江西省高三數(shù)學(xué)(理科)模擬考試卷附帶答案解析

江西省高三數(shù)學(xué)(理科)模擬考試卷附帶答案解析

學(xué)校:姓名：班級：

一、單選題

1.已知集合A={x∣χ2＜2},B=Wy=泗},則AB=()

A.0B.(-√2,√2)C.[1,√2)I).(-√2,1]

2.若z=2-3i3(i為虛數(shù)單位)，則IZl=()

A.√13B.5C.3D.1

3.如圖，一組數(shù)據(jù)X”當(dāng)，知…，/，西。，的平均數(shù)為5,方差為打，去除不，Xn)這兩個數(shù)據(jù)后，平均數(shù)為元，

方差為學(xué),則()

Vi

9-----------------；----------1

??

5-?——V--------------：-

?

1...........................................2一一,，r

^O∣910I

A.x＞5,s；＞s；B.X＜5,s；＜s；C.x=5,s；＜s；D.x=5,s：＞s；

4.在,,ΛβC中''sin2A=sin23”是“A=3”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

5.已知點/是拋物線V=4y的對稱軸與準線的交點,點8為拋物線的焦點,尸在拋物線上且滿足IPH=同冏,

當(dāng)0取最大值時點尸恰好在以46為焦點的橢圓上，則橢圓的離心率為()

A.正√2-l

B.√3-lC.D.√2-l

22

6.已知SinN+￡)=,貝(Jcos4。=()

33?1

A.—B.-C.D.-

44^88

7.已知'=ln3,

b=log35-log32和c=21n√L則a,b,。的大小關(guān)系為(

a

A.a>c>bB.b>c>a

C.c>a>bD.c>b>a

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8.已知棱長為3的正四面體S-AfiC的內(nèi)切球球心為。，現(xiàn)從該正四面體內(nèi)隨機取一點P,則點P落在球。

內(nèi)的概率為()

A.叵B.空C.墾D.叵

63萬183

9.二項式定理，又稱牛頓二項式定理，由艾薩克?牛頓提出.二項式定理可以推廣到任意實數(shù)次累，即廣

義二項式定理：

對于任意實數(shù)α,且(l+x)"=]+3?x+α(α-l).,+…+α(αT)??(ɑ--+l)/+

v,1!2!k?

當(dāng)N比較小的時候，取廣義二項式定理展開式的前兩項可得(l+x)"al+sx,并且W的值越小，所得結(jié)果

就越接近真實數(shù)據(jù).用這個方法計算逐的近似值，可以這樣操作：

用這樣的方法，估計力的近似值約為()

A.2.922B.2.926C.2.928D.2.930

10.已知直線x-2點)，+3w=O和圓f+y2-6χ+5=O相交，則實數(shù)機的取值范圍為()

A.(一8,-3)B.(—3,1)C.[—3,1]D.(l,÷ocj)

11.設(shè)函數(shù)“X)=In(W+1)-占，則使得/(x-2)>“2x+l)成立的X的取值范圍是()

?2-在銳角A鉆C中角AB,C的對邊分別為AABC的面積為S,若Sin(A+。==,則

.C+麗匕；的最小值為()

A.近B.2C.1D.2近

二、填空題

13.己知向量”=(1,/),6=(k+l,2),若aJ_b，則Ia+b∣=

?2

14.已知雙曲線C:9-￡=1S>O)的兩條漸近線互相垂直，則b=.

15.在四棱錐P-ABCD中底面ABCD為梯形，Aβ∕ΛDC且Aβ=28,點M在側(cè)棱PC上，點。在側(cè)棱AP

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上運動，若三棱錐M-BQQ的體積為定值，則詈；=

MC

16.若函數(shù)/(x)="+a)sinx在x=π時取得極值，則，(x)在^,π上的最小值為

三、解答題

17.已知數(shù)列｛%｝滿足??+)=2a,,+n+l(n∈7V*).

