高中數(shù)學選擇性必修三同步練習全套（提高訓練）

高中數(shù)學選擇性必修三同步練習全套《6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理(1)》提高訓練一、選擇題1．若準備用1個字符給一本書編號，其中可用字符為字母，，，也可用數(shù)字字符1，2，3，4，5，則不同的編號有（）A．2種B．5種C．8種D．15種2．設M、N是兩個非空集合，定義M?N={（a，b）|a∈M，b∈N}，若P={0，1，2

}，Q={1，2}，則P?Q中元素的個數(shù)是（）A．4B．9C．6D．33．將3名防控新冠疫情志愿者全部分配給2個不同的社區(qū)服務，不同的分配方案有（）A．12種B．9種C．8種D．6種4.若一位三位數(shù)的自然數(shù)各位數(shù)字中，有且僅有兩個數(shù)字一樣，我們就把這樣的三位數(shù)定義為“單重數(shù)”.例如：232，114等，則不超過200的“單重數(shù)”中，從小到大排列第22個“單重數(shù)”是（）A．166B．171C．181D．1885．（多選題）有4位同學報名參加三個不同的社團，則下列說法正確的是（）A.每位同學限報其中一個社團，則不同的報名方法共有種B.每位同學限報其中一個社團，則不同的報名方法共有種C.每個社團限報一個人，則不同的報名方法共有24種D.每個社團限報一個人，則不同的報名方法共有種6.（多選題）幾只猴子在一棵枯樹上玩耍，假設它們均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的過程中依次撞擊到樹枝，，；（2）乙在下落的過程中依次撞擊到樹枝，，；（3）丙在下落的過程中依次撞擊到樹枝，，；(4)丁在下落的過程中依次撞擊到樹枝，，；(5)戊在下落的過程中依次撞擊到樹枝，，，下列結(jié)論正確的是（）A．最高處的樹枝為?當中的一個B．最低處的樹枝一定是C．這九棵樹枝從高到低不同的順序共有33種D．這九棵樹枝從高到低不同的順序共有32種二、填空題7．某縣總工會利用業(yè)余時間開設太極、書法、繪畫三個培訓班，甲、乙、丙、丁四人報名參加，每人只報名參加一項，且甲乙不參加同一項，則不同的報名方法種數(shù)為_____.8．數(shù)學與文學有許多奇妙的聯(lián)系，如詩中有回文詩“兒憶父兮妻憶夫”，既可以順讀也可以逆讀.數(shù)學中有回文數(shù)，如343，12521等.兩位數(shù)的回文數(shù)有11，22，3，……，99共9個，則在三位數(shù)的回文數(shù)中偶數(shù)的個數(shù)是_____________.9．高三年段有四個老師分別為，這四位老師要去監(jiān)考四個班級，每個老師只能監(jiān)考一個班級，一個班級只能有一個監(jiān)考老師.現(xiàn)要求老師不能監(jiān)考班，老師不能監(jiān)考班，老師不能監(jiān)考班，老師不能監(jiān)考班，則不同的監(jiān)考方式有____種.10．工人在安裝一個正六邊形零件時，需要固定如圖所示的六個位置的螺栓.若按一定順序?qū)⒚總€螺栓固定緊，但不能連續(xù)固定相鄰的2個螺栓.則不同的固定螺栓方式的種數(shù)是___．三、解答題11．已知集合，若a，b，c∈M，則：（1）可以表示多少個不同的二次函數(shù)？（2）可以表示多少個圖象開口向上的二次函數(shù)？12．現(xiàn)某學校共有34人自愿組成數(shù)學建模社團，其中高一年級13人，高二年級12人,高三年級9人.(1)選其中一人為負責人，共有多少種不同的選法？(2)每個年級選一名組長，有多少種不同的選法？(3)選兩人作為社團發(fā)言人,這兩人需要來自不同的年級，有多少種不同的選法？答案解析一、選擇題1．若準備用1個字符給一本書編號，其中可用字符為字母，，，也可用數(shù)字字符1，2，3，4，5，則不同的編號有（）A．2種B．5種C．8種D．15種【答案】C【詳解】由題意這本書的編號可能是字母，，，有3種,可能是數(shù)字：1，2，3，4，5，有效種，共有3+5=8種．故選：C．2．設M、N是兩個非空集合，定義M?N={（a，b）|a∈M，b∈N}，若P={0，1，2

}，Q={1，2}，則P?Q中元素的個數(shù)是（）A．4B．9C．6D．3【答案】C【詳解】因為P={0，1，2}，Q={1，2}，所以a有3種選法，b有2種取法，根據(jù)乘法原理，可得P?Q中元素的個數(shù)是：3×2=6（個）．故選C．3．將3名防控新冠疫情志愿者全部分配給2個不同的社區(qū)服務，不同的分配方案有（）A．12種B．9種C．8種D．6種【答案】C【詳解】每名防控新冠疫情志愿者都有兩種不同的分配方法，根據(jù)分步計數(shù)原理可知，不同的分配方案總數(shù)為種.故選：C4.若一位三位數(shù)的自然數(shù)各位數(shù)字中，有且僅有兩個數(shù)字一樣，我們就把這樣的三位數(shù)定義為“單重數(shù)”.例如：232，114等，則不超過200的“單重數(shù)”中，從小到大排列第22個“單重數(shù)”是（）A．166B．171C．181D．188【答案】B【詳解】由題意可得：不超過200的數(shù)，兩個數(shù)字一樣同為0時，有100，200有2個，兩個數(shù)字一樣同為1時，有110，101，112，121，113，131，一直到191，119，共18個，兩個數(shù)字一樣同為2時，有122，有1個同理，兩個數(shù)字一樣同為3，4，5，6，7，8，9時各1個，綜上，不超過200的“單重數(shù)”共有，其中最大的是200，較小的依次為199，191，188，181，177，171，故第22個“單重數(shù)”為171，故選：B.5．（多選題）有4位同學報名參加三個不同的社團，則下列說法正確的是（）A.每位同學限報其中一個社團，則不同的報名方法共有種B.每位同學限報其中一個社團，則不同的報名方法共有種C.每個社團限報一個人，則不同的報名方法共有24種D.每個社團限報一個人，則不同的報名方法共有種【答案】AC【詳解】對于A選項，第1個同學有3種報法，第2個同學有3種報法，后面的2個同學也有3種報法，根據(jù)分步計數(shù)原理共有種結(jié)果，A正確，B錯誤；對于C選項，每個社團限報一個人，則第1個社團有4種選擇，第2個社團有3種選擇，第3個社團有2種選擇，根據(jù)分步計數(shù)原理共有種結(jié)果，C正確，D錯誤.6.（多選題）幾只猴子在一棵枯樹上玩耍，假設它們均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的過程中依次撞擊到樹枝，，；（2）乙在下落的過程中依次撞擊到樹枝，，；（3）丙在下落的過程中依次撞擊到樹枝，，；(4)丁在下落的過程中依次撞擊到樹枝，，；(5)戊在下落的過程中依次撞擊到樹枝，，，下列結(jié)論正確的是（）A．最高處的樹枝為?當中的一個B．最低處的樹枝一定是C．這九棵樹枝從高到低不同的順序共有33種D．這九棵樹枝從高到低不同的順序共有32種【答案】AC【詳解】解：由題判斷出部分樹枝由高到低的順序為，還剩下，，，且樹枝比高，樹枝在樹枝，之間，樹枝比低，故選項正確；先看樹枝，有4種可能，若在，之間，則有3種可能：①在，之間，有5種可能；②在，之間，有4種可能；③在，之間，有3種可能，此時樹枝的高低順序有（種）。若不在，之間，則有3種可能，有2中可能，若在，之間，則有3種可能，若在，之間，則有三種可能，此時樹枝的高低順序有（種）可能，故這九根樹枝從高到低不同的順序共有種，故選項正確.故選：AC.二、填空題7．某縣總工會利用業(yè)余時間開設太極、書法、繪畫三個培訓班，甲、乙、丙、丁四人報名參加，每人只報名參加一項，且甲乙不參加同一項，則不同的報名方法種數(shù)為____.【答案】54【詳解】甲有三個培訓可選，甲乙不參加同一項，所以乙有二個培訓可選，丙、丁各有三個培訓可選，根據(jù)乘法計數(shù)原理，不同的報名方法種數(shù)為.8．數(shù)學與文學有許多奇妙的聯(lián)系，如詩中有回文詩“兒憶父兮妻憶夫”，既可以順讀也可以逆讀.數(shù)學中有回文數(shù)，如343，12521等.兩位數(shù)的回文數(shù)有11，22，3，……，99共9個，則在三位數(shù)的回文數(shù)中偶數(shù)的個數(shù)是_____________.【答案】40【詳解】由題意，若三位數(shù)的回文數(shù)是偶數(shù)，則末（首）位可能為，，，.