線性代數(shù)練習(xí)冊第四章習(xí)題及答案

..線性代數(shù)練習(xí)冊第四章習(xí)題及答案篇一：線代第四章習(xí)題解答第四章空間與向量運(yùn)算4-1-1、已經(jīng)明白空間中三個(gè)點(diǎn)A,B,C坐標(biāo)如下：A?2,?1,1?,B?3,2,1?,C??2,2,1?（1）求向量,,的坐標(biāo)，并在直角坐標(biāo)系中作出它們的圖形；（2）求點(diǎn)A與B之間的間隔．解：(1)(1,3,0),(?5,0,0),(4,?3,0)(2)AB??4-1-2．利用坐標(biāo)面上和坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，指出以下各點(diǎn)的特別位置：A?3,4,0?;B?0,4,3?；C?3,0,0?；D?0,?1,0?解：A(3，4，0)在xoy面上B（0，4，3）點(diǎn)在yoz面上C（3，0，0）在x軸上D（0，－1，0）在y軸上4-1-6.設(shè)u?a?b?2c,v??3b?c，試用a、b、c表示3u?3v．解：3u－2v＝3（a－b＋2c）－2（－3b－c）＝3a＋3b＋8c4-1-7.試用向量證明：假設(shè)平面上的一個(gè)四邊形的對角線互為平分，那么這個(gè)四邊形是平行四邊形．解：設(shè)四邊形ABCD中AC與DB交于O，由已經(jīng)明白AO＝OC，DO＝OB由于AB＝AO＋OB＝OC＋DO＝DC,AD=AO+OD=OC+BO=BC因此ABCD為平行四邊形。4-1-8.已經(jīng)明白向量a的模是４，它與軸u的夾角60，求向量a在軸u上的投影．?解：.prju?u)?4*cos60＝4?r?rcos(r。3＝2324-1-9.已經(jīng)明白一向量的終點(diǎn)在點(diǎn)B?2,?1,7?，它在x軸、y軸、z軸上的投影依次為4、-4、7，求這向量起點(diǎn)A的坐標(biāo)解：設(shè)起點(diǎn)A為（x,y,z）prjxAB?(2?x0)?4prjyAB?(?1?y)??4prjzAB?(7?z0)?7解得：x??2y?3z0?04-1-12.求以下向量的模與方向余弦，并求與這些向量同方向的單位向量：（1）a??2,?1,1?；（2）b??4,?2,2?；（3）c??6,?3,3?；（4）d???2,1,?1?．解：（1）a＝（2，－1，1）a?22?(?1)?122cos??22??a36cos???1?26??cos??a6a6（2）b=(4,-2,2)b?42?(?2)?2cos??2226?b3cos??26?2?b666?cos??b0???,?,b6b6b366（3）c=(6,-3,3)c?b2?(?4)?3cos??22236?3cos???33??6cos??23362?662（4）d=(-2,1,-1)d?(?2)?1?(?1)?6cos???2??63cos??16?d6cos???d0??{?,,?66d366與前三向量單位同的d??{?6,,?。3664-1-13.設(shè)向量的方向余弦滿足以下條件：（1）cos??0；（2）cos??1；（3）cos??cos??0指出這些向量與直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸或坐標(biāo)平面的關(guān)系．解：(1)cos??0(2)cos??1說明向量與x軸垂直；說明向量與y軸平行；(3)cos??cos??0量的方向余弦．解：說明向量既和x軸垂直又與y軸垂直，即垂直于xoy面。4-1-14.設(shè)一向量與x軸及y軸的夾角相等，而與z軸的夾角是與x軸夾角的兩倍，求這向設(shè)向量的方向余弦為cos?.cos?.cos?。由已經(jīng)明白?????2?，又?cos2??cos2??cos2??112即cos2??cos2??cos22??1?2cos2??(2cos2??1)2?1?cos??0或cos???111?方向余弦為{0，0，?1},{?,?,?}。222?3,a?3,b?4，求以下各值：（1）a?b；（2）b?b；（3）?a?b???a?b?；（4）(a?2b)?(3a?b)；（5）?a?a??b?b?.解：(1)a?b?abcos??3?4?cos?3(2)b?b?bbcos??4?4?1?16；22?6；(3)(a?b)?(a-b)?a?b?9?16??7；(4)(a-2b)?