(1)若｛%｝是等差數(shù)列，求其首項％和公差任

(2)若4=7,是否存在實數(shù)々和6使得數(shù)列｛q+如+。｝是等比數(shù)列？若存在,求出數(shù)列｛%｝的通項公式；

若不存在，請說明理由.

18.如圖，在直三棱柱ABC-AMG中NACB=90。，AC=BC=I且AA=2,D,E分別是棱44∣,BC的中點.

(2)求二面角A-BD-Ct的余弦值.

19.設(shè)函數(shù)/(x)=x2-24lnx.

(1)當(dāng)。=1時求函數(shù)Fa)在定義域內(nèi)的最小值；

⑵若〃力-2x+l≥-2or+2α,求實數(shù)。的取值范圍.

20.甲、乙、丙進行乒乓球比賽，比賽規(guī)則如下：賽前抽簽決定先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的

勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有人累計勝兩場，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙先比

賽，丙輪空.設(shè)比賽的場數(shù)為X,且每場比賽雙方獲勝的概率都為3?

⑴求P(X=2)和P(X=3)；

(2)求E(X).

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21.己知橢圓<7:捺+/=13>6>0)過點M(I當(dāng)1點A為其左頂點，且AM的斜率為骼.

(1)求C的方程；

(2)P,Q為橢圓C上兩個動點，且直線AP與AQ的斜率之積為-，，且。為垂足，求IA0的最

0

大值.

2

22.在平面直角坐標系中已知曲線G：Y+./=,(0<r<l),C2;^-+V=1.p.。分別為曲線G和

曲線G上的動點，且歸。|的最小值為.以坐標原點為極點,X軸正半軸為極軸建M極坐標系.

(1)求"和Cz的極坐標方程；

(2)若射線/與c∣,ɑ在第一象限分別交于A,B兩點，且MBl=乎，求/的極坐標方程.

23.如圖，/8是半圓的直徑，。為4?的中點OOLA8、C在四上，且AC=X與BC=y.

(1)用x、P表示線段切，G9的長度：

(2)若〃>0,〃>0和α+b=2,求a4+//的最小值.

參考答案與解析

1.C

【分析】解一元二次不等式求出集合4根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)確定集合區(qū)根據(jù)集合的交集運算即可得答案.

【詳解1解<2得一及<x<√2

故A={xlX2<2∣=(->∕2,Λ∕2j,B=∣γ∣y=2?}=[l,+e)

所以ACB=[l,√∑)

故選：C

2.A

【分析】求出Z的代數(shù)形式，然后求模即可.

【詳解】Z=2-3i=2+3i

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.,.∣Z∣=V22+32=y∕l3.

故選：?.

3.D

【分析】根據(jù)題中數(shù)據(jù)結(jié)合平均數(shù)的定義運算求解，并根據(jù)方差的意義理解判斷.

110IO

【詳解】由題意可得：—∑X,.=5,X9=1,X10=9,則Zxj=5。

?UZ=IZ=I

_1S1/10λ1

i??=-∑-?=-∑?-?-?=-(50-1-9)=5

θ/=131j?=∣J0

Y/,/是波幅最大的兩個點的值，則去除Xg，/這兩個數(shù)據(jù)后，整體波動性減小，故S；＞S；.

故選：D.

4.B

【分析】根據(jù)給定條件，利用充分條件、必要條件的定義求解作答.

【詳解】在一43C中A=5,則2A=23,必有sin2A=sin23

JTTT

而A=^,B=;,滿足sin2A=sin2B,此時?.ABC是直角三角形，不是等腰三角形

63

所以“sin2A=Sin28”是“A=B”的必要不充分條件.

故選：B

5.D

【分析】設(shè)P(x,y),利用兩點間的距離公式求出m的表達式，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)求出，"的最大值時的

P點坐標，結(jié)合橢圓的定義以及橢圓的離心率公式求解即可.