如果末（首）位為，中間一位數(shù)有種可能，同理可得，如果末（首）位為或或，中間一位數(shù)均有種可能，所以有個.9．高三有四個老師分別為，這四位老師要去監(jiān)考四個班級，每個老師只能監(jiān)考一個班級，一個班級只能有一個監(jiān)考老師.現(xiàn)要求老師不能監(jiān)考班，老師不能監(jiān)考班，老師不能監(jiān)考班，老師不能監(jiān)考班，則不同的監(jiān)考方式有____種.【答案】9【解析】當老師監(jiān)考班時，剩下的三位老師有3種情況，同理當老師監(jiān)考班時，也有3種，當老師監(jiān)考班時，也有3種，共9種，10．工人在安裝一個正六邊形零件時，需要固定如圖所示的六個位置的螺栓.若按一定順序?qū)⒚總€螺栓固定緊，但不能連續(xù)固定相鄰的2個螺栓.則不同的固定螺栓方式的種數(shù)是________．【答案】60【解析】根據(jù)題意，第一個可以從6個釘里任意選一個，共有6種選擇方法，并且是機會相等的，若第一個選1號釘?shù)臅r候，第二個可以選3,4,5號釘，依次選下去，可以得到共有10種方法，所以總共有種方法，故答案是60.三、解答題11．已知集合，若a，b，c∈M，則：（1）可以表示多少個不同的二次函數(shù)？（2）可以表示多少個圖象開口向上的二次函數(shù)？【解析】（1）根據(jù)，表示二次函數(shù)，由此可判斷a的取值情況，再分別判斷b，c的取值情況，然后利用分步乘法計數(shù)原理求解.（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，開口向上，則，由此可判斷a的取值情況，再分別判斷b，c的取值情況，然后利用分步乘法計數(shù)原理求解.詳解：（1）因為a不能取0，所以有5種取法，b有6種取法，c有6種取法，所以可以表示個不同的二次函數(shù).（2）的圖象開口向上時，a不能取小于等于0的數(shù)，所以有2種取法，b有6種取法，c有6種取法，所以可以表示個圖象開口向上的二次函數(shù)12．現(xiàn)某學校共有34人自愿組成數(shù)學建模社團，其中高一年級13人，高二年級12人,高三年級9人.(1)選其中一人為負責人，共有多少種不同的選法？(2)每個年級選一名組長，有多少種不同的選法？(3)選兩人作為社團發(fā)言人,這兩人需要來自不同的年級，有多少種不同的選法？【解析】（1）根據(jù)題意，選其中一人為負責人，有3種情況，若選出的是高一學生，有13種情況，若選出的是高二學生，有12種情況，若選出的是高三學生，有9種情況，由分類計數(shù)原理可得，共有12+13+9＝34種選法．（2）根據(jù)題意，從高一學生中選出1人，有13種情況；從高二學生中選出1人，有12種情況；從高三學生中選出1人，有9種情況；由分步計數(shù)原理，可得共有12×13×9＝1404種選法．（3）根據(jù)題意，分三種情況討論：若選出的是高一、高二學生，有12×13＝156種情況，若選出的是高一、高三學生，有13×9＝117種情況，若選出的是高二、高三學生，有12×9＝108種情況，由分類計數(shù)原理可得，共有156+117+108＝381種選法．《6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理(2)》提高訓練一、選擇題1．如圖所示,連接正八邊形的三個頂點而成的三角形中,與正八邊形有公共邊的三角形有()個.A．40B．30C．20D．102．高二年級的三個班去甲、乙、丙、丁四個工廠參觀學習，去哪個工廠可以自由選擇，甲工廠必須有班級要去，則不同的參觀方案有（）A．16種B．18種C．37種D．48種3．甲與其四位同事各有一輛私家車，車牌尾數(shù)分別是，為遵守當?shù)啬吃氯罩寥?，共天的限行?guī)定（奇數(shù)日車牌尾數(shù)為奇數(shù)的車通行，偶數(shù)日車牌尾數(shù)為偶數(shù)的車通行），五人商議拼車出行，每天任選一輛符合規(guī)定的車，但甲的車最多只能用一天，則不同的用車方案種數(shù)為（）A．B．C．D．4．用紅，黃，藍，綠，黑這5種顏色隨機給如圖所示的四塊三角形區(qū)域涂色，則“在任意兩個有公共邊的三角形所涂顏色不同”的概率為（）A．B．C．D．5．中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個人的出生年份對應了十二種動物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬）中的一種．現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個，三位同學依次選一個作為禮物，甲同學喜歡牛和馬，乙同學喜歡牛、狗和羊，丙同學每個吉祥物都喜歡，如果三位同學對選取的禮物都滿意，則選法有()A．種B．種C．種D．種6.已知三邊，，的長都是整數(shù)，，如果，則符合條件的三角形的個數(shù)是（）A．B．C．D．二、填空題7．某校高中部，高一有6個班，高二有7個班，高三有8個班，學校利用星期六組織學生到某廠進行社會實踐活動．選2個班參加社會實踐，要求這2個班不同年級，有_______種不同的選法．8．現(xiàn)有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民幣各一張，100元人民幣2張，從中至少取一張，共可組成不同的幣值種數(shù)是_______種.9．如圖為我國數(shù)學家趙爽（約3世紀初）在為《周髀算經(jīng)》作注時驗證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供6種顏色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色、相鄰顏色不同，則區(qū)域不同涂色的方法種數(shù)為（）10．從集合中任意選擇三個不同的數(shù)，使得這三個數(shù)組成等差數(shù)列，這樣的等差數(shù)列有____________個三、解答題11．某城市地鐵公司為鼓勵人們綠色出行，決定按照乘客經(jīng)過地鐵站的數(shù)量實施分段優(yōu)惠政策，不超過9站的地鐵票價如表：乘坐站數(shù)0＜x≤33＜x≤66＜x≤9票價（元）234現(xiàn)有小華、小李兩位乘客同時從起點乘坐同一輛地鐵，已知他們乘坐地鐵都不超過9站，且他們各自在每個站下地鐵的可能性是相同的.（1）若小華、小李兩人共付費5元，則小華、小李下地鐵的方案共有多少種？（2）若小華、小李兩人共付費6元，求小華比小李先下地鐵的概率.12．用這六個數(shù)字，完成下面兩個小題．（1）若數(shù)字不允許重復，可以組成多少個能被整除的且百位數(shù)字不是的不同的五位數(shù)；（2）若直線方程中的可以從已知的六個數(shù)字中任取個不同的數(shù)字，則直線方程表示的不同直線共有多少條？答案解析一、選擇題1．如圖所示,連接正八邊形的三個頂點而成的三角形中,與正八邊形有公共邊的三角形有()個.A．40B．30C．20D．10【答案】A【詳解】把與正八邊形有公共邊的三角形分為兩類：第一類，有一條公共邊的三角形共有8×4＝32（個）；第二類，有兩條公共邊的三角形共有8（個）．由分類加法計數(shù)原理知，共有32+8＝40（個）．2．高二年級的三個班去甲、乙、丙、丁四個工廠參觀學習，去哪個工廠可以自由選擇，甲工廠必須有班級要去，則不同的參觀方案有（）A．16種B．18種C．37種D．48種【答案】C【詳解】根據(jù)題意，若不考慮限制條件，每個班級都有4種選擇，共有種情況，其中工廠甲沒有班級去，即每個班都選擇了其他三個工廠，此時每個班級都有3種選擇，共有種方案；則符合條件的有種．3．甲與其四位同事各有一輛私家車，車牌尾數(shù)分別是，為遵守當?shù)啬吃氯罩寥眨蔡斓南扌幸?guī)定（奇數(shù)日車牌尾數(shù)為奇數(shù)的車通行，偶數(shù)日車牌尾數(shù)為偶數(shù)的車通行），五人商議拼車出行，每天任選一輛符合規(guī)定的車，但甲的車最多只能用一天，則不同的用車方案種數(shù)為（）A．B．C．D．【答案】D【詳解】日至日，分別為，有天奇數(shù)日，天偶數(shù)日，第一步安排奇數(shù)日出行，每天都有種選擇，共有種，第二步安排偶數(shù)日出行分兩類，第一類，先選天安排甲的車，另外一天安排其它車，有種，第二類，不安排甲的車，每天都有種選擇，共有種，共計，根據(jù)分步計數(shù)原理，不同的用車方案種數(shù)共有.