(3a?b)?3a2?5ab?2b2?27?30?32??35；(5)(a?a)(b?b)?9?16?144；4-2-2.試在點(diǎn)P?0,1,1?與Q??1,1,2?的聯(lián)線上確定一點(diǎn)R，使點(diǎn)A?1,0,1?與R的聯(lián)線垂直于PQ.????解：PQ???1,0,1?，設(shè)R坐標(biāo)為?x,y,z?即??1,0,1???x?1,y,z?1??0?????????PQ?AR,?????????PQ?AR?1?x,y,z?1??0?R坐標(biāo)為?1,y,1?。4-2-3.已經(jīng)明白向量a??e1?e2,b?e1?2e2?2e3求a與b的夾角.解：a???1,1,0?cos(a?b)?b??1,?2,2?a?b?1?1?1?(?2)?0?22???ab22?3?a,b夾角為135?。4-2-4.試用向量證明三角形的余弦定理.證明：在?ABC中，建立向量如圖，又c?a?b,c2??a?b??a2?b2?2ab.2c?a?b?2abcosc2224-2-5.已經(jīng)明白向量a??1,0,?1?,b???1,?2,1?，求a?b.?a??1,0,-1ia?b?1j0b???1,?2,1`?k?1??2k?2i1?1?24-2-6.已經(jīng)明白向量a?2e1?3e2,b?3e2?2e3，求a?b..解.a??2,3,0?b??0,3,2?ijka?b?230?6i?4j?6k032a?b?62?(?4)2?6?222、B(1,0,6)、C(4,5,-2)4-2-7.求以A(7,3,4)為頂點(diǎn)的三角形的面積.解：由向量積定義，知S?ABC??????????1???1????ABACsin?A?AB?AC22ijk?????????AB?AC??6?32?14i?42j?21k?3?S?ABC?2649??24-2-8.設(shè)a、b為互相垂直的單位向量，求以c?2a?3b,d?a?4b為鄰邊的平行四邊形面積.c?dc、d為鄰邊的平行四邊形面積，即4-2-9.已經(jīng)明白向量a、b、c滿足a?b?c?0，求證a?b?b?c?c?a.S?c?d??2a?3b???a?4b?2a?a?8a?b?3b?a?12b?b?a?b?11證：a?b?a???a?c???a?a?a?c?c?a4-2-10.已經(jīng)明白向量a、b、c、d滿足a?b?c?d,a?c?b?d,，求證向量a?d與b?c平行.?a?d???b?c??a?b?a?c?d?b?d?c?a?b?c?d?a?c?b?d?0證：故a?b與b?c共線。、B(1,2,1)、C(2,3,0)與D(5,0,6)在同一平面上.4-2-11.證明點(diǎn)A(2,-1,-2)證：???1,3,3???0,4,2???3,1,?4??422004????,,????18,6,?12??2?4?4331?AB?AC?AD???1,3,3????18,?6,?12??0故A、B、C、D四點(diǎn)共面。4-2-12.證明向量a??e1?3e2?2e3,b?2e1?3e2?4e3與c??3e1?12e2?6e3是共面的.??e1???證：a???1,3,2???e2??e??3??e1???b??2,?3,?4???e2??e??3??e1???c???3,12,6???e2??e??3???1??a?b??c?b??2??3c?故a、b、c共面。a3?3122??e1??1????4??e2??2??6??3??e3?3?3122?4?064-2-13.假設(shè)a?b?b?c?c?a?0，證明向量a、b、c共面.證：a?b?c???b?c?c?a??c???b?c??c??c?a??c?0故a、b、c共面。4-2-14.設(shè)向量a??1,0,?1?,b??2,1,0?,c??0,0,1?，計(jì)算以下各式：（1）?a?b??c；（2）?a?b???a?c?解：?1??a?b??c10?1?210?1001?2??a?b???a?c?、B（1,2,2)與C?3,?1,4?，4-2-15.四面體的三條棱從點(diǎn)O?0,0,0?連至點(diǎn)A(2,3,1)求四面體OABC的體積.解：篇二：線性代數(shù)第四章習(xí)題習(xí)題四答案(A)1．求以下矩陣的特征值與特征向量:?3??1?1??3??(1)???1?(2)?2??2?0???1???2?(4)??4?10???1??1???1?(6)?2??30???21?2130?142???2?1??0??0?2???2?