數(shù)學(xué)實驗第五章

概率統(tǒng)計應(yīng)用實驗隨機數(shù)與統(tǒng)計直方圖相遇問題及其統(tǒng)計試驗計算面積的蒙特卡羅方法貝努里試驗與二項分布正態(tài)隨機數(shù)及應(yīng)用

均勻分布隨機數(shù)MATLAB產(chǎn)生均勻隨機數(shù)（random

）方法:

rand(m，n)

產(chǎn)生m×n個0,1之間均勻隨機數(shù).隨機數(shù)等可能落入?yún)^(qū)間[0，1]內(nèi)長度相等子區(qū)間中。O1引例1.

觀察12個1—4之間整型隨機數(shù)情況

1+fix(4*rand(1,12))

ans=413244214234引例2.

觀察1000個隨機點分布情況P=rand(2,1000);x=P(1,:);y=P(2,:);plot(x,y,'b.')統(tǒng)計直方圖其中,data是需要處理的數(shù)據(jù)塊,繪圖原理:利用data中最小數(shù)和最大數(shù)構(gòu)成一區(qū)間,將區(qū)間等分為n個小區(qū)間，統(tǒng)計落入每個小區(qū)間的數(shù)據(jù)量。以數(shù)據(jù)量為高度繪小矩形，形成直方圖。如果省略參數(shù)n，MATLAB將n的默認值取為10。直方圖也可以用于統(tǒng)計計算N=hist(data，n)計算結(jié)果N是n個數(shù)的一維數(shù)組，分別表示data中各個小區(qū)間的數(shù)據(jù)量。這種方式只計算而不繪圖。直方圖繪圖命令:hist(data，n)條形圖是根據(jù)數(shù)據(jù)繪小矩形或小柱體。使用格式:bar(data)或bar3(data)x=linspace(0,pi,10);y=sin(x);bar(y,'r')bar3(y,'r')例5.1統(tǒng)計10000個均勻隨機數(shù)在五個小區(qū)間的分布。data=rand(10000,1);hist(data,5)N5=hist(data,5)N5=19692010201819992004均勻分布隨機變量

X~U(0,24),Y~U(0,24)如果甲船到達碼頭后停留2小時,乙船到達碼頭后停留1小時.問兩船相遇的概率有多大？

例5.2相遇問題:甲、乙兩船在24小時內(nèi)獨立地隨機到達碼頭.設(shè)兩船到達碼頭時刻分別為X和YS1S2XYO2424functionF=shipmeet(N)ifnargin==0,N=2000;endP=24*rand(2,N);X=P(1,:);Y=P(2,:);I=find(X<=Y&Y<=X+2);J=find(Y<=X&X<=Y+1);F=(length(I)+length(J))/Nplot(X,Y,'b.'),holdon相遇問題的統(tǒng)計試驗F=0.1185=0.1207該計劃的主持人之一、數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼用馳名世界的賭城—摩納哥的MonteCarlo—來命名這種方法,為它蒙上了一層神秘色彩。蒙特卡羅方法，或稱計算機隨機模擬方法，是一種基于“隨機數(shù)”的計算方法。這一方法源于美國在第二次世界大戰(zhàn)中研制原子彈的“曼哈頓計劃”。蒙特卡羅方法

設(shè)平面上邊長為1的正方形內(nèi)部有一個形狀不規(guī)則的“圖形”,計算面積的蒙特卡羅方法是這樣一種方法：向該正方形“隨機地”投擲N個點,落入被關(guān)注“圖形”內(nèi)有M個，則該“圖形”的面積近似為:M/N例5.13計算兩條拋物線y=x2

，x=y

2所圍圖形的面積.

在正方形區(qū)域D內(nèi)投入N個點，統(tǒng)計坐標滿足

的點P(x，y)的數(shù)目M。面積近似計算公式為：S=M/N

data=rand(N,2);x=data(:,1);y=data(:,2);II=find(y<=sqrt(x)&y>=x.^2);M=length(II);S=M/NS=0.3276x1=0:.01:1;y1=sqrt(x1);x2=1:-.01:0;y2=x2.^2;fill([x1,x2],[y1,y2],'r')填充圖繪制方法y1=-1:.1:2;y2=2:-.1:-1;x11=y1.*y1;x22=y2+2;fill([x11,x22],[y1,y2],'r')

x1=-1:0.1:1;y1=x1.^2.^(1/3);x2=1:-0.1:-1;y2=2-x2.^2;fill([x1,x2],[y1,y2],'c')貝努里概型與貝努里試驗

X

01P0.50.5

Bernoulli,1654--1705例5.3設(shè)事件A出現(xiàn)的概率為p=0.5。模擬100次貝努里試驗，統(tǒng)計實驗結(jié)果中“0”出現(xiàn)的次數(shù)和“1”出現(xiàn)的次數(shù)。data=fix(2*rand(100,1));N=hist(data,2)實驗序號

1 2 3 4 50出現(xiàn)次數(shù)

50 52 52 61 541出現(xiàn)次數(shù)