【詳解】解：設(shè)P(X?),因為A是拋物線f=4)，的對稱軸與準線的交點，點B為拋物線的焦點

所以A(0,T),3(0,1)

則機=也=叵三=叵三=「今

IPBWyT),χ2Wy-l)，4yVy2+2y+l

當(dāng)J=O時m=1

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綜上當(dāng)P（±2,l）時〃?取得最大值

∣PA∣=2√2,∣PB∣=2

■點尸在以AB為焦點的橢圓上,2c=?AB?=2

由橢圓的定義得2α=∣PA∣+∣Pβ∣=2jΣ+2

所以橢圓的離心率e=,=工=2丘+2=R-1.

故選：D.

6.C

【分析】先利用兩角和的正弦公式對已知等式化簡，可求出Sina+cosα=；,然后兩邊平方化簡可求出

sin2ɑ=-],再利用余弦的二倍角公式求解即可.

【詳解】因為sin（α+工]=,所以SinaCoS工+cosαsin工=

4）4444

所以也^Sina+?^cosα=^-

224

所以Sina+cosa=—

2

所以（Sina+cos=：

所以sin?a+2sinacosa+cos?a=—

4

13

即1+2Sinacosa--,所以sin2a=一一

44

故cos41=l-2sin22a=--.

8

故選：C.

7.C

【分析】根據(jù)對數(shù)的運算及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)計算可得；

【詳解】解：c=21n?/?=In3,1=Ine<In3<Ine2=2即IVCV2

又I=In3,所以a=」=獸=Iog；e,所以?<a<l

aIn3In32

?=log,5-log,2=Iog31,?=Iog3√3<Iog31<log,3=1BP?<?<?

又e>∣?,所以IogF>log弓，BRa>?

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綜上可得c>a>6；

故選：C

8.C

【分析】根據(jù)正四面體的結(jié)構(gòu)特征及性質(zhì)求其內(nèi)切球的半徑，求出內(nèi)切球體積和四面體體積，利用幾何概

型一體積比求概率即可.

【詳解】由正四面體各側(cè)面為等邊三角形，若0'為aABC的中心

連接SO',則內(nèi)切球球心。在線段S。'上，如下圖示：BO'=-BDABsin-=

333

所以內(nèi)切圓半徑r=OOz,而SOj■面ABC,80人面S4C,BDu面ABC,Sr)U面SAC

故80_LSL>,S0_L3O,注意。在面BDS上，又SD=BD

所以。為等腰三角形BSO的垂心，故80=So

XSO'^yJSB2-BO12=√6-令BO=So=X,則r=#-x

所以V=3+(#-X)2,可得X=偵，故r=如

44

2

而正四面體S—ABC的體積K=-SO'Sak.=i×√6×i×3×^=^

'3ahc3224

3

其內(nèi)切球體積為匕=—πr=√6π

38

尸落在球。內(nèi)的概率為各=W兀.

V,18

故選：C

9.B

［分析］變形儂=3x$—"=3X,然后根據(jù)題中的方法計算即可.

_________?

【詳為軍】√25=√27-2=3^27^1-^=3×^l-^=3×1+≈3×1+∣×(^-^≈2.926-

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故選：B.

10.B

【分析】求出圓心到直線的距離與半徑比較，解不等式，即可求解.

【詳解】圓/+y2-6χ+5=0可化為(X-3)2+/=4,圓心為(3,0),半徑為2

圓心到直線的距離4=邑粵=∣1+同

由直線與圓相交可知∣l+"<2,解得-3<四<1

所以實數(shù)m的取值范圍為(-3,1)

故選：B

11.B

【分析】分析函數(shù)/(x)的定義域、奇偶性及其在［0,+∞)上的單調(diào)性，由/(x-2)>∕(2x+l)可得出

/(∣x-2∣)>∕(∣2x+l∣),根據(jù)函數(shù)/(x)在［0,+巧上的單調(diào)性可得出關(guān)于X的不等式，解之即可.