故選D.4．用紅，黃，藍，綠，黑這5種顏色隨機給如圖所示的四塊三角形區(qū)域涂色，則“在任意兩個有公共邊的三角形所涂顏色不同”的概率為（）A．B．C．D．【答案】A【詳解】5種顏色隨機給如圖所示的四塊三角形區(qū)域涂色方法數(shù)為，有公共邊的三角形為同色，先考慮中間一塊涂色有5種方法，其他三個三角形在剩下的4色中任意涂色均可，方法為，所以所求概率為．5．中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個人的出生年份對應了十二種動物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬）中的一種．現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個，三位同學依次選一個作為禮物，甲同學喜歡牛和馬，乙同學喜歡牛、狗和羊，丙同學每個吉祥物都喜歡，如果三位同學對選取的禮物都滿意，則選法有()A．種B．種C．種D．種【答案】A【詳解】①若甲同學選擇牛，則乙同學有種選擇，丙同學有種選擇，選法種數(shù)為，②若甲同學選擇馬，則乙同學有種選擇，丙同學有種選擇，選法種數(shù)為，綜上，共有選法為種．6.已知三邊，，的長都是整數(shù)，，如果，則符合條件的三角形的個數(shù)是（）A．B．C．D．【答案】D【詳解】根據(jù)題意，可取的值為1、2、3、…25，根據(jù)三角形的三邊關系，有，當時，有25≤＜26，則＝25，有1種情況，當時，有25≤＜27，則＝25、26，有2種情況，當時，有25≤＜28，則＝25、26、27，有3種情況，當時，有25≤＜29，則＝25、26、27、28，有4種情況，…當時，有有25≤＜50，則＝25、26、27、28…49，有25種情況，則符合條件的三角形共有1＋2＋3＋4＋…＋25＝．二、填空題7．某校高中部，高一有6個班，高二有7個班，高三有8個班，學校利用星期六組織學生到某廠進行社會實踐活動．選2個班參加社會實踐，要求這2個班不同年級，有_______種不同的選法．【答案】【詳解】選2個班參加社會實踐，這2個班不同年級，2個班為高一和高二各一個班有，2個班為高二和高三各一個班有，2個班為高三和高一各一個班有，所以不同的選法共有.8．現(xiàn)有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民幣各一張，100元人民幣2張，從中至少取一張，共可組成不同的幣值種數(shù)是_______種.【答案】1535【詳解】除100元人民幣以外每張均有取和不取2種情況，2張100元人民幣的取法有不取、取一張和取二張3種情況，再減去這些人民幣全不取的1種情況，所以共有種．9．如圖為我國數(shù)學家趙爽（約3世紀初）在為《周髀算經(jīng)》作注時驗證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供6種顏色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色、相鄰顏色不同，則區(qū)域不同涂色的方法種數(shù)為（）【答案】1560【詳解】解：分4步進行分析：①，對于區(qū)域，有6種顏色可選；②，對于區(qū)域，與區(qū)域相鄰，有5種顏色可選；③，對于區(qū)域，與、區(qū)域相鄰，有4種顏色可選；④，對于區(qū)域、，若與顏色相同，區(qū)域有4種顏色可選，若與顏色不相同，區(qū)域有3種顏色可選，區(qū)域有3種顏色可選，則區(qū)域、有種選擇，則不同的涂色方案有種.10．從集合中任意選擇三個不同的數(shù)，使得這三個數(shù)組成等差數(shù)列，這樣的等差數(shù)列有____________個【答案】98【詳解】當公差為時，數(shù)列可以是：，，，……，共13種情況.當公差為時，數(shù)列可以是：，，，……，共11種情況.當公差為時，數(shù)列可以是：，，，……，共9種情況.當公差為時，數(shù)列可以是：，，，……，共7種情況.當公差為時，數(shù)列可以是：，，，，，共5種情況.當公差為時，數(shù)列可以是：，，，共3種情況.當公差為時，數(shù)列可以是：，共1種情況.總的情況是.又因為三個數(shù)成公差數(shù)列有兩種情況，遞增或遞減，所以這樣的等差數(shù)列共有個.三、解答題11．某城市地鐵公司為鼓勵人們綠色出行，決定按照乘客經(jīng)過地鐵站的數(shù)量實施分段優(yōu)惠政策，不超過9站的地鐵票價如表：乘坐站數(shù)0＜x≤33＜x≤66＜x≤9票價（元）234現(xiàn)有小華、小李兩位乘客同時從起點乘坐同一輛地鐵，已知他們乘坐地鐵都不超過9站，且他們各自在每個站下地鐵的可能性是相同的.（1）若小華、小李兩人共付費5元，則小華、小李下地鐵的方案共有多少種？（2）若小華、小李兩人共付費6元，求小華比小李先下地鐵的概率.【詳解】（1）小華、小李兩人共付費5元，所以小華、小李一人付費2元一人付費3元，付費2元的乘坐站數(shù)有1，2，3三種選擇，付費3元的乘坐站數(shù)有4，5，6三種選擇，所以小華、小李下地鐵的方案共有種；（2）小華、小李兩人共付費6元，所以小華、小李一人付費2元一人付費4元或兩人都付費3元，付費4元的乘坐站數(shù)也有7，8，9三種選擇，因此小華、小李下地鐵的方案共有種；其中小華比小李先下地鐵的方案共有種；因此小華比小李先下地鐵的概率為12．用這六個數(shù)字，完成下面兩個小題．（1）若數(shù)字不允許重復，可以組成多少個能被整除的且百位數(shù)字不是的不同的五位數(shù)；（2）若直線方程中的可以從已知的六個數(shù)字中任取個不同的數(shù)字，則直線方程表示的不同直線共有多少條？【詳解】（1）當末位數(shù)字是時，百位數(shù)字不是，第一步，放百位有4種方法，第二步，放剩余的三個位置有種，則共有個；當末位數(shù)字是，首位數(shù)字是時，共有個；當末位數(shù)字是時，首位數(shù)字是或或時，共有個；故共有個．（2）中有一個取時，有條；都不取時，有條；與重復；，與重復．故共有條．《6.2.1排列與排列數(shù)》提高訓練一、選擇題1．用數(shù)字1，2，3，4，6可以組成無重復數(shù)字的五位偶數(shù)有（）A．48個B．64個C．72個D．90個2．若a∈N＋，且a<20，則(27－a)(28－a)…(34－a)等于（）A．B．C．D．3．在某校舉行的秋季運動會中，有甲，乙，丙，丁四位同學參加了50米短跑比賽.現(xiàn)將四位同學安排在1，2，3，4這4個跑道上，每個跑道安排一名同學，則甲不在1道，乙不在2道的不同安排方法有（）種.A．12B．14C．16D．184．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項志愿者活動，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面，不同的安排方法共有（）A．20種B．30種C．40種D．60種5．（多選題）由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這10個數(shù)字組成無重復數(shù)字的五位數(shù)，其中偶數(shù)的個數(shù)是（）A．B．C．D．6.（多選題）A、B、C、D、E五個人并排站在一起，則下列說法正確的有（）A．若A、B不相鄰共有72種方法B．若A不站在最左邊，B不站最右邊，有78種方法．C．若A在B左邊有60種排法D．若A、B兩人站在一起有24種方法二、填空題7．設，，則等式中_____．8．從2，4，6，8，10這五個數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)分別為，共可得到的不同值的個數(shù)是_______個．9．北京大興國際機場擁有世界上最大的單一航站樓，并擁有機器人自動泊車系統(tǒng)，解決了停車滿、找車難的問題，現(xiàn)有4輛載有救援物資的車輛可以停放在8個并排的泊車位上，要求停放的車輛相鄰，箭頭表示車頭朝向，則不同的泊車方案有____種．（用數(shù)字作答）10．為弘揚我國古代的“六藝文化”，某學校欲利用每周的社團活動課可設“禮”“樂”“射”“御”“書”“數(shù)”6門課程，每周開設一門，連續(xù)開設六周．若課程“樂”不排在第一周，課程“書”排在第三周或第四周，則所有可能的排法種數(shù)為_______．