∩B，讀作A交B.符號語言表示為：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．圖形語言(韋恩圖)表示為如圖所示的陰影部分．2．交集的運算性質(zhì)對于任何集合A，B，有(1)A∩B＝B∩A；(2)A∩A＝A；(3)A∩?＝?；(4)A∩B?A，A∩B?B；(5)A?B?A∩B＝A.[答一答]3．如何理解交集定義中“所有”兩字的含義？提示：①A∩B中的任一元素都是A與B的公共元素；②A與B的所有公共元素都屬于A∩B；③當集合A與B沒有公共元素時，A∩B＝?.4．當集合A與B沒有公共元素時，A與B就沒有交集嗎？提示：不能這樣認為，當兩個集合無公共元素時，兩個集合的交集仍存在，即此時A∩B＝?.5．若A∩B＝A，則A與B有什么關(guān)系？A∪B＝A呢？提示：若A∩B＝A，則A?B；若A∪B＝A，則B?A.類型一集合的并集運算[例1](1)已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，則M∪N＝()A．{－1,0,1}B．{－1,0,1,2}C．{－1,0,2} D．{0,1}(2)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，則M∪N＝()A．{x|x<－5或x>－3} B．{x|－5<x<5}C．{x|－3<x<5} D．{x|x<－3或x>5}[答案](1)B(2)A[解析](1)集合M，N都是以列舉法的形式給出的，根據(jù)并集的定義，可得M∪N＝{－1,0,1,2}．(2)將集合M和N在數(shù)軸上表示出來，如圖所示．可知M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．當求兩個集合的并集時，對于用描述法給出的集合，首先明確集合中的元素，其次將兩個集合化為最簡形式；對于連續(xù)的數(shù)集常借助于數(shù)軸寫出結(jié)果，此時要注意數(shù)軸上方所有“線”下面的實數(shù)組成了并集，此時要注意端點處是實心點還是空心點；對于用列舉法給出的集合，則依據(jù)并集的含義，可直接觀察或借助于Venn圖寫出結(jié)果，但要注意集合中元素的互異性.[變式訓練1](1)滿足條件{1,3}∪B＝{1,3,5}的所有集合B的個數(shù)是(D)A．1B．2C．3D．4解析：由條件{1,3}∪B＝{1,3,5}，根據(jù)并集的定義可知5∈B，而1,3是否在集合B中不確定．所以B可能為{5}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}，故B的個數(shù)為4.(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1，或x>a，a≥4}，求A∪B.解：∵A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1，或x>a，a≥4}，如圖所示．故A∪B＝{x|x≤3，或x>a，a≥4}．類型二集合的交集運算[例2](1)已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|eq\r(x)≤4，x∈Z}，則A∩B＝()A．(0,2) B．[0,2]C．{0,2} D．{0,1,2}(2)若集合A＝{x||x|≤1}，B＝{x|x≥0}，則A∩B＝()A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≥0}C．{x|0≤x≤1} D．?[分析]化簡A、B，然后利用交集的定義或數(shù)軸進行運算．[答案](1)D(2)C[解析](1)∵|x|≤2，∴－2≤x≤2，即A＝{x|－2≤x≤2}．∵eq\r(x)≤4.∴0≤x≤16.又∵x∈Z，∴B＝{0,1,2,3，…，16}，∴A∩B＝{0,1,2}．(2)∵A＝{x|－1≤x≤1}，又B＝{x|x≥0}，所以A∩B＝{x|－1≤x≤1}∩{x|x≥0}＝{x|0≤x≤1}．1.求兩集合的交集時，首先要化簡集合，使集合的元素特征盡量明朗化，然后根據(jù)交集的含義寫出結(jié)果.2.在求與不等式有關(guān)的集合的交集運算中，應(yīng)重點考慮數(shù)軸分析法，直觀清晰.此時數(shù)軸上方“雙線”即公共部分下面的實數(shù)組成了交集.[變式訓練2](1)已知A＝{(x，y)|x＋y＝3}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，則A∩B＝(C)A．{2,1} B．{x＝2，y＝1}C．{(2,1)} D．(2,1)(2)若集合A＝{x|1≤x≤3，x∈N}，B＝{x|x≤2，x∈N}，則A∩B＝(D)A．{3} B．{x|1≤x≤2}C．{2,3} D．{1,2}解析：(1)A∩B＝{(x，y)|eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3,x－y＝1))}＝{(2,1)}．(2)由題意，知A＝{1,2,3}，B＝{0,1,2}，結(jié)合Venn圖可得A∩B＝{1,2}，故選D.類型三并集、交集的綜合運算命題視角1：與參數(shù)有關(guān)的交集、并集問題[例3]已知集合A＝{x|0<x≤2}，B＝{x|x≥a，a>0}，求A∪B，A∩B.[解](1)當0<a<2時，如圖(1)所示．所以A∪B＝{x|x>0}，A∩B＝{x|a≤x≤2}．(2)當a＝2時，如圖(2)所示．所以A∪B＝{x|x>0}，A∩B＝{2}．(3)當a>2時，如圖(3)所示．所以A∪B＝{x|0<x≤2，或x≥a}，A∩B＝?.