【詳解】對任意的xeR,W+l≥l和f+ι≥ι,所以，函數(shù)f(x)的定義域為R

/(-X)=In(T+1)“；+］=ln(lxl+1)-p71="H,則函數(shù)/(x)為偶函數(shù)

因為函數(shù)yTn(W+1)、y=--在［°，+8)上均為增函數(shù)

所以，函數(shù)/(X)在［0,+8)上為增函數(shù)

貝IJf(X-2)>∕(2x+l)等價為f(∣x-2∣)>∕(∣2x+l∣),即Cl

平方得(x—2)2>(2X+1)2,即3X2+8X-3<0,解得-3<x<g.

故所求X的取值范圍是(-3,g).

故選:B.

12.Λ

2S

【解析】Sin(A+C)=?^^結(jié)合面積公式，可得出由余弦定理得出α-2ccos8=c,再用正弦

b-c~

定理化邊為角，得出8=2C,把所求式子用角。表示，并求出角C范圍，最后用基本不等式求最值.

【詳解】因為Sin(A+C)二f？，BPsi∏β=ττ?

b-cib--C

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所以sin3=?√--,因為sin5wθ

b~-c^

所以〃=c?+ac,由余弦定理。2=a1+c2-2accosB

可得4一2ccos5=c

再由正弦定理得sinA-2sinCcosB=sinC

因為SinA-2sinCcosB=Sin(B+C)-2sinCcosB=sin(B-C)

所以Sin(B-C)=SinC,所以3-C=C或8-C+C=τr

得8=2?；?=萬(舍去).因為AABC是銳角三角形

0<C<-

2

所以0<2C<g,得f<C<f,即tanCe(3,1)

2643

Tt

0<乃一3。<一

[2

所以tanC+---------------=tanC+——-——≥-Jl

2tan(B-C)2tanC

當(dāng)且僅當(dāng)tanC=也，取等號.

2

故選:A

【點睛】本題考查考查用正弦定理、余弦定理、面積公式解三角形，考查基本不等式求最值，屬于較難題.

Q5√2

O?-----

3

【分析】根據(jù)兩向量垂直數(shù)量積為。的坐標表示求出女的值，然后得出Q+。的坐標表示，進而求出模長.

【詳解】,d=(l,?),5=(?+l,2)a.Lb

.?.l×(?+l)+?×2=0,解得：k=_；

故答案為里.

3

14.2

【分析】由題得出漸近線斜率相乘為T即可得出.

【詳解】由題可得雙曲線的漸近線方程為y=±gχ

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bb

因為兩條漸近線互相垂直，所以--x-=-l,解得匕=2.

22

故答案為：2.

15.2

【分析】根據(jù)給定條件，由」面積為定值，借助等體積法確定PA〃平面M8D即可計算作答.

【詳解】在四棱錐P-ABCD中點M是側(cè)棱PC上的定點，則-MBD面積為定值

三棱錐M-BDQ的體積VM.BDΩ=VQ.MBD為定值，因此點Q到平面MBD的距離為定值

又點。是側(cè)棱AP上的動點，于是側(cè)棱AP上的所有點到平面。的距離都相等，則P4〃平面MBZ)

如圖，連接ACCBD=N,連接MN,平面PAC平面MBD=MN,而PAU平面PAC

PMANANAB

因此MV//%,有——=—,梯形ABC。中AB//DC,AB=2CD則一=—=2

MCNCNCCD

PM

所rrμ以l比=2.

故答案為：2

?死4乂1

16.—#++—π

22

【分析】根據(jù)函數(shù)“X)在X=兀處取得極值可得(5)=0,求得a的值，繼而判斷函數(shù)在?3上的單調(diào)性,

由單調(diào)性求最小值即可.

【詳解】.∕r(x)=sinx+(x+6f)cosx.*.∕z(π)=(π+tz)cosπ=-(π+a)=0

gp=-π.?.?(?)=(X-π)sinx

當(dāng)尢∈?^,π時/'(x)=sinx+(x-π)cosx≥0

.?.∕(x)=(x-π)sinx在］,兀上單調(diào)遞增

R⑴而“7圖=4

π

故答案為一］.

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17.(1)4=-3J=-I；(2)存在a,,=2"-n-2.