三、解答題11．8人圍圓桌開會，其中正、副組長各1人，記錄員1人.（1）若正、副組長相鄰而坐，有多少種坐法？（2）若記錄員坐于正、副組長之間（三者相鄰），有多少種坐法？12．把1?2?3?4?5這五個數(shù)字組成無重復數(shù)字的五位數(shù)，并把它們按由小到大的順序排成一個數(shù)列.（1）45312是這個數(shù)列的第幾項？（2）這個數(shù)列的第71項是多少？（3）求這個數(shù)列的各項和.答案解析一、選擇題1．用數(shù)字1，2，3，4，6可以組成無重復數(shù)字的五位偶數(shù)有（）A．48個B．64個C．72個D．90個【答案】C【詳解】滿足條件的五位偶數(shù)有：.2．若a∈N＋，且a<20，則(27－a)(28－a)…(34－a)等于（）A．B．C．D．【答案】D【詳解】.故選：D3．在某校舉行的秋季運動會中，有甲，乙，丙，丁四位同學參加了50米短跑比賽.現(xiàn)將四位同學安排在1，2，3，4這4個跑道上，每個跑道安排一名同學，則甲不在1道，乙不在2道的不同安排方法有（）種.A．12B．14C．16D．18【答案】B【詳解】①甲在2道的安排方法有：種；②甲不在2道，則甲只能在3或4號道，乙不能在2道，只能在剩下的2個道中選擇一個，丙丁有2種，所以甲不在2號跑道的分配方案有種，共有種方案.故選B.4．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項志愿者活動，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面，不同的安排方法共有（）A．20種B．30種C．40種D．60種【答案】A【詳解】解：根據(jù)題意，要求甲安排在另外兩位前面，則甲有3種分配方法，即甲在星期一、二、三；分3種情況討論可得，甲在星期一有A42=12種安排方法，甲在星期二有A32=6種安排方法，甲在星期三有A22=2種安排方法，總共有12+6+2=20種；故選A．5．（多選題）由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這10個數(shù)字組成無重復數(shù)字的五位數(shù)，其中偶數(shù)的個數(shù)是（）A．B．C．D．【答案】ABD【詳解】對于A，如果個位是0，則有個無重復數(shù)字的偶數(shù)；如果個位不是0，則有個無重復數(shù)字的偶數(shù)，所以共有個無重復數(shù)字的偶數(shù)，故A正確；對于B，由于，所以，故B正確；對于C，由于，所以，故C錯誤；對于D，由于，故D正確.故選：ABD.6.（多選題）A、B、C、D、E五個人并排站在一起，則下列說法正確的有（）A．若A、B不相鄰共有72種方法B．若A不站在最左邊，B不站最右邊，有78種方法．C．若A在B左邊有60種排法D．若A、B兩人站在一起有24種方法【答案】ABC【詳解】A.若A、B不相鄰共有種方法，故A正確；B.若A不站在最左邊，B不站最右邊，利用間接法有種方法，故B正確；C.若A在B左邊有種方法，故C正確；D.若A、B兩人站在一起有，故D不正確.故選：ABC二、填空題7．設，，則等式中_____．【答案】【解析】，，解得：.8．從2，4，6，8，10這五個數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)分別為，共可得到的不同值的個數(shù)是_______個．【答案】18【詳解】首先從2，4，6，8，10這五個數(shù)中任取兩個不同的數(shù)排列，共有種排法，又，，從2，4，6，8，10這五個數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)分別記為，，共可得到的不同值的個數(shù)是：．9．北京大興國際機場擁有世界上最大的單一航站樓，并擁有機器人自動泊車系統(tǒng)，解決了停車滿、找車難的問題，現(xiàn)有4輛載有救援物資的車輛可以停放在8個并排的泊車位上，要求停放的車輛相鄰，箭頭表示車頭朝向，則不同的泊車方案有___種．（用數(shù)字作答）【答案】120【詳解】從8個車位里選擇4個相鄰的車位，共有5種方式，將4輛載有救援物資的車輛相鄰停放，有種方式，則不同的泊車方案有種.故答案為：120.10．為弘揚我國古代的“六藝文化”，某學校欲利用每周的社團活動課可設“禮”“樂”“射”“御”“書”“數(shù)”6門課程，每周開設一門，連續(xù)開設六周．若課程“樂”不排在第一周，課程“書”排在第三周或第四周，則所有可能的排法種數(shù)為__________．【答案】192【詳解】（1）當“樂”課程排在第2，5，6周時，；（2）當“樂”課程排在第3或4周時，，所有可能的排法種數(shù)為192.三、解答題11．8人圍圓桌開會，其中正、副組長各1人，記錄員1人.（1）若正、副組長相鄰而坐，有多少種坐法？（2）若記錄員坐于正、副組長之間（三者相鄰），有多少種坐法？【詳解】（1）若正、副組長相鄰而坐，可將此人看作人，即人圍一圓桌，有種，由于正、副組長人可交換，有種，所以共有種，（2）若記錄員坐于正、副組長之間（三者相鄰），可將人看作人，即人圍一圓桌，有種，因為正、副組長人可交換，有種，所以共有種.12．把1?2?3?4?5這五個數(shù)字組成無重復數(shù)字的五位數(shù)，并把它們按由小到大的順序排成一個數(shù)列.（1）45312是這個數(shù)列的第幾項？（2）這個數(shù)列的第71項是多少？（3）求這個數(shù)列的各項和.【詳解】（1）先考慮大于45312的數(shù)，分為以下兩類：第一類5開頭的五位數(shù)有：；第二類4開頭的五位數(shù)有：45321一個∴不大于45312的數(shù)有：(個)即45312是該數(shù)列中第95項.（2）1開頭的五位數(shù)有：；2開頭的五位數(shù)有：；3開頭的五位數(shù)有：；共有(個).所以第71項是3開頭的五位數(shù)中第二大的數(shù)，即35412.（3）因為1，2，3，4，5各在萬位上時都有個五位數(shù)，所以萬位數(shù)上的數(shù)字之和為同理，它們在千位，百位，十位，個位上也都有個五位數(shù)，所以這個數(shù)列的各項和為.《6.2.2組合與組合數(shù)》提高訓練一、選擇題1．若，則的值為（）A．60B．70C．120D．1402．為了獎勵班上進步大的8名學生，班主任購買了5本相同的書和3本相同的筆記本作為獎品分發(fā)給這8名學生，每人一件，則不同的分法有（）A．28種B．56種C．112種D．336種3．若成等差數(shù)列，則值為（）A．14B．12C．10D．84．《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化．如圖是易經(jīng)八卦圖（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦由三根線組成（“”表示一根陽線，“”表示一根陰線）．從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線中恰有兩根陽線和四根陰線的概率為（）A．B．C．D．5.（多選題）下列等式中，成立的有（）A．B．C．D．6.（多選題）某班有50名學生，其中正、副班長各1人，現(xiàn)選派5人參加一項活動，要求正、副班長至少有1人參加，問共有多少種選派方法？下面是學生提供的四種計算方法正確的算法為（）A.；B.；C.；D.．二、填空題7．若，則__________．8.某地區(qū)為了組建援鄂抗疫醫(yī)療隊，現(xiàn)從4名醫(yī)生，5名護士中選3名醫(yī)護人員組成一個團隊，要求醫(yī)生、護士都有，則不同的組隊方案種數(shù)是__________．9．已知，則________．10．已知集合，，，若從這三個集合中各取一個元素構成空間直角坐標系中點的坐標，則確定不同點的個數(shù)為________.三、解答題11．（1）本不同的書分給甲、乙、丙同學，每人各得本，有多少種不同的分法？（2）從個男生和個女生中選出名學生參加一次會議，要求至少有名男生和名女生參加，有多少種選法？12.男運動員6名，女運動員4名，其中男?女隊長各1名.現(xiàn)選派5人外出參加比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？（1）男運動員3名，女運動員2名；（2）隊長中至少有1人參加；（3）既要有隊長，又要有女運動員.答案解析一、選擇題1．