新教材2024高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)強化訓(xùn)練20圓錐曲線的方程與性質(zhì)-小題備考

強化訓(xùn)練20圓錐曲線的方程與性質(zhì)——小題備考一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的)1．[2023·安徽宣城二模]已知點F為拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點，點P(4，m)在拋物線C上，且|PF|＝6，則p＝()A．2B．4C．6D．82．[2023·遼寧朝陽一中三模]已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線與直線2x－y＋1＝0垂直，則該雙曲線C的離心率為()A．eq\f(\r(5),2)B．eq\r(3)C．2D．eq\r(5)3．[2023·浙江寧波模擬]已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點與雙曲線x2－eq\f(y2,2)＝1的其中一個焦點相同，則p＝()A．1B．2C．eq\r(3)D．2eq\r(3)4．[2023·全國甲卷]設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：eq\f(x2,5)＋y2＝1的兩個焦點，點P在C上，若PF1·PF2＝0，則|PF1|·|PF2|＝()A．1B．2C．4D．55．[2023·河北保定一模]已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點為F，在右支上存在點P，Q，使得POQF為正方形(O為坐標(biāo)原點)，設(shè)該雙曲線離心率為e，則e2＝()A．eq\f(3＋\r(5),2)B．3＋eq\r(5)C．eq\f(9＋\r(65),2)D．9＋eq\r(65)6．[2023·河南駐馬店二模]已知橢圓C：eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,2)＝1的左、右頂點分別是A，B，O是坐標(biāo)原點，P在橢圓C上，且|OP|＝eq\r(5)，則△PAB的面積是()A．2eq\r(2)B．4C．4eq\r(2)D．87．已知平面四邊形ABCD的四個頂點都在拋物線y2＝ax(a≠0)上，其中頂點D(1，－2)，F(xiàn)為拋物線的焦點，若＝eq\f(1,3)(＋)，則||＋||＋||＝()A．12B．9C．6D．38．[2023·廣東廣州三模]若雙曲線x2－eq\f(y2,3)＝1的兩條漸近線與橢圓M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則橢圓M的離心率為()A．eq\r(2)－1B．eq\r(3)－1C．eq\f(\r(2),2)D．eq\f(\r(3),2)二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多個符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，選錯或多選得0分)9．[2023·山東菏澤模擬]已知雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq\f(1,3)x，焦距為2eq\r(10)，則滿足條件的雙曲線C可以是()A．eq\f(x2,9)－y2＝1B．x2－eq\f(y2,9)＝1C．eq\f(y2,9)－x2＝1D．y2－eq\f(x2,9)＝110．[2023·黑龍江哈師大附中模擬]已知曲線C：mx2＋(1－m)y2＝1為焦點在y軸上的橢圓，則()A．eq\f(1,2)<m<1B．C的離心率為eq\r(\f(2m,1－m))C．C的短軸長的取值范圍是(2，2eq\r(2))D．m的值越小，C的焦距越大11．[2023·安徽合肥二模]已知雙曲線C：x2－y2＝2的左、右頂點分別為A1，A2，漸近線為直線l1，l2，離心率為e.過右焦點F且垂直于x軸的直線交雙曲線C于點P，Q，則下列說法正確的是()A．e＝eq\r(2)B．l1⊥l2C．|PQ|＝2D．A1P⊥A2Q12．[2023·遼寧葫蘆島一模]已知拋物線C：y2＝2px過點M(2，2eq\r(2))，焦點為F，則下列說法正確的是()A．點M到焦點的距離為3B．直線MF與x軸垂直C.直線MF與C交于點N，以弦MN為直徑的圓與C的準(zhǔn)線相切D．過點M與C相切的直線方程為x－2y＋1＝0題號12345678910答案題號1112答案三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)13．[2023·安徽宿州一模]若拋物線C：y2＝2px存在以點(3，3)為中點的弦，請寫出一個滿足條件的拋物線方程為________．14．[2023·河南鄭州一模]直線l：x＋y－1＝0與橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1交于A，B兩點，長軸的右頂點為點P，則△ABP的面積為________.15．[2023·天津卷]過原點的一條直線與圓C：(x＋2)2＋y2＝3相切，交曲線y2＝2px(p>0)于點P，若|OP|＝8，則p的值為________.16．