含參數(shù)的集合進行并集與交集的基本運算時，要注意參數(shù)的不同取值對相關(guān)集合的影響，此類問題應(yīng)根據(jù)參數(shù)的不同取值進行分類討論.如該題中，應(yīng)依據(jù)a與2的大小關(guān)系分為三類.若無a>0的限制條件，則應(yīng)根據(jù)a與0，2的大小分為五類.[變式訓練3]設(shè)集合A＝{x|x2＋ax－12＝0}，B＝{x|x2＋bx＋c＝0}，且A∪B＝{－3,4}，A∩B＝{－3}，求實數(shù)a，b，c的值．解：∵A∩B＝{－3}，∴－3∈A，且－3∈B，將－3代入方程x2＋ax－12＝0得a＝－1，∴A＝{－3,4}，又A∪B＝{－3,4}，A≠B，∴B＝{－3}．∵B＝{x|x2＋bx＋c＝0}，∴(－3)＋(－3)＝－b，(－3)×(－3)＝c，解得b＝6，c＝9，則a＝－1，b＝6，c＝9.命題視角2：并集、交集的性質(zhì)運用[例4]設(shè)集合A＝{－2}，B＝{x∈R|ax2＋x＋1＝0，a∈R}．若A∩B＝B，求a的取值范圍．[解]由A∩B＝B，得B?A，因為A＝{－2}≠?.所以B＝?或B≠?.(1)當B＝?時，方程ax2＋x＋1＝0無實數(shù)解，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0，,Δ<0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0，,1－4a<0，))解得a>eq\f(1,4).(2)當B≠?時，①當a＝0時，方程變?yōu)閤＋1＝0，即x＝－1.所以B＝{－1}，此時A∩B＝?，所以a≠0.②當a≠0時，依題意知方程ax2＋x＋1＝0有相等實根，即Δ＝0，所以1－4a＝0，解得a＝eq\f(1,4).此時方程變?yōu)閑q\f(1,4)x2＋x＋1＝0，其解為x＝－2，滿足條件．綜上可得a≥eq\f(1,4).求解“A∩B＝B或A∪B＝B”類問題的思路：利用“A∩B＝B?B?A，A∪B＝B?A?B”轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系問題.當題設(shè)中隱含有空集參與的集合關(guān)系時，其特殊性很容易被忽視，從而引發(fā)解題失誤.[變式訓練4]已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|m＋1≤x≤1－m}，且A∪B＝A，求實數(shù)m的取值范圍．解：∵A∪B＝A，∴B?A.∵A＝{x|0≤x≤4}≠?，∴B＝?或B≠?.當B＝?時，有m＋1>1－m，解得m>0.當B≠?時，用數(shù)軸表示集合A和B，如圖所示，∵B?A，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤1－m，,0≤m＋1，,1－m≤4，))解得－1≤m≤0.檢驗知m＝－1，m＝0符合題意．綜上所得，實數(shù)m的取值范圍是m>0或－1≤m≤0，即m≥－1.1．已知集合A＝{1,6}，B＝{5,6,8}，則A∪B＝(B)A．{1,6,5,6,8} B．{1,5,6,8}C．{6} D．{1,5,8}解析：求兩集合的并集時，要注意集合中元素的互異性．2．設(shè)S＝{x|2x＋1>0}，T＝{x|3x－5<0}，則S∩T＝(D)A．? B．{x|x<－eq\f(1,2)}C．{x|x>eq\f(5,3)} D．{x|－eq\f(1,2)<x<eq\f(5,3)}解析：S＝{x|2x＋1>0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>－\f(1,2)))))，T＝{x|3x－5<0}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x<\f(5,3)))))，則S∩T＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<\f(5,3))))).3．若集合A＝{1,2}，B＝{1,2,4}，C＝{1,4,6}，則(A∩B)∪C＝(D)A．{1} B．{1,4,6}C．{2,4,6} D．{1,2,4,6}解析：由集合A＝{1,2}，B＝{1,2,4}，得集合A∩B＝{1,2}．又由C＝{1,4,6}，得(A∩B)∪C＝{1,2,4,6}．故選D.4．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，\f(1,2)))，B＝{y|y＝x2，x∈A}，A∪B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，\f(1,2)，4，\f(1,4))).解析：∵B＝{y|y＝x2，x∈A}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，4，\f(1,4)))，∴A∪B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，\f(1,2)，4，\f(1,4))).5．已知A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}，且A∩B＝B，求x的值及集合B.解：∵A∩B＝B，∴B?A，∴x2＝4或x2＝x.解得x＝±2或x＝0或x＝1.經(jīng)檢驗知，x＝1與集合元素的互異性矛盾，應(yīng)舍去．∴x＝±2或x＝0，故B＝{1,4}或B＝{1,0}．——本課須掌握的兩大問題1．對并集、交集概念的理解(1)對于并集，要注意其中“或”的意義，“或”與通常所說的“非此即彼”有原則性的區(qū)別，它們是“相容”的．“x∈A，或x∈B”這