【分析】(1)利用數(shù)列遞推式，及｛《,｝是等差數(shù)列，可求其首項％和公差d;

(2)假設(shè)存在，利用數(shù)列｛q,+E+b｝是等比數(shù)列，建立等式，即可求得通項.

【詳解】⑴??+|=2ɑ,,+n+l

,

..a2=2α∣+2a3=Ia2+3=4a1+7

.｛α,｝是等差數(shù)列2?=dl+?

2(2q+2)=4+(4〃]+7)

：.4=-3a2=-4

.,.d=a2-a1=-\；

(2)假設(shè)存」在,，則*,有4%ι+A:(〃++l；)+h=2α,,+(k+l)…n-vk—+b+?=常,數(shù),,

(k+l=2k(k=l

,[k+b+?=2b'[b=2

「.｛凡+〃+2｝是等比數(shù)列，首項為2,公比為2

π

.?an+n+2=2

,

,?an=2'-n-2.

18.(1)證明見解析

⑵--

2

【分析】(1)設(shè)CG的中點為E連接AF,EF,分別證明AE//平面8CQ,EF//平面3CQ,通過面面

平行證得線面平行；

(2)根據(jù)題意，以C為原點C4,CB,CG所在的直線分別為X,y,Z軸，建立空間直角坐標系，轉(zhuǎn)化為空

間向量處理即可.

【詳解】(1)證明：設(shè)CG的中點為E連接AF,EF.

因為GF〃AD,GF=A。所以四邊形GE4。為平行四邊形，所以G。“AF

因為CQU平面8CQ，AFa平面BCQ,所以AP//平面8CQ；

在,CC∣B中EF〃￡8,GBU平面BCQ,EF(Z平面BCQ,所以EF〃平面3CQ.

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因為4尸EF=F,AF,EFu平面AE尸，所以平面BCQ〃平面AEF.

因為AEU平面AEF,所以AE〃平面3CQ.

(2)以。為坐標原點，分別以C∕?CB.CG所在克線為X軸,y軸，z軸建正如圖所示的空間直角坐標系.

則。(1,0,1),5(0,1,0),C1(0,0,2),4(1,0,0),BD=(1,-1,1),5C?=(0,-1,2).

X

CCCr/、n-BLJ=u,

設(shè)平面DBcl的法向量為〃=(χ,y,z),貝IJ

n?BCl=0,

fx-y÷z=0,./、

即｛?取z=l,貝∣J“=1,2,1.

[-y+2z=0,

取A3的中點G,連接CG.由AC=BC=I得CGj_AB.

在直三棱柱ABC-ABG中AA，平面43C,CGU平面ABC,所以∕?,CG

又ABCAA=4,AB,∕?u平面ABBM,所以CG-L平面A88∣A∣.

所以CG=g,g,θ)為平面A%A的一個法向量

際3葉留=於l+1邛r?

2

易得二面角A-BD-Ct為鈍角，故二面角A-8。-&的余弦值為T.

19.(1)1

(2)[0,+0>)

【分析】(1)對/(x)求導(dǎo)判斷其單調(diào)性，從而可求得最小值；

(2)令g(x)=/(x)-2x+l-(-2ax+2a)=x2-2alnx+(2a-2)x-2。+1,則問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)1>0,g(%)≥0恒成立

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求實數(shù)a的取值范圍.對g(x)求導(dǎo)，分類討論判斷可知當(dāng)?>0時有最小值從而可求；當(dāng)α<O時沒辦法確定

最小值，可通過確定g(e?Γ')<o來判斷不成立.

【詳解】(1)當(dāng)α=l時/W=/-/.,其定義域為(0,+紇)

則小)=2x-Z=亞=2(x+l)(l).

XXX

令∕,(x)=0,X=1.

當(dāng)θvx<r時r(x)<o；當(dāng)%>1時/'(χ)>o,

所以/(X)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(l,+∞)上單調(diào)遞增.

故函數(shù)F(X)在定義域內(nèi)的最小值為?(l)=1.

(2)^?g(x)-f(x)-2x+?-(-2ax+2a)-x2-2a?nx+(2a-2)x-2a+?