[2023·山東濱州二模]圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)被人們廣泛地應(yīng)用于各種設(shè)計中，例如從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線鏡面反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過另一個焦點．如圖，從雙曲線C的右焦點F2發(fā)出的光線通過雙曲線鏡面反射，且反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點F1.已知入射光線F2P的斜率為－2，且F2P和反射光線PE互相垂直(其中P為入射點)，則雙曲線C的漸近線方程為________．強化訓(xùn)練20圓錐曲線的方程與性質(zhì)1．解析：由題意可得4＋eq\f(p,2)＝6，解得p＝4.故選B.答案：B2．解析：依題意，雙曲線C的漸近線方程為：y＝±eq\f(b,a)x，依題意，－eq\f(b,a)×2＝－1，于是a＝2b，雙曲線C的實半軸長為a，虛半軸長為b，半焦距c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(5)b，所以雙曲線C的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5)b,2b)＝eq\f(\r(5),2).故選A.答案：A3．解析：拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為(eq\f(p,2)，0)，雙曲線x2－eq\f(y2,2)＝1的右焦點為(eq\r(3)，0)，依題意，eq\f(p,2)＝eq\r(3)，所以p＝2eq\r(3).故選D.答案：D4．解析：方法一因為PF1·PF2＝0，所以PF1⊥PF2，則S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝b2taneq\f(∠F1PF2,2)，得eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝1×taneq\f(90°,2)，所以|PF1|·|PF2|＝2，故選B.方法二因為PF1·PF2＝0，所以PF1⊥PF2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝16.因為|PF1|＋|PF2|＝2a＝2eq\r(5)，所以(|PF1|＋|PF2|)2＝20，即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20，所以|PF1|·|PF2|＝2.故選B.答案：B5．解析：由題意，當(dāng)POQF為正方形時，點P的坐標(biāo)為(eq\f(c,2)，eq\f(c,2))，代入eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)可得eq\f(c2,4a2)－eq\f(c2,4b2)＝1，整理得b2c2－a2c2＝4a2b2，即(c2－a2)c2－a2c2＝4a2(c2－a2)，整理得c4－6a2c2＋4a4＝0，即e4－6e2＋4＝0，解得e2＝3＋eq\r(5)或e2＝3－eq\r(5)<1(舍去).答案：B6．解析：設(shè)P(m，n)，因點P在橢圓上，且|OP|＝eq\r(5)，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2＋n2＝5,\f(m2,8)＋\f(n2,2)＝1))，消去m，得到3n2＝3，所以|n|＝1，又A(－2eq\r(2)，0)，B(2eq\r(2)，0)，故△PAB的面積是S＝eq\f(1,2)×4eq\r(2)×1＝2eq\r(2).故選A.答案：A7．解析：因為D(1，－2)在拋物線上，所以a＝4，即2p＝4，所以F(1，0)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，由＝eq\f(1,3)(＋)得3(1－x1，－y1)＝(x2－x1，y2－y1)＋(x3－x1，y3－y1)，所以3－3x1＝x2－x1＋x3－x1，即x1＋x2＋x3＝3，根據(jù)拋物線的定義可得||＋||＋||＝x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)＋x3＋eq\f(p,2)＝x1＋x2＋x3＋eq\f(3p,2)＝6.故選C.答案：C8．解析：由題意知，雙曲線x2－eq\f(y2,3)＝1的一條漸近線是y＝eq\r(3)x，則它與橢圓M在第一象限的交點記為A，橢圓M的左、右焦點分別記為F1，F(xiàn)2，則根據(jù)正六邊形的性質(zhì)知△AF1F2是直角三角形，且∠F1AF2＝90°，∠AF2F1＝60°，設(shè)|F1F2|＝2c，所以|AF1|＝eq\r(3)c，|AF2|＝c.由橢圓的定義|AF1|＋|AF2|＝2a，得出c＋eq\r(3)c＝2a，所以橢圓M的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,1＋\r(3))＝eq\r(3)－1.故選B.答案：B9．解析：若雙曲線C的焦點在x軸上，可設(shè)方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝10,\f(b,a)＝\f(1,3)))，解得a2＝9，b2＝1，雙曲線C方程為eq\f(x2,9)－y2＝1；若雙曲線C的焦點在y軸上，可設(shè)方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝10,\f(a,b)＝\f(1,3)))，解得a2＝1，b2＝9，雙曲線C方程為y2－eq\f(x2,9)＝1.