若，則的值為（）A．60B．70C．120D．140【答案】D【詳解】，解得或（舍去），.2．為了獎勵班上進步大的8名學生，班主任購買了5本相同的書和3本相同的筆記本作為獎品分發(fā)給這8名學生，每人一件，則不同的分法有（）A．28種B．56種C．112種D．336種【答案】B【詳解】根據(jù)題意，5本相同的書和3本相同的筆記本發(fā)給8名學生，每人1本，需要在8人中任選3人，領取筆記本，剩下5人領取書即可，則有種不同的分法.3．若成等差數(shù)列，則值為（）A．14B．12C．10D．8【答案】A【詳解】∵成等差數(shù)列，∴，∴，解得：或.4．《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化．如圖是易經(jīng)八卦圖（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦由三根線組成（“”表示一根陽線，“”表示一根陰線）．從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線中恰有兩根陽線和四根陰線的概率為（）A．B．C．D．【答案】A【詳解】八卦分成四類，A類是：3個卦含1陰2陽，B類是：3卦含2陰1陽，C類1卦含是3陽，D類1卦是3陰．從八卦中任取兩卦共有，兩卦中含2陽4陰，則可以從B類選2卦，方法數(shù)為，或者選D類和A類1的1卦，方法數(shù)是3．所求概率為．5.（多選題）下列等式中，成立的有（）A．B．C．D．【答案】BCD【詳解】，A錯；根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)知正確；，D正確．故選：BCD．6.（多選題）某班有50名學生，其中正、副班長各1人，現(xiàn)選派5人參加一項活動，要求正、副班長至少有1人參加，問共有多少種選派方法？下面是學生提供的四種計算方法正確的算法為（）A.；B.；C.；D.．【答案】ABD【詳解】對于A，正、副班長有1人參加的方法數(shù)有種，正、副班長有人參加的方法數(shù)有種，故總的方法數(shù)有種，故A正確；對于B，人抽取人，總的方法數(shù)為，其中沒有正、副班長的方法數(shù)為，所以方法數(shù)為種，故B正確；對于C和D，正、副班長中任抽取一個，然后在剩余人中抽取個，方法數(shù)有種，減去重復的包括正、副班長的情況種.所以方法數(shù)有種，故D正確，C不正確.綜上所述，本小題正確算法有種，故選ABD.二、填空題7．若，則__________．【答案】【詳解】由得，解得8.某地區(qū)為了組建援鄂抗疫醫(yī)療隊，現(xiàn)從4名醫(yī)生，5名護士中選3名醫(yī)護人員組成一個團隊，要求醫(yī)生、護士都有，則不同的組隊方案種數(shù)是__________．【答案】【詳解】從4名醫(yī)生，5名護士中選3名醫(yī)護人員組成一個團隊，要求醫(yī)生、護士都有，可分為兩類：第一類：1名醫(yī)生2名護士，共有種不同的選法；第二類：2名醫(yī)生1名護士，共有種不同的選法，由分類計數(shù)原理可得，共有種不同的選法.9．已知，則________．【答案】2【詳解】根據(jù)組合數(shù)公式化簡，可得，化簡整理得，解得或，又由，所以.10．已知集合，，，若從這三個集合中各取一個元素構成空間直角坐標系中點的坐標，則確定不同點的個數(shù)為_______.【答案】.【詳解】由組合數(shù)的性質(zhì)得出，不考慮任何限制條件下不同點的個數(shù)為，由于，坐標中同時含和的點的個數(shù)為，綜上所述：所求點的個數(shù)為，故答案為.三、解答題11．（1）本不同的書分給甲、乙、丙同學，每人各得本，有多少種不同的分法？（2）從個男生和個女生中選出名學生參加一次會議，要求至少有名男生和名女生參加，有多少種選法？【詳解】（1）6本書分給3位同學，可分三步完成，根據(jù)乘法計數(shù)原理，得；（2）問題可以分成兩類：第一類名男生和名女生參加，有中選法，第二類名男生和名女生參加，有中選法，12.男運動員6名，女運動員4名，其中男?女隊長各1名.現(xiàn)選派5人外出參加比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？（1）男運動員3名，女運動員2名；（2）隊長中至少有1人參加；（3）既要有隊長，又要有女運動員.【詳解】（1）分兩步完成：第一步，選3名男運動員，有種選法；第二步，選2名女運動員，有種選法.由分步乘法計數(shù)原理可得，共有(種)選法.（2）方法一(直接法)可分類求解：“只有男隊長”的選法種數(shù)為；“只有女隊長”的選法種數(shù)為；“男?女隊長都入選”的選法種數(shù)為，所以共有(種)選法.方法二(間接法)從10人中任選5人有種選法，其中不選隊長的方法有種.所以“至少有1名隊長”的選法有(種).（3）當有女隊長時，其他人任意選，共有種選法；當不選女隊長時，必選男隊長，共有種選法，其中不含女運動員的選法有種，所以不選女隊長時的選法共有種.所以既要有隊長又要有女運動員的選法共有(種).《6.3.1二項式定理》提高訓練一、選擇題1．在的展開式中.常數(shù)項為（）A．B．C．D．2．已知，則（）A．B．C．D．3．的展開式中常數(shù)項是（）A．-252B．-220C．220D．2524．展開式中項的系數(shù)為160，則（）A．2B．4C．D．5.（多選題）若的展開式中有且僅有三個有理項，則正整數(shù)的取值為（）A．B．C．D．6．（多選題）的展開式中（）A．的系數(shù)為40B．的系數(shù)為32C．常數(shù)項為16D．常數(shù)項為8二、填空題7．的展開式中的系數(shù)為，則________．8．在的展開式中，的系數(shù)為__________．9．已知二項式(且)展開式的第項是常數(shù)項，則的值是__.10．若的展開式中項的系數(shù)為20，則的最小值_______三、解答題11．已知在的展開式中，第9項為常數(shù)項．求：（1）n的值；（2）展開式中x5的系數(shù)；（3）含x的整數(shù)次冪的項的個數(shù)．12.已知的二項展開式中，第三項的系數(shù)為7.（1）求證：前三項系數(shù)成等差數(shù)列；（2）求出展開式中所有有理項（即的指數(shù)為整數(shù)的項）.答案解析一、選擇題1．在的展開式中.常數(shù)項為（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】：二項式展開式的通項為，令，解得，所以，故選：B2．已知，則（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】，則其展開式的通項為：，當時，，所以．3．的展開式中常數(shù)項是（）A．-252B．-220C．220D．252【答案】A【詳解】由，可得二項式的展開式通項為，令，解得，所以展開式的常數(shù)項為.4．展開式中項的系數(shù)為160，則（）A．2B．4C．D．【答案】C【詳解】二項式展開式的通項為，令可得二項式展開式中的系數(shù)為，∴展開式中的系數(shù)為，可得，解得，故選：C．5.（多選題）若的展開式中有且僅有三個有理項，則正整數(shù)的取值為（）A．B．C．D．【答案】BD【詳解】的通項公式是設其有理項為第，則的乘方指數(shù)為，依題意為整數(shù)，注意到，對照選擇項知、、，逐一檢驗：時，、，不滿足條件；時，、、，成立；時，、、，成立，故選：BD.6．（多選題）的展開式中（）A．的系數(shù)為40B．的系數(shù)為32C．常數(shù)項為16D．常數(shù)項為8【答案】AC【詳解】，展開式中的系數(shù)分為兩部分，一部分是中含的系數(shù)，另一部分是中含項的系數(shù)，所以含的系數(shù)是，故A正確；展開式中常數(shù)項只有展開式的常數(shù)項，故C正確.二、填空題7．的展開式中的系數(shù)為，則________．【答案】【詳解】解：由二項式定理展開式的通項公式得，令，解得，所以展開式中項為，其系數(shù)為，解得.8．在的展開式中，的系數(shù)為__________．【答案】60【解析】,而在中，，，則，的系數(shù)為60.9．已知二項式(且)展開式的第項是常數(shù)項，則的值是____【答案】【詳解】，由得．10．若的展開式中項的系數(shù)為20，則的最小值_______【答案】【解析】展開式的通項為，令得，所以，由得，從而，當且僅當時，的最小值為.