即x>0,g(x)≥0恒成立.

，/、C2ac?2(犬一I)(X+〃)

g(x)=2x-----+2β-2=------------

XX

①當(dāng)“≥0時令g'(x)=O,X=L

當(dāng)0<x<l'時g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>l時g(x)>O,g(x)單調(diào)遞增.

所以g(x)≥g⑴=0,原不等式成立.

②當(dāng)α=T時x>0時g'(x)≥O,g(x)單調(diào)遞增.

所以當(dāng)O<x<r時g(x)<g(l)=O,所以a=—1不成立.

③當(dāng)。<-1時I<x<-a時g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.

所以當(dāng)l<x<-a時g(x)<g(l)=O,所以a<T不成立.

④當(dāng)-l<a<0時令x=e立τ<e。=]X?(x)=(Λ-l)2-2t∕(lnx-x+l)

-LT-LTI-LT-LT-LT

.,.g(e2a)=(e2rt-l)2-2a(-----1—e2fl+1)<I2-↑+2ae2a=2ae2a<0

2a

所以一l<a<0不成立.

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍為[0,+8).

【點睛】關(guān)鍵點點睛：

第二問可以轉(zhuǎn)化為X>0,g(X)≥0恒成立.從而確定g(X)的最小值.當(dāng)a<0時沒辦法確定最小值,可通過確定

第13頁共17頁

g(e》)<0來判斷不成立.

20.⑴P(X=2)=gp(χ=3)=1

吟

【分析】(1)根據(jù)相互獨立事件概率乘法公式即可求解；

(2)求得X的所有取值及對應(yīng)概率，利用離散型隨機變量的期望公式計算即可.

【詳解】(1)由題意得，當(dāng)X=2時甲連勝或乙連勝

所以P(X=2)=gχgχ2=;

當(dāng)X=3時丙連勝P(X=3)=→→^×2=ls

''2224

(2)根據(jù)題意可得X可能的取值為2,3,4

當(dāng)χ=4時前三局甲、乙、丙平局，最后一局甲贏或乙贏

所以P(χ=4)=gxgxgx2=:

所以E(X)=2x；+3x；+4x；=?.

21.(1)-+^=1

42

⑵述

2

【分析】(1)設(shè)橢圓方程，根據(jù)橢圓過點例”,乎J,以及AM的斜率為器，構(gòu)造方程解得答案；

(2)設(shè)直線PQ方程，聯(lián)立橢圓方程，根據(jù)韋達定理，利用直線AP與4。的斜率之積為-J,整理化簡證

O

明直線過定點，進而求出。的軌跡是圓，把問題轉(zhuǎn)化為圓上的點到橢圓左頂點距離的最大值問題，使問題

得到解決.

【詳解】⑴由題意可知直線AM的方程為y冷邛(D，即x-#y+2=0

令y=0,解得X=—2,所以。=2

橢圓。：二+2=1(4>〃>0)過點例

a~b

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可得：+白=1，解得從=2

所以C的方程￡+亡

(2)設(shè)P(%,χ),Q(%,%)

由題意得直線PQ斜率不為零，設(shè)牝：χ=my+r,代入到橢圓

X=my-st-t

由《fy2得(陽+/)2+2y2-4=0,即由2+2)y2+2nιty+t2-4=0

—+—

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所以

由心海1°=一］，得；?.7?=q,即6χM+α+2)H+2)=0

OA∣I/??十乙U

所以6y∣%+("%+r+2)(叼2+/+2)=0

所以(6+∕√)χ%+"z(f+2)(y∣+y2)+(f+2>=O

所以(6+〃/)'I4+m(r+2)―乎+(r+2)2=O

化簡得產(chǎn)+r-2=0

所以f=l或f=-2

若f=-2,則直線R：x=，〃y-2過橢圓的左頂點，不適合題意，所以f=l

所以牡：X=沖+1過定點s(ι,o)

因為MDLPQ,。為垂足

所以。在以MS為直徑的圓上IMSl=遠，MS的中點為71,率

5√6

又4-2,0),所