50 48 48 39 46data=fix(0.5+rand(100,1));N=hist(data,2)R=rand(6,1)

%產(chǎn)生6個(0,1)隨機數(shù)組成的向量

X=fix(R+0.5)=[x1x2…x6]%對R+0.5每個元素向零取整,值為0或1

Y=sum(X)

%事件A發(fā)生的總次數(shù)

貝努里概型與貝努里試驗

X

01P0.50.5

六重貝努里試驗試驗E有兩種結(jié)果，A和，把E獨立地重復(fù)n次的試驗構(gòu)成一個試驗，該試驗稱為n重貝努里試驗。例：一次拋擲n枚相同硬幣一個n重貝努里試驗。六重貝努里試驗：貝努里概型與貝努里試驗X=fix(2*rand(6,10)),Y=sum(X)%10次統(tǒng)計試驗

X

01P0.50.5

X=fix(2*rand(1,10))%10次統(tǒng)計試驗X=1011110010Y=X1+X2+X3+X4+X5+X6X=111000110101010001101100100000111011111001110110111000110010

Y=4532333342六層Galton板(六重貝努里試驗)例5.4

小球自頂部落下,在每一層遭遇隔板,以1/2的概率向右(左)下落,底部六個隔板,形成七個槽.模擬100個小球依次落下,統(tǒng)計Galton板底部各槽中小球數(shù)①②③④⑤⑥⑦X=fix(2*rand(6,100));

Y=sum(X)+1;N=hist(Y,7)%統(tǒng)計bar(N)N=4622282992記

Y=X1+X2+X3+X4+X5+X6

Y服從n=6的二項分布

Y~B(n,p)p=0.5k=0,1,2,…,6二項分布概率計算函數(shù):

binopdf(x,n,p)Probabilitydistribution

function*binomialdistribution二項分布x

是n重貝努里試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù).%計算Galton試驗板分布律n=6;x=0:n;Y=binopdf(x,n,0.5)bar(x,Y)ans=

0.01560.09380.23440.31250.23440.09380.0156其中，k是隨機變量取值，n是貝努里試驗的重數(shù)，p為n重貝努里試驗中事件A發(fā)生的概率。對于二項分布隨機變量X，計算累加概率P{X≤k}的MATLAB命令使用格式為P=binocdf(k，n，p)cumulativedistributionfuntion累加分布函數(shù)MATLAB的二項分布隨機數(shù)（random

）發(fā)生器使用格式為R=binornd(n，p，L，M)產(chǎn)生L×M個二項分布隨機數(shù)。計算二項分布隨機變量X=k的命令使用格式為Pk=binopdf(k，n，p)例5.5

有一千名以上的小學(xué)生參加保險公司的平安保險,參加保險的小學(xué)生每人一年交保險費50元.若一年內(nèi)出現(xiàn)意外事故,保險公司賠付一萬元。統(tǒng)計表明，每年一千名小學(xué)生中平均有兩名學(xué)生出事故。保險公司賠本的概率有多大？利用二項分布隨機數(shù)進行模擬，

分析：小學(xué)生出意外事故的概率為p=0.002，設(shè)隨機變量X為一年內(nèi)出事故的小學(xué)生人數(shù)。X服從二項分布B(n，p)，其中n為投保人數(shù)。由于對出事故的小學(xué)生，保險公司一次性賠付一萬元，所以每年保險公司賠付費為：X（萬元）。一年中保險公司賠付費不超過總的保險收費則會獲利，如果賠付費超過總的保險收費將會賠本。每年保險公司所獲利潤為總保險收費減去總的賠付費。function[P1,profits]=prob1(N)p=0.002;join=50;pay=10000;all=join*N;X1=fix(all/pay);P1=1-binocdf(X1,N,p);puples=binornd(N,p,1,8);Pays=pay*puples;profits=all-Pays;%賠付最大承受人數(shù)%賠償概率%八年出事故人數(shù)模擬%八年賠付金模擬%八年利潤模擬[P,p]=prob1(1500)

P=0.0118550006500015000450004500050003500055000產(chǎn)生正態(tài)分布隨機數(shù)的函數(shù)為randn()，使用格式為R=randn(m，n)產(chǎn)生m×n階矩陣R,矩陣中元素都是區(qū)間(–3，3)內(nèi)的正態(tài)隨機數(shù)。

例5.6

創(chuàng)建10000個正態(tài)隨機數(shù)，將區(qū)間[–3，3]分為十三個小區(qū)間，分別繪頻數(shù)和頻率直方圖。data=randn(10000,1);N=hist(data,13);figure(1),bar([-3:0.5:3],N,'r')figure(2),M=N/10000;bar([-3:0.5:3],M,'r')正態(tài)分布變量X的數(shù)學(xué)期望

，方差

2

，密度函數(shù)計算命令：y=normpdf(x，mu，sigma)

Normaldistribution正態(tài)分布累積分布函數(shù)，即積分上限函數(shù)

計算命令：p=normcdf(x，mu，sigma)

逆累積分布函數(shù)值，即已知概率值p，求z使得

計算命令：z=norminv(p，mu，sigma)

例