(3)??2?0??4?(5)??2?1??21?2201?31???2?5??解（1）矩陣A的特征多項(xiàng)式為?E?A???311??3?(??2)(??4)，因此A的特征值為?1?2,?2?4．關(guān)于?1?2，解對應(yīng)齊次線性方程組(2E?A)X?O，可得它的一個(gè)根底解系為?1?(1,1)T，因此A的屬于特征值2的全部特征向量為k1?1?k1(1,1)T(k1?0為任意常數(shù))．關(guān)于?2?4，解對應(yīng)齊次線性方程組(4E?A)X?O，可得它的一個(gè)根底解系為?2?(1,?1)T，因此A的屬于特征值4的全部特征向量為k2?2?k2(1,?1)T(k2?0為任意常數(shù))．（2）矩陣A的特征多項(xiàng)式為??1?2?22?(??1)(??1)(??3)，?E?A??22??12??1因此A的特征值為?1??1，?2?1，?3?3．關(guān)于?1??1，解對應(yīng)齊次線性方程組(?E?A)X?O，可得它的一個(gè)根底解系為?1?(1,?1,0)k1?1?k1(1,?1,0)TT，因此A的屬于特征值-1的全部特征向量為(k1?0為任意常數(shù))．關(guān)于?2?1，解對應(yīng)齊次線性方程組(E?A)X?O，可得它的一個(gè)根底解系為?2?(1,?1,1)k2?2?k2(1,?1,1)T，因此A的屬于特征值1的全部特征向量為T(k2?0為任意常數(shù))．關(guān)于?3?3，解對應(yīng)齊次線性方程組(3E?A)X?O，可得它的一個(gè)根底解系為?3?(0,1,?1)k3?3?k3(0,1,?1)TT，因此A的屬于特征值3的全部特征向量為(k3?0為任意常數(shù))．(3)矩陣A的特征多項(xiàng)式為??2202?(??2)(??1)(??4)，?E?A?20??12?因此A的特征值為?1?1，?2?4，?3??2．關(guān)于?1?1，解對應(yīng)齊次線性方程組(E?A)X?O，可得它的一個(gè)根底解系為?1?(2,1,?2)k1?1?k1(2,1,?2)T，因此A的屬于特征值1的全部特征向量為(k1?0為任意常數(shù))．T關(guān)于?2?4，解對應(yīng)齊次線性方程組(4E?A)X?O，可得它的一個(gè)根底解系為?2?(2,?2,1)k2?2?k2(2,?2,1)TT，因此A的屬于特征值4的全部特征向量為(k2?0為任意常數(shù))．關(guān)于?3??2，解對應(yīng)齊次線性方程組(?2E?A)X?O，可得它的一個(gè)根底解系為?3?(1,2,2)k3?3?k3(1,2,2)TT，因此A的屬于特征值-2的全部特征向量為(k3?0為任意常數(shù))．(4)矩陣A的特征多項(xiàng)式為??4?2?3?2?(??1)(??3)，2?E?A??21??12?因此A的特征值為?1,2?1（二重），?3?2．關(guān)于?1,2?1，解對應(yīng)齊次線性方程組(E?A)X?O，可得它的一個(gè)根底解系為?1?(1,2,?1)k1?1?k1(1,2,?1)TT，因此A的屬于特征值1的全部特征向量為(k1?0為任意常數(shù))．關(guān)于?3?2，解對應(yīng)齊次線性方程組(2E?A)X?O，可得它的一個(gè)根底解系為?2?(0,0,1)k2?2?k2(0,0,1)TT，因此A的屬于特征值2的全部特征向量為(k2?0為任意常數(shù))．(5)矩陣A的特征多項(xiàng)式為??4?2?11??(??2)，2?E?A?2?1??3?1?因此A的特征值為?1?0，?2,3?2（二重）．關(guān)于?1?0，解對應(yīng)齊次線性方程組(0E?A)X?O，可得它的一個(gè)根底解系為?1?(1,?1,?2)T，因此A的屬于特征值0的全部特征向量為Tk1?1?k1(1,?1,?2)(k1?0為任意常數(shù))．關(guān)于?2,3?2，解對應(yīng)齊次線性方程組(2E?A)X?O，可得它的一個(gè)根底解系為?2?(1,?1,0)k2?2?k2(1,?1,0)TT，因此A的屬于特征值2的全部特征向量為(k2?0為任意常數(shù))．(6)矩陣A的特征多項(xiàng)式為??4?2?3?2?(??1)(??3)，2?E?A??21??12?因此A的特征值為?1?6，?2,3?2（二重）．關(guān)于?1?6，解對應(yīng)齊次線性方程組(6E?A)X?O，可得它的一個(gè)根底解系為?1?