三、解答題11．已知在的展開式中，第9項為常數(shù)項．求：（1）n的值；（2）展開式中x5的系數(shù)；（3）含x的整數(shù)次冪的項的個數(shù)．【詳解】二項展開式的通項Tk+1==(-1)k．（1）因為第9項為常數(shù)項，即當k=8時，2n-k=0，解得n=10．（2）令2n-k=5，得k=(2n-5)=6，所以x5的系數(shù)為(-1)6．（3）要使2n-k，即為整數(shù)，只需k為偶數(shù)，由于k=0，1，2，3，…，9，10，故符合要求的有6項，分別為展開式的第1，3，5，7，9，11項．12.已知的二項展開式中，第三項的系數(shù)為7.（1）求證：前三項系數(shù)成等差數(shù)列；（2）求出展開式中所有有理項（即的指數(shù)為整數(shù)的項）.【詳解】（1）∵，（負值舍去）所以前三項分別為，，所以前三項系數(shù)分別為1，4，7，前三項系數(shù)成等差數(shù)列.（2），∴，展開式中的指數(shù)為整數(shù)，所以展開式中所有有理項為：、、.《6.3.2二項式系數(shù)的性質(zhì)》提高訓練一、選擇題1．在的展開式中，只有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項（）A．B．C．D．2．已知，，則自然數(shù)等于（）A．6B．5C．4D．33．在的展開式中，只有第六項的二項式系數(shù)最大，且所有項的系數(shù)和為0，則含的項系數(shù)為（）A．45B．-45C．120D．-1204．已知(1＋2x)8展開式的二項式系數(shù)的最大值為a，系數(shù)的最大值為b，則的值為（）A．B．C．D．5.（多選題）若的展開式中第項的二項式系數(shù)最大，則的可能值為（）A．B．C．D．6．（多選題）關于及其展開式，下列說法正確的是（）A．該二項展開式中二項式系數(shù)和是B．該二項展開式中第七項為C．該二項展開式中不含有理項D．當時，除以100的余數(shù)是1二、填空題7．如果的展開式中各項系數(shù)之和為4096，則展開式中的系數(shù)為_____.8．若，則的值為________.9．在的展開式中，各項系數(shù)的和為，二項式系數(shù)之和為，且是與的等差中項，則正整數(shù)的值為___________.10．若函數(shù)，其中≤x≤，則的最大值為_______．三、解答題11．已知在的展開式中，_________（填寫條件前的序號）條件①第5項的系數(shù)與第3項的系數(shù)之比是14：3；條件②第2項與倒數(shù)第3項的二項式系數(shù)之和為55；條件③.（1）求展開式中二項式系數(shù)最大的項；（2）求展開式中含的項.12．已知的展開式中第2項與第5項的二項式系數(shù)相等，求的展開式中：（1）所有二項式系數(shù)之和；（2）二項式系數(shù)最大的項；（3）系數(shù)的絕對值最大的項.答案解析一、選擇題1．在的展開式中，只有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項為（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】由題設知：只有第5項的二項式系數(shù)為最大，∴由對稱性知：，而展開式通項，∴時，常數(shù)項為.2．已知，，則自然數(shù)等于（）A．6B．5C．4D．3【答案】C【詳解】由題意，令，則，因為，所以，解得.故選：C.3．在的展開式中，只有第六項的二項式系數(shù)最大，且所有項的系數(shù)和為0，則含的項系數(shù)為（）A．45B．-45C．120D．-120【答案】A【詳解】∵在的展開式中，只有第六項的二項式系數(shù)最大，∴在的展開式有11項，即n=10；而展開式的所有項的系數(shù)和為0，令x=1，代入，即，所以a=-1.∴是展開式的通項公式為：，要求含的項，只需10-2r=6，解得r=2，所以系數(shù)為.4．已知(1＋2x)8展開式的二項式系數(shù)的最大值為a，系數(shù)的最大值為b，則的值為（）A．B．C．D．【答案】A【詳解】由題意可得，又展開式的通項公式為，設第項的系數(shù)最大，則，即，求得或6，此時，，，故選：A．5.（多選題）若的展開式中第項的二項式系數(shù)最大，則的可能值為（）A．B．C．D．【答案】ABC【詳解】分以下三種情況討論：①展開式中第項和第項的二項式系數(shù)最大，則展開式共項，可得，得；②展開式中只有第項的二項式系數(shù)最大，則展開式共項，可得，得；③展開式中第項和第項的二項式系數(shù)最大，則展開式共項，可得，得.因此，的可能值為、、.故選：ABC.6．（多選題）關于及其展開式，下列說法正確的是（）A．該二項展開式中二項式系數(shù)和是B．該二項展開式中第七項為C．該二項展開式中不含有理項D．當時，除以100的余數(shù)是1【答案】BD【詳解】對于A，該二項展開式中二項式系數(shù)和是，故錯誤；對于B，由于，即該二項展開式中第七項為，故正確．對于C，該二項展開式中，最后一項為，是有理項，故錯誤．對于D，當時，，除了最后一項（最后一項等于1），前面的所有項都能被100整除，即當時，除以100的余數(shù)是1，故正確．故選：BD.二、填空題7．如果的展開式中各項系數(shù)之和為4096，則展開式中的系數(shù)為_____.【答案】1215【詳解】由的展開式中各項系數(shù)之和為4096，令x＝1得，解得n＝6；所以令得：r＝2，從而得展開式中x的系數(shù)為。8．若，則的值為________.【答案】-1【詳解】因為，令可得；令可得：；故．9．在的展開式中，各項系數(shù)的和為，二項式系數(shù)之和為，且是與的等差中項，則正整數(shù)的值為___________.【答案】3【詳解】的展開式令二項式中的得到展開式中的各項系數(shù)的和為，又各項二項式系數(shù)的和，為，根據(jù)題意得即，解得或(負值舍)，故.10．若函數(shù)，其中≤x≤，則的最大值為_______．【答案】22021【詳解】令，則有，按的升冪排列，，，兩者相加時，的奇數(shù)次冪抵消，偶數(shù)次冪系數(shù)相同，所以，則偶數(shù)次冪的最大值為1，所以最大值為：.三、解答題11．已知在的展開式中，_________（填寫條件前的序號）條件①第5項的系數(shù)與第3項的系數(shù)之比是14：3；條件②第2項與倒數(shù)第3項的二項式系數(shù)之和為55；條件③.（1）求展開式中二項式系數(shù)最大的項；（2）求展開式中含的項.【答案】（1）（2）【詳解】通項公式為，，若填條件①，（1）依題意得，即，所以，整理得，所以或（舍），因為，所以的展開式共有項，所以展開式中二項式系數(shù)最大的項是第6項，所以.（2）通項公式為，令，得，所以展開式中含的項為.若填條件②，（1）依題意得，所以，所以，即，所以或（舍），因為，所以的展開式共有項，所以展開式中二項式系數(shù)最大的項是第6項，所以.（2）通項公式為，令，得，所以展開式中含的項為.若填條件③，（1）依題意得，則，所以，所以，因為，所以的展開式共有項，所以展開式中二項式系數(shù)最大的項是第6項，所以.（2）通項公式為，令，得，所以展開式中含的項為.12．已知的展開式中第2項與第5項的二項式系數(shù)相等，求的展開式中：（1）所有二項式系數(shù)之和；（2）二項式系數(shù)最大的項；（3）系數(shù)的絕對值最大的項.【答案】（1）；（2）；（3）第項.【詳解】解：（1）由題意，解得.二項式系數(shù)和為（2）由于為偶數(shù)，所以的展開式中第6項的二項式系數(shù)最大，即.（3）設第項的系數(shù)的絕對值最大，則∴，得，即∴，∴，故系數(shù)的絕對值最大的是第4項，即：《7.1.1條件概率》提高訓練一、選擇題1．從混有5張假鈔的20張一百元紙幣中任意抽取2張，事件為“取到的兩張中至少有一張為假鈔”，事件為“取到的兩張均為假鈔”，則（）A．B．C．D．2．已知事件A與B獨立，當時，若，則（）A．0.34B．0.68C．0.32D．13．為了確保安全開學，全省組織畢業(yè)年級學生進行核酸檢測的篩查.學生先到醫(yī)務室進行咽拭子檢驗，檢驗呈陽性者需到防疫部門做進一步檢測.已知隨機抽一人檢驗呈陽性的概率為0.2%，且每個人檢驗是否呈陽性相互獨立，若該疾病患病率為0.1%，且患病者檢驗呈陽性的概率為99%.