故選AD.答案：AD10．解析：曲線C：mx2＋(1－m)y2＝1為焦點在y軸上的橢圓，則曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,\f(1,1－m))＋eq\f(x2,\f(1,m))＝1，其中a2＝eq\f(1,1－m)，b2＝eq\f(1,m)，因為C的焦點在y軸上，所以eq\f(1,1－m)>eq\f(1,m)>0，即eq\f(1,2)<m<1，故A正確；C的離心率為e＝eq\r(\f(\f(1,1－m)－\f(1,m),\f(1,1－m)))＝eq\r(\f(2m－1,m))，故B錯誤；C的短軸長2b＝2eq\r(\f(1,m))，當(dāng)eq\f(1,2)<m<1時，2<2b<2eq\r(2)，故C正確；C的焦距2c＝2eq\r(\f(1,1－m)－\f(1,m))，當(dāng)m＝eq\f(2,3)時，2c＝eq\r(6)；當(dāng)m＝eq\f(3,4)時，2c＝eq\f(4\r(6),3)>eq\r(6)，故D錯誤．故選AC.答案：AC11．解析：由x2－y2＝2，得eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1，所以a2＝2，b2＝2，即a＝eq\r(2)，b＝eq\r(2).所以c2＝a2＋b2＝2＋2＝4，解得c＝2.由題意可知，作出如圖所示e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2)，故A正確；不妨設(shè)雙曲線的兩條漸近線分別為l1：y＝x，l2：y＝－x，所以直線l1的斜率為kl1＝1，直線l2的斜率為kl2＝－1，所以kl1·kl2＝1×(－1)＝－1，所以l1⊥l2，故B正確；由題意可知，F(xiàn)(2，0)，過右焦點F且垂直于x軸的直線方程為x＝2，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－y2＝2,x＝2))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝\r(2)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝－\r(2)))，所以P(2，eq\r(2))，Q(2，－eq\r(2))，所以|PQ|＝eq\r(（2－2）2＋（\r(2)＋\r(2)）2)＝2eq\r(2)，故C錯誤；由題意可知，A1(－eq\r(2)，0)，A2(eq\r(2)，0)，P(2，eq\r(2))，Q(2，－eq\r(2))，所以A1P＝(2＋eq\r(2)，eq\r(2))，A2Q＝(2－eq\r(2)，－eq\r(2))，所以A1P·A2Q＝(2＋eq\r(2))×(2－eq\r(2))＋eq\r(2)×(－eq\r(2))＝0，A1P⊥A2Q，即A1P⊥A2Q，故D正確．故選ABD.答案：ABD12．解析：由題意知：(2eq\r(2))2＝4p，解得p＝2，即y2＝4x，焦點F(1，0)，準(zhǔn)線x＝－1.由拋物線定義知，點M到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離為2－(－1)＝3，故A正確；由焦點F(1，0)知直線MF不與x軸垂直，故B錯誤；如圖，設(shè)MN中點為P，過M，N，P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為M′，N′，P′，易知|PP′|＝eq\f(|MM′|＋|NN′|,2)＝eq\f(|MF|＋|NF|,2)＝eq\f(|MN|,2)，故以弦MN為直徑的圓與C的準(zhǔn)線相切，C正確；由2－2×2eq\r(2)＋1≠0知M不在直線x－2y＋1＝0上，故D錯誤．答案：AC13．解析：拋物線存在以點(3，3)為中點的弦，則該點在拋物線開口內(nèi)，即當(dāng)x＝3時，y＝eq\r(6p)>3?p>eq\f(3,2).可取p＝2，則滿足條件的拋物線方程為y2＝4x.答案：y2＝4x(答案不唯一)14．解析：直線l與橢圓C聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，,x＋y－1＝0，))得3x2－4x－2＝0.設(shè)點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(4,3)，x1x2＝－eq\f(2,3).所以|AB|＝eq\r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2])＝eq\r(2[（\f(4,3)）2＋\f(8,3)])＝eq\f(4\r(5),3).由橢圓C知點P(2，0)，故點P到直線l：x＋y－1＝0的距離：d＝eq\f(|2＋0－1|,\r(12＋12))＝eq\f(\r(2),2)，所以△ABP的面積為S＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)×eq\f(4\r(5),3)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(10),3).答案：eq\f(\r(10),3)15．解析：易知過原點的直線斜率存在，故可設(shè)過原點的直線方程為y＝kx，根據(jù)直線與圓C：(x＋2)2＋y2＝