(1,?2,3)k1?1?k1(1,?2,3)TT，因此A的屬于特征值6的全部特征向量為(k1?0為任意常數(shù))．關(guān)于?2,3?2，解對應(yīng)齊次線性方程組(2E?A)X?O，可得它的一個(gè)根底解系為?2?(1,?1,0)T，?3?(1,0,1)TT，因此A的屬于特征值2的全部特征向量T為k2?2?k3?3?k2(1,?1,0)2．設(shè)A為n階矩陣，?k3(1,0,1)(k2,k3為不全為零的任意常數(shù))．k(1)假設(shè)A?O，且存在正整數(shù)k，使得A?O(A稱為冪零矩陣)，證明:A的特征值全為零；(2)假設(shè)A滿足A2?A(A稱為冪等矩陣)，證明:A的特征值只能是0或1；(3)假設(shè)A滿足A2?E(A稱為周期矩陣)，證明:A的特征值只能是1或?1．證明：設(shè)矩陣A的特征值為?，對應(yīng)的特征向量為?，即A????.（1）因Ak???k?，而Ak?O,故?k??O.又因??O，故?k?0，得??0.（2）因A2???2?，而A2?A,故???A??A2???2?，即22(???)??O.又因??O，故????0，得??0或1.（3）同（2）可得??A??A2???2?，即(?2?1)??O.又因??O，故2??1?0，得??1或?1.3．設(shè)?1,?2分別為n階矩陣A的屬于不同特征值?1和?2的特征向量，證明:?1??2不是A的特征向量．證明：反證法.假設(shè)?1??2是A的特征向量，相應(yīng)的特征值為?，那么有A(?1??2)??(?1??2)，即A?1?A?2???1???2.又因?1,?2分別為矩陣A的屬于特征值?1和?2的特征向量，即A?1??1?1，A?2??2?2，那么??1???2???1???2，即(???1)?1?(???2)?2?O.因?1,?2是矩陣A的屬于不同特征值的特征向量,故?1,?2線性無關(guān)，因此可得???1?0,???2?0，即???1??2，矛盾.4．證明定理4.4.假設(shè)?是n階矩陣A的特征值，那么m(1)設(shè)f(x)?a0?a1x???amx，那么f(?)是f(A)的特征值，其中f(A)?a0E?a1A???amAm(m?N)；篇三：同濟(jì)版線性代數(shù)第四章習(xí)題全解第四章向量組的線性相關(guān)性1．設(shè)v1?(1,1,0)T,v2?(0,1,1)T,v3?(3,4,0)T,求v1?v2及3v1?2v2?v3.解v1?v2?(1,1,0)T?(0,1,1)TTT?(1?0,1?1,0?1)?(1,0,?1)3v1?2v2?v3?3(1,?(0,1,1,0)?2(0,2)TT1,1)?(3,T4,0)TT?(3?1?2?0?3,3?1?2?1?4,3?0?2?1?0)2．設(shè)3(a1?a)?2(a2?a)?5(a3?a)其中a1?(2,5,1,3)T,TTa2?(10,1,5,10),a3?(4,1,?1,1),求a解由3(a1?a)?2(a2?a)?5(a3?a)整理得a?16(3a1?2a2?5a3)?T16[3(2,5,1,3)T?2(10,1,5,10)T?5(4,1,?1,1)]T?(1,2,3,4)3．舉例說明以下各命題是錯(cuò)誤的:(1)假設(shè)向量組a1,a2,?,am是線性相關(guān)的,那么a1可由a2,?am,線性表示.(2)假設(shè)有不全為0的數(shù)?1,?2,?,?m使?1a1????mam??1b1????mbm?0成立,那么a1,?,am線性相關(guān),b1,?,bm亦線性相關(guān).(3)假設(shè)只有當(dāng)?1,?2,?,?m全為0時(shí),等式?1a1????mam??1b1????mbm?0才能成立,那么a1,?,am線性無關(guān),b1,?,bm亦線性無關(guān).(4)假設(shè)a1,?,am線性相關(guān),b1,?,bm亦線性相關(guān),那么有不全為0的數(shù),?1,?2,?,?m使?1a1????mam?0,?1b1????mbm?0同時(shí)成立.解(1)設(shè)a1?e1?(1,0,0,?,0)a2?a3???am?0滿足a1,a2,?,am線性相關(guān),但a1不能由a2,?,am,線性表示.