若某人檢驗呈陽性，則他確實患病的概率（）A．0.99%B．99%C．49.5%.D．36.5%4．我國中醫(yī)藥選出的“三藥三方”對治療新冠肺炎均有顯著效果，功不可沒，“三藥”分別為金花清感顆粒、連花清瘟膠囊、血必清注射液；“三方”分別為清肺排毒湯、化敗毒方、宜肺敗毒方.若某醫(yī)生從“三藥三方”中隨機選出兩種，事件表示選出的兩種中有一藥，事件表示選出的兩種中有一方，則（）A．B．C．D．5．（多選題）某單位組織知識競賽活動，以小組為單位參加比賽，某小組在5道題中(有3道選擇題和道填空題)，不放回地依次隨機抽取道題作答，設事件A為“第1次抽到選擇題”，事件B為“第次抽到選擇題”，則下列結(jié)論中正確的是（）A．B．C．D．6．（多選題）有3臺車床加工同一型號的零件.第1臺加工的次品率為6%，第2，3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起.已知第1，2，3臺車床的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%，則下列選項正確的有（）A．任取一個零件是第1臺生產(chǎn)出來的次品概率為0.06B．任取一個零件是次品的概率為0.0525C．如果取到的零件是次品，且是第2臺車床加工的概率為D．如果取到的零件是次品，且是第3臺車床加工的概率為二、填空題7．已知紙箱中裝有6瓶消毒液，其中4瓶為合格品，2瓶為不合格品，現(xiàn)從紙箱中任取一瓶消毒液，每瓶消毒液被取到的可能性相同，不放回地取兩次，若用表示“第一次取到不合格的消毒液”，用表示“第二次仍取到不合格的消毒液”，則____.8．已知某種疾病的患病率為，在患該種疾病的條件下血檢呈陽性的概率為，則患該種疾病且血檢呈陽性的概率為______.9．12月4日為國家普法日，某校特舉行普法知識競賽，其中一個環(huán)節(jié)是從6道題中采用不放回的方式抽取兩道進行作答，選手甲能正確回答其中的4道題，則甲在第一次抽到的題能回答正確的條件下，第二次抽到的題也能回答正確的概率為________.10．現(xiàn)有紅、黃、藍、綠、紫五只杯子，將它們疊成一疊，則在黃色杯子和綠色杯子相鄰的條件下，黃色杯子和紅色杯子也相鄰的概率為________.三、解答題11．一袋中裝有6個黑球，4個白球．如果不放回地依次取出2個球．求：(1)第1次取到黑球的概率；(2)第1次和第2次都取到黑球的概率；(3)在第1次取到黑球的條件下，第2次又取到黑球的概率．12．某班有名班干部，其中男生人，女生人，任選人參加學校的義務勞動．（1）求男生甲或女生乙被選中的概率；（2）設“男生甲被選中”為事件，“女生乙被選中”為事件，求和．答案解析一、選擇題1．從混有5張假鈔的20張一百元紙幣中任意抽取2張，事件為“取到的兩張中至少有一張為假鈔”，事件為“取到的兩張均為假鈔”，則（）A．B．C．D．【答案】D【詳解】由，且，∴，而，∴.故選：D2．已知事件A與B獨立，當時，若，則（）A．0.34B．0.68C．0.32D．1【答案】C【詳解】因事件A與B獨立，且，則，即,由對立事件概率公式得.故選：C3．為了確保安全開學，全省組織畢業(yè)年級學生進行核酸檢測的篩查.學生先到醫(yī)務室進行咽拭子檢驗，檢驗呈陽性者需到防疫部門做進一步檢測.已知隨機抽一人檢驗呈陽性的概率為0.2%，且每個人檢驗是否呈陽性相互獨立，若該疾病患病率為0.1%，且患病者檢驗呈陽性的概率為99%.若某人檢驗呈陽性，則他確實患病的概率（）A．0.99%B．99%C．49.5%.D．36.5%【答案】C【詳解】設為“某人檢驗呈陽性”，為“此人患病”.則“某人檢驗呈陽性時他確實患病”為，又，故選：C.4．我國中醫(yī)藥選出的“三藥三方”對治療新冠肺炎均有顯著效果，功不可沒，“三藥”分別為金花清感顆粒、連花清瘟膠囊、血必清注射液；“三方”分別為清肺排毒湯、化敗毒方、宜肺敗毒方.若某醫(yī)生從“三藥三方”中隨機選出兩種，事件表示選出的兩種中有一藥，事件表示選出的兩種中有一方，則（）A．B．C．D．【答案】D【詳解】若某醫(yī)生從“三藥三方”中隨機選出兩種，事件表示選出的兩種中有一藥，事件表示選出的兩種中有一方，則，，∴.故選：D.5．（多選題）某單位組織知識競賽活動，以小組為單位參加比賽，某小組在5道題中(有3道選擇題和道填空題)，不放回地依次隨機抽取道題作答，設事件A為“第1次抽到選擇題”，事件B為“第次抽到選擇題”，則下列結(jié)論中正確的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【詳解】,故A正確；，故B正確；，故C正確；，，，故D錯誤.故選:ABC6．（多選題）有3臺車床加工同一型號的零件.第1臺加工的次品率為6%，第2，3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起.已知第1，2，3臺車床的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%，則下列選項正確的有（）A．任取一個零件是第1臺生產(chǎn)出來的次品概率為0.06B．任取一個零件是次品的概率為0.0525C．如果取到的零件是次品，且是第2臺車床加工的概率為D．如果取到的零件是次品，且是第3臺車床加工的概率為【答案】BC【詳解】記為事件“零件為第臺車床加工”，記為事件“任取一個零件為次品”則，，對于A，即，A錯誤.對于B，，B正確.對于C，，C正確.對于D，，D錯誤.故選：BC二、填空題7．已知紙箱中裝有6瓶消毒液，其中4瓶為合格品，2瓶為不合格品，現(xiàn)從紙箱中任取一瓶消毒液，每瓶消毒液被取到的可能性相同，不放回地取兩次，若用表示“第一次取到不合格的消毒液”，用表示“第二次仍取到不合格的消毒液”，則_____.【答案】【詳解】表示“第一次取到不合格的消毒液”,可得，表示“第二次仍取到不合格的消毒液”，，故.8．已知某種疾病的患病率為，在患該種疾病的條件下血檢呈陽性的概率為，則患該種疾病且血檢呈陽性的概率為______.【答案】【詳解】設事件表示“血檢呈陽性”，事件表示“患該種疾病”.依題意知，，由條件概率公式，得.9．12月4日為國家普法日，某校特舉行普法知識競賽，其中一個環(huán)節(jié)是從6道題中采用不放回的方式抽取兩道進行作答，選手甲能正確回答其中的4道題，則甲在第一次抽到的題能回答正確的條件下，第二次抽到的題也能回答正確的概率為________.【答案】【詳解】設第一次抽到的題能回答正確為事件，第二次抽到的題能回答正確為事件，則第一次和第二次抽到的題都能正確回答為事件，則，，所以.10．現(xiàn)有紅、黃、藍、綠、紫五只杯子，將它們疊成一疊，則在黃色杯子和綠色杯子相鄰的條件下，黃色杯子和紅色杯子也相鄰的概率為________.【答案】【詳解】解：記“黃色杯子和綠色杯子相鄰”為事件A，“黃色杯子和紅色杯子也相鄰”為事件B，則黃色杯子和綠色杯子相鄰，有種；黃色杯子和綠色杯子相鄰，且黃色杯子和紅色杯子也相鄰，有種；所以.三、解答題11．一袋中裝有6個黑球，4個白球．如果不放回地依次取出2個球．求：(1)第1次取到黑球的概率；(2)第1次和第2次都取到黑球的概率；(3)在第1次取到黑球的條件下，第2次又取到黑球的概率．【解析】設第次取到黑球為事件，第次取到黑球為事件，則第次和第次都取到黑球為事件從袋中不放回地依次取出個球的事件數(shù)為，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，，于是(2)因為.所以(3)由可得，在第次取到黑球的條件下，第次取到黑球的概率為.12．某班有名班干部，其中男生人，女生人，任選人參加學校的義務勞動．（1）求男生甲或女生乙被選中的概率；（2）設“男生甲被選中”為事件，“女生乙被選中”為事件，求和．【詳解】（1）某班從名班干部(男生人、女生人)中任選人參加學校的義務勞動，總的選法有種，男生甲或女生乙都沒有被選中的選法：則男生甲或女生乙被選中的選法有種，∴男生甲或女生乙被選中的概率為；（2）總的選法有種，男生甲被選中的選法有種，∴，男生甲被選中、女生乙也被選中選法有種，∴，∴在男生甲被選中的前提下，女生乙也被選中的概率為．《7.1.2全概率公式》提高訓練一、選擇題1．設有一批同規(guī)格的產(chǎn)品，由三家工廠生產(chǎn)，其中甲廠生產(chǎn)eq\f(1,2)，乙、丙兩廠各生產(chǎn)eq\f(1,4)，而且各廠的次品率依次為2%,2%,4%，現(xiàn)從中任取一件，則取到次品的概率為()A．0.025B．0.08C．0.07D．