(2)有不全為零的數(shù)?1,?2,?,?m使?1a1????mam??1b1????mbm?0原式可化為?1(a1?b1)????m(am?bm)?0取a1?e1??b1,a2?e2??b2,?,am?em??bm其中e1,?,em為單位向量,那么上式成立,而a1,?,am,b1,?,bm均線性相關(guān)(3)由?1a1????mam??1b1????mbm?0(僅當(dāng)?1????m?0)?a1?b1,a2?b2,?,am?bm線性無關(guān)取a1?a2???am?0取b1,?,bm為線性無關(guān)組滿足以上條件,但不能說是a1,a2,?,am線性無關(guān)的.(4)a1?(1,0)Ta2?(2,0)Tb1?(0,3)Tb2?(0,4)T?1a1??2a2?0??1??2?2?????1??2?0與題設(shè)矛盾.3?1b1??2b2?0??1???2??44．設(shè)b1?a1?a2,b2?a2?a3,b3?a3?a4,b4?a4?a1,證明向量組b1,b2,b3,b4線性相關(guān).證明設(shè)有x1,x2,x3,x4使得x1b1?x2b2?x3b3?x4b4?0那么x1(a1?a2)?x2(a2?a3)?x3(a3?a4)?x4(a4?a1)?0(x1?x4)a1?(x1?x2)a2?(x2?x3)a3?(x3?x4)a4?0(1)假設(shè)a1,a2,a3,a4線性相關(guān),那么存在不全為零的數(shù)k1,k2,k3,k4,k1?x1?x4;k2?x1?x2;k3?x2?x3;k4?x3?x4;由k1,k2,k3,k4不全為零,知x1,x2,x3,x4不全為零,即b1,b2,b3,b4線性相關(guān).?x1??x1(2)假設(shè)a1,a2,a3,a4線性無關(guān),那么??x2?x?3?x4?0?1??x2?0?1??0?x3?0???x4?0?0011000111????0??0??????1??x1??x2??0?x3?x4??1011000111001?0知此齊次方程存在非零解由100那么b1,b2,b3,b4線性相關(guān).綜合得證.5．設(shè)b1?a1,b2?a1?a2,?,br?a1?a2???ar,且向量組a1,a2,?,ar線性無關(guān),證明向量組b1,b2,?,br線性無關(guān).證明設(shè)k1b1?k2b2???krbr?0那么(k1???kr)a1?(k2???kr)a2???(kp???kr)ap???krar?0因向量組a1,a2,?,ar線性無關(guān),故?k1?k2???kr?0?1??k2???kr?0??0??????????????k?0?0?r?1?????01??k1??1??k2????????1??kr??0??????0??????????????0?1?1?????011?1?1?0故方程組只有零解由于0?0那么k1?k2???kr?0因此b1,b2,?,br線性無關(guān)6．利用初等行變換求以下矩陣的列向量組的一個(gè)最大無關(guān)組:?25??75(1)?75???25319494321753542043??132?;(2)?134??48??1??0?2???11201213025?14311111???1?.?3???1?1723343??3??5??5??25??75解(1)?75???25?25r4?r3??0~?r3?r2?0??043??25?r?3r?1132?2?0?~?134r3?3r10????48?r4?r1?043??3??3??0?因此第1、2、3列構(gòu)成一個(gè)最大無關(guān)組.?1??0(2)?2???112012130120025?14211??1?r?2r?1?1?3?0~??03r?r1??4???1??025201???1?，??2??0?12?2021?1?225?521???1??1???2??1r3?r2?0?~?r3?r4?0??0?20因此第1、2、3列構(gòu)成一個(gè)最大無關(guān)組．7．求以下向量組的秩,并求一個(gè)最大無關(guān)組:?1??9???2????????2??100???4?(1)a1??,a2??,a3??;????1102????????????44?8??????TTT(2)a1?(1,2,1,3),a2?(4,?1,?5,?6),a3?(1,?3,?4,?7).解(1)?2a1?a3?a1,a3線性相關(guān).T?a1?T由?a2?T?a3??1?????9?????22100?4?11024??4?