0.1252．為了提升全民身體素質(zhì)，學校十分重視學生體育鍛煉，某?；@球運動員進行投籃練習．如果他前一球投進則后一球投進的概率為；如果他前一球投不進則后一球投進的概率為.若他第球投進的概率為，則他第球投進的概率為（）A．B．C．D．3．某卡車為鄉(xiāng)村小學運送書籍，共裝有10個紙箱，其中5箱英語書、2箱數(shù)學書、3箱語文書.到目的地時發(fā)現(xiàn)丟失一箱，但不知丟失哪一箱.現(xiàn)從剩下9箱中任意打開兩箱，結(jié)果都是英語書，則丟失的一箱也是英語書的概率為()A.eq\f(2,9)B.eq\f(3,8)C.eq\f(1,12)D.eq\f(5,8)4.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品以100件為一批,假定每一批產(chǎn)品中的次品數(shù)最多不超過4件,且具有如下的概率:一批產(chǎn)品中的次品數(shù)01234概率0.10.20.40.20.1現(xiàn)進行抽樣檢驗,從每批中隨機取出10件來檢驗,若發(fā)現(xiàn)其中有次品,則認為該批產(chǎn)品不合格,則一批產(chǎn)品通過檢驗的概率為()A.0.814B.0.809C.0.727D.0.6525.某工廠有甲、乙、丙3個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品,產(chǎn)量依次占全廠的45%,35%,20%,且各車間的次品率分別為4%,2%,5%,現(xiàn)從一批產(chǎn)品中檢查出1個次品,則該次品由______車間生產(chǎn)的可能性最大()A.甲B.乙C.丙D.無法確定6．（多選題）在某一季節(jié),疾病D1的發(fā)病率為2%,病人中40%表現(xiàn)出癥狀S,疾病D2的發(fā)病率為5%,其中18%表現(xiàn)出癥狀S,疾病D3的發(fā)病率為0.5%,癥狀S在病人中占60%.則()A.任意一位病人有癥狀S的概率為0.02B.病人有癥狀S時患疾病D1的概率為0.4C.病人有癥狀S時患疾病D2的概率為0.45D.病人有癥狀S時患疾病D3的概率為0.25二、填空題7．某項射擊游戲規(guī)定：選手先后對兩個目標進行射擊，只有兩個目標都射中才能過關．某選手射中第一個目標的概率為0.8，繼續(xù)射擊，射中第二個目標的概率為0.5，則這個選手過關的概率為________．8．10個考簽中有4個難簽，3個同學參加抽簽(不放回)，甲先抽，乙再抽，丙最后抽，則甲、乙、丙都抽到難簽的概率為________．9．播種用的一等小麥種子中混有2%的二等種子、1.5%的三等種子、1%的四等種子．用一、二、三、四等種子結(jié)出的穗含有50顆以上麥粒的概率分別為0.5，0.15，0.1，0.05，這批種子所結(jié)的穗含有50顆以上麥粒的概率為________．10．根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗有如下的效果：若以A表示事件“試驗反應為陽性”，以C表示事件“被診斷者患有癌癥”，則有P(A|C)＝0.95，P(eq\o(A,\s\up6(－))|eq\o(C,\s\up6(－)))＝0.95，現(xiàn)在對自然人群進行普查，設被試驗的人患有癌癥的概率為0.005,即P(C)＝0.005,則P(C|A)＝______.(精確到0.001)三、解答題11．已知在10只晶體管中有2只次品，在其中取兩次，作不放回抽樣．求下列事件的概率：(1)兩只都是正品；(2)兩只都是次品；(3)正品、次品各一只；(4)第二次取出的是次品．12．假定患有疾病{d1,d2,d3}中的某一個的人可能出現(xiàn)癥狀S=S1S1=食欲不振S2=胸痛S3=呼吸急促S4=發(fā)熱現(xiàn)從20000份患有疾病d1,d2,d3的病歷卡中統(tǒng)計得到下列數(shù)據(jù):疾病人數(shù)出現(xiàn)S中一個或幾個癥狀人數(shù)d177507500d252504200d370003500試問當一個具有S中癥狀的病人前來要求診斷時,在沒有別的可依據(jù)的診斷手段情況下,推測該病人患有這三種疾病中哪一種較合適?答案解析一、選擇題1．設有一批同規(guī)格的產(chǎn)品，由三家工廠生產(chǎn)，其中甲廠生產(chǎn)eq\f(1,2)，乙、丙兩廠各生產(chǎn)eq\f(1,4)，而且各廠的次品率依次為2%,2%,4%，現(xiàn)從中任取一件，則取到次品的概率為()A．0.025B．0.08C．0.07D．0.125【答案】A【詳解】設A1，A2，A3分別表示甲、乙、丙工廠的產(chǎn)品，B表示次品，則P(A1)＝0.5，P(A2)＝P(A3)＝0.25，P(B|A1)＝0.02，P(B|A2)＝0.02，P(B|A3)＝0.04，∴P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.5×0.02＋0.25×0.02＋0.25×0.04＝0.025.故選A.2．為了提升全民身體素質(zhì)，學校十分重視學生體育鍛煉，某?；@球運動員進行投籃練習．如果他前一球投進則后一球投進的概率為；如果他前一球投不進則后一球投進的概率為.若他第球投進的概率為，則他第球投進的概率為（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】記事件為“第球投進”，事件為“第球投進”，，，，由全概率公式可得.3．某卡車為鄉(xiāng)村小學運送書籍，共裝有10個紙箱，其中5箱英語書、2箱數(shù)學書、3箱語文書.到目的地時發(fā)現(xiàn)丟失一箱，但不知丟失哪一箱.現(xiàn)從剩下9箱中任意打開兩箱，結(jié)果都是英語書，則丟失的一箱也是英語書的概率為()A.eq\f(2,9)B.eq\f(3,8)C.eq\f(1,12)D.eq\f(5,8)【答案】B【詳解】用A表示丟失一箱后任取兩箱是英語書，用Bk表示丟失的一箱為k，k＝1,2,3分別表示英語書、數(shù)學書、語文書．由全概率公式得P(A)＝eq\o(∑,\s\up8(3),\s\do6(k＝1))P(Bk)P(A|Bk)＝eq\f(1,2)·eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,9))＋eq\f(1,5)·eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(2,9))＋eq\f(3,10)·eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(2,9))＝eq\f(8,36).P(B1|A)＝eq\f(PB1PA|B1,PA)＝eq\f(\f(1,2)·\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,9)),PA)＝eq\f(3,36)÷eq\f(8,36)＝eq\f(3,8).故選B.4.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品以100件為一批,假定每一批產(chǎn)品中的次品數(shù)最多不超過4件,且具有如下的概率:一批產(chǎn)品中的次品數(shù)01234概率0.10.20.40.20.1現(xiàn)進行抽樣檢驗,從每批中隨機取出10件來檢驗,若發(fā)現(xiàn)其中有次品,則認為該批產(chǎn)品不合格,則一批產(chǎn)品通過檢驗的概率為()A.0.814B.0.809C.0.727D.0.652【答案】A【詳解】選A.以Ai表示一批產(chǎn)品中有i件次品,i=0,1,2,3,4,B表示通過檢驗,則由題意得,P(A0)=0.1,P(B|A0)=1,P(A1)=0.2,P(B|A1)=C9910CP(B|A2)=C9810C10010≈0.809,P(A3)=0.2,P(B|A3)=C9710由全概率公式,得P(B)=∑i=04P(Ai5.某工廠有甲、乙、丙3個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品,產(chǎn)量依次占全廠的45%,35%,20%,且各車間的次品率分別為4%,2%,5%,現(xiàn)從一批產(chǎn)品中檢查出1個次品,則該次品由______車間生產(chǎn)的可能性最大()A.甲B.乙C.丙D.無法確定【答案】A【詳解】選A.設A1,A2,A3表示產(chǎn)品來